Lição 85 — Integração por partes

计算 $\int x e^x\, dx$。

计算 $\int x \sin x\, dx$。

计算 $\int x \cos x\, dx$。

计算 $\int \ln x\, dx$。

计算 $\int x^2 e^x\, dx$。应用分部积分两次或使用表格法。

计算 $\int x^2 \sin x\, dx$。

计算 $\int x^2 \cos x\, dx$。

计算 $\int x \ln x\, dx$。

计算 $\int x^2 \ln x\, dx$。

计算 $\int \arctan x\, dx$。

计算 $\int \arcsin x\, dx$。

计算 $\int x e^{2x}\, dx$。

计算 $\int x \cdot 2^x\, dx$。

计算 $\int x e^{-x}\, dx$。

计算 $\int (\ln x)^2\, dx$。应用分部积分两次。

计算 $\int e^x \cos x\, dx$。

计算 $\int e^x \sin x\, dx$。

计算 $\int e^{2x} \cos(3x)\, dx$。

计算 $\int e^{-x} \sin(2x)\, dx$。

计算 $\int \cos x \ln(\sin x)\, dx$。

计算 $\int \sec^3 x\, dx$。

计算 $\int \csc^3 x\, dx$。

计算 $\int_0^1 x e^x\, dx$。

计算 $\int_0^\pi x \sin x\, dx$。

计算 $\int_1^e \ln x\, dx$。

计算 $\int_0^{\pi/2} x \cos x\, dx$。

计算 $\int_0^1 \arctan x\, dx$。

计算 $\int_1^2 x^2 \ln x\, dx$。

计算 $\int_0^1 x e^{-x}\, dx$。

计算 $\int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx$。

沿 $[0, 1]$ m 处，力 $F(x) = x e^{-x}$ N 所做的功。计算 $W = \int_0^1 F(x)\, dx$。

以电流 $i(t) = t\cos(\omega t)$ 积累的电荷。计算 $Q = \int_0^{2\pi/\omega} i(t)\, dt$。

Gamma 函数：计算 $\Gamma(2) = \int_0^\infty t e^{-t}\, dt$ 并证明结果为 $1$。

指数随机变量的期望：计算 $E[X] = \int_0^\infty x \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ 并证明结果为 $1/\lambda$。

指数分布的方差：计算 $E[X^2] = \int_0^\infty x^2 \lambda e^{-\lambda x}\, dx$ 并确定 $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$。

傅里叶系数 $a_n = (1/\pi)\int_{-\pi}^\pi x\cos(nx)\, dx$。确定所有整数 $n \geq 1$ 的 $a_n$。

$t$ 的拉普拉斯变换：证明 $\mathcal{L}\{t\}(s) = \int_0^\infty t e^{-st}\, dt = 1/s^2$，其中 $s > 0$。

持续增长收入的现值 $C(t) = t$（千元/年）以连续折现率 $r$ 在 $[0, T]$ 上。计算 $VP = \int_0^T t e^{-rt}\, dt$。

计算 $\int x^3 e^{-x^2}\, dx$。提示：先代换 $u = x^2$，再应用分部积分。

计算 $\int e^{\sqrt{x}}\, dx$。提示：代换 $u = \sqrt{x}$，再应用分部积分。

用数学归纳法证明对所有整数 $n \geq 0$，$\int_0^\infty x^n e^{-x}\, dx = n!$，在归纳步骤中使用分部积分。

设 $I_n = \int x^n e^x\, dx$。证明 $I_n = x^n e^x - n I_{n-1}$ 并用该公式计算 $I_3$。

推导递推公式 $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\, dx$ 并应用计算 $\int \sin^4 x\, dx$。

证明。 从乘积求导法则和微积分基本定理推导公式 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$。

证明（非正式）。 解释为什么 LIATE 是有效启发式规则：分析每类函数求导时的行为，并解释为什么对数和反三角是 $u$ 的优先候选。