v1 · padrão canônico

Lição 12 — Círculo trigonométrico e radianos

Generalização das razões trigonométricas via círculo unitário. Radianos como unidade natural. Identidades fundamentais e periodicidade.

Used in: 1.º ano EM · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

P(\theta) = (\cos\theta,\, \sin\theta) \quad \text{no círculo unitário}

O círculo trigonométrico de raio 1 centrado na origem. Para cada ângulo θ medido em radianos a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário, o ponto P(θ) tem coordenadas (cos θ, sin θ). Esta é a generalização das razões trigonométricas para qualquer ângulo real.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição via círculo unitário

"The unit circle is a circle of radius 1 centered at the origin. The (x, y) coordinates of a point on this circle, where the angle in standard position is t, are (cos t, sin t)." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.3

Radianos vs graus

\pi \text{ rad} = 180°, \qquad 1 \text{ rad} \approx 57{,}296°

(1)

what this means · Um radiano é o ângulo central que subtende um arco de comprimento igual ao raio. Como o perímetro do círculo unitário é 2π, uma volta completa (360°) equivale a 2π radianos. Em cálculo, usa-se sempre radianos: a identidade (sin x)' = cos x só vale nessa unidade.

Círculo trigonométrico. Para cada ângulo θ, o ponto P(θ) = (cos θ, sin θ). Periodicidade: girar 2π volta ao ponto inicial.

Identidade pitagórica

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

what this means · Consequência direta de P(θ) estar no círculo unitário (x² + y² = 1). Generaliza o Teorema de Pitágoras para qualquer θ ∈ ℝ.

Periodicidade

$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta \qquad \cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta \qquad \forall\,\theta \in \mathbb{R}$

Ângulos que diferem por múltiplos de $2\pi$ determinam o mesmo ponto no círculo: são chamados ângulos coterminais.

Sinais por quadrante

Quadrante	$\theta$ (rad)	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
I	$(0,\, \pi/2)$	$+$	$+$	$+$
II	$(\pi/2,\, \pi)$	$+$	$-$	$-$
III	$(\pi,\, 3\pi/2)$	$-$	$-$	$+$
IV	$(3\pi/2,\, 2\pi)$	$-$	$+$	$-$

Ângulos especiais

$\theta$	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$	$\pi$	$3\pi/2$	$2\pi$
$\sin$	$0$	$1/2$	$\sqrt{2}/2$	$\sqrt{3}/2$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\cos$	$1$	$\sqrt{3}/2$	$\sqrt{2}/2$	$1/2$	$0$	$-1$	$0$	$1$

Identidades de simetria

Exemplos resolvidos

Example— 2· Seno e cosseno em ângulo do quadrante II

Problema: Calcule $\sin(2\pi/3)$ e $\cos(2\pi/3)$ .

Estratégia: Identificar quadrante, calcular ângulo de referência, aplicar tabela, ajustar sinal.

Resolução:

Quadrante: $\pi/2 < 2\pi/3 < \pi$ — quadrante II.
Ângulo de referência: $\pi - 2\pi/3 = \pi/3$ .
Tabela: $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ , $\cos(\pi/3) = 1/2$ .
Sinais (Q2): $\sin > 0$ , $\cos < 0$ . Logo $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$ , $\cos(2\pi/3) = -1/2$ .

Verificação: $(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Reduzir ângulo pela periodicidade (intermediário)

Problema: Calcule $\cos(13\pi/4)$ .

Estratégia: Reduzir módulo $2\pi$ , depois identificar quadrante e ângulo de referência.

Resolução:

Reduzir: $13\pi/4 - 2\pi = 5\pi/4$ . (Como $5\pi/4 < 2\pi$ , paramos.)
Quadrante: $\pi < 5\pi/4 < 3\pi/2$ — quadrante III.
Referência: $5\pi/4 - \pi = \pi/4$ .
Tabela e sinal (Q3, $\cos < 0$ ): $\cos(13\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ .

Verificação: $\cos(13\pi/4) = \cos(13\pi/4 - 2 \times 2\pi) = \cos(5\pi/4)$ , e numericamente $-\sqrt{2}/2 \approx -0{,}7071$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Verificar identidade de reflexão (demonstração)

Problema: Prove que $\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$ para todo $\theta \in \mathbb{R}$ .

Estratégia: Usar a fórmula da soma de cossenos com $\cos\pi = -1$ , $\sin\pi = 0$ .

Resolução:

$\cos(\theta + \pi) = \cos\theta\cos\pi - \sin\theta\sin\pi = \cos\theta \cdot (-1) - \sin\theta \cdot 0 = -\cos\theta.$

Interpretação geométrica: somar $\pi$ ao ângulo equivale a refletir o ponto $P(\theta)$ pela origem — as duas coordenadas trocam de sinal: $(\cos\theta, \sin\theta) \to (-\cos\theta, -\sin\theta)$ .

Verificação numérica: $\cos(\pi/4 + \pi) = \cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2 = -\cos(\pi/4)$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.4 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Calcular sin 75° pela soma de ângulos (avançado)

Problema: Calcule $\sin(75°)$ exato, sem calculadora, usando $75° = 45° + 30°$ .

Estratégia: Aplicar $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ .

Resolução:

$\sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

Verificação numérica: $(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4 \approx (2{,}449 + 1{,}414)/4 \approx 0{,}9659$ , e $\sin 75° \approx 0{,}9659$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.2 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 9Modeling 6Challenge 1Proof 1

Ex. 12.1ApplicationAnswer key
Converta $60°$ para radianos.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.1 · ex. 1 · p. 448
Show solution
Multiplique por $\pi/180$ : $60° \times \pi/180° = \pi/3$ rad.
Ex. 12.2Application
Converta $225°$ para radianos.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.1 · ex. 7 · p. 449
Show solution
$225° \times \pi/180° = 225\pi/180$ . Simplificando por 45: $5\pi/4$ rad.
Show step-by-step (with the why)
1. Aplicar o fator de conversão. Multiplique por $\pi/180°$ : $225° \times \pi/180°$ .
2. Simplificar a fração. $\gcd(225, 180) = 45$ ; dividir: $225/45 = 5$ , $180/45 = 4$ . Resultado: $5\pi/4$ .
3. Sanidade. 225° está no quadrante III. $5\pi/4 \approx 3{,}93$ , que está entre $\pi \approx 3{,}14$ e $3\pi/2 \approx 4{,}71$ . ✓
Macete: múltiplos de 45° têm denominador 4 em radianos; múltiplos de 30° têm denominador 6.
Ex. 12.3Application
Converta $120°$ para radianos.
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.1 · ex. 3 · p. 698
Show solution
$120° \times \pi/180° = 2\pi/3$ rad.
Ex. 12.4Application
Converta $\pi/3$ rad para graus.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.1 · ex. 11 · p. 449
Show solution
$(\pi/3) \times 180°/\pi = 60°$ .
Ex. 12.5ApplicationAnswer key
Converta $7\pi/4$ rad para graus.
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.1 · ex. 5 · p. 698
Show solution
$(7\pi/4) \times 180°/\pi = 315°$ .
Ex. 12.6Application
Converta $1$ rad para graus (resultado aproximado).
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.1 · ex. 13 · p. 448
Show solution
$1 \times 180°/\pi \approx 57{,}296°$ . É o "ângulo natural" — arco de comprimento 1 no círculo unitário.
Ex. 12.7ApplicationAnswer key
Encontre o ângulo coterminal em $[0, 2\pi)$ para (a) $11\pi/4$ e (b) $-\pi/6$ .
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.1 · ex. 9 · p. 699
Show solution
Ângulos coterminais diferem por múltiplos inteiros de $2\pi$ . Para $11\pi/4$ : $11\pi/4 - 2\pi = 3\pi/4$ . Para $-\pi/6$ : $-\pi/6 + 2\pi = 11\pi/6$ . Ambos em $[0, 2\pi)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Definição. $\theta_1$ e $\theta_2$ são coterminais se $\theta_1 - \theta_2 = 2\pi k$ para algum inteiro $k$ .
2. Reduzir $11\pi/4$ . $11\pi/4 > 2\pi$ (pois $8\pi/4 = 2\pi$ ), então subtraia $2\pi$ : $11\pi/4 - 8\pi/4 = 3\pi/4$ . Agora $3\pi/4 \in [0, 2\pi)$ . ✓
3. Reduzir $-\pi/6$ . Negativo, então adicione $2\pi$ : $-\pi/6 + 12\pi/6 = 11\pi/6$ . ✓
Macete: ângulo coterminal em [0, 2π) é simplesmente θ mod 2π.
Ex. 12.8Application
Converta $-150°$ para radianos.
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.1 · ex. 7 · p. 698
Show solution
$-150° \times \pi/180° = -5\pi/6$ rad.
Ex. 12.9ApplicationAnswer key
Converta $\pi/12$ rad para graus.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.1 · ex. 15 · p. 449
Show solution
$(\pi/12) \times 180°/\pi = 15°$ .
Ex. 12.10Application
Converta $400°$ para radianos. Qual o ângulo coterminal em $[0, 2\pi)$ ?
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.1 · ex. 11 · p. 698
Show solution
$400° \times \pi/180° = 20\pi/9$ rad. Ângulo maior que $2\pi$ ; ângulo coterminal: $20\pi/9 - 2\pi = 2\pi/9$ .
Ex. 12.11ApplicationAnswer key
Calcule $\sin(\pi/6)$ e $\cos(\pi/6)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 1 · p. 482
Show solution
Tabela de ângulos especiais: $\sin(\pi/6) = 1/2$ , $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$ (equivale a 30°).
Ex. 12.12Application
Calcule $\sin(2\pi/3)$ e $\cos(2\pi/3)$ .
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 5 · p. 742
Show solution
Quadrante II ( $\pi/2 < 2\pi/3 < \pi$ ). Ângulo de referência: $\pi - 2\pi/3 = \pi/3$ . Seno positivo, cosseno negativo no Q2: $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$ , $\cos(2\pi/3) = -1/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Localizar quadrante. $2\pi/3 \approx 2{,}09$ rad; $\pi/2 < 2\pi/3 < \pi$ : quadrante II.
2. Ângulo de referência. No Q2: $\theta_{ref} = \pi - \theta = \pi - 2\pi/3 = \pi/3$ .
3. Tabela. $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$ , $\cos(\pi/3) = 1/2$ .
4. Sinais no Q2. Seno positivo, cosseno negativo: $\sin(2\pi/3) = +\sqrt{3}/2$ , $\cos(2\pi/3) = -1/2$ .
5. Verificar. $(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1$ . ✓
Macete: a tabela do primeiro quadrante basta para todos os outros — só muda o sinal.
Ex. 12.13Application
Calcule $\sin(\pi)$ e $\cos(\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 3 · p. 480
Show solution
Em $\theta = \pi$ (180°), o ponto no círculo é $(-1, 0)$ . Logo $\cos\pi = -1$ , $\sin\pi = 0$ .
Ex. 12.14Application
Calcule $\sin(3\pi/2)$ e $\cos(3\pi/2)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 5 · p. 480
Show solution
Em $\theta = 3\pi/2$ (270°), o ponto no círculo é $(0, -1)$ . Logo $\cos(3\pi/2) = 0$ , $\sin(3\pi/2) = -1$ .
Ex. 12.15Application
Calcule $\sin(7\pi/6)$ e $\cos(7\pi/6)$ .
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 7 · p. 742
Show solution
Quadrante III ( $\pi < 7\pi/6 < 3\pi/2$ ). Ângulo de referência: $7\pi/6 - \pi = \pi/6$ . Ambos negativos no Q3: $\sin(7\pi/6) = -1/2$ , $\cos(7\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ .
Ex. 12.16Application
Calcule $\sin(11\pi/6)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 17 · p. 483
Show solution
Quadrante IV ( $3\pi/2 < 11\pi/6 < 2\pi$ ). Ângulo de referência: $2\pi - 11\pi/6 = \pi/6$ . Seno negativo no Q4: $\sin(11\pi/6) = -1/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Localizar quadrante. $11\pi/6 \approx 5{,}76$ rad; $3\pi/2 \approx 4{,}71 < 11\pi/6 < 2\pi \approx 6{,}28$ : quadrante IV.
2. Ângulo de referência no Q4. $\theta_{ref} = 2\pi - 11\pi/6 = \pi/6$ .
3. Tabela. $\sin(\pi/6) = 1/2$ .
4. Sinal no Q4. Seno negativo (ponto abaixo do eixo x). Logo $\sin(11\pi/6) = -1/2$ .
5. Conferir. $11\pi/6 = 2\pi - \pi/6$ , então $\sin(11\pi/6) = \sin(-\pi/6) = -1/2$ . ✓
Macete: para qualquer ângulo, identifique quadrante (sinal) e ângulo de referência (módulo). A tabela do Q1 resolve tudo.
Ex. 12.17Application
Calcule $\cos(5\pi/4)$ .
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 9 · p. 742
Show solution
Quadrante III. Ângulo de referência: $5\pi/4 - \pi = \pi/4$ . Cosseno negativo no Q3: $\cos(5\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ .
Ex. 12.18Application
Calcule $\sin(5\pi/3)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 19 · p. 483
Show solution
Quadrante IV ( $3\pi/2 < 5\pi/3 < 2\pi$ ). Ângulo de referência: $2\pi - 5\pi/3 = \pi/3$ . Seno negativo no Q4: $\sin(5\pi/3) = -\sqrt{3}/2$ .
Ex. 12.19Application
Calcule $\tan(\pi/3)$ .
Solve online Wikilivros — Trigonometria · Razões em ângulos notáveis · ex. tangente · p. online
Show solution
$\tan(\pi/3) = \sin(\pi/3)/\cos(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)/(1/2) = \sqrt{3}$ .
Ex. 12.20Application
Calcule $\cos(-\pi/4)$ usando paridade e via redução ao quadrante. Confirme que os dois métodos concordam.
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 13 · p. 743
Show solution
Reduzir: $-\pi/4 + 2\pi = 7\pi/4$ (Q4). Ângulo de referência: $\pi/4$ . Cosseno positivo no Q4: $\cos(-\pi/4) = \cos(7\pi/4) = \sqrt{2}/2$ . Alternativamente, pela paridade: $\cos(-\pi/4) = \cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Paridade de cosseno. $\cos(-\theta) = \cos\theta$ para todo $\theta$ . Logo $\cos(-\pi/4) = \cos(\pi/4)$ .
2. Tabela. $\cos(\pi/4) = \sqrt{2}/2$ .
3. Verificar por quadrante. $-\pi/4$ equivale a Q4 (ângulo $7\pi/4$ ); cosseno é positivo no Q4. ✓
Macete: quando ver ângulo negativo, aplique paridade antes de procurar o quadrante.
Ex. 12.21ApplicationAnswer key
Calcule $\tan(7\pi/6)$ .
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 11 · p. 742
Show solution
Quadrante III: seno e cosseno ambos negativos, então tangente positiva. Ângulo de referência $\pi/6$ : $\tan(7\pi/6) = \tan(\pi/6) = \sqrt{3}/3$ .
Ex. 12.22Application
Calcule $\cos(29\pi/6)$ . (Reduza pela periodicidade antes de identificar o quadrante.)
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 23 · p. 483
Show solution
Reduzir: $29\pi/6 - 2 \times 2\pi = 29\pi/6 - 24\pi/6 = 5\pi/6$ . Quadrante II. Ângulo de referência: $\pi - 5\pi/6 = \pi/6$ . Cosseno negativo no Q2: $\cos(29\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ .
Ex. 12.23Application
Calcule $\sin(-13\pi/4)$ .
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 15 · p. 743
Show solution
Reduzir: $-13\pi/4 + 2 \times 2\pi = -13\pi/4 + 16\pi/4 = 3\pi/4$ . Quadrante II. Referência: $\pi/4$ . Seno positivo no Q2: $\sin(-13\pi/4) = \sqrt{2}/2$ .
Ex. 12.24UnderstandingAnswer key
Verifique numericamente que $\cos^2(\pi/3) + \sin^2(\pi/3) = 1$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 7 · p. 481
Show solution
Verificar: $\sin^2(\pi/3) + \cos^2(\pi/3) = (\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 = 3/4 + 1/4 = 1$ . ✓ Vale porque $P(\pi/3)$ está sobre o círculo unitário ( $x^2 + y^2 = 1$ ).
Ex. 12.25Understanding
Use a identidade de paridade para calcular $\sin(-\pi/4)$ sem usar quadrante. Interprete geometricamente.
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 19 · p. 744
Show solution
Pela paridade: $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ (seno é função ímpar). Logo $\sin(-\pi/4) = -\sin(\pi/4) = -\sqrt{2}/2$ . Geometricamente: refletir o ângulo no eixo x (negar) flipa a coordenada $y$ (seno), mantendo $x$ (cosseno).
Ex. 12.26Understanding
Prove que $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ usando a fórmula da soma. Dê uma interpretação geométrica.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.2 · ex. 9 · p. 836
Show solution
Fórmula da soma: $\sin(\theta + \pi) = \sin\theta\cos\pi + \cos\theta\sin\pi = \sin\theta \cdot (-1) + \cos\theta \cdot 0 = -\sin\theta$ . Geometricamente: somar $\pi$ reflete o ponto pela origem, trocando sinal de ambas as coordenadas.
Ex. 12.27Understanding
Prove que $\cos(\pi/2 - \theta) = \sin\theta$ usando a fórmula da diferença de cossenos. Explique por que isso justifica o nome "cosseno".
Stitz–Zeager Precalculus · §10.4 · ex. 7 · p. 760
Show solution
Fórmula da soma de cossenos: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ . Com $\alpha = \pi/2$ : $\cos(\pi/2 - \theta) = \cos(\pi/2)\cos\theta + \sin(\pi/2)\sin\theta = 0 \cdot \cos\theta + 1 \cdot \sin\theta = \sin\theta$ . A identidade diz que seno e cosseno são co-funções — cosseno de um ângulo é seno do complemento.
Show step-by-step (with the why)
1. Fórmula da diferença. $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ .
2. Substituir. $\alpha = \pi/2$ , $\beta = \theta$ .
3. Valores de π/2. $\cos(\pi/2) = 0$ , $\sin(\pi/2) = 1$ .
4. Simplificar. $\cos(\pi/2 - \theta) = 0 \cdot \cos\theta + 1 \cdot \sin\theta = \sin\theta$ . ∎
5. Verificar. $\theta = \pi/6$ : $\cos(\pi/2 - \pi/6) = \cos(\pi/3) = 1/2 = \sin(\pi/6)$ . ✓
Curiosidade: "cosseno" vem de "complementi sinus" — seno do complemento. A identidade justifica etimologicamente o nome.
Ex. 12.28Understanding
Derive a identidade $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$ a partir da fórmula da soma.
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.5 · ex. 3 · p. 779
Show solution
Fórmula da soma: $\cos(2\theta) = \cos(\theta + \theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ . Substituindo $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ : $\cos(2\theta) = 1 - \sin^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ .
Ex. 12.29Understanding
Em qual quadrante encontra-se um ângulo $\theta$ tal que $\sin\theta > 0$ e $\cos\theta < 0$ ?
Select the correct option
Quadrante II: sin positivo e cos negativoQuadrante I: ambos positivosQuadrante III: ambos negativosQuadrante IV: sin negativo e cos positivo
Select an option first
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 31 · p. 477
Show solution
Seno positivo: quadrantes I e II. Cosseno negativo: quadrantes II e III. Interseção: quadrante II. Isso determina o sinal sem conhecer o ângulo exato.
Ex. 12.30Understanding
Determine todos os $\theta \in [0, 2\pi)$ tais que $\sin\theta = \cos\theta$ . (Dica: quando a tangente é 1?)
Select the correct option
$\theta = \pi/4$ ou $\theta = 5\pi/4$ $\theta = 0$ ou $\theta = \pi$ $\theta = \pi/2$ ou $\theta = 3\pi/2$ $\theta = \pi/3$ ou $\theta = 2\pi/3$
Select an option first
Solve online Stitz–Zeager Precalculus · §10.7 · ex. 5 · p. 814
Show solution
$\sin\theta = \cos\theta$ implica $\tan\theta = 1$ (onde $\cos\theta \neq 0$ ). Em $[0, 2\pi)$ : tangente = 1 no Q1 ( $\theta = \pi/4$ ) e no Q3 ( $\theta = 5\pi/4$ ).
Ex. 12.31Understanding
Prove que $(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = 1$ para todo $\theta$ com $\cos\theta \neq 0$ .
Stitz–Zeager Precalculus · §10.3 · ex. 23 · p. 745
Show solution
Mostre que a expressão é independente de $\theta$ . Pela identidade pitagórica, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ . Logo: $(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ , qualquer que seja $\theta$ (com $\cos\theta \neq 0$ ).
Show step-by-step (with the why)
1. Expandir. $(1 + \tan^2\theta)\cos^2\theta = \cos^2\theta + \tan^2\theta \cdot \cos^2\theta$ .
2. Substituir tan. $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ , então $\tan^2\theta \cdot \cos^2\theta = \sin^2\theta$ .
3. Somar. $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ . ∎
Observação: a identidade $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ é obtida dividindo a identidade pitagórica por $\cos^2\theta$ .
Ex. 12.32Understanding
Use a identidade $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ para calcular $\sin(5\pi/6)$ sem usar quadrante.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.2 · ex. 7 · p. 835
Show solution
Use a identidade $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ (prova: fórmula da diferença com $\sin\pi = 0$ , $\cos\pi = -1$ ): $\sin(\pi - \theta) = \sin\pi\cos\theta - \cos\pi\sin\theta = 0 - (-1)\sin\theta = \sin\theta$ . Então $\sin(5\pi/6) = \sin(\pi - 5\pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$ . Verificar: Q2, seno positivo, referência $\pi/6$ . ✓
Ex. 12.33Modeling
Um disco de vinil gira a 33 rpm. Calcule a velocidade angular em rad/s.
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §10.1 · ex. 3 · p. 468
Show solution
33 rpm = $33/60 \approx 0{,}55$ rev/s. Cada revolução = $2\pi$ rad. Logo $\omega = 0{,}55 \times 2\pi = 1{,}1\pi \approx 3{,}46$ rad/s.
Ex. 12.34ModelingAnswer key
Um pêndulo descreve arco de 30°. Comprimento do arco se o fio tem $1{,}5$ m?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.1 (Arc Length) · ex. 21 · p. 451
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Converter 30° para radianos: $30° = \pi/6$ rad. Comprimento de arco: $s = r\theta = 1{,}5 \times \pi/6 = \pi/4 \approx 0{,}785$ m. Verificar: 30° é 1/12 do círculo; perímetro = $2\pi \times 1{,}5 \approx 9{,}42$ m; $9{,}42/12 \approx 0{,}785$ . ✓
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1. Converter ângulo. A fórmula $s = r\theta$ exige $\theta$ em radianos. $30° = \pi/6$ rad.
2. Aplicar fórmula. $s = r\theta = 1{,}5 \times \pi/6 = 1{,}5\pi/6 = \pi/4$ m.
3. Numericamente. $\pi/4 \approx 0{,}785$ m.
4. Sanidade. 30° é 1/12 do círculo. Perímetro: $2\pi \times 1{,}5 \approx 9{,}42$ m. Fração: $9{,}42/12 \approx 0{,}785$ . ✓
Macete: $s = r\theta$ só vale em radianos — é essa elegância que faz os matemáticos preferirem a unidade.
Ex. 12.35Modeling
A rede elétrica brasileira tem frequência $f = 60$ Hz. Qual a velocidade angular $\omega = 2\pi f$ em rad/s?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 2 · §15.2 · ex. 1 · p. 694
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$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 = 120\pi \approx 377$ rad/s. A tensão da rede brasileira é $V(t) = 220\sqrt{2}\sin(120\pi t)$ V.
Ex. 12.36ModelingAnswer key
Motor industrial gira a $1\,800$ rpm. Velocidade angular em rad/s?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §10.1 · ex. 5 · p. 469
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1 800 rpm = $1800/60 = 30$ rev/s = $30 \times 2\pi = 60\pi \approx 188{,}5$ rad/s. É a velocidade típica de motor síncrono de 60 Hz com 4 polos ( $n = 120f/p = 1800$ rpm).
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1. rpm para rev/s. $1800 \div 60 = 30$ rev/s.
2. rev/s para rad/s. $30 \times 2\pi = 60\pi$ rad/s.
3. Numericamente. $60\pi \approx 188{,}5$ rad/s.
4. Sanidade física. Motor síncrono 60 Hz, 4 polos: $n = 120 \times 60/4 = 1800$ rpm. ✓
Macete: rpm → rad/s: multiplicar por π/30. Memorize este fator para cálculos de motor.
Ex. 12.37Modeling
Roda de bicicleta com raio $35$ cm. Velocidade linear $20$ km/h. Qual a velocidade angular em rad/s?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §10.1 · ex. 9 · p. 469
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Velocidade linear: $20$ km/h = $20000/3600 \approx 5{,}556$ m/s. Raio: $r = 0{,}35$ m. Velocidade angular: $\omega = v/r = 5{,}556/0{,}35 \approx 15{,}87$ rad/s.
Ex. 12.38Modeling
A fase de um oscilador é $\theta(t) = \omega t + \varphi$ , com $\omega = 2\pi$ rad/s e $\varphi = \pi/4$ . Calcule $\theta(0)$ e $\theta(1)$ . Qual o ângulo coterminal de $\theta(1)$ em $[0, 2\pi)$ ?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §10.1 · ex. 13 · p. 470
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Fase no tempo $t$ : $\theta(t) = \omega t + \varphi$ . Com $\omega = 2\pi$ rad/s e $\varphi = \pi/4$ : $\theta(0) = \pi/4$ . Após 1 s: $\theta(1) = 2\pi + \pi/4 = 9\pi/4$ (equivalente a $\pi/4$ mod $2\pi$ ).
Ex. 12.39Challenge
Verifique que três vetores unitários igualmente espaçados a $120°$ somam zero: $\sum_{k=0}^{2}\cos(2\pi k/3) = 0$ e $\sum_{k=0}^{2}\sin(2\pi k/3) = 0$ .
Solve online OpenStax University Physics Vol. 2 · §15.3 · ex. 3 · p. 701
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Use a fórmula de soma duas vezes. $\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ com $\alpha = \beta = \gamma = 2\pi/3$ . Após expandir: $\cos(2\pi/3) = -1/2$ , $\sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2$ . Soma das componentes x: $\cos 0 + \cos(2\pi/3) + \cos(4\pi/3) = 1 - 1/2 - 1/2 = 0$ . Componentes y: $\sin 0 + \sin(2\pi/3) + \sin(4\pi/3) = 0 + \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 = 0$ . Soma vetorial nula: equilíbrio confirmado. Este é o princípio do motor trifásico.
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1. Modelar. Três forças iguais em direções $0$ , $2\pi/3$ , $4\pi/3$ (igualmente espaçadas em 120°).
2. Componente x total. $\cos 0 + \cos(2\pi/3) + \cos(4\pi/3) = 1 + (-1/2) + (-1/2) = 0$ .
3. Componente y total. $\sin 0 + \sin(2\pi/3) + \sin(4\pi/3) = 0 + \sqrt{3}/2 + (-\sqrt{3}/2) = 0$ .
4. Conclusão. Soma vetorial nula: equilíbrio. O motor trifásico usa este princípio para produzir torque constante.
Aplicação: motores trifásicos, UAVs em configuração "Y", turbinas eólicas — todos exploram a soma nula de 3 vetores a 120° para cancelar vibrações.
Ex. 12.40ProofAnswer key
Desafio. Prove que a soma das $N$ raízes da unidade é zero: $\displaystyle\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik/N} = 0$ para $N \geq 2$ . Use a soma de progressão geométrica. Interprete geometricamente como os vértices de um polígono regular.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.2 · ex. desafio · p. 834
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Prove por indução que $\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi i k/N} = 0$ para $N \geq 2$ inteiro. Geometricamente, os $N$ vértices de um polígono regular centrado na origem têm centroide na origem (simetria rotacional). Analiticamente: $\sum_{k=0}^{N-1} e^{2\pi ik/N} = \frac{(e^{2\pi i/N})^N - 1}{e^{2\pi i/N} - 1} = \frac{e^{2\pi i} - 1}{e^{2\pi i/N} - 1} = \frac{1 - 1}{e^{2\pi i/N} - 1} = 0$ (soma de progressão geométrica, denominador não-nulo para $N \geq 2$ ).

Fontes

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.1 (ângulos e radianos), §5.3 (círculo unitário), §9.2–9.3 (soma, diferença, duplo ângulo). Fonte primária dos blocos A, B, C e D.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.1 (ângulos), §10.3 (círculo unitário), §10.4–10.5 (identidades). Fonte complementar dos blocos B e C.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · referência nativa em português, conversões e ângulos notáveis.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §10.1 (variáveis rotacionais). Fonte do bloco D (modelagem física).
University Physics (Volume 2) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §15.2–15.3 (circuitos AC). Fonte dos exercícios 12.35 e 12.39.