Lição 88 — Área entre curvas

计算 $y = x$ 和 $y = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上的面积。

计算 $y = x^2$ 和 $y = 2x$ 之间的面积。

计算 $y = \sqrt{x}$ 和 $y = x$ 在 $[0, 1]$ 上的面积。

计算 $y = x^2$ 和 $y = x^3$ 在 $[0, 1]$ 上的面积。

计算 $y = \sin x$ 和 $x$ 轴在 $[0, \pi]$ 上的面积。

计算 $y = \cos x$ 和 $x$ 轴在 $[0, \pi]$ 上的面积。

计算 $y = e^x$ 和 $y = e^{-x}$ 在 $[0, 1]$ 上的面积。

计算 $y = \ln x$ 和 $x$ 轴在 $[1, e]$ 上的面积。

计算 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上的面积。

计算 $y = x^2 - 1$ 和 $y = 1 - x^2$ 之间的面积。

计算 $y = x^3$ 和 $y = x$ 在 $[-1, 1]$ 上的面积。

计算 $y = x^2 - 4x + 3$ 和 $x$ 轴在 $[0, 4]$ 上的面积。

计算 $x = y^2$ 和 $x = y$ 之间的面积，在 $[0, 1]$ 上按 $y$ 积分。

计算 $x = y^2$ 和 $x = 4$ 之间的面积（按 $y$ 积分）。

计算 $x = y^2 - 2$ 和 $x = y$ 之间的面积（按 $y$ 积分）。

计算 $y = 4 - x^2$ 和 $y = x + 2$ 之间的面积。

计算 $y = x^4$ 和 $y = 8x$ 之间的面积。

利用习题 88.9 的结果，通过验证两部分的对称性来确定 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上的面积。

需求曲线 $D(q) = 100 - q$，均衡价格 $p^* = 60$。计算消费者剩余 $CS = \int_0^{Q^*} [D(q) - p^*]\, dq$。

供给曲线 $S(q) = 20 + q/2$，均衡价格 $p^* = 40$。计算生产者剩余 $PS = \int_0^{Q^*} [p^* - S(q)]\, dq$。

边际收益 $R'(t) = 100$ 单位货币/天，边际成本 $C'(t) = 50 + 5t$ 单位货币/天。计算最大累积净利润以及成本超过收益的第几天。

计算椭圆 $x^2/9 + y^2/4 = 1$ 的面积，方法是使用 $A = 4\int_0^3 (2/3)\sqrt{9 - x^2}\, dx$。

计算抛物线 $y = x^2$ 和其在点 $(1, 1)$ 处的切线之间的面积，在 $[0, 2]$ 上。

计算 $y = 1/(1+x^2)$ 和 $y = 1/2$ 之间的面积，在第一条曲线在上方的区域内。

计算 $y = x^3 - 4x$ 和 $x$ 轴在 $[-2, 2]$ 上的总面积。

比较计算 $y = x^2$ 和 $y = 4$ 之间面积的两种方法：按 $x$ 积分和按 $y$ 积分。用两种方法计算并验证结果相同。

计算心形线 $r = 1 + \cos\theta$ 的面积（极坐标）：$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} r^2\, d\theta$。

$y = e^{-x^2}$ 和 $x$ 轴在 $(-\infty, +\infty)$ 上的面积。结果是 $\sqrt{\pi}$ ——说明这个积分没有初等公式，但可通过极坐标下高斯积分的技巧来计算。

证明。说明 $A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\, dx$ 是黎曼和的极限，其中矩形的高为 $f(x_i^*) - g(x_i^*)$。

证明。验证格林公式 $A = \frac{1}{2}\oint_{\partial R}(x\, dy - y\, dx)$ 对单位正方形 $[0,1]^2$ 的正确性，通过计算每条边上的线积分。