Lição 7 — Funções logarítmicas

1. Reformule a pergunta. "Calcule $\log_2 8$" significa: a quanto elevo 2 para obter 8?
2. Fatore o argumento. $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
3. Aplique $\log_a(a^p) = p$: $\log_2(2^3) = 3$.
4. Verifique pela definição: $\log_2 8 = 3 \iff 2^3 = 8$. ✓

Macete: para todo log "limpo" com argumento inteiro pequeno, fatore na base. Se a base não aparece como fator (ex.: $\log_2 7$), use mudança de base — exercício 7.19.

1. Reescreva a raiz como expoente fracionário: $\sqrt{32} = 32^{1/2}$.
2. Aplique P3 $\log_a(x^p) = p \log_a x$: $\log_2(32^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_2 32$.
3. Calcule $\log_2 32$: como $32 = 2^5$, vale $\log_2 32 = 5$.
4. Conclua: $\frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$.
5. Sanity check: $2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32}$. ✓

Macete: tirar raiz quadrada dentro do log é equivalente a dividir por 2 fora do log — P3 com expoente 1/2.

1. Reduza ambos a base comum. Tanto 16 quanto 64 são potências de 2: $16 = 2^4$ e $64 = 2^6$.
2. Use a definição: $\log_{16} 64 = y \iff 16^y = 64 \iff (2^4)^y = 2^6 \iff 2^{4y} = 2^6$.
3. Iguale expoentes: $4y = 6 \Rightarrow y = 3/2$.
4. Verifique: $16^{3/2} = (\sqrt{16})^3 = 4^3 = 64$. ✓

Macete: $\log_{a^p}(a^q) = q/p$. Vale memorizar para potências racionais.

1. Lembre da mudança de base: $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$, válida para qualquer $b > 0, b \neq 1$.
2. Escolha a base auxiliar. Para resposta "em termos de $\ln$", use $b = e$.
3. Aplique: $\log_2 7 = \frac{\ln 7}{\ln 2}$.
4. Calcule numericamente: $\ln 7 \approx 1{,}9459$ e $\ln 2 \approx 0{,}6931$; razão $\approx 2{,}807$.
5. Sanity check: $2^{2{,}807} \approx 7$. ✓

Macete: a calculadora só tem $\ln$ e $\log_{10}$. Para qualquer outra base, use mudança de base — ambas as auxiliares dão o mesmo resultado.

1. Identifique o domínio antes de tudo. $x > 0$ e $x - 3 > 0$; interseção: $x > 3$.
2. Combine via P1: $\log_4[x(x-3)] = 1$.
3. Definição: $x(x-3) = 4^1 = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$.
4. Fatore: $(x-4)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 4$ ou $x = -1$.
5. Filtre: $x = -1 < 3$, descarte. Fica $x = 4$.
6. Verifique: $\log_4 4 + \log_4 1 = 1 + 0 = 1$. ✓

Atalho mental: equação logarítmica → combine via propriedade → equação algébrica (geralmente quadrática) → filtre pelo domínio. Raízes espúrias são frequentes — sempre verifique.

1. Intensidade sonora em dB: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ com $I_0 = 10^{-12}$ W/m².
2. Calcule $L$ para conversa ($I = 10^{-6}$ W/m²): $L = 10 \log_{10}(10^{-6}/10^{-12}) = 10 \log_{10}(10^6) = 10 \cdot 6 = 60$ dB.
3. Calcule $L$ para show ($I = 10^{-2}$ W/m²): $L = 10 \log_{10}(10^{10}) = 100$ dB.
4. Razão de intensidades: $\Delta L = 100 - 60 = 40$ dB $\Rightarrow I_\text{show}/I_\text{conv} = 10^{40/10} = 10^4 = 10.000$.
5. Sanity check: 40 dB de diferença = fator $10^4$ em intensidade. ✓

Macete: cada 10 dB corresponde a multiplicar a intensidade por 10. Diferença de 40 dB = fator $10^4 = 10.000$ em intensidade.

1. Calcule a diferença de magnitudes: $m_1 - m_2 = -1{,}5 - 6 = -7{,}5$. O sinal negativo indica que a estrela 1 (Sirius) é mais brilhante.
2. Substitua na fórmula: $-7{,}5 = -2{,}5 \log_{10}(F_1/F_2)$.
3. Isole o log: $\log_{10}(F_1/F_2) = 3$.
4. Aplique a definição: $F_1/F_2 = 10^3 = 1.000$.
5. Interprete: Sirius é 1.000 vezes mais brilhante que a estrela de magnitude 6.

Curiosidade: a escala de magnitudes foi definida por Hipparco (séc. II a.C.) e formalizada por Pogson (1856). A escolha do fator $-2{,}5$ preserva a tradição visual antiga: diferença de 5 magnitudes = fator exato de 100 em brilho.

1. Hipótese: $a > 0, a \neq 1$ e $x, y > 0$. Tese: $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.
2. Atribua variáveis: seja $u = \log_a x$ e $v = \log_a y$. Por definição, $a^u = x$ e $a^v = y$.
3. Multiplique os dois: $xy = a^u \cdot a^v$.
4. Aplique a lei dos expoentes $a^m a^n = a^{m+n}$: $xy = a^{u+v}$.
5. Aplique $\log_a$ em ambos os lados: $\log_a(xy) = u + v = \log_a x + \log_a y$. ∎

Macete: P1 do log é apenas a lei dos expoentes "lida do outro lado". Toda propriedade logarítmica tem uma lei de expoente correspondente.

1. Defina a variável. Seja $u = \log_b x$. Por definição, $b^u = x$.
2. Aplique $\log_a$ em ambos os lados: $\log_a(b^u) = \log_a x$.
3. Use P3 no lado esquerdo: $u \log_a b = \log_a x$.
4. Isole $u$: como $\log_a b \neq 0$ (pois $b \neq 1$), divide-se: $u = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$.
5. Substitua de volta: $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$. ∎

Observação: esta demonstração usa apenas P3 e a definição. A fórmula é poderosa: permite usar uma única base ($e$ ou 10) para calcular qualquer logaritmo.

1. Comece da fórmula: $P(t) = P_0 e^{rt}$.
2. Divida por $P_0$: $P/P_0 = e^{rt}$.
3. Aplique $\ln$: $\ln(P/P_0) = rt$.
4. Isole $t$: $t = \ln(P/P_0)/r$.
5. Para dobrar ($P/P_0 = 2$) com $r = 0{,}10$: $t = \ln 2 / 0{,}10 \approx 0{,}693/0{,}10 = 6{,}93$ anos.
6. Regra dos 70: $70/r\% = 70/10 = 7$ anos. Diferença menor que 1%. ✓

Curiosidade: a "regra dos 72" do mundo financeiro usa 72 em vez de 70 — funciona melhor para taxas entre 6% e 10% a.a., onde a aproximação linear de $\ln 2$ tem erros menores.