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Lição 3 — Funções afins (1.º grau)

Função afim f(x) = ax + b. Inclinação como taxa de variação CONSTANTE — ponte conceitual para derivada.

Used in: 1.º ano EM

f(x)=ax+bf(x) = ax + b

Função afim: o coeficiente a é a taxa de variação (quanto y muda quando x cresce 1 unidade). O b é o valor de y quando x = 0. Quando b = 0, é função linear. Quando a = 0, é função constante.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e propriedades

  • aa: coeficiente angular (slope, inclinação)
  • bb: coeficiente linear (intercepto em y)
  • Gráfico: reta. a>0a > 0: crescente. a<0a < 0: decrescente. a=0a = 0: constante.
f(x2)−f(x1)x2−x1=a\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = a
(1)
what this means · Taxa de variação entre dois pontos da reta. Para função afim, esse valor é CONSTANTE — não depende de qual par de pontos você escolha. É essa constância que caracteriza a função afim entre todas as outras.

"A inclinação de uma reta que passa por dois pontos (x1,y1)(x_1, y_1) e (x2,y2)(x_2, y_2) é m=(y2−y1)/(x2−x1)m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)." — OpenStax College Algebra 2e, §2.2

Zero da função e intercepto

f(x)=0  ⟺  x=−b/af(x) = 0 \iff x = -b/a (quando a≠0a \neq 0). O par (0,b)(0, b) é o intercepto vertical. O par (−b/a,0)(-b/a, 0) é o zero (ou intercepto horizontal).

Teorema da unicidade por dois pontos

Prova (esboço). Existência: defina aa pela fórmula acima e b=y1−ax1b = y_1 - a x_1. Verifica-se f(x1)=y1f(x_1) = y_1 por construção, e f(x2)=a(x2−x1)+y1=(y2−y1)+y1=y2f(x_2) = a(x_2 - x_1) + y_1 = (y_2 - y_1) + y_1 = y_2. Unicidade: se g(x)=a′x+b′g(x) = a' x + b' também satisfaz g(xi)=yig(x_i) = y_i, então a′=(y2−y1)/(x2−x1)=aa' = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = a e b′=y1−a′x1=bb' = y_1 - a' x_1 = b. ∎

Composição e operações

Sejam f(x)=a1x+b1f(x) = a_1 x + b_1 e g(x)=a2x+b2g(x) = a_2 x + b_2. Então:

  • Soma: (f+g)(x)=(a1+a2)x+(b1+b2)(f + g)(x) = (a_1 + a_2) x + (b_1 + b_2) — afim, com inclinações somadas.
  • Composição: (f∘g)(x)=a1(a2x+b2)+b1=a1a2x+(a1b2+b1)(f \circ g)(x) = a_1 (a_2 x + b_2) + b_1 = a_1 a_2 x + (a_1 b_2 + b_1) — afim, com inclinações multiplicadas.
  • Inversa (se a1≠0a_1 \neq 0): f−1(y)=(y−b1)/a1f^{-1}(y) = (y - b_1)/a_1 — também afim, com inclinação 1/a11/a_1.

O conjunto das funções afins invertíveis (a≠0a \neq 0) com a operação de composição forma um grupo — a estrutura (R∗×R,∘)(\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}, \circ). Essa observação será usada em álgebra linear (Aula 31+) e em geometria afim.

Família de retas paralelas

xyb=-3b=-2b=-1b=0b=1b=2b=3y = x + ba fixo, b varia

Família de retas com mesma inclinação a = 1 e diferentes interceptos b. Translação vertical: mudar b só desloca a reta para cima ou para baixo, sem girar.

Família de retas concorrentes

xya=0.3a=1a=2a=-1a=-2.5(0, 1)y = ax + 1b fixo, a varia

Família com mesmo intercepto (0, 1) e inclinações diferentes — todas se cruzam nesse ponto. Rotação: mudar a gira a reta em torno do intercepto.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da avaliação direta de uma reta dada à modelagem de um break-even de planos de internet. Cada exemplo cita a fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 9Modeling 18Challenge 1Proof 1
  1. Ex. 3.1ApplicationAnswer key

    Para f(x)=3x+1f(x) = 3x + 1, calcule f(2)f(2).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §3.1
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    f(2)=3(2)+1=6+1=7f(2) = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7.
  2. Ex. 3.2Application

    Qual o coeficiente angular de f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
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    Em f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5, comparando com ax+bax + b: a=2a = 2.
  3. Ex. 3.3ApplicationAnswer key

    Qual o coeficiente linear de f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5?

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    Em f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5: b=−5b = -5 (intercepto vertical).
  4. Ex. 3.4Application

    Encontre o zero de f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
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    2x−5=0⇒x=5/22x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5/2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Defina o que é "zero". O zero de uma função é o valor de xx em que f(x)=0f(x) = 0. Geometricamente, é onde a reta cruza o eixo xx.
    2. Iguale a função a zero. 2x−5=02x - 5 = 0.
    3. Isole xx. Some 5 nos dois lados: 2x=52x = 5. Divida por 2: x=5/2x = 5/2.
    4. Sanity check. f(5/2)=2(5/2)−5=5−5=0f(5/2) = 2(5/2) - 5 = 5 - 5 = 0. ✓

    Macete: para qualquer afim f(x)=ax+bf(x) = ax + b, o zero é x0=−b/ax_0 = -b/a. Memorize esta fórmula direta — economiza um passo de manipulação.

  5. Ex. 3.5Application

    f(x)=4x+3f(x) = 4x + 3 é crescente, decrescente ou constante?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §5.1
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    Coeficiente angular a=4>0a = 4 > 0: a função é estritamente crescente.
  6. Ex. 3.6Application

    g(x)=−2x+7g(x) = -2x + 7 é crescente, decrescente ou constante?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §5.1
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    a=−2<0a = -2 < 0: estritamente decrescente.
  7. Ex. 3.7ApplicationAnswer key

    Determine a equação da reta que passa por (0,1)(0, 1) e (2,5)(2, 5).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
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    Coef. angular: a=(5−1)/(2−0)=2a = (5 - 1)/(2 - 0) = 2. Linear: b=1b = 1 (passa por (0,1)(0, 1)). Logo y=2x+1y = 2x + 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique os pontos. Você tem (x1,y1)=(0,1)(x_1, y_1) = (0, 1) e (x2,y2)=(2,5)(x_2, y_2) = (2, 5). A reta única que passa por dois pontos distintos é determinada pela inclinação e intercepto.
    2. Calcule a inclinação. Pela fórmula a=(y2−y1)/(x2−x1)=(5−1)/(2−0)=4/2=2a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1) = (5 - 1)/(2 - 0) = 4/2 = 2. A reta sobe 2 unidades em y para cada 1 unidade em x.
    3. Encontre o intercepto. Como (0,1)(0, 1) está na reta, o intercepto vertical é diretamente b=1b = 1. (Se nenhum dos pontos estivesse no eixo y, usaríamos b=y1−ax1b = y_1 - a x_1.)
    4. Escreva a equação. y=ax+b=2x+1y = ax + b = 2x + 1.
    5. Sanity check. Em x=2x = 2: y=4+1=5y = 4 + 1 = 5 ✓. Em x=0x = 0: y=1y = 1 ✓. Confere com os dois pontos dados.

    Macete: se um dos pontos tem x=0x = 0, o intercepto vem de graça. Sempre escolha esse ponto para reduzir o trabalho aritmético.

  8. Ex. 3.8Application

    Determine a equação da reta que passa por (1,4)(1, 4) e (3,−2)(3, -2).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
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    a=(−2−4)/(3−1)=−6/2=−3a = (-2 - 4)/(3 - 1) = -6/2 = -3. Usando (1,4)(1, 4): 4=−3(1)+b⇒b=74 = -3(1) + b \Rightarrow b = 7. Equação: y=−3x+7y = -3x + 7.
  9. Ex. 3.9Understanding

    Mostre que a taxa de variação (f(x2)−f(x1))/(x2−x1)(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) de f(x)=ax+bf(x) = ax + b é constante e igual a aa.

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    Active Calculus · §1.3
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    Para f(x)=ax+bf(x) = ax + b: (f(x2)−f(x1))/(x2−x1)=(ax2+b−ax1−b)/(x2−x1)=a(x2−x1)/(x2−x1)=a(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) = (ax_2 + b - ax_1 - b)/(x_2 - x_1) = a(x_2 - x_1)/(x_2 - x_1) = a. Constância da taxa de variação caracteriza a função afim.
  10. Ex. 3.10Understanding

    Encontre uma reta perpendicular a y=3x+1y = 3x + 1 que passe por (0,0)(0, 0).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
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    Perpendicular: produto das inclinações = -1. 3⋅a′=−1⇒a′=−1/33 \cdot a' = -1 \Rightarrow a' = -1/3. Passando por (0,0)(0, 0): b=0b = 0. Equação: y=−x/3y = -x/3.
  11. Ex. 3.11Modeling

    A conta de luz tem cobrança fixa de R$ 15,00 + R$ 0,80/kWh. (a) Modele C(k)C(k). (b) Quanto custa consumir 250 kWh? (c) Para qual consumo a conta atinge R$ 200?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    (a) Custo fixo + variável: C(k)=15+0,80 kC(k) = 15 + 0,80\,k. (b) C(250)=15+200=215C(250) = 15 + 200 = 215. (c) 200=15+0,80 k⇒k=185/0,80=231,25200 = 15 + 0,80\,k \Rightarrow k = 185/0,80 = 231,25 kWh.
  12. Ex. 3.12Modeling

    F=1,8C+32F = 1{,}8C + 32. (a) 20°C em °F? (b) 100°F em °C? (c) Existe T com C=FC = F?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    (a) F=1,8⋅20+32=36+32=68F = 1,8 \cdot 20 + 32 = 36 + 32 = 68°F. (b) 100=1,8C+32⇒C=68/1,8≈37,78100 = 1,8 C + 32 \Rightarrow C = 68/1,8 \approx 37,78°C. (c) C=F=1,8C+32⇒−0,8C=32⇒C=−40C = F = 1,8 C + 32 \Rightarrow -0,8 C = 32 \Rightarrow C = -40. Em −40-40°, escalas se igualam.
  13. Ex. 3.13ModelingAnswer key

    Cidade tinha 1500 habitantes em 2020 e cresceu linearmente até 2500 em 2025. (a) Modele P(t)P(t) tomando t=0t = 0 em 2020. (b) Em qual ano a população atingirá 4000?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Crescimento linear: 1000 habitantes em 5 anos → 200/ano. P(t)=1500+200tP(t) = 1500 + 200 t. 4000=1500+200t⇒t=12,54000 = 1500 + 200 t \Rightarrow t = 12,5, ou seja, ano 2020 + 12,5 = 2032,5 (meados de 2032).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a estrutura linear. "Cresceu linearmente" significa taxa de variação constante: aa habitantes por ano. Logo P(t)=at+bP(t) = at + b.
    2. Calcule aa. Variou de 1500 (em 2020, t=0t = 0) para 2500 (em 2025, t=5t = 5). Logo a=(2500−1500)/(5−0)=200a = (2500 - 1500)/(5 - 0) = 200 hab./ano.
    3. Encontre bb. Em t=0t = 0, P=1500P = 1500, então b=1500b = 1500.
    4. Modelo. P(t)=1500+200tP(t) = 1500 + 200 t.
    5. Resolva P(t)=4000P(t) = 4000. 1500+200t=4000⇒t=2500/200=12,51500 + 200 t = 4000 \Rightarrow t = 2500/200 = 12,5.
    6. Interprete. Ano correspondente: 2020+12,5=2032,52020 + 12,5 = 2032,5 — primeira metade de 2032 (mês ~6).

    Observação: o modelo linear extrapola sem limite. Em demografia real, o crescimento é limitado por recursos (modelo logístico). Sempre questione o domínio de validade do modelo — é a primeira pergunta de modelagem profissional.

  14. Ex. 3.14Challenge

    Carro A parte da posição 0 m a 30 m/s. Carro B parte simultaneamente da posição 200 m a 25 m/s, na mesma direção. Em que instante e posição se encontram?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §5.1
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    Posições: sA(t)=30ts_A(t) = 30 t e sB(t)=200+25ts_B(t) = 200 + 25 t. Igualando: 30t=200+25t⇒5t=200⇒t=4030 t = 200 + 25 t \Rightarrow 5 t = 200 \Rightarrow t = 40 s. Posição: sA(40)=1200s_A(40) = 1200 m.
  15. Ex. 3.15Proof

    Demonstre: a composição de duas funções afins é também afim.

    Hammack — Book of Proof · §12
    Show solution
    Sejam f(x)=ax+bf(x) = ax+b e g(x)=cx+dg(x) = cx+d. Então (f∘g)(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)(f \circ g)(x) = a(cx+d) + b = acx + (ad+b), que é afim com coeficiente angular acac e linear ad+bad+b. ∎
  16. Ex. 3.16Application

    Determine a equação da reta que passa por (3,5)(3, 5) e (1,1)(1, 1).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
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    a=(5−1)/(3−1)=2a = (5 - 1)/(3 - 1) = 2. Usando (1,1)(1, 1): b=1−2(1)=−1b = 1 - 2(1) = -1.
  17. Ex. 3.17Application

    Determine a equação da reta que passa por (−2,4)(-2, 4) e (3,−6)(3, -6).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
    Show solution
    a=(−6−4)/(3−(−2))=−10/5=−2a = (-6 - 4)/(3 - (-2)) = -10/5 = -2. Usando (−2,4)(-2, 4): b=4−(−2)(−2)=4−4=0b = 4 - (-2)(-2) = 4 - 4 = 0. y=−2xy = -2x.
  18. Ex. 3.18Application

    Reta paralela a y=3x+1y = 3x + 1 e passando por (0,5)(0, 5).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
    Show solution
    Paralela: mesma inclinação a=3a = 3. Por (0,5)(0, 5): b=5b = 5.
  19. Ex. 3.19ApplicationAnswer key

    Reta perpendicular a y=2x−3y = 2x - 3 e passando por (2,3)(2, 3).

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
    Show solution
    Perpendicular: a′=−1/2a' = -1/2. Por (2,3)(2, 3): b=3−(−1/2)(2)=4b = 3 - (-1/2)(2) = 4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a inclinação da reta original. Em y=2x−3y = 2x - 3: a=2a = 2.
    2. Aplique a regra de perpendicularidade. Duas retas y=ax+by = ax + b e y=a′x+b′y = a'x + b' são perpendiculares se e só se a⋅a′=−1a \cdot a' = -1. Logo a′=−1/a=−1/2a' = -1/a = -1/2.
    3. Use o ponto para encontrar b′b'. A reta nova passa por (2,3)(2, 3): 3=(−1/2)(2)+b′⇒b′=3+1=43 = (-1/2)(2) + b' \Rightarrow b' = 3 + 1 = 4.
    4. Escreva a equação. y=−x/2+4y = -x/2 + 4.
    5. Sanity check. Em x=2x = 2: y=−1+4=3y = -1 + 4 = 3 ✓. Produto das inclinações: 2⋅(−1/2)=−12 \cdot (-1/2) = -1 ✓.

    Observação. A condição a⋅a′=−1a \cdot a' = -1 falha para retas verticais — uma reta vertical (x=cx = c) é perpendicular a uma horizontal (y=ky = k), mas a inclinação vertical é "infinita" e a regra do produto não se aplica.

  20. Ex. 3.20ApplicationAnswer key

    Determine aa tal que y=ax+2y = ax + 2 e y=4x−5y = 4x - 5 sejam paralelas.

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §2.1
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    Retas paralelas têm mesma inclinação. a=4a = 4.
  21. Ex. 3.21Application

    Determine aa tal que y=ax+2y = ax + 2 e y=4x−5y = 4x - 5 sejam perpendiculares.

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §2.1
    Show solution
    Perpendiculares: produto das inclinações = -1. a⋅4=−1⇒a=−1/4a \cdot 4 = -1 \Rightarrow a = -1/4.
  22. Ex. 3.22Application

    Determine o ponto de interseção de y=2x−3y = 2x - 3 e y=−x+3y = -x + 3.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
    Show solution
    Igualando: 2x−3=−x+3⇒3x=6⇒x=22x - 3 = -x + 3 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2. Substituindo: y=2(2)−3=1y = 2(2) - 3 = 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Defina o problema. O ponto de interseção de duas retas é o par (x,y)(x, y) que satisfaz simultaneamente as duas equações.
    2. Iguale os yy. Como ambas dão o mesmo yy no ponto comum, escreva 2x−3=−x+32x - 3 = -x + 3.
    3. Resolva para xx. Some xx nos dois lados: 3x−3=33x - 3 = 3. Some 3: 3x=6⇒x=23x = 6 \Rightarrow x = 2.
    4. Encontre yy. Substitua em qualquer uma das equações: y=2(2)−3=1y = 2(2) - 3 = 1. Verifique na outra: y=−2+3=1y = -2 + 3 = 1 ✓.
    5. Resposta. (2,1)(2, 1).

    Macete: se as duas retas têm a mesma inclinação, são paralelas (sem interseção, exceto se coincidirem). Sempre verifique se a1≠a2a_1 \neq a_2 antes de igualar — caso contrário, a equação a1x+b1=a2x+b2a_1 x + b_1 = a_2 x + b_2 reduz-se a b1=b2b_1 = b_2 (impossível ou identidade).

  23. Ex. 3.23Application

    A reta rr passa por (0,4)(0, 4) e é perpendicular à reta 3x+y−6=03x + y - 6 = 0. Determine sua equação.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
    Show solution
    Reta original em forma reduzida: y=−3x+6y = -3x + 6, inclinação −3-3. Perpendicular: a′=1/3a' = 1/3. Por (0,4)(0, 4): b=4b = 4.
  24. Ex. 3.24Understanding

    Mostre que três pontos (0,1)(0, 1), (2,5)(2, 5), (5,11)(5, 11) são colineares.

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    OpenStax College Algebra 2e · §2.1
    Show solution
    Reta por (0,1)(0, 1) e (2,5)(2, 5): y=2x+1y = 2x + 1. Verifique (5,11)(5, 11): 2(5)+1=112(5) + 1 = 11. ✓ Colineares.
  25. Ex. 3.25Understanding

    Para qual valor de kk os pontos (1,2)(1, 2), (3,k)(3, k) e (5,12)(5, 12) são colineares?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.2
    Show solution
    Reta por (1,2)(1, 2) e (5,12)(5, 12): a=10/4=5/2a = 10/4 = 5/2. Para (3,k)(3, k): k=2+(5/2)(3−1)=2+5=7k = 2 + (5/2)(3 - 1) = 2 + 5 = 7.
  26. Ex. 3.26Understanding

    Encontre a distância da origem à reta 3x−4y+12=03x - 4y + 12 = 0.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §2.1
    Show solution
    Fórmula: d=∣Ax0+By0+C∣/A2+B2d = |Ax_0 + By_0 + C|/\sqrt{A^2+B^2}. Para origem (0,0)(0,0): d=∣12∣/9+16=12/5=2,4d = |12|/\sqrt{9 + 16} = 12/5 = 2,4.
  27. Ex. 3.27Understanding

    A reta y=2x−5y = 2x - 5 é tangente, secante ou exterior à circunferência x2+y2=4x^2 + y^2 = 4?

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §7.2
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    Substitua y=2x−5y = 2x - 5 em x2+y2=4x^2 + y^2 = 4: x2+(2x−5)2=4⇒5x2−20x+21=0x^2 + (2x-5)^2 = 4 \Rightarrow 5x^2 - 20x + 21 = 0. Δ=400−420=−20<0\Delta = 400 - 420 = -20 < 0. Sem interseção: exterior.
  28. Ex. 3.28Understanding

    Esboce f(x)=∣2x−4∣f(x) = |2x - 4| a partir de ∣x∣|x|.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §3.5
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    ∣2x−4∣=2∣x−2∣|2x - 4| = 2|x - 2|. Vértice em x=2x = 2, abertura mais "estreita" que ∣x∣|x| por fator 2.
  29. Ex. 3.29UnderstandingAnswer key

    Mostre que f(x)=ax+bf(x) = ax + b é injetora se e somente se a≠0a \neq 0.

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    OpenStax College Algebra 2e · §3.7
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    Se a=0a = 0, função é constante (não-injetora). Se a≠0a \neq 0, f(x1)=f(x2)⇒ax1+b=ax2+b⇒x1=x2f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow ax_1 + b = ax_2 + b \Rightarrow x_1 = x_2 (injetora).
  30. Ex. 3.30Understanding

    Calcule o ângulo entre as retas y=x+1y = x + 1 e y=3x−2y = 3x - 2.

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §10.6
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    Fórmula: tan⁡θ=∣m1−m2∣/(1+m1m2)=∣1−3∣/(1+3)=2/4=1/2\tan\theta = |m_1 - m_2|/(1 + m_1 m_2) = |1 - 3|/(1 + 3) = 2/4 = 1/2. θ=arctan⁡(1/2)≈26,6°\theta = \arctan(1/2) \approx 26,6°.
  31. Ex. 3.31ModelingAnswer key

    Um táxi cobra R$ 5,00 fixos e R$ 2,80/km. Modele a tarifa T(d)T(d) e calcule para 6 km.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    T(d)=5+2,80dT(d) = 5 + 2,80 d. T(6)=5+16,80=21,80T(6) = 5 + 16,80 = 21,80 reais.
  32. Ex. 3.32Modeling

    Conta de água: R$ 25 fixo + R$ 4,50/m³. Para qual consumo a conta excede R$ 100?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    C(k)=25+4,50k>100⇒4,50k>75⇒k>75/4,5≈16,67C(k) = 25 + 4,50 k > 100 \Rightarrow 4,50 k > 75 \Rightarrow k > 75/4,5 \approx 16,67 m³.
  33. Ex. 3.33Modeling

    Operadora 1: R$ 30 fixo + R$ 0,40/min. Operadora 2: R$ 50 fixo + R$ 0,15/min. A partir de quantos minutos a 2.ª é mais barata?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Igualar: 30+0,40m=50+0,15m⇒0,25m=20⇒m=8030 + 0,40 m = 50 + 0,15 m \Rightarrow 0,25 m = 20 \Rightarrow m = 80. Acima de 80 min, a 2.ª opera é mais barata.
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    1. Modele cada plano. Plano 1: C1(m)=30+0,40mC_1(m) = 30 + 0,40 m. Plano 2: C2(m)=50+0,15mC_2(m) = 50 + 0,15 m. Ambos são afins; o segundo tem fixa maior, mas variável menor — é o padrão típico de "plano premium".
    2. Encontre o break-even. Igualar os custos: 30+0,40m=50+0,15m30 + 0,40 m = 50 + 0,15 m. Isolar mm: 0,40m−0,15m=50−30⇒0,25m=20⇒m=800,40 m - 0,15 m = 50 - 30 \Rightarrow 0,25 m = 20 \Rightarrow m = 80.
    3. Decida qual é mais barato em qual região. Em m=0m = 0, C1=30C_1 = 30 e C2=50C_2 = 50; o plano 1 é mais barato. À medida que mm cresce, C1C_1 cresce mais rápido (inclinação 0,40 vs. 0,15). No break-even (80 min), ambos custam o mesmo. Acima disso, plano 2 é mais barato.
    4. Sanity check. Em m=100m = 100: C1=70C_1 = 70 reais, C2=65C_2 = 65 reais. ✓ Plano 2 mais barato. Em m=50m = 50: C1=50C_1 = 50, C2=57,50C_2 = 57,50. ✓ Plano 1 mais barato.
    5. Resposta. A partir de m=80m = 80 min, o segundo plano é mais barato.

    Macete: ao comparar planos lineares, o break-even é m=(diferenc¸a das fixas)/(diferenc¸a das variaˊveis)m = (\text{diferença das fixas})/(\text{diferença das variáveis}). Verifique sempre os dois lados — qual plano vence em cada regime depende do sinal da diferença de inclinações.

  34. Ex. 3.34Modeling

    Profundidade de poço linear: 40 m após 2h, 88 m após 5h. Modele h(t)h(t) e calcule após 10h.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Inclinação: a=(88−40)/(5−2)=48/3=16a = (88 - 40)/(5 - 2) = 48/3 = 16 m/h. Em t=2t = 2: 40=16(2)+b⇒b=840 = 16(2) + b \Rightarrow b = 8. h(t)=8+16th(t) = 8 + 16 t. h(10)=168h(10) = 168 m.
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    1. Identifique a estrutura. "Linear" significa h(t)=at+bh(t) = at + b. Você tem dois pontos: (2,40)(2, 40) e (5,88)(5, 88). Dois pontos determinam uma única reta.
    2. Calcule a inclinação. a=(88−40)/(5−2)=48/3=16a = (88 - 40)/(5 - 2) = 48/3 = 16 m/h. Unidade fundamental: a inclinação tem unidade de "saída por entrada" — aqui, metros por hora.
    3. Encontre o intercepto. Use um dos pontos: em (2,40)(2, 40), 40=16⋅2+b⇒b=40−32=840 = 16 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 40 - 32 = 8. Ou seja, em t=0t = 0 (instante zero) o poço já tinha 8 m — talvez por uma perfuração inicial.
    4. Modelo. h(t)=8+16th(t) = 8 + 16 t.
    5. Avalie em t=10t = 10. h(10)=8+160=168h(10) = 8 + 160 = 168 m.
    6. Sanity check com o outro ponto. h(5)=8+80=88h(5) = 8 + 80 = 88 ✓.

    Observação. Sempre interprete fisicamente o intercepto. Aqui b=8b = 8 m sugere que a primeira medição foi feita em t=2t = 2 h, mas o modelo extrapola pra t=0t = 0 indicando um valor inicial não-nulo. Em problemas reais, o intercepto pode ser fora do domínio físico — verifique o contexto antes de aceitar.

  35. Ex. 3.35Modeling

    Conversão Celsius-Fahrenheit: 0 °C=32 °F0\,°C = 32\,°F e 100 °C=212 °F100\,°C = 212\,°F. Modele F(C)F(C), calcule F(37)F(37) e o CC correspondente a 98,698{,}6°F.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Inclinação: (212−32)/(100−0)=1,8(212 - 32)/(100 - 0) = 1,8. Intercepto: 3232. F(37)=1,8(37)+32=66,6+32=98,6F(37) = 1,8(37) + 32 = 66,6 + 32 = 98,6°F. 98,6=1,8C+32⇒C=3798,6 = 1,8 C + 32 \Rightarrow C = 37°C.
  36. Ex. 3.36Modeling

    Custo C(q)=200+8qC(q) = 200 + 8q e receita R(q)=12qR(q) = 12q. (a) Para qual qq o lucro é zero? (b) Lucro para q=100q = 100?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Lucro: L(q)=R(q)−C(q)=12q−(200+8q)=4q−200L(q) = R(q) - C(q) = 12q - (200 + 8q) = 4q - 200. (a) L=0⇒q=50L = 0 \Rightarrow q = 50. (b) L(100)=400−200=200L(100) = 400 - 200 = 200.
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    1. Defina lucro. Lucro = Receita − Custo. L(q)=R(q)−C(q)=12q−(200+8q)=4q−200L(q) = R(q) - C(q) = 12q - (200 + 8q) = 4q - 200. Função afim com inclinação 4 R\$/u (margem unitária) e intercepto −200 (perda fixa quando q=0q = 0).
    2. Break-even. Ponto onde lucro é zero: 4q−200=0⇒q=504q - 200 = 0 \Rightarrow q = 50. Abaixo de 50 unidades, prejuízo; acima, lucro.
    3. Avalie em q=100q = 100. L(100)=400−200=200L(100) = 400 - 200 = 200 reais.
    4. Sanity check. Em q=50q = 50: L=0L = 0 ✓. Em q=25q = 25: L=100−200=−100L = 100 - 200 = -100 (prejuízo, abaixo do break-even). ✓

    Macete econômico: o break-even é q∗=custo fixo/margem unitaˊria=200/4=50q^* = \text{custo fixo}/\text{margem unitária} = 200/4 = 50. Use essa fórmula em qualquer plano de negócios — a primeira métrica que um investidor pergunta.

  37. Ex. 3.37ModelingAnswer key

    Lei de Hooke: σ=Eϵ\sigma = E \epsilon. Para E=200E = 200 GPa, qual a deformação para σ=100\sigma = 100 MPa?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Lei de Hooke: σ=Eϵ⇒ϵ=σ/E\sigma = E \epsilon \Rightarrow \epsilon = \sigma/E. Convertendo: 100 MPa=0,1 GPa100 \text{ MPa} = 0,1 \text{ GPa}. ϵ=0,1/200=5×10−4\epsilon = 0,1/200 = 5 \times 10^{-4}. (Validade: regime elástico — abaixo do limite de escoamento, ~250 MPa para aço comum.)
  38. Ex. 3.38Modeling

    Altura de vela: h(t)=25−0,8th(t) = 25 - 0{,}8t cm. Quando a vela acaba?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    h(t)=25−0,8t=0⇒t=25/0,8=31,25h(t) = 25 - 0,8 t = 0 \Rightarrow t = 25/0,8 = 31,25 min.
  39. Ex. 3.39Modeling

    Vazão constante: V(t)=Q⋅tV(t) = Q \cdot t. Para Q=5Q = 5 L/min, modele e calcule volume em 1h.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Vazão constante: V(t)=Qt=5tV(t) = Q t = 5 t. Em 1h = 60 min: V(60)=300V(60) = 300 L.
  40. Ex. 3.40Modeling

    Custo de combustível: C(d)=0,45dC(d) = 0{,}45 d R$ (com dd em km). Modele e calcule custo de viagem de 350 km.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    C(d)=0,45dC(d) = 0,45 d. C(350)=0,45⋅350=157,50C(350) = 0,45 \cdot 350 = 157,50 reais.
  41. Ex. 3.41ModelingAnswer key

    Aluguel de carro: R$ 80 fixo + R$ 0,30/km. Custo total para 300 km e 1 dia?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    C(d)=80+0,30dC(d) = 80 + 0,30 d. C(300)=80+90=170C(300) = 80 + 90 = 170 reais.
  42. Ex. 3.42Modeling

    Pressão atmosférica decresce 0,12 kPa/m perto do solo. Ao nível do mar, 101,3 kPa. Modele P(h)P(h) e ache hh para P=50P = 50 kPa.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    P(h)=101,3−0,12hP(h) = 101,3 - 0,12 h. 50=101,3−0,12h⇒h=51,3/0,12=427,550 = 101,3 - 0,12 h \Rightarrow h = 51,3/0,12 = 427,5 m. (Modelo só vale até ~1 km — acima disso é exponencial.)
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a estrutura linear. "Decresce 0,12 kPa por metro" é taxa de variação constante: a=−0,12a = -0,12 kPa/m (negativo porque pressão diminui com altitude).
    2. Encontre o intercepto. "Ao nível do mar" significa h=0h = 0, com P=101,3P = 101,3 kPa. Logo b=101,3b = 101,3.
    3. Modelo. P(h)=101,3−0,12hP(h) = 101,3 - 0,12 h.
    4. Resolva P(h)=50P(h) = 50. 50=101,3−0,12h⇒0,12h=51,3⇒h=427,550 = 101,3 - 0,12 h \Rightarrow 0,12 h = 51,3 \Rightarrow h = 427,5 m.
    5. Discuta a validade. Em altitudes maiores (acima de ~1 km), o modelo linear subestima a pressão real. A relação verdadeira é exponencial (atmosfera isotérmica): P=P0e−h/HP = P_0 e^{-h/H}, com H≈8400H \approx 8400 m. O modelo linear é uma boa aproximação local — derivada da exponencial em h=0h = 0.

    Curiosidade. Aviões comerciais voam a ~10 km de altitude, onde a pressão é ~26 kPa (cerca de 1/4 do nível do mar). O modelo linear predisse 101,3−0,12⋅10000=−1098,7101,3 - 0,12 \cdot 10000 = -1098,7 kPa — absurdo. Sempre questione o domínio de validade dos modelos lineares; eles são tangentes locais à realidade não-linear.

  43. Ex. 3.43Modeling

    Vendas em função do preço: V(p)=500−8pV(p) = 500 - 8p. Determine o domínio físico válido.

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6
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    V(p)≥0⇒500−8p≥0⇒p≤62,5V(p) \geq 0 \Rightarrow 500 - 8p \geq 0 \Rightarrow p \leq 62,5. Combinando com p≥0p \geq 0: p∈[0,62,5]p \in [0, 62,5] reais.
  44. Ex. 3.44Modeling

    Numa caminhada com inclinação constante: 60 kcal após 1 km, 280 kcal após 5 km. Modele G(d)G(d).

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Inclinação: a=(280−60)/(5−1)=220/4=55a = (280 - 60)/(5 - 1) = 220/4 = 55 kcal/km. Em d=1d = 1: 60=55+b⇒b=560 = 55 + b \Rightarrow b = 5. Modelo: G(d)=5+55dG(d) = 5 + 55 d.
  45. Ex. 3.45ModelingAnswer key

    Plano A: R$ 90/mês fixo. Plano B: R$ 30/mês + R$ 4/GB. Para qual consumo gg os planos custam o mesmo?

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    Solve onlineYoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 1
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    Igualar: 90=30+4g⇒4g=60⇒g=1590 = 30 + 4 g \Rightarrow 4 g = 60 \Rightarrow g = 15 GB.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modele cada plano. Plano A é constante: CA(g)=90C_A(g) = 90. Plano B é afim: CB(g)=30+4gC_B(g) = 30 + 4g.
    2. Iguale. Custos iguais ⟺ CA(g)=CB(g)C_A(g) = C_B(g): 90=30+4g90 = 30 + 4g.
    3. Resolva. 4g=60⇒g=154g = 60 \Rightarrow g = 15 GB.
    4. Análise. Para g<15g < 15 GB, plano B é mais barato (paga apenas pelo que usa). Para g>15g > 15 GB, plano A é mais barato (cobertura ilimitada compensa). Em g=15g = 15 GB, indiferença.
    5. Sanity check. Em g=10g = 10 GB: CA=90C_A = 90, CB=70C_B = 70. ✓ B mais barato. Em g=20g = 20 GB: CA=90C_A = 90, CB=110C_B = 110. ✓ A mais barato.

    Macete: comparações de planos sempre passam pela equação "custo fixo da diferença = consumo × diferença de variável". Aqui: g=(90−30)/4=15g = (90 - 30)/4 = 15. Decida o plano apenas após estimar seu consumo médio.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

Updated on 2026-05-04 · Author(s): Clube da Matemática

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