Lição 84 — Técnica: substituição (u-substitution)

计算 $\int (2x+1)^4\, dx$。

计算 $\int x(x^2 - 3)^5\, dx$。

计算 $\int \cos^3 x \sin x\, dx$。

计算 $\int x^2 e^{x^3 + 2}\, dx$。

计算 $\int \frac{x}{x^2 + 1}\, dx$。

计算 $\int \cos(3x)\, dx$。

计算 $\int x e^{-x^2/2}\, dx$。

计算 $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\, dx$。

计算 $\int \sin^4 x \cos x\, dx$。

计算 $\int \sqrt{4 - 3x}\, dx$。

计算 $\int (x+2)(x^2+4x)^3\, dx$。

计算 $\int \sin(2x)\, dx$。

计算 $\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\, dx$。

计算 $\int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1}\, dx$。

计算 $\int \cot x\, dx$。

计算 $\int e^{5x}\, dx$。

计算 $\int \frac{x^2}{x^3 + 1}\, dx$。

计算 $\int 3x^2(x^3+1)^4\, dx$ 时，哪个替换 $u$ 最合适？

尝试用替换 $u = g(x)$ 时，发现 $g'(x)$ 乘以一个不同的常数。应该怎样处理？

计算 $\int_0^{\pi/4} e^{\sin^2 x} \sin x \cos x\, dx$。

计算 $\int \tan^3 x \sec^2 x\, dx$。

计算 $\int_1^2 x^2(x^3 + 1)^4\, dx$。

一个固定收益基金的月度增量费率为 R$ 500，具有指数增长：$r(t) = 500 e^{0{,}08t}$ 雷亚尔每月。计算 12 个月后累积的余额。

计算 $\int x\cos(x^2)\, dx$。

计算 $\int \frac{1}{(1+\sqrt{x})\sqrt{x}}\, dx$。

计算 $\int_0^\pi \cos(\sin x) \cos x\, dx$。（提示：观察替换后的极限。）

计算 $\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}\, dx$。

尝试用替换法计算 $\int \sec^3 x\, dx$。指出为什么简单替换在此失效，并写出答案（需要分部积分，第 85 课）。

验证 $\int f(ax + b)\, dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$，其中 $F' = f$ 且 $a \neq 0$。

一辆车的加速度为 $a(t) = 10e^{-0{,}5t}$ m/s²，从静止出发（$v(0) = 0$）。用替换法求 $v(t)$，并计算 $t = 4$ s 时的速度。