Lição 2 — Funções: definição, domínio, imagem

1. Identifique o tipo de restrição. A expressão envolve $\sqrt{x - 5}$. Raiz quadrada de número real negativo não existe em $\mathbb{R}$; só existe quando o radicando é maior ou igual a zero.
2. Escreva a inequação. A condição é $x - 5 \geq 0$. Isole $x$ somando 5: $x \geq 5$.
3. Verifique a borda. Em $x = 5$, $\sqrt{0} = 0$ — definido. Logo o ponto entra no domínio (colchete fechado).
4. Escreva em intervalo. Domínio = $[5, +\infty)$.
5. Sanity check. Teste $x = 9$: $\sqrt{4} = 2$. ✓ Teste $x = 4$: $\sqrt{-1}$, fora dos reais. ✓

Macete: para $\sqrt{\text{algo}}$, a regra é "algo $\geq 0$". Para $1/\sqrt{\text{algo}}$, sobe para "algo $> 0$" — o estrito vem do denominador não poder ser zero.

1. Identifique a restrição. A função $f(x) = 1/[(x+2)(x-3)]$ só tem problema quando o denominador é zero (divisão por zero é indefinida).
2. Resolva o denominador igual a zero. $(x + 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ ou $x = 3$.
3. Exclua esses dois pontos do domínio. Domínio = $\mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}$.
4. Reescreva como união de intervalos. A reta real, com 2 buracos, vira 3 intervalos abertos: $(-\infty, -2) \cup (-2, 3) \cup (3, +\infty)$.
5. Sanity check. $x = 0$: $f(0) = 1/[(2)(-3)] = -1/6$, definida ✓. $x = -2$: divisão por zero ✓ excluída. $x = 3$: divisão por zero ✓ excluída.

Macete: para função racional $P(x)/Q(x)$, o domínio é $\mathbb{R}$ menos os zeros de $Q(x)$. Sempre fatore o denominador para identificá-los.

1. Avalie em $x = 2$. Substitua: $f(2) = 2 \cdot (2)^2 + 2 = 2 \cdot 4 + 2 = 8 + 2 = 10$. Atenção: o expoente se aplica só ao $x$, não ao coeficiente 2.
2. Avalie em $x = -1$. $f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + 2 = 2 \cdot 1 + 2 = 4$. Cuidado: $(-1)^2 = +1$, não $-1$. Elevar negativo a expoente par sempre dá positivo.
3. Avalie em $x = 0$. $f(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Sempre que $x = 0$ num polinômio, a única parcela que sobra é o coeficiente independente — útil como sanity check.
4. Identifique o distrator comum. A opção "(b)" troca $f(-1) = 4$ por $-2$, erro clássico de esquecer que $(-1)^2 = 1$, não $-1$.

Macete: ao avaliar $f(c)$, coloque o valor entre parênteses antes de qualquer operação: escreva $f(-1) = 2(-1)^2 + 2$, não $2 - 1^2 + 2$. Os parênteses salvam você de erros de sinal.

1. Pergunte: que valores pode $g(x) = x^2$ assumir? O quadrado de qualquer número real é não negativo: $x^2 \geq 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Então a imagem está contida em $[0, +\infty)$.
2. Verifique se cada valor não negativo é atingido. Dado $y \geq 0$, existe $x = \sqrt{y} \geq 0$ tal que $g(x) = (\sqrt{y})^2 = y$. Portanto todo valor de $[0, +\infty)$ é atingido.
3. Conclua. Imagem = $[0, +\infty)$. Note que 0 está incluído ($g(0) = 0$), portanto colchete fechado, não parêntese.
4. Por que não é $\mathbb{R}$? Valores negativos não são atingidos — não existe número real cujo quadrado seja negativo. Por isso $\mathbb{R}$ é um distrator errado.

Atalho mental: a imagem de uma função é o conjunto dos "y que têm endereço". Para provar que $y_0$ está na imagem, exiba um $x_0$ com $g(x_0) = y_0$. Para provar que não está, demonstre que nenhum $x$ funciona.

1. Leia a notação. $(f \circ g)(x)$ significa "aplique $g$ primeiro a $x$, depois aplique $f$ ao resultado". A direita-pra-esquerda é o padrão funcional.
2. Calcule $g(x)$. A função interna é $g(x) = x + 1$.
3. Substitua em $f$. Onde aparecer a variável de $f$, coloque $(x + 1)$: $f(x+1) = (x+1)^2$.
4. Expanda (opcional). $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ — a forma fatorada e a expandida representam a mesma função.
5. Sanity check. Em $x = 0$: $g(0) = 1$, $f(1) = 1$. Pela fórmula, $(0 + 1)^2 = 1$. ✓

Macete: tudo que aparece como $x$ em $f$ vira o "miolo" $g(x)$ — basta reescrever sem trocar a estrutura.

1. Verifique invertibilidade. $f(x) = 3x + 1$ é afim com $a = 3 \neq 0$ — bijetora em $\mathbb{R}$, portanto tem inversa global.
2. Escreva $y = f(x)$. $y = 3x + 1$.
3. Isole $x$ em função de $y$. Subtraia 1: $y - 1 = 3x$. Divida por 3: $x = (y - 1)/3$.
4. Renomeie. A inversa é $f^{-1}(y) = (y - 1)/3$. (Em livros americanos, costuma-se trocar $y$ por $x$: $f^{-1}(x) = (x - 1)/3$.)
5. Verifique pela composição. $f(f^{-1}(y)) = 3 \cdot (y-1)/3 + 1 = y - 1 + 1 = y$ ✓. E $f^{-1}(f(x)) = (3x + 1 - 1)/3 = x$ ✓.

Macete: a inversa de uma afim $y = ax + b$ é sempre $f^{-1}(y) = (y - b)/a$. Inclinação da inversa = $1/a$ (recíproco). Geometricamente, gráfico da inversa = reflexão do original sobre a reta $y = x$.

1. Leia a equação de composição. $(f \circ g)(x) = 3x + 4$ com $g(x) = x - 1$ significa $f(x - 1) = 3x + 4$. O argumento de $f$ é $x - 1$, não $x$.
2. Faça substituição de variável. Nomeie $u = x - 1$. Então $x = u + 1$. Reescreva: $f(u) = 3(u + 1) + 4 = 3u + 3 + 4 = 3u + 7$.
3. Troque $u$ de volta para $x$. $f(x) = 3x + 7$. Esse é o resultado — uma função afim.
4. Verifique pela composição. $f(g(x)) = f(x-1) = 3(x-1) + 7 = 3x - 3 + 7 = 3x + 4$. ✓ Confere com o dado.

Macete: para encontrar $f$ a partir de $f \circ g$ e $g$, chame o argumento de $f$ de $u$, expresse $x$ em função de $u$, e substitua. A direção é sempre: isolar a variável "de dentro".

1. Identifique as duas obrigações. Provar que $f \circ g$ é bijetora exige duas coisas separadas: ela é injetora e ela é sobrejetora. Atacamos uma de cada vez.
2. Injetividade. Suponha $(f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2)$, isto é, $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$. Use a injetividade de $f$ para concluir $g(x_1) = g(x_2)$. Use a injetividade de $g$ para concluir $x_1 = x_2$. Logo $f \circ g$ é injetora.
3. Sobrejetividade. Tome $z$ qualquer no contradomínio de $f \circ g$. Pela sobrejetividade de $f$, existe $y$ com $f(y) = z$. Pela sobrejetividade de $g$, existe $x$ com $g(x) = y$. Combinando: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(y) = z$. Encontramos um pré-imagem para qualquer $z$; logo, sobrejetora.
4. Conclua. Injetora + sobrejetora = bijetora. $\square$

Observação: a recíproca também vale (se $f \circ g$ é bijetora então $g$ é injetora e $f$ é sobrejetora) — exercício comum em Análise.

1. Liste as restrições. A função tem dois pontos sensíveis: o radicando da raiz (no numerador) e o denominador.
2. Restrição da raiz. $9 - x^2 \geq 0$. Isso vira $x^2 \leq 9$, ou seja, $-3 \leq x \leq 3$. Em intervalo: $[-3, 3]$.
3. Restrição do denominador. O denominador é apenas $x$, então $x \neq 0$.
4. Interseção. Tomar $[-3, 3]$ e remover o ponto $0$: $[-3, 0) \cup (0, 3]$. Os extremos $\pm 3$ entram (raiz dá zero, mas a divisão fica 0 dividido por $\pm 3$ = 0, válido).
5. Sanity check. $x = 1$: $\sqrt{8}/1 = 2\sqrt{2}$. ✓ $x = 0$: divisão por zero. ✓ excluído. $x = -3$: $0/(-3) = 0$. ✓ incluído.

Macete: domínio de quociente é "interseção das restrições do numerador e do denominador, removendo zeros do denominador". Sempre liste as restrições antes de fazer a interseção — pular essa etapa é a fonte mais comum de erro.

1. Lembre as definições. Função par: $f(-x) = f(x)$ (gráfico simétrico em relação ao eixo $y$). Função ímpar: $f(-x) = -f(x)$ (gráfico simétrico em relação à origem). Senão, é nem par nem ímpar.
2. (a) $f(x) = x^4 - x^2$. Calcule $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 = f(x)$. Logo par. (Todo polinômio só com expoentes pares é par.)
3. (b) $g(x) = x^3 + x$. $g(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -g(x)$. Logo ímpar. (Polinômio só com expoentes ímpares é ímpar.)
4. (c) $h(x) = x^2 + x$. $h(-x) = x^2 - x$. Comparar com $h(x) = x^2 + x$: diferentes (não par). Comparar com $-h(x) = -x^2 - x$: também diferentes (não ímpar). Logo nem par nem ímpar — a mistura de expoentes par e ímpar quebra a simetria.
5. Sanity check geométrico. Esboce mentalmente: (a) parábola dupla simétrica no eixo y; (b) cúbica passando pela origem com simetria de 180°; (c) curva sem simetria especial.

Macete: para polinômio, basta olhar paridade dos expoentes. Termos só pares ⟹ par. Só ímpares ⟹ ímpar. Mistura ⟹ nem par nem ímpar. Funções como $\cos x$ são pares; $\sin x, \tan x$ são ímpares — propriedade explorada em séries de Fourier (Trim 11).

1. Lembre a fórmula. O Índice de Massa Corporal é definido pela OMS como $\text{IMC} = m / h^2$, com $m$ em kg e $h$ em metros — atenção à unidade de altura, é o erro mais comum.
2. Calcule o quadrado da altura. $(1,75)^2 = 3,0625$ m². (Vale a pena fazer esse passo separado para evitar errar na divisão.)
3. Divida. $70 / 3,0625 \approx 22,857$. Arredonde para uma casa decimal: 22,9 kg/m².
4. Classifique pelas faixas da OMS. Abaixo do peso: $< 18,5$. Normal: $[18,5,\ 25)$. Sobrepeso: $[25,\ 30)$. Obesidade: $\geq 30$. Como $22,9 \in [18,5,\ 25)$, está na faixa normal.
5. Análise crítica. O IMC é uma aproximação populacional; não distingue massa muscular de gordura. Atletas frequentemente caem na faixa "sobrepeso" sem qualquer problema clínico. Use sempre em conjunto com outras métricas.

Observação: o IMC é função de duas variáveis ($m, h$), exemplo concreto de função de domínio em $(0, +\infty)^2$. Em Cálculo 2 (Trim 7) você verá como derivá-la parcialmente em cada variável.

1. (a) Custo fixo. O custo fixo é o custo quando não se produz nada: $C(0) = 100 + 0 + 0 = 100$ reais. Corresponde ao coeficiente independente da função.
2. (b) Custo total em $q = 50$. Substitua: $C(50) = 100 + 8(50) + 0{,}1(50)^2 = 100 + 400 + 250 = 750$ reais.
3. (b) Custo médio. Divida o custo total pela quantidade: $\bar{C}(50) = 750/50 = 15$ reais por unidade.
4. (c) Custo marginal. O custo marginal da 51.ª unidade é a diferença $C(51) - C(50)$. Calcule $C(51) = 100 + 408 + 0{,}1 \cdot 2601 = 100 + 408 + 260{,}1 = 768{,}1$. Logo custo marginal $= 768{,}1 - 750 = 18{,}1$ reais.
5. Interpretação econômica. Custo médio (15 reais/u) é o preço mínimo de venda para não ter prejuízo. Custo marginal (18,1 reais) é o custo de produzir uma unidade adicional — maior que a média porque a parte $0{,}1q^2$ cresce aceleradamente.