v1 · padrão canônico

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades e sub u. Substituição trigonométrica para radicais √(a²±x²) e √(x²−a²). Fórmulas de redução de potências.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

恒等式、模式和替换

基本恒等式

模式 $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definition· 按指数奇偶性的策略

情况	策略
$n$ 奇数	提出 $\sin x\, dx$ ；通过 $\sin^2 = 1 - \cos^2$ 转化 $\sin^{n-1}$ ；令 $u = \cos x$
$m$ 奇数	提出 $\cos x\, dx$ ；通过 $\cos^2 = 1 - \sin^2$ 转化 $\cos^{m-1}$ ；令 $u = \sin x$
都是偶数	重复使用半角公式

对于 $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ ：

情况	策略
$m$ 偶数	提出 $\sec^2 x\, dx$ ；通过 $\sec^2 = 1 + \tan^2$ 转化；令 $u = \tan x$
$n$ 奇数	提出 $\sec x \tan x\, dx$ ；通过 $\tan^2 = \sec^2 - 1$ 转化；令 $u = \sec x$

"积分正弦和余弦幂次的乘积的策略取决于所涉及的指数的奇偶性。当其中一个指数为奇数时，我们'提取'一个因子并使用勾股恒等式来转化剩余的偶数次幂。" — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

三角替换

"三角替换的思想是用三角表达式替代涉及平方根的表达式，这更容易积分。" — APEX Calculus §6.4

约化公式

已解决的例子

Example— 1· 正弦奇数幂（基础）

**问题。**计算 $\int \sin^3 x\, dx$ 。

**策略。**奇数指数：保留 $\sin x\, dx$ ，通过 $\sin^2 = 1 - \cos^2$ 转化，令 $u = \cos x$ 。

解。

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ 。

令 $u = \cos x$ ， $du = -\sin x\, dx$ ：

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ 。

**验证。**求导： $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ 。正确。

来源。APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC。

Example— 2· 偶数指数——半角（基础）

**问题。**计算 $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ 。

**策略。**都是偶数：使用 $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ 然后半角。

解。

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ 。

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

**验证。**求导： $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ 。正确。

来源。OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA。

Example— 3· 令 x = a sin θ 对于 √(a² − x²)（中级）

**问题。**计算 $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ 。

**策略。**根号 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 其中 $a = 2$ ：令 $x = 2\sin\theta$ 。

解。

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ； $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ （其中 $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ）。

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ 。

参考三角形（ $\sin\theta = x/2$ ，斜边 2，邻边 $\sqrt{4-x^2}$ ）：

$\theta = \arcsin(x/2)$ ； $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ 。

结果： $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ 。

**验证。**求导（链式法则）： $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ 。正确。

来源。APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC。

Example— 4· 令 x = a tan θ 对于 √(a² + x²)（中级）

**问题。**计算 $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ 。

**策略。**根号 $\sqrt{a^2 + x^2}$ 其中 $a = 1$ ：令 $x = \tan\theta$ 。

解。

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ； $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ 。

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ 。

三角形（ $\tan\theta = x$ ，斜边 $\sqrt{1+x^2}$ ）： $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ ， $\tan\theta = x$ 。

结果： $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ （等价于 $\text{arcsinh}(x) + C$ ）。

**验证。**求导 $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ ： $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ 。正确。

来源。OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA。

Example— 5· 约化公式与应用（挑战）

**问题。**推导约化公式 $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ 并用它计算 $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ 。

**策略。**通过分部积分推导；对 $n = 4$ 和 $n = 2$ 应用。

解。

推导： $u = \sin^{n-1}x$ ， $dv = \sin x\, dx$ 。 $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ ， $v = -\cos x$ 。

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ 。

代入 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ ：

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ 。

重新整理： $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ 。除以 $n$ 。

应用： $n = 4$ ： $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ 。

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ 。

在 $[0, \pi/2]$ 上求值： $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ 。

**验证。**Wallis 公式： $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ 。确认。

来源。APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC。

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 24Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 87.1Application
计算 $\int \sin^2 x\, dx$ 。
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Ex. 87.2Application
计算 $\int \cos^2 x\, dx$ 。
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Ex. 87.3ApplicationAnswer key
计算 $\int \sin^3 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.4Application
计算 $\int \cos^3 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.5ApplicationAnswer key
计算 $\int \sin^4 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.6Application
计算 $\int \cos^4 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.7Application
计算 $\int \sin^5 x\, dx$ 。
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Ex. 87.8Application
计算 $\int \tan^2 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.9ApplicationAnswer key
计算 $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.10ApplicationAnswer key
计算 $\int \sin^3 x \cos x\, dx$ 。
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Ex. 87.11ApplicationAnswer key
计算 $\int \sin x \cos^3 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.12Application
计算 $\int \sin^3 x \cos^2 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.13Application
计算 $\int \sin(3x)\cos(2x)\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.14Application
计算 $\int \tan^2 x \sec^2 x\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.15Application
计算 $\int \sqrt{1 - x^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.16Application
计算 $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.17Application
计算 $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.18ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.19Application
计算 $\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.20Application
通过替换 $x = \tan\theta$ 计算 $\int \dfrac{1}{1 + x^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.21Application
计算 $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.22Application
计算 $\int \sqrt{1 + x^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.23ApplicationAnswer key
计算 $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.24Application
计算 $\int \sqrt{x^2 - 4}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.25Modeling
证明半径为 $r$ 的圆的面积为 $\pi r^2$ ，通过计算 $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ 。
Solve online
Ex. 87.26Modeling
Cauchy 分布：验证 $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ 满足 $\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 1$ 。
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Ex. 87.27Modeling
$v(t) = V_0\sin(\omega t)$ 的有效电压（RMS）：计算 $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\, dt}$ ，其中 $T = 2\pi/\omega$ 。
Solve online
Ex. 87.28Modeling
椭圆 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ 的面积：计算 $A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ 并证明 $A = \pi ab$ 。
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Ex. 87.29ChallengeAnswer key
使用 $\sec^n$ 的约化公式计算 $\int \sec^5 x\, dx$ 。
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Ex. 87.30Challenge
使用 Weierstrass 替换 $t = \tan(x/2)$ 计算 $\int \dfrac{1}{\sin x}\, dx = \int \csc x\, dx$ 。
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Ex. 87.31Proof
**证明。**使用分部积分证明约化公式 $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ 。
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Ex. 87.32Proof
**证明。**通过乘以 $(\sec x + \tan x)/(\sec x + \tan x)$ 证明 $\int \sec x\, dx = \ln\lvert \sec x + \tan x\rvert + C$ 。
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来源

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4。主要来源。
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3。
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5。