Lição 90 — Consolidação Trim 9 (cálculo integral)

计算 $\int (6x^2 - 5)\,dx$。

计算 $\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x)\,dx$。

计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$。

计算 $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$。

设 $G(x) = \displaystyle\int_1^x (t^2 - 3t)\,dt$。确定 $G'(x)$。

$f(x) = 3x^2$ 的一般反导数是什么？

计算 $\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}\,dx$。

假设FTC1作为出发点，证明FTC2。

计算 $\int (x^3 + 1)^4 \cdot x^2\,dx$。

计算 $\int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx$。

计算 $\displaystyle\int_0^1 x e^{x^2}\,dx$。

计算 $\int \sin(e^x)\,e^x\,dx$。

计算 $\int \frac{1}{\sqrt{x + 3}}\,dx$。

对于 $\int 2x(x^2 + 1)^3\,dx$，哪个替换是适当的？

计算 $\int \sin^3 x\,dx$。

使用三角替换 $x = \sin\theta$ 计算 $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$。

计算 $\int x e^x\,dx$。

计算 $\int \ln x\,dx$。

计算 $\int \arctan x\,dx$。

计算 $\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx$。

计算 $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - x - 2}\,dx$。（先分解分母。）

计算 $\displaystyle\int \frac{x}{x^2 - 4}\,dx$。

计算 $\int x^2 \cos x\,dx$。

使用"回到自身"的积分技巧计算 $\int e^x \sin x\,dx$。

从乘积法则证明分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$。

计算由 $y = x + 2$ 和 $y = x^2$ 围成的区域的面积。

计算 $y = \sin x$ 和 $y = \cos x$ 在 $[0, \pi]$ 上之间的面积。

计算由 $y = e^{-x}$、$x \in [0, 2]$ 绕 $x$ 轴旋转生成的立体体积。

计算由 $y = x$ 和 $y = x^2$（$x \in [0,1]$）绕 $x$ 轴旋转的立体体积。

通过圆柱壳法计算由 $y = 1 - x^2$、$x \in [0, 1]$ 绕 $y$ 轴旋转生成的立体体积。

计算由 $y = \ln x$、$x \in [1, e]$ 绕 $y$ 轴旋转生成的体积（圆柱壳）。结合分部法和替换。

何时用圆柱壳而不是圆盘来计算体积更可取？

计算 $y = x$ 和 $y = x^3$ 在 $[-1, 1]$ 上之间的面积。

活塞上的力是 $F(x) = xe^{-x}$ N，对 $x \in [0, 5]$ m。计算做功。

Gabriel喇叭：$y = 1/x$ 在 $[1, \infty)$ 绕 $x$ 轴旋转。证明体积是 $\pi$ 并讨论表面积为何无限。

使用替换证明对 $n \in \mathbb{N}$，$\displaystyle\int_0^1 (1-x)^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}$。

对所有 $n \in \mathbb{N}$，证明 $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin^2(nx)\,dx = \dfrac{\pi}{2}$。

用极坐标的思路演示（概要）$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$。

积分 $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$：收敛还是发散？

计算 $\displaystyle\int_0^1 x \arctan x\,dx$。