v1 · padrão canônico

Lição 8 — Crescimento exponencial, polinomial e logarítmico

Comparação de taxas de crescimento: exponencial domina polinômio que domina logaritmo. Modelos: linear, exponencial, logístico (sigmoide). Aplicações: bactérias, juros compostos vs simples, Lei de Moore, meia-vida, modelo SIR.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês cap. 4 · Equiv. Klasse 10 alemã — Funktionen

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

O modelo exponencial fundamental: a taxa de variação é proporcional à quantidade presente. Para $k > 0$ cresce; para $k < 0$ decai. Entre todos os modelos de crescimento, $e^{kt}$ eventualmente supera qualquer polinômio — e $\ln t$ cresce mais devagar que qualquer potência positiva.

Livros que cobrem esta lição

Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs
· cap. 5–6 (modelos exponenciais e logarítmicos) · licença aberta · Crescimento populacional, juros compostos, meia-vida, comparação linear vs exponencial com aplicações reais. Fonte primária para os exercícios de modelagem.
OpenStax — College Algebra 2e
· §6.1–6.2, §6.7 (modelos exponenciais e logarítmicos) · CC-BY 4.0 · Tratamento canônico do modelo exponencial, decaimento radioativo, datação por carbono, resfriamento de Newton, e comparação qualitativa de taxas de crescimento.
Lebl — Notes on Diffy Qs
· §1.4 (modelos exponenciais como solução de $\dot N = kN$ ; modelo logístico) · CC-BY-SA · Justificativa via EDO separável — conecta o modelo algébrico ao cálculo diferencial do Trim 10.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Comparação de taxas de crescimento

"Há uma hierarquia de funções baseada na rapidez de crescimento. Exponenciais crescem mais rápido que potências, que crescem mais rápido que logaritmos." — OpenStax College Algebra 2e §6.2

Comparação de crescimento: $\ln x$ (azul) versus $x$ (verde) versus $2^x$ (dourado). Para $x$ grande, $2^x$ dispara acima de tudo.

O modelo exponencial fundamental

\frac{dN}{dt} = kN

what this means · EDO de variáveis separáveis: a taxa de variação de N é proporcional ao próprio N. Esta equação é central no Trim 10 — a justificativa rigorosa do modelo aparece quando você aprender derivadas e EDOs.

Fenômeno	Equação	Parâmetro
Crescimento populacional	$P(t) = P_0 e^{rt}$	$r > 0$ taxa intrínseca
Juros compostos contínuos	$S(t) = S_0 e^{it}$	$i$ taxa nominal
Decaimento radioativo	$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$	$\lambda > 0$ constante de decaimento
Resfriamento (Newton)	$T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$	$k > 0$ depende do material

Meia-vida e tempo de duplicação

\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} \approx \frac{0{,}693}{|k|}

what this means · Meia-vida: tempo para reduzir à metade (quando k negativo). Tempo de duplicação: tempo para dobrar (quando k positivo). A relação é simétrica.

Modelo logístico

Crescimento exponencial puro é fisicamente insustentável: implica $N \to \infty$ . O modelo logístico incorpora saturação em uma capacidade $K$ :

\dot N = r N \!\left(1 - \frac{N}{K}\right), \qquad N(t) = \frac{K}{1 + A e^{-rt}}

what this means · Quando N é pequeno comparado a K, o fator (1 - N/K) ≈ 1 e o crescimento é quase exponencial. Quando N se aproxima de K, o crescimento desacelera e satura em K. A curva resultante tem forma de S (sigmoide).

"O modelo logístico é comumente usado para modelar o crescimento de populações. O crescimento começa lentamente, atinge um máximo, e depois desacelera à medida que a população se aproxima do limite ambiental." — OpenStax College Algebra 2e §6.7

Linearização via log

Plotar $N(t)$ vs $t$ em escala log-y transforma a exponencial em reta:

$\ln N = \ln N_0 + kt$

Inclinação da reta é $k$ . Esta é a base da regressão linear sobre dados exponenciais.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Bactérias dobrando — modelo de base 2 (aplicação)

Problema: Uma colônia de bactérias começa com 500 indivíduos e dobra a cada hora. Quantas bactérias haverá após 6 horas?

Estratégia: Reconhecer o modelo "dobra a cada $T$ horas" como $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}$ . Aqui $N_0 = 500$ , $T = 1$ .

Resolução:

Escreva o modelo: $N(t) = 500 \cdot 2^{t}$ , com $t$ em horas.
Substitua $t = 6$ : $N(6) = 500 \cdot 2^6 = 500 \cdot 64 = 32\,000$ .
Resposta: 32.000 bactérias.

Verificação: $N(1) = 1\,000$ ; $N(2) = 2\,000$ ; $N(3) = 4\,000$ . Cada hora dobra, padrão consistente. $500 \times 64 = 32\,000$ ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Juros compostos contínuos vs simples (intermediário)

Problema: R$ 5.000 são aplicados a 8% a.a. em duas modalidades: (a) capitalização simples; (b) capitalização contínua. Calcule o saldo após 10 anos em cada caso e compare.

Estratégia: (a) Juros simples: $S = S_0(1 + rt)$ . (b) Juros contínuos: $S = S_0 e^{rt}$ , com $r = 0{,}08$ , $t = 10$ .

Resolução:

(a) Simples: $S = 5\,000 \cdot (1 + 0{,}08 \cdot 10) = 5\,000 \cdot 1{,}8 = 9\,000$ .

(b) Contínuo: $S = 5\,000 \cdot e^{0{,}08 \times 10} = 5\,000 \cdot e^{0{,}8} \approx 5\,000 \cdot 2{,}2255 = 11\,127{,}70$ .

Diferença: R$ 2.127,70 a favor da capitalização contínua — 24% a mais.

Verificação: Regra dos 70: $T_\text{dupl} \approx 70/8 = 8{,}75$ anos. Em 10 anos esperamos um pouco mais que dobrar no contínuo ( $11\,127/5\,000 = 2{,}23\times$ ) ✓. No simples, $1{,}8\times$ sem efeito de juros sobre juros ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Lei de Moore — taxa contínua e tempo de duplicacao (avancado)

Problema: O número de transistores num chip passa de 2.300 (Intel 4004, 1971) para 2,6 bilhões (Intel Core i7, 2011) em 40 anos. (a) Calcule a taxa anual contínua $r$ . (b) Verifique se é consistente com "dobra a cada 2 anos".

Estratégia: $N(t) = N_0 e^{rt}$ . Aplique $\ln$ para isolar $r$ . Depois calcule $T_\text{dupl} = \ln 2/r$ .

Resolução:

(a) $N(40)/N_0 = 2{,}6 \times 10^9 / 2.300 \approx 1.130.435$ . Portanto $e^{40r} = 1.130.435$ . $40r = \ln(1.130.435) \approx 13{,}94 \Rightarrow r \approx 0{,}348 \text{ por ano} \approx 34{,}8\%\text{ a.a.}$

(b) Tempo de duplicação: $T = \ln 2 / 0{,}348 \approx 1{,}99$ anos. Consistente com a Lei de Moore. ✓

Verificação: Em 40 anos, 20 duplicações: $2.300 \times 2^{20} = 2.300 \times 1.048.576 \approx 2{,}4 \times 10^9$ — muito próximo dos $2{,}6 \times 10^9$ reais ✓.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença aberta.

Example— 5· Lei de resfriamento de Newton — identificacao de parametros (modelagem)

Problema: Uma xícara de café a $90\,°C$ é colocada em sala de $20\,°C$ . Após 5 min está a $70\,°C$ . (a) Modele $T(t)$ . (b) Calcule $T(15)$ . (c) Quanto tempo até atingir $30\,°C$ ?

Estratégia: $T(t) - T_a = (T_0 - T_a) e^{-kt}$ com $T_a = 20$ , $T_0 = 90$ .

Resolução:

(a) $T(t) = 20 + 70\,e^{-kt}$ . Use $T(5) = 70$ : $50 = 70\,e^{-5k} \Rightarrow e^{-5k} = 5/7 \Rightarrow k = \ln(7/5)/5 \approx 0{,}0673$ /min.

(b) $T(15) = 20 + 70\,e^{-0{,}0673 \times 15} = 20 + 70 \times 0{,}364 \approx 45{,}5\,°C$ .

(c) $30 = 20 + 70\,e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = 1/7 \Rightarrow t = \ln 7/k \approx 1{,}946/0{,}0673 \approx 28{,}9$ min.

Verificação: A diferença $T - T_a$ cai de $70$ a $50$ em 5 min (fator $5/7$ ). Em 15 min ( $= 3 \times 5$ ): $(5/7)^3 = 125/343 \approx 0{,}364$ , logo $T - 20 \approx 25{,}5$ , $T \approx 45{,}5\,°C$ ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.7 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 6Modeling 17Challenge 4Proof 2

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · licença aberta · caps. 5–6. Fonte primária do bloco de modelagem e comparação de taxas.
OpenStax — College Algebra 2e — OpenStax · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §6.1–6.2, §6.7 (juros, decaimento, datação, Newton, hierarquia de crescimento).
Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024, v6.6 · EN · CC-BY-SA · §1.4 (modelos exponenciais, logístico, SIR), §1.5 (circuitos RL).
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024, ed. 2.0 · EN · CC-BY-NC-SA · §3.1 (caracterização do crescimento exponencial, linearização via log).