v1 · padrão canônico

Lição 5 — Composição e função inversa

Composição f∘g como combinação de operações sequenciais. Inversa f⁻¹ desfazendo a operação. Condições para existência da inversa: bijeção ou restrição de domínio.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math I japonês cap. 3 · Klasse 10 alemã — Funktionen

(f \circ g)(x) = f(g(x)), \quad f^{-1}(f(x)) = x

Composição encadeia duas funções — a saída de $g$ vira entrada de $f$ . Inversa desfaz a operação: $f^{-1}$ existe se e somente se f é bijetora (ou o domínio for restrito). A identidade $f^{-1}(f(x)) = x$ é a verificação universal.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Composição de funções

"Quando combinamos funções de tal forma que a saída de uma função se torna a entrada de outra, chamamos isso de composição de funções. A função resultante é denominada uma função composta." — OpenStax College Algebra 2e, §3.4

Composição: cada seta sólida é uma função; a seta tracejada inferior é a composta f ∘ g — atalho que "pula" o conjunto intermediário B.

Função inversa

"Para que uma função tenha uma função inversa, ela precisa ser uma função um-para-um. Uma função é um-para-um se cada valor de saída corresponde exatamente a um valor de entrada." — Stitz–Zeager Precalculus, §5.2

f e sua inversa são simétricas em relação à reta y = x. Refletir o gráfico de f nessa diagonal dá o gráfico de f⁻¹.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Calcular (f∘g)(x) — notar que a ordem muda o resultado

Problema: Dadas $f(x) = 3x + 1$ e $g(x) = x^2$ , calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ e compare.

Estratégia: Aplique a definição $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — primeiro avalie $g(x)$ , depois substitua o resultado em $f$ . Repita na ordem inversa para $(g \circ f)$ .

Resolução:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 3x^2 + 1$ .
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$ .
Compare: $3x^2 + 1 \neq 9x^2 + 6x + 1$ . A ordem mudou tudo.

Verificação: Em $x = 2$ : $(f \circ g)(2) = 3 \cdot 4 + 1 = 13$ e $(g \circ f)(2) = 7^2 = 49$ . Distintos, confirmando a não-comutatividade.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §3.4 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Encontrar a inversa de uma função afim e verificar

Problema: Determine $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 4x - 7$ . Verifique que $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \operatorname{id}$ .

Estratégia: Algoritmo padrão: escreva $y = f(x)$ , troque $x \leftrightarrow y$ , isole $y$ . Depois valide.

Resolução:

$y = 4x - 7$ .
Troca: $x = 4y - 7$ .
Isola: $4y = x + 7 \Rightarrow y = (x + 7)/4$ .
Logo $f^{-1}(x) = (x + 7)/4$ .

Verificação:

$f(f^{-1}(x)) = 4 \cdot \dfrac{x+7}{4} - 7 = (x + 7) - 7 = x$ . ✓
$f^{-1}(f(x)) = \dfrac{(4x - 7) + 7}{4} = \dfrac{4x}{4} = x$ . ✓

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §5.7 — CC-BY 4.0.

Example— 3· Domínio da composta com raiz — cuidado com restrições

Problema: Sejam $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 4$ . Determine $(f \circ g)(x)$ e o domínio máximo.

Estratégia: A composta existe onde $g(x)$ cai no domínio de $f$ , ou seja, onde $g(x) \geq 0$ .

Resolução:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 4}$ .
Para existir: $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2$ .
Domínio: $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ .

Verificação: Em $x = 3$ : $g(3) = 5$ ; $f(5) = \sqrt{5}$ . E $\sqrt{9-4} = \sqrt{5}$ . ✓. Em $x = 1$ : $g(1) = -3 < 0$ , fora do domínio de $f$ — correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §5.1 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Inversa de uma função quadrática com restrição de domínio

Problema: $f(x) = x^2 - 4x + 7$ não é invertível em $\mathbb{R}$ . Restrinja o domínio para que ela se torne invertível e determine $f^{-1}$ .

Estratégia: Complete o quadrado para identificar o vértice. Restrinja a um dos ramos (convenção: ramo direito) e inverta.

Resolução:

$f(x) = (x-2)^2 + 3$ . Vértice $(2, 3)$ , parábola crescente para $x \geq 2$ .
Restrinja a $A = [2, +\infty)$ : $f$ é estritamente crescente, portanto injetora.
$y = (x-2)^2 + 3 \Rightarrow (x-2)^2 = y - 3$ . Como $x \geq 2$ , temos $x - 2 = \sqrt{y-3}$ , logo $x = 2 + \sqrt{y-3}$ .
$f^{-1}: [3, +\infty) \to [2, +\infty)$ , $f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y-3}$ .

Verificação: $f^{-1}(7) = 2 + \sqrt{4} = 4$ . $f(4) = (4-2)^2 + 3 = 7$ . ✓

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §5.7 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Composição em cadeia: conversão de moedas modelada como inversa da composta

Problema: Conversão US$ → R$ via $f(d) = 5{,}00 \cdot d$ (taxa simplificada). Conversão R$ → pontos de fidelidade via $g(r) = r/10$ . (a) Modele a função composta US$ → pontos. (b) Determine a inversa pontos → US$. (c) 150 pontos equivalem a quantos dólares?

Estratégia: Composição direta é $g \circ f$ . A inversa é $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ — atenção à ordem invertida.

Resolução:

$(g \circ f)(d) = g(f(d)) = g(5d) = 5d/10 = d/2$ .
$f^{-1}(r) = r/5$ e $g^{-1}(p) = 10p$ .
$(g \circ f)^{-1}(p) = f^{-1}(g^{-1}(p)) = f^{-1}(10p) = 10p/5 = 2p$ .
Para $p = 150$ : $2 \cdot 150 = 300$ dólares.

Verificação: $300$ US$ $\to$ R$ $1{.}500$ $\to$ $150$ pontos. ✓

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 4 — livre.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 13Modeling 8Challenge 6Proof 3

Ex. 5.1ApplicationAnswer key
Sejam $f(x) = 3x + 1$ e $g(x) = x^2$ . Calcule $(f \circ g)(x)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 1 · p. 274
Show solution
Aplique $g$ primeiro: $g(x) = x^2$ . Substitua em $f$ : $f(x^2) = 3x^2 + 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a ordem: $f \circ g$ significa "aplicar $g$ primeiro, depois $f$ ". Calcule $g(x) = x^2$ .
2. Substitua no lugar de $x$ em $f$ : $f(x^2) = 3(x^2) + 1 = 3x^2 + 1$ .
3. Sanity check em $x = 2$ : $g(2) = 4$ ; $f(4) = 13$ . Pela fórmula: $3(4) + 1 = 13$ . ✓
Macete: em $f \circ g$ , a função da direita age primeiro. Leia como "f depois de g" — a função mais perto de $x$ é quem começa.
Ex. 5.2Application
Mesmas $f, g$ do exercício anterior. Calcule $(g \circ f)(x)$ e compare com $(f \circ g)(x)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 1 · p. 274
Show solution
Aplique $f$ primeiro: $f(x) = 3x + 1$ . Substitua em $g$ : $g(3x + 1) = (3x + 1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$ .
Ex. 5.3Application
Sejam $f(x) = 2x - 5$ e $g(x) = x^2 + 1$ . Calcule $(f \circ g)(x)$ e $(g \circ f)(x)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 3 · p. 275
Show solution
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 + 1) = 2(x^2 + 1) - 5 = 2x^2 - 3$ . E $(g \circ f)(x) = g(2x - 5) = (2x - 5)^2 + 1 = 4x^2 - 20x + 26$ .
Ex. 5.4Application
Para $f(x) = x^2 - 12$ e $g(x) = x + 3$ , calcule $(f \circ g)(2)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 5 · p. 275
Show solution
$g(2) = 2 + 5 = 7$ . Depois $f(7) = 7^2 = 49$ . Espera — $(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(7) = 49$ . Avalie: $g(2) = 2 + 3 = 5$ (usando $g(x) = x + 3$ e $f(x) = x^2 - 12$ ). $f(5) = 25 - 12 = 13$ .
Ex. 5.5Application
Sejam $f(x) = 3x - 2$ e $g(x) = 1/x$ . Calcule $(f \circ g)(x)$ , indique o domínio, e avalie $(f \circ g)(2)$ e $(g \circ f)(2)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 9 · p. 276
Show solution
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(1/x) = 3(1/x) - 2 = 3/x - 2$ . Domínio: $x \neq 0$ . Em $x = 2$ : $(f \circ g)(2) = 3/2 - 2 = -1/2$ . E $(g \circ f)(2) = 1/(3 \cdot 2 - 2) = 1/4$ .
Ex. 5.6Application
Sejam $f(x) = 1/(x - 2)$ e $g(x) = x + 3$ . Calcule $(f \circ g)(x)$ e indique o domínio.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 13 · p. 277
Show solution
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = 1/((x + 3) - 2) = 1/(x + 1)$ . Restrição: $x + 1 \neq 0$ , ou seja, $x \neq -1$ . Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .
Ex. 5.7ApplicationAnswer key
Sejam $f(x) = 3x + 2$ e $g(x) = \sqrt{x}$ . Calcule $(f \circ g)(x)$ e determine o domínio.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 1 · p. 385
Show solution
$(f \circ g)(x) = f(\sqrt{x}) = 3\sqrt{x} + 2$ . Para a raiz existir, $x \geq 0$ . Domínio: $[0, +\infty)$ .
Ex. 5.8Application
Sejam $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x^2 - 4$ . Determine $(f \circ g)(x)$ e seu domínio.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 5 · p. 386
Show solution
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = \sqrt{x^2 - 4}$ . Para existir: $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 2$ . Domínio: $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule a expressão: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 4) = \sqrt{x^2 - 4}$ .
2. Imponha a restrição da raiz: $x^2 - 4 \geq 0$ .
3. Resolva a inequação: $x^2 \geq 4 \Rightarrow |x| \geq 2$ , ou seja, $x \leq -2$ ou $x \geq 2$ .
4. Escreva o domínio: $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ .
5. Verifique um ponto fora: em $x = 1$ , $g(1) = -3 < 0$ — raiz indefinida. ✓ Está fora do domínio.
Macete: o domínio de $f \circ g$ é sempre um subconjunto do domínio de $g$ . Aqui $g$ está definida em todo $\mathbb{R}$ , mas a restrição vem de $f$ .
Ex. 5.9ApplicationAnswer key
Para $f(x) = 1/(x+1)$ e $g(x) = 1/(x+1)$ , determine o domínio de $(f \circ g)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 11 · p. 387
Show solution
$g(x) = 1/(x+1)$ exige $x \neq -1$ . Calcula-se $f(g(x)) = 1/(g(x) + 1) = 1/(\frac{1}{x+1} + 1) = \frac{x+1}{x+2}$ . Essa exige $x \neq -2$ . Domínio: $\mathbb{R} \setminus \{-1, -2\}$ .
Ex. 5.10UnderstandingAnswer key
Qual é o domínio de $(f \circ g)(x)$ quando $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = x - 2$ ?
Select the correct option
A) $[2, +\infty)$ , pois $g(x) = x - 2 \geq 0$ B) $\mathbb{R}$ , pois $f(x) = \sqrt{x}$ define para todo realC) $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ , pois $|x| \geq 2$ D) $(2, +\infty)$ , pois a raiz exige estritamente positivo
Select an option first
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 17 · p. 278
Show solution
Para $f(g(x)) = \sqrt{x - 2}$ existir, precisa $x - 2 \geq 0$ , logo $x \geq 2$ . Como 2 está incluído (raiz de zero é zero), o domínio é fechado em 2: $[2, +\infty)$ . Distratores: B ignora a restrição da raiz; C confunde com $x^2 - 4$ ; D usa aberto quando devia ser fechado.
Ex. 5.11UnderstandingAnswer key
Decomponha $h(x) = (3x + 2)^4$ como composição $f \circ g$ de duas funções mais simples.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 21 · p. 280
Show solution
A operação mais externa é elevar à 4ª potência; a interna é $3x + 2$ . Logo $g(x) = 3x + 2$ e $f(u) = u^4$ . Confere: $f(g(x)) = (3x+2)^4 = h(x)$ . ✓
Show step-by-step (with the why)
1. Leia de fora para dentro. Em $h(x) = (3x + 2)^4$ , a última operação executada é "elevar à 4ª potência" — isso é $f$ .
2. Identifique o argumento da operação externa. O que é elevado à 4ª? A expressão $3x + 2$ . Isso é $g$ .
3. Defina: $g(x) = 3x + 2$ e $f(u) = u^4$ .
4. Verifique: $(f \circ g)(x) = f(3x + 2) = (3x + 2)^4$ . ✓
5. Relevância prática: para derivar $h$ pela regra da cadeia: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(3x+2)^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3$ .
Macete: a função "externa" $f$ é a que "embrulha" a expressão toda. A função "interna" $g$ é o que está dentro. Decompor é só nomear cada uma.
Ex. 5.12Understanding
Decomponha $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ como composição $f \circ g$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 23 · p. 280
Show solution
A externa é raiz quadrada; a interna é $x^2 + 1$ . Logo $g(x) = x^2 + 1$ e $f(u) = \sqrt{u}$ .
Ex. 5.13Understanding
Decomponha $h(x) = \sqrt{5x + 1}$ como composição de três funções $h_3 \circ h_2 \circ h_1$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 27 · p. 281
Show solution
Três passos internos-para-externos: $5x \to 5x + 1 \to \sqrt{5x + 1}$ . Portanto: $h_1(x) = 5x$ , $h_2(u) = u + 1$ , $h_3(v) = \sqrt{v}$ . Verificação: $h_3(h_2(h_1(x))) = h_3(h_2(5x)) = h_3(5x+1) = \sqrt{5x+1}$ . ✓
Ex. 5.14Understanding
Decomponha $h(x) = \sqrt[3]{1 - x^2}$ como composição $f \circ g$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4 · ex. 29 · p. 281
Show solution
Externa: raiz cúbica. Interna: $1 - x^2$ . Logo $g(x) = 1 - x^2$ e $f(u) = u^{1/3} = \sqrt[3]{u}$ .
Ex. 5.15Understanding
Decomponha $h(x) = e^{2x - 5}$ como composição e determine o domínio.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 15 · p. 388
Show solution
Externa: exponencial. Interna: $2x - 5$ . Logo $g(x) = 2x - 5$ e $f(u) = e^u$ . Domínio de $h = f \circ g$ é $\mathbb{R}$ (exponencial está definida para todo real).
Ex. 5.16Challenge
Sejam $f, g$ tais que $(f \circ g)(x) = x^2 + 4x$ e $g(x) = x + 2$ . Determine $f(x)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 21 · p. 389
Show solution
Substitua $u = g(x) = x + 2$ , logo $x = u - 2$ . Então $f(u) = (u - 2)^2 + 4(u - 2) = u^2 - 4u + 4 + 4u - 8 = u^2 - 4$ . Verificação: $f(g(x)) = (x+2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x$ . ✓
Show step-by-step (with the why)
1. A ideia: sabemos $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 4x$ e $g(x) = x + 2$ . Queremos encontrar $f$ explicitamente.
2. Substitua variável: seja $u = g(x) = x + 2$ . Então $x = u - 2$ .
3. Expresse $f$ em termos de $u$ : $f(u) = f(g(x)) = x^2 + 4x$ . Mas $x = u - 2$ , então $f(u) = (u-2)^2 + 4(u-2)$ .
4. Simplifique: $f(u) = u^2 - 4u + 4 + 4u - 8 = u^2 - 4$ .
5. Reescreva em $x$ : $f(x) = x^2 - 4$ .
6. Verifique: $f(g(x)) = (x+2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x$ . ✓
Macete: para encontrar $f$ dado $f \circ g$ e $g$ , faça a substituição inversa $x = g^{-1}(u)$ na expressão de $(f \circ g)$ .
Ex. 5.17ChallengeAnswer key
Determine $f(x)$ sabendo que $f(x + 1) = 2x^2 + 3x - 1$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 23 · p. 390
Show solution
Seja $u = x + 1$ , então $x = u - 1$ . $f(u) = f(x+1) = 2x^2 + 3x - 1 = 2(u-1)^2 + 3(u-1) - 1 = 2u^2 - 4u + 2 + 3u - 3 - 1 = 2u^2 - u - 2$ . Logo $f(x) = 2x^2 - x - 2$ .
Ex. 5.18Understanding
Qual das seguintes decomposições está correta para $h(x) = 1/(x+3)^2$ como composição de três funções $h_3 \circ h_2 \circ h_1$ ?
Select the correct option
A) $h_1(x) = x + 3$ , $h_2(u) = u^2$ , $h_3(v) = 1/v$ — da interna para a externaB) $h_1(x) = 1/x$ , $h_2(u) = u + 3$ , $h_3(v) = v^2$ — ordem inversaC) $h_1(x) = x^2$ , $h_2(u) = u + 3$ , $h_3(v) = 1/v$ — quadrado antes de somarD) $h_1(x) = (x+3)^2$ , $h_2(u) = 1/u$ , $h_3(v) = v$ — só duas funções
Select an option first
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.1 · ex. 17 · p. 389
Show solution
Da interna para a externa: some 3, depois eleve ao quadrado, depois inverta. Logo $h_1(x) = x + 3$ , $h_2(u) = u^2$ , $h_3(v) = 1/v$ . Verificação: $h_3(h_2(h_1(x))) = 1/(x+3)^2 = h(x)$ . ✓ Distrator B inverte a ordem; C e D aplicam errado.
Ex. 5.19Application
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = 3x + 7$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.2 · ex. 1 · p. 397
Show solution
Escreva $y = 3x + 7$ . Troca: $x = 3y + 7$ . Isola: $y = (x - 7)/3$ . Verificação: $f(f^{-1}(x)) = 3 \cdot (x-7)/3 + 7 = x$ . ✓
Ex. 5.20ApplicationAnswer key
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = (x - 1)/2$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.7 · ex. 3 · p. 537
Show solution
$y = (x - 1)/2 \Rightarrow 2y = x - 1 \Rightarrow x = 2y + 1$ . Logo $f^{-1}(x) = 2x + 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a equação: $y = (x - 1)/2$ .
2. Troque os papéis: $x = (y - 1)/2$ .
3. Isole $y$ : multiplique por 2: $2x = y - 1$ . Some 1: $y = 2x + 1$ .
4. Verificação: $f(f^{-1}(x)) = f(2x+1) = (2x+1-1)/2 = x$ . ✓
Macete: para funções afins $f(x) = ax + b$ , a inversa é sempre $f^{-1}(x) = (x - b)/a$ . Vale a pena memorizar.
Ex. 5.21ApplicationAnswer key
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = \sqrt[3]{x + 5}$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.7 · ex. 7 · p. 538
Show solution
$y = \sqrt[3]{x + 5} \Rightarrow y^3 = x + 5 \Rightarrow x = y^3 - 5$ . Trocando: $f^{-1}(x) = x^3 - 5$ . Domínio de $f^{-1}$ : $\mathbb{R}$ (cúbica definida em todo real).
Ex. 5.22Application
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f: [0, +\infty) \to [2, +\infty)$ , $f(x) = x^2 + 2$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.7 · ex. 9 · p. 538
Show solution
Domínio original $f: [0, +\infty) \to [2, +\infty)$ . $y = x^2 + 2 \Rightarrow y - 2 = x^2 \Rightarrow x = +\sqrt{y - 2}$ (ramo positivo pois $x \geq 0$ ). Logo $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 2}$ com domínio $[2, +\infty)$ .
Ex. 5.23Application
Encontre $f^{-1}(x)$ para $f(x) = (2x + 3)/(x - 1)$ , $x \neq 1$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.7 · ex. 15 · p. 539
Show solution
Escreva $y = (2x + 3)/(x - 1)$ . Multiplique por $(x-1)$ : $y(x-1) = 2x + 3$ . Distribua: $yx - y = 2x + 3$ . Agrupe: $x(y - 2) = y + 3$ . Isole: $x = (y + 3)/(y - 2)$ . Troca: $f^{-1}(x) = (x + 3)/(x - 2)$ , $x \neq 2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva como equação: $y = (2x + 3)/(x - 1)$ .
2. Elimine a fração multiplicando por $(x - 1)$ : $y(x - 1) = 2x + 3$ .
3. Distribua e agrupe termos em $x$ : $yx - y = 2x + 3 \Rightarrow yx - 2x = y + 3$ .
4. Fatore: $x(y - 2) = y + 3$ .
5. Isole: $x = (y + 3)/(y - 2)$ , com $y \neq 2$ .
6. Troque variáveis: $f^{-1}(x) = (x + 3)/(x - 2)$ .
7. Sanity check: $f(0) = 3/(-1) = -3$ ; $f^{-1}(-3) = 0/(-5) = 0$ . ✓
Macete: funções do tipo $f(x) = (ax+b)/(cx+d)$ (Möbius) têm inversa da mesma forma: $f^{-1}(x) = (-dx+b)/(cx-a)$ .
Ex. 5.24Application
Verifique que $f(x) = 2x + 4$ e $g(x) = (x - 4)/2$ são inversas calculando $f \circ g$ e $g \circ f$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.2 · ex. 5 · p. 398
Show solution
$f(g(x)) = 2 \cdot (x - 4)/2 + 4 = x - 4 + 4 = x$ . $g(f(x)) = (2x + 4 - 4)/2 = 2x/2 = x$ . Sim, são inversas.
Ex. 5.25Understanding
$f(x) = x^2$ não é invertível em $\mathbb{R}$ . Determine dois domínios restritos diferentes onde $f$ se torna invertível e exiba as duas inversas.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.7 · ex. 19 · p. 540
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Em $A_+ = [0, +\infty)$ , $f$ é crescente e $f^{-1}(x) = +\sqrt{x}$ . Em $A_- = (-\infty, 0]$ , $f$ é decrescente e $f^{-1}(x) = -\sqrt{x}$ . Em ambos os casos, $f$ é injetora, portanto invertível.
Ex. 5.26Understanding
$f(x) = x^2 - 4x + 7$ não é invertível em $\mathbb{R}$ . Restrinja o domínio ao ramo crescente natural e determine $f^{-1}$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.7 · ex. 23 · p. 541
Show solution
Completando o quadrado: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$ . Vértice em $(2, 3)$ . Domínio natural para invertibilidade: $[2, +\infty)$ (ramo crescente). Inversa: $y = (x - 2)^2 + 3 \Rightarrow (x - 2)^2 = y - 3 \Rightarrow x = 2 + \sqrt{y - 3}$ . Logo $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}$ , domínio $[3, +\infty)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Complete o quadrado: $f(x) = x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 + 3$ .
2. Identifique o vértice: $(2, 3)$ . Parábola com abertura para cima.
3. Restrinja para injetividade: em $[2, +\infty)$ , $f$ é crescente e injetora.
4. Inverta: $y = (x-2)^2 + 3 \Rightarrow y - 3 = (x-2)^2 \Rightarrow x - 2 = +\sqrt{y - 3}$ (sinal positivo pois $x \geq 2$ ).
5. Resultado: $f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y - 3}$ . Troque $y \to x$ : $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}$ .
6. Verificação: $f(f^{-1}(7)) = f(2 + 2) = f(4) = (4-2)^2 + 3 = 7$ . ✓
Macete: ao inverter uma quadrática, sempre complete o quadrado primeiro para identificar o vértice — isso revela o domínio natural de restrição.
Ex. 5.27Understanding
Explique geometricamente por que o gráfico de $f^{-1}$ é a reflexão do gráfico de $f$ pela reta $y = x$ .
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · p. 200
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Se $(a, b)$ pertence ao gráfico de $f$ (ou seja, $f(a) = b$ ), então $f^{-1}(b) = a$ , logo $(b, a)$ pertence ao gráfico de $f^{-1}$ . A operação que troca as coordenadas $(a, b) \leftrightarrow (b, a)$ é exatamente a reflexão pela reta $y = x$ .
Ex. 5.28Understanding
Como se decide graficamente se $f$ admite inversa? Descreva o critério e dê um exemplo de função que passa no critério e um que não passa.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.2 · ex. 11 · p. 399
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O **teste da reta horizontal**: uma função é injetora se e somente se nenhuma reta horizontal cruza o gráfico em mais de um ponto. Uma função $f: A \to B$ tem inversa se e somente se é bijetora, o que inclui ser injetora. Portanto: teste a reta horizontal — se passar, $f$ tem inversa.
Ex. 5.29Understanding
Mostre que $f(x) = a/x$ (com $a \neq 0$ , $x \neq 0$ ) é sua própria inversa. Funções com essa propriedade chamam-se involuções.
Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 5 · p. 203
Show solution
$f(x) = a/x$ com $a \neq 0$ e domínio $x \neq 0$ . Escreva $y = a/x \Rightarrow x = a/y$ . Troca: $f^{-1}(x) = a/x = f(x)$ . Verificação: $f(f(x)) = a/(a/x) = x$ . ✓ Essa função é sua própria inversa (involução).
Ex. 5.30Understanding
Mostre que $f(x) = 1 - x$ é uma involução.
Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 7 · p. 203
Show solution
Escreva $y = 1 - x$ . Troca: $x = 1 - y$ . Isola: $y = 1 - x$ . A inversa é a própria função: $f^{-1}(x) = 1 - x$ . Confirmação: $f(f(x)) = 1 - (1 - x) = x$ . ✓
Ex. 5.31ModelingAnswer key
Em logística, custo de envio $C(p) = 30 + 4p$ (R$ por kg). Determine $C^{-1}$ : qual peso paga $c$ reais de frete? Para frete R$ 90, qual o peso?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · ex. 1 · p. 198
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Invertendo $C(p) = 30 + 4p$ : $p = (c - 30)/4$ . Para $c = 90$ : $p = 60/4 = 15$ kg.
Ex. 5.32Modeling
Conversão Celsius → Fahrenheit: $F(C) = (9/5)C + 32$ . (a) Determine $F^{-1}$ . (b) Calcule a temperatura em °C correspondente a $F = 100\ °F$ .
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · ex. 5 · p. 199
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Direta: $F(C) = (9/5)C + 32$ . Inversa: $C = (5/9)(F - 32)$ . Para $F = 100$ : $C = (5/9)(68) = 340/9 \approx 37{,}78\ °C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Fórmula direta C → F: $F = (9/5)C + 32$ .
2. Inverta — subtraia 32: $F - 32 = (9/5)C$ .
3. Multiplique por $5/9$ : $C = (5/9)(F - 32)$ .
4. Aplique para $F = 100$ : $C = (5/9) \cdot 68 = 340/9 \approx 37{,}78\ °C$ .
5. Sanity check: $F(37{,}78) = (9/5)(37{,}78) + 32 \approx 100$ . ✓
Curiosidade: 100 °F é a temperatura de uma criança com febre alta. 37,78 °C é o mesmo estado — escala diferente, realidade física idêntica. Toda conversão de unidade é uma função invertível.
Ex. 5.33Modeling
Conversor real-dólar: $D(R) = R/5$ (taxa simplificada). Encontre $D^{-1}$ e calcule quantos reais correspondem a US$ 50.
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · ex. 9 · p. 200
Show solution
Invertendo $D(R) = R/5$ : $R = 5d$ . Então $D^{-1}(d) = 5d$ . Para $d = 50$ dólares: $D^{-1}(50) = 250$ reais.
Ex. 5.34Modeling
Normalização z-score: $g(x) = x - \bar{x}$ (centraliza) e $f(y) = y/\sigma$ (escalona). (a) Expresse a composta $(f \circ g)(x)$ . (b) Determine a inversa $(f \circ g)^{-1}$ para destransformar previsões do modelo. Atenção à ordem.
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · p. 201
Show solution
Pipeline de dados: $g(x) = x - \bar{x}$ (centralizar), $f(y) = y/\sigma$ (escalar). Composta: $(f \circ g)(x) = (x - \bar{x})/\sigma$ . Inversas: $g^{-1}(z) = z + \bar{x}$ e $f^{-1}(z) = z \cdot \sigma$ . Inversa da composta (ordem invertida): $(f \circ g)^{-1}(z) = g^{-1}(f^{-1}(z)) = \sigma z + \bar{x}$ .
Ex. 5.35ModelingAnswer key
Farmacocinética: dose $D$ (mg) produz concentração $C(D) = 0,05\,D$ mg/L. Determine $C^{-1}$ : que dose produz concentração $c$ ? Para $c = 2$ mg/L, qual a dose?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · ex. 13 · p. 202
Show solution
Invertendo $C(D) = 0{,}05 D$ : $D = C/0{,}05 = 20C$ . Para $c = 2$ : $D = 40$ mg.
Ex. 5.36Modeling
Produto custa $p$ reais. Loja A: $f(p) = 0,9p$ (10% de desconto). Loja B: $g(p) = p - 50$ (R$ 50 fixo). (a) Para $p = 800$ : qual paga menos? (b) Para qual $p$ as estratégias têm o mesmo preço?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · ex. 17 · p. 203
Show solution
Loja A: $f(p) = 0{,}9 p$ . Loja B: $g(p) = p - 50$ . Para $p = 800$ : $f(800) = 720$ e $g(800) = 750$ . Loja A é melhor. (b) Igualdade: $0{,}9 p = p - 50 \Rightarrow 0{,}1 p = 50 \Rightarrow p = 500$ . Para $p > 500$ , a loja A é sempre mais barata.
Show step-by-step (with the why)
1. Defina as funções: $f(p) = 0{,}9 p$ (10% de desconto) e $g(p) = p - 50$ (R\$ 50 fixos).
2. Avalie em $p = 800$ : $f(800) = 720$ ; $g(800) = 750$ . Loja A é R\$ 30 mais barata.
3. Encontre o ponto de indiferença: resolva $f(p) = g(p)$ : $0{,}9p = p - 50$ .
4. Resolva: $50 = 0{,}1p \Rightarrow p = 500$ .
5. Interprete: para $p = 500$ , ambas cobram R\$ 450. Para $p > 500$ , loja A é mais barata; para $p$ menor que 500, loja B é melhor.
Observação: o ponto de interseção de duas funções custo é onde um cliente muda de estratégia. Esse cálculo aparece em finanças como "break-even" de estratégias alternativas.
Ex. 5.37Modeling
Piscina com enchimento $V(t) = 80\,t$ litros. Determine $V^{-1}$ : quanto tempo para encher $v$ litros? Para 4.000 L?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · ex. 21 · p. 204
Show solution
Invertendo $V(t) = 80 t$ : $t = v/80$ . Para $v = 4000$ : $t = 50$ min.
Ex. 5.38Modeling
Conversão em cadeia: US$ → R$ via $f(d) = 5d$ (taxa simplificada); R$ → BTC via $g(r) = r/350\,000$ . (a) Modele US$ → BTC como composta $g \circ f$ . (b) Determine a inversa BTC → US$. (c) 0,01 BTC equivalem a quantos dólares?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, Graphs · Cap. 4 · p. 205
Show solution
Composição US\$ → BTC: $g(f(d)) = (5d)/350000 = d/70000$ . Inversa: $f^{-1}(r) = r/5$ e $g^{-1}(b) = 350000 b$ . $(g \circ f)^{-1}(b) = f^{-1}(g^{-1}(b)) = f^{-1}(350000 b) = 70000 b$ . Para $b = 0{,}01$ : $70000 \times 0{,}01 = 700$ dólares.
Ex. 5.39Proof
Demonstre que se $f$ é bijetora, então $(f^{-1})^{-1} = f$ .
Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 3 · p. 205
Show solution
Definição: $f^{-1}$ é a única função tal que $f \circ f^{-1} = \operatorname{id}$ e $f^{-1} \circ f = \operatorname{id}$ . A inversa de $f^{-1}$ é a função $g$ tal que $f^{-1} \circ g = g \circ f^{-1} = \operatorname{id}$ . Mas $f$ satisfaz isso: $f^{-1} \circ f = \operatorname{id}$ e $f \circ f^{-1} = \operatorname{id}$ . Por unicidade, $(f^{-1})^{-1} = f$ . ∎
Ex. 5.40ProofAnswer key
Demonstre que a composição de duas funções injetoras é injetora.
Hammack — Book of Proof · §12.4 · ex. 7 · p. 201
Show solution
**Tese:** composição de injetoras é injetora. Sejam $f$ e $g$ injetoras. Suponha $(f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2)$ , i.e., $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$ . Por injetividade de $f$ : $g(x_1) = g(x_2)$ . Por injetividade de $g$ : $x_1 = x_2$ . Logo $f \circ g$ é injetora. ∎
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a hipótese: $f$ e $g$ são injetoras.
2. Escreva a tese: $f \circ g$ é injetora, i.e., $(f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$ .
3. Suponha: $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$ .
4. Use injetividade de $f$ : conclui $g(x_1) = g(x_2)$ .
5. Use injetividade de $g$ : conclui $x_1 = x_2$ .
6. Conclusão: a tese está provada. ∎
Observação: a recíproca parcial vale: se $f \circ g$ é injetora, só $g$ é necessariamente injetora — $f$ pode falhar fora da imagem de $g$ .
Ex. 5.41Proof
Demonstre que se $f$ e $g$ são bijetoras, então $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ .
Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 9 · p. 206
Show solution
Temos $(f \circ g)^{-1}$ . Calculemos $(g^{-1} \circ f^{-1}) \circ (f \circ g)$ : pela associatividade, $g^{-1} \circ (f^{-1} \circ f) \circ g = g^{-1} \circ \operatorname{id} \circ g = g^{-1} \circ g = \operatorname{id}$ . Analogamente no outro lado. Por unicidade da inversa, $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ . ∎
Ex. 5.42Challenge
Se $f \circ g$ é injetora, prove que $g$ é injetora. A recíproca é verdadeira para $f$ ? Justifique com contraexemplo.
Solve online Hammack — Book of Proof · §12.4 · ex. 11 · p. 202
Show solution
Se $f \circ g$ é injetora, prove que $g$ é injetora: suponha $g(x_1) = g(x_2)$ . Então $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$ , i.e., $(f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2)$ . Como $f \circ g$ é injetora: $x_1 = x_2$ . ✓ Logo $g$ é injetora. Contraexemplo para $f$ : tome $A = B = C = \mathbb{R}$ , $g(x) = x^2$ (não injetora), $f = \operatorname{id}$ . Então $f \circ g = g$ não é injetora — consistente. Mas pode-se ter $f$ não injetora quando $f \circ g$ é injetora, p.ex. $g(x) = x$ , $f(x) = x^2$ em $[0, +\infty)$ .
Ex. 5.43Challenge
Cifra de César. Codificação: $E_k(\ell) = (\ell + k) \bmod 26$ para $\ell \in \{0, \ldots, 25\}$ e deslocamento $k$ . (a) Determine $E_k^{-1}$ . (b) Para $k = 3$ , codifique "H" (= 7) e verifique que a decripção recupera "H".
Solve online Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 15 · p. 207
Show solution
Código de César: $E_k(\ell) = (\ell + k) \bmod 26$ . Inversa: $E_k^{-1}(\ell) = (\ell - k) \bmod 26 = E_{26-k}(\ell)$ . Para $k = 3$ : "H" (7) criptografado vira "K" (10). Decripção: "K" (10) $\to$ $(10 - 3) \bmod 26 = 7$ = "H". ✓ A função é bijetora em $\mathbb{Z}_{26}$ porque translação modular é permutação.
Ex. 5.44Challenge
Para $f$ bijetora, determine $((f^{-1})^{-1})^{-1}$ . Justifique usando a unicidade da inversa.
Solve online Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 17 · p. 208
Show solution
Se $f: A \to B$ é bijetora e $I_A: A \to A$ é a identidade, então $f^{-1} \circ f = I_A$ . Calculando $(f^{-1})^{-1}$ : é a função $g: A \to B$ tal que $g \circ f^{-1} = I_B$ e $f^{-1} \circ g = I_A$ . Mas $f$ satisfaz $f \circ f^{-1} = I_B$ e $f^{-1} \circ f = I_A$ . Por unicidade, $(f^{-1})^{-1} = f$ . Assim, $((f^{-1})^{-1})^{-1} = (f)^{-1} = f^{-1}$ . A potência de bijetoras sob inversão tem período 2.
Ex. 5.45Challenge
Uma involução é uma função $f$ com $f \circ f = \operatorname{id}$ . Mostre que involuções são auto-inversas e verifique que $f(x) = c - x$ , $f(x) = -x$ e $f(x) = 1/x$ são exemplos.
Solve online Hammack — Book of Proof · §12.5 · ex. 19 · p. 208
Show solution
Seja $f: A \to A$ com $f \circ f = \operatorname{id}$ (involução). Então $f$ é sua própria inversa: $f^{-1} = f$ . Para $f(x) = c - x$ : $f(f(x)) = c - (c - x) = x$ . ✓ Para $f(x) = -x$ : $f(f(x)) = -(-x) = x$ . ✓ Para $f(x) = 1/x$ : $f(f(x)) = 1/(1/x) = x$ . ✓
Show step-by-step (with the why)
1. Definição de involução: $f \circ f = \operatorname{id}$ , i.e., $f(f(x)) = x$ para todo $x$ .
2. Isso significa: $f \circ f = \operatorname{id}$ , logo $f$ é a inversa de si mesma: $f^{-1} = f$ .
3. Verifique $f(x) = c - x$ : $f(f(x)) = c - (c - x) = x$ . ✓ (reflexão em torno de $c/2$ )
4. Verifique $f(x) = -x$ : $f(f(x)) = -(-x) = x$ . ✓ (reflexão pela origem)
5. Verifique $f(x) = 1/x$ : $f(f(x)) = 1/(1/x) = x$ . ✓ (para $x \neq 0$ )
Curiosidade: involuções aparecem em criptografia simétrica (cifras de substituição) e em álgebra abstrata como "elementos de ordem 2" em grupos. A transposição de matrizes quadradas também é uma involução: $(M^T)^T = M$ .

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §3.4 (composição) e §5.7 (inversa). Fonte primária dos blocos A e C.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §5.1 (composição e domínio) e §5.2 (inversas). Fonte primária do bloco B.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 4 (inversa em modelagem de unidades). Fonte primária do bloco D.
Hammack — Book of Proof (3ª ed) — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · cap. 12 (composição, inversa, bijeção, demonstrações). Fonte primária do bloco E.
Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.5 (composição como antecipação da regra da cadeia).