v1 · padrão canônico

Lição 86 — Integrais de funções racionais (frações parciais)

Decomposição P(x)/Q(x) em soma de frações simples. Raízes reais simples, multiplicidade e quadrático irredutível. Reduz a integrais elementares em ln ou arctan.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i} \frac{A_i}{(x - r_i)^{k_i}} + \sum_{j} \frac{B_j x + C_j}{(x^2 + p_j x + q_j)^{l_j}}

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

定理、程序和情况

部分分式分解定理

Definition· 实数域上的部分分式分解

设 $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ 且 $\deg P < \deg Q$ ，并设

$Q(x) = a \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}$

是 $Q$ 在实数域上的完全因式分解（其中 $p_j^2 - 4q_j < 0$ ——不可约二次因子）。那么存在一个唯一的分解：

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - r_i)^k} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{l=1}^{n_j} \frac{B_{j,l} x + C_{j,l}}{(x^2 + p_j x + q_j)^l}.$

"我们总是能用部分分式法将被积函数表示为更简单的有理函数之和。其思想是将有理函数分解为更简单的部分之和，每一部分都更容易积分。" — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4

程序

Definition· 部分分式积分算法

检验次数：如果 $\deg P \geq \deg Q$ ，先做多项式除法： $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ ，其中 $\deg R < \deg Q$ 。
在实数域上完全因式分解 $Q(x)$ 。
写出具有常数 $A_{i,k}$ 、 $B_{j,l}$ 、 $C_{j,l}$ 的通用形式。
确定常数：
- 覆盖法（简单根）：直接代入 $x = r_i$ 。
- 系数：展开并按次数相等。
- 导数（高重数）：对分子恒等式求导。
按规则逐项积分：

\int \frac{A}{x - r}\, dx = A \ln\lvert x - r\rvert + C.

what this means · 简单根分式的积分——得到自然对数。

\int \frac{A}{(x - r)^k}\, dx = \frac{-A}{(k-1)(x-r)^{k-1}} + C, \quad k > 1.

what this means · 重数大于 1 的重根分式的积分。

对于不可约二次因子 $(x^2 + px + q)$ ，其中 $p^2 - 4q < 0$ ：配方成 $(x + p/2)^2 + \beta^2$ ，并分解分子 $Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$ 。第一项在 $\ln$ 中积分，第二项在 $\arctan$ 中积分。

"如果分子的次数小于分母的次数，则有理函数称为真分式，部分分式法直接有效。否则，先进行多项式除法以约化为真分式。" — APEX Calculus §6.5

Heaviside 公式

对于 $Q$ 的简单根 $r_1, \ldots, r_n$ ：

A_i = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}.

what this means · 简单根的直接留数公式——覆盖法的结果。

工作示例

Example— 1· 简单根——覆盖法（基础）

问题。 计算 $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ 。

策略。 将分母因式分解为简单根，应用覆盖法，积分每个 $\ln$ 。

求解。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ 。分解： $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ 。

乘以 $(x-1)(x+1)$ ： $1 = A(x+1) + B(x-1)$ 。

覆盖法： $x = 1 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ 。 $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ 。

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$

验证。 对结果求导： $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$ 。正确。

来源。 APEX Calculus §6.5, Example 6.5.1 — CC-BY-NC。

Example— 2· 重数为2的根（中等）

问题。 计算 $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ 。

策略。 重数为2的因子：分解中有两项。

求解。

$\dfrac{x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2}$ 。

乘以 $(x-2)^2$ ： $x + 1 = A(x-2) + B$ 。

在 $x = 2$ 处： $3 = B$ 。 $x$ 的系数： $1 = A$ 。因此 $A = 1$ ， $B = 3$ 。

$\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \int \frac{1}{x-2}\, dx + \int \frac{3}{(x-2)^2}\, dx = \ln\lvert x - 2\rvert - \frac{3}{x - 2} + C.$

验证。 对 $\ln\lvert x-2\rvert - 3(x-2)^{-1}$ 求导： $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{x-2+3}{(x-2)^2} = \frac{x+1}{(x-2)^2}$ 。正确。

来源。 OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.40 — CC-BY-NC-SA。

Example— 3· 不可约二次式（中等）

问题。 计算 $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ 。

策略。 一次因子加不可约二次因子。

求解。

$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ 。

乘以 $(x^2+1)(x-1)$ ： $x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$ 。

在 $x = 1$ 处： $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ 。

$x^2$ 系数： $0 = A + B \Rightarrow B = -1/2$ 。

$x^0$ 系数： $0 = A - C \Rightarrow C = 1/2$ 。

$\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C.$

验证。 对结果求导验证被积函数（代数）。

来源。 APEX Calculus §6.5, Example 6.5.3 — CC-BY-NC。

Example— 4· 高次——先做多项式除法（中等）

问题。 计算 $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ 。

策略。 $\deg P = 3 \geq \deg Q = 2$ ：先除。

求解。

除法： $\dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ 。

$\dfrac{x+1}{x^2-1}$ 的部分分式 $= \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ （直接简化）。

$\int \frac{x^3+1}{x^2-1}\, dx = \int x\, dx + \int \frac{1}{x-1}\, dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C.$

验证。 求导： $x + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = \frac{x^2 - x + 1}{x-1}$ 。乘以 $(x+1)/(x+1)$ ： $\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^3+1}{x^2-1}$ 。正确。

来源。 OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.41 — CC-BY-NC-SA。

Example— 5· 逻辑斯蒂方程——微分方程中的部分分式（挑战）

问题。 解 $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ ，使用部分分式（逻辑斯蒂方程求解的关键步骤）。

策略。 将分母改写为乘积；覆盖法；积分。

求解。

$\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N\cdot\frac{K-N}{K}} = \dfrac{K}{N(K-N)}$ 。

分解： $\dfrac{K}{N(K-N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{K-N}$ 。

乘以： $K = A(K-N) + BN$ 。

$N = 0$ ： $K = AK \Rightarrow A = 1$ 。 $N = K$ ： $K = BK \Rightarrow B = 1$ 。

$\int \frac{dN}{N(1-N/K)} = \int \frac{dN}{N} + \int \frac{dN}{K - N} = \ln\lvert N\rvert - \ln\lvert K - N\rvert + C_0 = \ln\left\lvert\frac{N}{K-N}\right\rvert + C_0.$

等于 $rt + C_1$ 并取指数： $\dfrac{N}{K-N} = Ae^{rt}$ ，因此 $N(t) = \dfrac{K}{1 + B e^{-rt}}$ 。

验证。 确认 $N(t) = K/(1 + Be^{-rt})$ 满足 $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ （直接求导）。

来源。 Active Calculus §5.5, Activity 5.5.2 — CC-BY-NC-SA。

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 26Modeling 4Challenge 3Proof 2

Ex. 86.1Application
将 $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.2Application
将 $\dfrac{1}{x(x+1)}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.3Application
将 $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.4Application
将 $\dfrac{2x + 1}{x^2 - x - 6}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.5Application
将 $\dfrac{1}{x^3 - x}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.6ApplicationAnswer key
将 $\dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.7Application
将 $\dfrac{1}{x^2(x + 1)}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.8Application
证明 $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ 已是一个简单分式（分母为不可约二次式），并计算其积分。
Solve online
Ex. 86.9ApplicationAnswer key
将 $\dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}$ 分解为部分分式。
Solve online
Ex. 86.10ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.11Application
计算 $\int \dfrac{1}{x(x+1)}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.12ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{x}{(x-1)(x-2)}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.13Application
计算 $\int \dfrac{1}{x^2 - 4}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.14Application
计算 $\int \dfrac{1}{x^2 - 9}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.15ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{x + 4}{x^2 + 5x + 6}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.16Application
计算 $\int \dfrac{3}{x^2 + x - 2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.17ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{1}{x^3 - x}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.18Application
计算 $\int \dfrac{1}{(x - 1)^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.19Application
计算 $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.20Application
计算 $\int \dfrac{1}{x^2(x + 1)}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.21ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{1}{x^2 + 4}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.22Application
计算 $\int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.23Application
计算 $\int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.24Application
计算 $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.25ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{1}{x^4 - 1}\, dx$ 。提示：因式分解为 $(x^2-1)(x^2+1)$ 。
Solve online
Ex. 86.26Application
计算 $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ 。先除。
Solve online
Ex. 86.27Modeling
逻辑斯蒂方程 $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ 。分离并积分 $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ 以求 $N(t)$ 。
Solve online
Ex. 86.28Modeling
Laplace逆变换：给定 $H(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ ，用部分分式求 $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ 。
Solve online
Ex. 86.29Modeling
Cauchy分布：确定常数 $c$ 使得 $f(x) = c/(1+x^2)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的概率密度。
Solve online
Ex. 86.30Modeling
化学反应 $\dot{c} = k(a - c)(b - c)$ ，其中 $a \neq b$ 。分离并通过部分分式积分。
Solve online
Ex. 86.31Challenge
计算 $\int \dfrac{1}{x^4 + 1}\, dx$ 。提示：因式分解为 $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$ 。
Solve online
Ex. 86.32Challenge
计算 $\int \dfrac{1}{x^3 + 1}\, dx$ 。先因式分解分母。
Solve online
Ex. 86.33Challenge
计算 $\int \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 86.34Proof
证明。 证明简单根 $r_i$ 的 Heaviside 公式 $A_i = P(r_i)/Q'(r_i)$ 。
Solve online
Ex. 86.35Proof
证明。 证明对于 $\deg P < \deg Q$ 的 $P/Q$ ，部分分式分解是唯一的。
Solve online

来源

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.5。首要来源。
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.4。
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.5。