v1 · padrão canônico

Lição 89 — Volume por fatiamento: discos, anéis e cascas cilíndricas

Sólidos de revolução e sólidos de seção conhecida. Método dos discos, dos anéis (washers) e das cascas cilíndricas. Princípio de Cavalieri.

Used in: Cálculo II (BR) · Calc BC AP (EUA) · Math III japonês avançado · Leistungskurs Klasse 12 (DE)

V = \int_a^b A(x)\, dx, \qquad A_{\text{disco}} = \pi[f(x)]^2, \qquad A_{\text{anel}} = \pi\bigl([R(x)]^2 - [r(x)]^2\bigr), \qquad V_{\text{casca}} = 2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

严格定义和三种方法

Cavalieri原理和切片

"若两个立体的高度相同，且在每个高度处的截面相等，则这两个立体的体积相等。" — Cavalieri原理（17世纪），在Active Calculus §6.2中正式表述

圆柱壳法

"壳法可以看作沿着平行于旋转轴的方向积分。" — APEX Calculus §7.3

位移旋转轴

对于绕 $y = c$ 旋转（而不是绕x轴）：用 $f(x) \mapsto f(x) - c$ （或 $|f(x) - c|$ ）替换。对于用壳法绕 $x = c$ 旋转：在半径的角色中用 $|x - c|$ 替换 $x$ 。

已解例题

Example— 1· 用圆盘法求球体的体积（应用）

**问题：**用圆盘法推导半径为 $r$ 的球体的体积公式。

**策略：**半径为 $r$ 的球体由半圆 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ （ $x \in [-r, r]$ ）绕x轴旋转生成。每个截面是一个半径为 $\sqrt{r^2 - x^2}$ 的圆盘。

求解：

应用圆盘公式：

$V = \pi \int_{-r}^{r} \bigl(\sqrt{r^2 - x^2}\bigr)^2\, dx = \pi \int_{-r}^{r} (r^2 - x^2)\, dx$

$= \pi \left[r^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-r}^{r} = \pi \left[\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right)\right]$

$= \pi \cdot 2\left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) = \pi \cdot 2 \cdot \frac{2r^3}{3} = \frac{4\pi r^3}{3}$

**验证：**对于 $r = 1$ ： $V = 4\pi/3 \approx 4.19$ 立方单位。经典结果得以确认。

来源。 OpenStax Calculus Volume 2 §2.2, Example 2.5 — 许可证CC-BY-NC-SA。

Example— 2· 用垫圈法——两条抛物线间的区域（中级）

**问题：**计算将由 $y = x$ 和 $y = x^2$ 所围区域（ $x \in [0, 1]$ ）绕x轴旋转得到的立体的体积。

**策略：**两条曲线在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 相交。在 $[0, 1]$ 上， $x \geq x^2$ ，所以 $R(x) = x$ （外半径）、 $r(x) = x^2$ （内半径）。使用垫圈法。

求解：

$V = \pi \int_0^1 \bigl([x]^2 - [x^2]^2\bigr)\, dx = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\, dx$

$= \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\!\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$

**验证：**体积应该小于半径为1、高为1的圆锥（ $V_{\text{圆锥}} = \pi/3 \approx 1.047$ ）。实际上， $2\pi/15 \approx 0.419 < \pi/3$ 。合理—— $y=x$ 和 $y=x^2$ 间的区域小于完整三角形。

来源。 Active Calculus §6.2, Activity 6.2.2 — 许可证CC-BY-NC-SA。

Example— 3· 用圆柱壳法——与垫圈法比较（高级）

问题：用圆柱壳法计算 $y = x^2$ 和 $y = x$ （ $[0, 1]$ ）间的区域绕y轴旋转得到的体积。将结果与用y积分的垫圈法比较。

**策略：**旋转轴是 $y$ （竖直），自然变量是 $x$ ：使用壳法。每条宽度为 $dx$ 的竖直条形生成一个半径为 $x$ 、高为 $f(x) - g(x) = x - x^2$ 的壳。

求解：

$V = 2\pi \int_0^1 x(x - x^2)\, dx = 2\pi \int_0^1 (x^2 - x^3)\, dx$

$= 2\pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\pi\!\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = 2\pi \cdot \frac{1}{12} = \frac{\pi}{6}$

**用y的垫圈法交叉验证：**用y表示的曲线：从 $y = x^2$ 得 $x = \sqrt{y}$ ；从 $y = x$ 得 $x = y$ 。外半径 $R(y) = \sqrt{y}$ ，内半径 $r(y) = y$ ：

$V = \pi \int_0^1 (y - y^2)\, dy = \pi\!\left[\frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \pi\!\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6} \checkmark$

来源。 APEX Calculus §7.3, Example 7.3.2 — 许可证CC-BY-NC。

Example— 4· 用圆盘法求圆锥体——公式推导（证明）

**问题：**推导半径为 $R$ 、高为 $h$ 的直圆锥的公式 $V = \pi R^2 h/3$ 。

**策略：**圆锥由直线 $y = (R/h)x$ （ $x \in [0, h]$ ）绕x轴旋转生成。每个截面是一个半径为 $(R/h)x$ 的圆盘。

求解：

$V = \pi \int_0^h \left(\frac{R}{h} x\right)^2 dx = \pi \frac{R^2}{h^2} \int_0^h x^2\, dx = \pi \frac{R^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi R^2 h}{3}$

**验证：**对于 $R = h = 1$ ： $V = \pi/3 \approx 1.047$ 立方单位。Pappus定理确认：直角三角形（底 $R$ 、高 $h$ ）的重心距顶点 $\bar{x} = h/3$ 。壳的体积： $2\pi \cdot (R/2) \cdot (Rh/2) = \pi R^2 h / 2 \neq \pi R^2 h/3$ ——这里Pappus适用于立体，不是三角形。直接用圆盘法最清楚。

来源。 OpenStax Calculus Volume 2 §2.2, Example 2.4 — 许可证CC-BY-NC-SA。

Example— 5· 抽水功——球形水箱（建模）

**问题：**一个半径为3 m的球形水箱装满了水（密度 $\rho = 1000$ kg/m³， $g = 9.8$ m/s²）。计算将全部水抽到水箱顶部所需的功。

**策略：**把球心放在原点。顶部在 $y = 3$ 。厚度为 $dy$ 的在高度 $y$ 的薄片需要提升 $(3 - y)$ 米。高度 $y$ 处的圆形截面半径为 $\sqrt{9 - y^2}$ ，因此面积为 $\pi(9 - y^2)$ 。

求解：

$W = \int_{-3}^{3} \rho g \cdot \pi(9 - y^2) \cdot (3 - y)\, dy$

$= 1000 \cdot 9.8 \cdot \pi \int_{-3}^{3} (9 - y^2)(3 - y)\, dy$

展开乘积：

$(9 - y^2)(3 - y) = 27 - 9y - 3y^2 + y^3$

$\int_{-3}^{3} (27 - 9y - 3y^2 + y^3)\, dy = \left[27y - \frac{9y^2}{2} - y^3 + \frac{y^4}{4}\right]_{-3}^{3}$

奇函数项（ $-9y$ 和 $y^3$ ）按对称性抵消。偶函数项：

$= 2\left(27 \cdot 3 - 3^3\right) = 2(81 - 27) = 108$

$W = 9800\pi \cdot 108 \approx 3.33 \times 10^6 \text{ J} = 3.33 \text{ MJ}$

**验证：**数量级：移动 $\approx 113$ t的水 $\approx 1.5$ m（重心距顶部）给出 $113\,000 \times 9.8 \times 1.5 \approx 1.66$ MJ。预期系数2是因为实际重心（由对称性在 $y = 0$ ，距顶部3 m）给出3.32 MJ。确认。

来源。 OpenStax Calculus Volume 2 §6.5, Example 6.24 — 许可证CC-BY-NC-SA。

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 3Modeling 5Challenge 6Proof 3

Ex. 89.1ApplicationAnswer key
将 $y = \sqrt{x}$ 在 $[0, 4]$ 上绕x轴旋转。计算体积。
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Ex. 89.2Application
将 $y = x$ 在 $[0, 1]$ 上绕x轴旋转。计算体积（这是一个圆锥）。
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Ex. 89.3ApplicationAnswer key
将 $y = x^2$ 在 $[0, 2]$ 上绕x轴旋转。计算体积。
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Ex. 89.4ApplicationAnswer key
将 $y = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上绕x轴旋转。（提示： $\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$ 。）
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Ex. 89.5Application
将 $y = e^x$ 在 $[0, 1]$ 上绕x轴旋转。
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Ex. 89.6Application
将 $y = \cos x$ 在 $[0, \pi/2]$ 上绕x轴旋转。
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Ex. 89.7Proof
使用 $V = \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\,dx$ 证明半径为 $r$ 的球体的体积是 $4\pi r^3/3$ 。
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Ex. 89.8ProofAnswer key
通过在 $[0, h]$ 上旋转 $y = (R/h)x$ 证明半径为 $R$ 、高为 $h$ 的圆锥的体积是 $\pi R^2 h/3$ 。
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Ex. 89.9Application
将 $y = 1/x$ 在 $[1, 2]$ 上绕x轴旋转。
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Ex. 89.10Application
将 $y = \sqrt{4 - x^2}$ 在 $[-2, 2]$ 上绕x轴旋转。（确定得到的立体。）
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Ex. 89.11ApplicationAnswer key
垫圈： $y = x$ 和 $y = x^2$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域，绕x轴旋转。
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Ex. 89.12Application
垫圈： $y = \sqrt{x}$ 和 $y = x$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域，绕x轴旋转。
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Ex. 89.13Application
垫圈： $y = 2x$ 和 $y = x^2$ 在 $[0, 2]$ 之间的区域，绕x轴旋转。
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Ex. 89.14Application
垫圈： $y = x^2 + 1$ 和 $y = 5 - x^2$ 之间的区域，绕x轴旋转。
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Ex. 89.15ApplicationAnswer key
$y = x$ 和 $y = x^2$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域，绕 $y = -1$ 旋转（位移轴）。
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Ex. 89.16Application
绕x轴旋转 $y = 1$ 和 $y = x$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域产生的体积是多少？
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Ex. 89.17Application
$y = x^2$ 和 $y = x$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域，绕 $x = 2$ 旋转。
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Ex. 89.18Modeling
自行车内胎可以建模为中心半径 $R = 30$ cm、圆形截面半径 $r = 2$ cm的圆环体。使用Pappus定理计算内胎的内部体积（单位：cm³）。
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Ex. 89.19Modeling
矩形区域 $[0, h] \times [0, R]$ 绕x轴旋转。确定得到的立体并计算体积。
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Ex. 89.20Understanding
要计算 $y = f(x)$ 、 $x \in [a,b]$ 绕y轴旋转在 $x$ 中积分产生的体积，哪种方法最自然？
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Ex. 89.21Application
将 $y = x^2$ 在 $[0, 2]$ 上绕y轴旋转（壳）。
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Ex. 89.22Application
$y = x$ 和 $y = x^2$ 在 $[0,1]$ 之间的区域，绕y轴旋转（壳）。
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Ex. 89.23Application
将 $y = \sqrt{x}$ 在 $[0, 1]$ 上绕y轴旋转（壳）。
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Ex. 89.24ApplicationAnswer key
$y = x$ 和 $y = x^2$ 在 $[0,1]$ 之间的区域，绕 $x = 2$ 旋转。
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Ex. 89.25Application
将 $y = e^{-x^2}$ 在 $[0, 1]$ 上绕y轴旋转（壳）。（提示：代换 $u = x^2$ 。）
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Ex. 89.26Understanding
哪个积分表示将 $y = \cos x$ 、 $x \in [0, 1]$ 绕y轴旋转（壳）产生的体积？
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Ex. 89.27ApplicationAnswer key
将 $y = 1/x$ 在 $[1, 3]$ 上绕y轴旋转（壳）。
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Ex. 89.28Application
将 $y = \sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上绕y轴旋转（壳）。（提示：分部积分。）
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Ex. 89.29Application
$y = x^2$ 和 $y = x^3$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域，绕 $x = 1$ 旋转。
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Ex. 89.30Challenge
计算由 $y = x^2$ 和 $y = 4$ 所围区域绕y轴旋转的体积，使用两种方法（在y中的圆盘和在x中的壳）。确认结果一致。
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Ex. 89.31ApplicationAnswer key
一个立体的底在 $[0, \pi]$ 上的x轴，其垂直于x轴的截面是正方形。每个正方形的边长为 $f(x) = \sin x$ 。计算体积。
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Ex. 89.32Application
一个立体的底在x轴的 $[0, 4]$ 上，其垂直于x轴的截面是半圆形。每个半圆的直径为 $y = \sqrt{x}$ 。计算体积。
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Ex. 89.33Proof
通过切片证明，底面为 $A_0$ 、高为 $h$ 的金字塔的体积为 $A_0 h/3$ ，与底面的形状无关。
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Ex. 89.34Modeling
半径 $R = 3$ m的球形水箱装满了水。计算将全部水抽到水箱顶部所需的功（焦耳）。使用 $\rho = 1000$ kg/m³和 $g = 9.8$ m/s²。
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Ex. 89.35UnderstandingAnswer key
关于圆盘法/垫圈法和圆柱壳法的选择，哪个陈述是正确的？
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Ex. 89.36Modeling
一个装饰性花瓶的轮廓由绕y轴旋转 $x = \sqrt{y}$ （cm）生成， $y \in [0, 20]$ cm。计算花瓶的容量，单位mL（1 cm³ = 1 mL）。
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Ex. 89.37Challenge
不使用Pappus定理，通过垫圈法推导圆环体的公式 $V = 2\pi^2 R r^2$ 。
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Ex. 89.38Challenge
**Gabriel号角悖论。**考虑由绕x轴旋转 $y = 1/x$ 、 $x \in [1, +\infty)$ 生成的曲面。(a)计算立体的体积。(b)证明侧面积是无限的。(c)解释该悖论。
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Ex. 89.39Application
$y = x^2$ 和 $y = 1$ 之间的区域，绕 $y = 1$ 旋转。计算体积（位移轴的垫圈）。
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Ex. 89.40Application
将 $y = x^2 + 1$ 在 $[0, 3]$ 上绕y轴旋转（壳）。
Solve online
Ex. 89.41Application
$y = e^x$ 和 $y = x$ 在 $[0, 1]$ 之间的区域，绕x轴旋转（垫圈）。
Solve online
Ex. 89.42Modeling
一个半球形水箱，半径 $R = 2$ m（直径朝上），装有水到 $h = 1$ m的深度。计算水的体积（单位：m³）。
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Ex. 89.43ChallengeAnswer key
$y = \cos x$ 和 $y = \sin x$ 在 $[0, \pi/2]$ 之间的区域，绕x轴旋转。（小心：曲线在 $x = \pi/4$ 相交。）
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Ex. 89.44Challenge
将 $y = \sin(x^2)$ 在 $[0, \pi]$ 上绕y轴旋转（壳）。（提示：代换 $u = x^2$ 。）
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Ex. 89.45Challenge
顶点为 $(0,0)$ 、 $(1,0)$ 、 $(0,1)$ 的三角形绕直线 $x = 2$ 旋转。使用Pappus定理计算体积。直接积分验证。
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来源

Active Calculus — Matt Boelkins、David Austin、Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA。章节§6.2和§6.3。活动练习6.2.1–6.3.7中的习题用于练习列表。
APEX Calculus — Hartman、Heinold、Siemers、Chalishajar · Virginia Military Institute · 2023 · CC-BY-NC。章节§7.2（圆盘法/垫圈法）和§7.3（壳法）。习题ex. 7.2.5–7.2.25和ex. 7.3.5–7.3.9用于练习列表。
OpenStax Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman、Strang等) · Rice University · 2023 · CC-BY-NC-SA。章节§2.2–2.3（体积）和§6.5（物理应用）。习题和例题2.2.50–2.2.92和6.5.258–6.5.262用于练习。

Lição 89 — Volume por fatiamento: discos, anéis e cascas cilíndricas

严格定义和三种方法

Cavalieri原理和切片

圆盘法

垫圈法（washer）

圆柱壳法

位移旋转轴

方法的选择

已解例题

Exercise list

来源