v1 · padrão canônico

Lição 13 — Funções trigonométricas

Gráficos de sin, cos, tan. Periodicidade, amplitude, fase, frequência. Modelagem de fenômenos periódicos.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês cap. 3 (三角関数) · Equiv. Klasse 10 alemã Trigonometrie · Equiv. Additional Math Singapura cap. 9

y(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k

Função senoidal genérica. A é a amplitude, $\omega$ a frequência angular, $\varphi$ a fase inicial, k o deslocamento vertical. Cobre todo fenômeno periódico simples: ondas, oscilações, marés.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e parâmetros

Funções trigonométricas

"The sine and cosine functions are periodic functions with period $2\pi$ . That is, for every input $t$ , $\sin(t + 2\pi) = \sin t$ and $\cos(t + 2\pi) = \cos t$ ." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §6.1

"The fundamental period of the sine and cosine functions is $2\pi$ . The domain of the sine function is all real numbers. The range is $[-1, 1]$ ." — Stitz–Zeager Precalculus, §10.5

Gráficos de sin x e cos x

Gráficos de sin x (azul-teal) e cos x (laranja). Defasados por π/2. Ambos têm amplitude 1 e período 2π.

Função senoidal generalizada

Definition· Parâmetros de y = A sin(ωt + φ) + k

Para $y(t) = A \sin(\omega t + \varphi) + k$ com $A > 0$ , $\omega > 0$ :

Parâmetro	Nome	Efeito
$A$	Amplitude	Distância do eixo médio aos picos; imagem $[k-A,\, k+A]$
$\omega$	Frequência angular (rad/s)	$T = 2\pi/\omega$ ; $f = \omega/(2\pi)$
$\varphi$	Fase inicial (rad)	Deslocamento horizontal: máximo em $\omega t + \varphi = \pi/2$
$k$	Deslocamento vertical	Eixo médio do gráfico

Gráfico de tan x

Funções recíprocas

Exemplos resolvidos

Example— 1· Identificar amplitude, período e imagem (aplicação)

Problema: Para $y = 3\sin(2x) + 1$ , identifique amplitude, período, frequência e imagem.

Estratégia: Comparar com $y = A\sin(\omega x + \varphi) + k$ e aplicar as definições diretamente.

Resolução:

Parâmetros: $A = 3$ , $\omega = 2$ , $\varphi = 0$ , $k = 1$ .
Amplitude: $|A| = 3$ .
Período: $T = 2\pi/\omega = 2\pi/2 = \pi$ .
Frequência: $f = 1/T = 1/\pi$ ciclos por unidade de $x$ .
Imagem: $[k - A,\, k + A] = [-2,\, 4]$ .

Verificação: em $x = \pi/4$ : $y = 3\sin(\pi/2) + 1 = 3 + 1 = 4$ (máximo). Em $x = 3\pi/4$ : $y = 3\sin(3\pi/2) + 1 = -3 + 1 = -2$ (mínimo). Imagem $[-2, 4]$ confirmada. ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §6.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Resolver equacao trigonometrica basica (aplicacao)

Problema: Resolva $\sin x = 1/2$ em $x \in [0, 2\pi)$ .

Estratégia: Usar o círculo unitário para identificar todos os ângulos no intervalo onde o seno vale $1/2$ .

Resolução:

Solução de referência: $\sin(\pi/6) = 1/2$ (quadrante I).
Simetria: o seno é positivo nos quadrantes I e II. No quadrante II: $\sin(\pi - \pi/6) = \sin(5\pi/6) = 1/2$ .
Conjunto solução: $\{\pi/6,\; 5\pi/6\}$ .

Verificação: $\sin(5\pi/6) = \sin(\pi - \pi/6) = \sin(\pi/6) = 1/2$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §7.5 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Modelagem de mare senoidal (intermediario)

Problema: A maré em uma baía oscila entre $0{,}5$ m e $2{,}5$ m com período de $12$ h. Em $t = 0$ a maré está no nível médio e subindo. Modele $h(t)$ .

Estratégia: Identificar $k$ , $A$ , $\omega$ e $\varphi$ pela receita de modelagem senoidal.

Resolução:

Valor médio: $k = (0{,}5 + 2{,}5)/2 = 1{,}5$ m.
Amplitude: $A = (2{,}5 - 0{,}5)/2 = 1$ m.
Frequência angular: $\omega = 2\pi/12 = \pi/6$ rad/h.
Fase: em $t = 0$ , $h = 1{,}5$ (nível médio) e crescendo. $\sin 0 = 0$ e $(\sin)' = \cos > 0$ , logo $\varphi = 0$ .
Modelo: $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ , $t$ em horas.

Verificação: em $t = 3$ h, $h = 1{,}5 + \sin(\pi/2) = 2{,}5$ (máximo, preamar). Em $t = 9$ h, $h = 1{,}5 + \sin(3\pi/2) = 0{,}5$ (mínimo, baixamar). ✓

Fonte. Active Calculus §0.7 (Trigonometry) — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Tensao eficaz da rede AC (avancado)

Problema: A tensão da rede elétrica brasileira é $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ V. Determine: (a) amplitude, (b) frequência em Hz, (c) período, (d) tensão eficaz $V_{ef} = V_0/\sqrt{2}$ .

Estratégia: Comparar com $A\sin(\omega t)$ e aplicar a definição de tensão eficaz.

Resolução:

Amplitude: $V_0 = 311$ V.
Frequência angular: $\omega = 120\pi$ rad/s.
Frequência: $f = \omega/(2\pi) = 60$ Hz.
Período: $T = 1/60$ s $\approx 16{,}67$ ms.
Tensão eficaz: $V_{ef} = 311/\sqrt{2} \approx 220$ V.

Verificação: 220 V eficazes é exatamente a especificação nominal da rede brasileira de 60 Hz. ✓

Fonte. OpenStax University Physics Vol. 2 §15.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Equacao trigonometrica de 2.o grau (modelagem real)

Problema: Resolva $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ em $x \in [0, 2\pi)$ .

Estratégia: Substituir $u = \sin x$ , resolver a quadrática em $u$ , depois encontrar os $x$ correspondentes.

Resolução:

Substituir $u = \sin x$ : $2u^2 + u - 1 = 0$ .
Fatorar: $(2u - 1)(u + 1) = 0$ , logo $u_1 = 1/2$ e $u_2 = -1$ .
Voltar a $x$ :
- $\sin x = 1/2$ : $x \in \{\pi/6,\; 5\pi/6\}$ .
- $\sin x = -1$ : $x = 3\pi/2$ .
Conjunto solução: $\{\pi/6,\; 5\pi/6,\; 3\pi/2\}$ .

Verificação: $x = \pi/6$ : $2(1/4) + 1/2 - 1 = 0$ . ✓ $x = 3\pi/2$ : $2(1) + (-1) - 1 = 0$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 4Modeling 11Challenge 1Proof 3

Ex. 13.1ApplicationAnswer key
Esboce $y = 2\sin x$ em $[0, 2\pi]$ . Identifique amplitude e período.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 1 · p. 555
Show solution
Em $y = A\sin(\omega x)$ , a amplitude é $|A| = 2$ e $\omega = 1$ , logo $T = 2\pi/1 = 2\pi$ . O gráfico tem máximo 2 em $x = \pi/2$ e mínimo -2 em $x = 3\pi/2$ .
Ex. 13.2ApplicationAnswer key
Para $y = \sin(2x)$ , qual é o período?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 3 · p. 556
Show solution
$\omega = 2$ , logo $T = 2\pi/2 = \pi$ . Multiplicar o argumento por $k$ divide o período por $k$ .
Ex. 13.3Application
Para $y = \cos(x/2)$ , qual é o período?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.5 · ex. 3 · p. 665
Show solution
$\omega = 1/2$ , logo $T = 2\pi/(1/2) = 4\pi$ . Comprimir o argumento estica o gráfico horizontalmente.
Ex. 13.4ApplicationAnswer key
Esboce $y = \sin(x - \pi/4)$ em $[0, 2\pi]$ . Indique amplitude, período e defasagem.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 5 · p. 558
Show solution
$y = \sin(x - \pi/4)$ : amplitude 1, período $2\pi$ , defasagem $+\pi/4$ (translação à direita). O zero crescente do seno migra de $x = 0$ para $x = \pi/4$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reconhecer a forma. $y = A\sin(\omega x - \omega\delta)$ com $A = 1$ , $\omega = 1$ , $\delta = \pi/4$ .
2. Defasagem horizontal. O "evento zero crescente" ocorre quando $x - \pi/4 = 0$ , ou seja $x = \pi/4$ . O gráfico foi deslocado $\pi/4$ à direita.
3. Sanidade. O máximo de $\sin x$ em $x = \pi/2$ migra para $x = 3\pi/4$ . ✓
Macete: sinal de menos dentro do argumento translada para a DIREITA — contraintuitivo. Pense: o "evento" de seno ocorre quando o argumento atinge o valor crítico, não quando x = 0.
Ex. 13.5Application
Identifique a imagem de $y = 3\sin x + 1$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.5 · ex. 7 · p. 666
Show solution
Imagem de $A\sin x + k$ é $[k - A,\, k + A]$ . Aqui $A = 3$ , $k = 1$ , logo $[1 - 3,\, 1 + 3] = [-2,\, 4]$ .
Ex. 13.6Application
Identifique amplitude, período, fase e imagem em $y = 4\sin(3x - \pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 9 · p. 559
Show solution
Forma $y = 4\sin(3x - \pi)$ : $A = 4$ , $\omega = 3$ , então $T = 2\pi/3$ . Defasagem: $3x - \pi = 0 \Rightarrow x = \pi/3$ . Imagem: $[-4,\, 4]$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identificar parâmetros. $A = 4$ , $\omega = 3$ , $\varphi = -\pi$ , $k = 0$ .
2. Amplitude. $|A| = 4$ . Imagem $[-4,\, 4]$ .
3. Período. $T = 2\pi/3$ .
4. Defasagem. Zero crescente em $3x - \pi = 0 \Rightarrow x = \pi/3$ .
Macete: a defasagem é o valor de x onde o "início do ciclo" (zero crescente) ocorre. Em sinais elétricos, essa diferença de fase entre tensão e corrente determina se a carga é resistiva, capacitiva ou indutiva.
Ex. 13.7Application
Identifique a imagem de $y = 2\cos x - 1$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.5 · ex. 11 · p. 667
Show solution
$A = 2$ , $k = -1$ , imagem: $[-1 - 2,\, -1 + 2] = [-3,\, 1]$ .
Ex. 13.8ApplicationAnswer key
Para $y = \sin(\pi t)$ , qual o período em segundos?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 13 · p. 556
Show solution
$\omega = \pi$ , logo $T = 2\pi/\pi = 2$ s.
Ex. 13.9Application
Para $y = \cos(2\pi t/T)$ , mostre que o período é $T$ .
Solve online Active Calculus · §0.7 · Preview Activity 0.7.1 · p. –
Show solution
Substituindo $t \to t + T$ : $\cos(2\pi(t+T)/T) = \cos(2\pi t/T + 2\pi) = \cos(2\pi t/T)$ , pela periodicidade do cosseno. Logo o período é $T$ .
Ex. 13.10ApplicationAnswer key
Esboce $y = \tan x$ em $(-\pi/2,\, \pi/2)$ e descreva as assíntotas verticais.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.3 · ex. 1 · p. 601
Show solution
Em $(-\pi/2,\, \pi/2)$ , a tangente é estritamente crescente: vale 0 em $x = 0$ , tende a $-\infty$ quando $x \to -\pi/2^+$ e a $+\infty$ quando $x \to \pi/2^-$ . Assíntotas verticais em $x = \pm\pi/2$ . Sem máximo nem mínimo.
Ex. 13.11Application
Resolva $\sin x = 1/2$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 1 · p. 727
Show solution
$\sin(\pi/6) = 1/2$ (quadrante I). Seno positivo no quadrante II: $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$ . Conjunto: $\{\pi/6,\, 5\pi/6\}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Solução de referência. Da tabela, $\sin(\pi/6) = 1/2$ .
2. Onde mais o seno é positivo? Quadrantes I e II. No Q-II: $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ .
3. Segunda solução. $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$ .
4. Conferir intervalo. Ambos em $[0, 2\pi)$ . ✓
Macete: para $\sin x = c$ com $0 < c < 1$ , sempre há duas soluções em $[0, 2\pi)$ : a "principal" $\arcsin c$ e a "suplementar" $\pi - \arcsin c$ .
Ex. 13.12Application
Resolva $\cos x = 0$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 3 · p. 727
Show solution
O cosseno é zero quando o ponto está sobre o eixo y: em $\pi/2$ (quadrante I/II) e $3\pi/2$ (quadrante III/IV).
Ex. 13.13Application
Resolva $\tan x = 1$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.7 · ex. 1 · p. 789
Show solution
$\tan(\pi/4) = 1$ . A tangente tem período $\pi$ , logo também $\pi/4 + \pi = 5\pi/4$ .
Ex. 13.14Application
Resolva $\sin x = -\sqrt{2}/2$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 7 · p. 729
Show solution
Seno negativo nos quadrantes III e IV. Ângulo de referência: $\arcsin(\sqrt{2}/2) = \pi/4$ . Q-III: $\pi + \pi/4 = 5\pi/4$ . Q-IV: $2\pi - \pi/4 = 7\pi/4$ .
Ex. 13.15Application
Resolva $\cos(2x) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.7 · ex. 9 · p. 791
Show solution
Seja $u = 2x$ . $\cos u = 1/2$ dá $u \in \{\pi/3,\, 5\pi/3,\, 7\pi/3,\, 11\pi/3\}$ em $[0, 4\pi)$ . Dividindo por 2: $x \in \{\pi/6,\, 5\pi/6,\, 7\pi/6,\, 11\pi/6\}$ .
Ex. 13.16Application
Resolva $\sin x = \cos x$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 11 · p. 731
Show solution
$\sin x = \cos x$ equivale a $\tan x = 1$ (dividir por $\cos x \neq 0$ ): $x = \pi/4$ ou $x = 5\pi/4$ .
Ex. 13.17Application
Resolva $2\sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 13 · p. 731
Show solution
Isolando: $\sin x = 1/2$ . Solução: $\{\pi/6,\, 5\pi/6\}$ .
Ex. 13.18ApplicationAnswer key
Resolva $\sin^2 x = 1/4$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.7 · ex. 15 · p. 793
Show solution
$\sin^2 x = 1/4 \Rightarrow \sin x = \pm 1/2$ . Para $+1/2$ : $\pi/6$ e $5\pi/6$ . Para $-1/2$ : $7\pi/6$ e $11\pi/6$ . Quatro soluções: $\{\pi/6,\, 5\pi/6,\, 7\pi/6,\, 11\pi/6\}$ .
Ex. 13.19Application
Resolva $\sin(x + \pi/3) = 1/2$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 19 · p. 733
Show solution
Substituição $u = x + \pi/3$ : $\sin u = 1/2$ , logo $u \in \{\pi/6,\, 5\pi/6\}$ (mais translações de $2\pi$ ). Voltando a $x = u - \pi/3$ : as soluções em $[0, 2\pi)$ são $x = \pi/6 - \pi/3 = -\pi/6$ (fora; somar $2\pi$ : $11\pi/6$ ) e $x = 5\pi/6 - \pi/3 = \pi/2$ . Conjunto: $\{\pi/2,\, 11\pi/6\}$ .
Ex. 13.20Application
Resolva $\tan(2x) = \sqrt{3}$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.7 · ex. 23 · p. 795
Show solution
Seja $u = 2x$ . $\tan u = \sqrt{3}$ , período $\pi$ : soluções $u = \pi/3 + k\pi$ . Em $[0, 4\pi)$ : $u \in \{\pi/3,\, 4\pi/3,\, 7\pi/3,\, 10\pi/3\}$ . Dividindo por 2: $x \in \{\pi/6,\, 2\pi/3,\, 7\pi/6,\, 5\pi/3\}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Substituir. $u = 2x$ . Como $x \in [0, 2\pi)$ , temos $u \in [0, 4\pi)$ — duas voltas.
2. Resolver em u. $\tan u = \sqrt{3}$ . Referência: $u_0 = \pi/3$ . Todas as soluções: $u = \pi/3 + k\pi$ .
3. Listar em $[0, 4\pi)$ . $k = 0: \pi/3$ ; $k=1: 4\pi/3$ ; $k=2: 7\pi/3$ ; $k=3: 10\pi/3$ . Quatro soluções.
4. Voltar a x. $x = u/2$ : $\{\pi/6,\, 2\pi/3,\, 7\pi/6,\, 5\pi/3\}$ . Todos em $[0, 2\pi)$ . ✓
Macete: ao multiplicar o argumento por k, o número de soluções em $[0, 2\pi)$ também multiplica por k. Aqui k = 2, então 4 soluções.
Ex. 13.21Application
Resolva $2\cos x - \sqrt{3} = 0$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §7.5 · ex. 5 · p. 727
Show solution
Isolando: $\cos x = \sqrt{3}/2$ . Cosseno positivo nos quadrantes I e IV. Ângulo de referência: $\pi/6$ . Soluções: $x = \pi/6$ (Q-I) e $x = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6$ (Q-IV).
Ex. 13.22Understanding
A função $f(x) = \sin x + 3$ tem período $2\pi$ ?
Select the correct option
Sim, pois sin(x + 2π) = sin x pela definição de períodoNão, pois translação vertical não preserva períodosSó para x = 0Sim, mas apenas se k > 0
Select an option first
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.5 · ex. 21 · p. 669
Show solution
Transladar verticalmente (somar $k$ ) não altera o período: $(\sin x + k)$ repete quando $x$ avança $2\pi$ , pois $\sin(x + 2\pi) + k = \sin x + k$ .
Ex. 13.23Modeling
A maré em Salvador oscila entre $0{,}5$ m e $2{,}5$ m com período $12$ h. Em $t = 0$ a maré está no nível médio e subindo. Modele $h(t)$ .
Solve online Active Calculus · §0.7 · Activity 0.7.2 · p. –
Show solution
Centro $k = (0{,}5 + 2{,}5)/2 = 1{,}5$ m; amplitude $A = (2{,}5 - 0{,}5)/2 = 1$ m; $\omega = 2\pi/12 = \pi/6$ rad/h. Fase nula (nível médio subindo). Modelo: $h(t) = 1{,}5 + \sin(\pi t/6)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Valor médio. $k = (\max + \min)/2 = (2{,}5 + 0{,}5)/2 = 1{,}5$ m.
2. Amplitude. $A = (\max - \min)/2 = 1$ m.
3. Período → frequência angular. $T = 12$ h, $\omega = 2\pi/12 = \pi/6$ rad/h.
4. Fase. Em $t = 0$ : maré no nível médio e subindo. $\sin 0 = 0$ e $(\sin)' = \cos 0 = 1 > 0$ . Logo $\varphi = 0$ .
5. Sanidade. $t = 3$ h: $h = 1{,}5 + \sin(\pi/2) = 2{,}5$ (preamar). $t = 9$ h: $h = 1{,}5 + \sin(3\pi/2) = 0{,}5$ (baixamar). ✓
Aplicação: o constituinte M2 (semidiurno lunar principal) tem período real de 12,42 h. Tábuas de marés da Marinha do Brasil (DHN) superõem cerca de 10 senoides.
Ex. 13.24Modeling
Rede elétrica brasileira: $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ V. Calcule a tensão eficaz.
Solve online OpenStax University Physics Vol. 2 · §15.3 · ex. 1 · p. 671
Show solution
$V_{ef} = V_0/\sqrt{2} = 311/\sqrt{2} \approx 220$ V — especificação nominal da rede brasileira de 60 Hz.
Ex. 13.25Modeling
Roda gigante: raio 10 m, eixo a 12 m do solo, 1 volta a cada 4 min. Parte do ponto mais baixo em $t = 0$ . Modele a altura $h(t)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 73 · p. 562
Show solution
Centro $k = 12$ m (eixo a 12 m do solo), amplitude $A = 10$ m (raio), $\omega = 2\pi/4 = \pi/2$ rad/min. No ponto mais baixo ( $t = 0$ ), $h(0) = 2 = 12 - 10$ , logo $\sin\varphi = -1 \Rightarrow \varphi = -\pi/2$ . Modelo: $h(t) = 12 + 10\sin(\pi t/2 - \pi/2) = 12 - 10\cos(\pi t/2)$ .
Ex. 13.26Modeling
Som puro de referência: $p(t) = A\sin(880\pi t)$ . Qual a frequência em Hz?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §17.1 · ex. 1 · p. 811
Show solution
Frequência: $f = \omega/(2\pi) = 880\pi/(2\pi) = 440$ Hz, ou seja 440 oscilações por segundo.
Ex. 13.27Modeling
A temperatura média mensal em Brasília oscila entre $18°$ C (julho, $m = 7$ ) e $23°$ C (janeiro, $m = 1$ ). Modele $T(m)$ com $m$ em meses.
Solve online Active Calculus · §0.7 · Activity 0.7.3 · p. –
Show solution
Centro $k = (18 + 23)/2 = 20{,}5$ °C; amplitude $A = 2{,}5$ °C; período 12 meses, $\omega = \pi/6$ . Mínimo em julho ( $m = 7$ ): use $T(m) = 20{,}5 - 2{,}5\cos(\pi(m-7)/6)$ . Verificação: $T(7) = 20{,}5 - 2{,}5\cdot 1 = 18$ (mínimo). ✓ $T(1) = 20{,}5 - 2{,}5\cos(-\pi) = 20{,}5 + 2{,}5 = 23$ . ✓
Ex. 13.28Modeling
Pêndulo de $L = 1$ m, $g = 9{,}81$ m/s². Usando $\omega = \sqrt{g/L}$ , calcule o período.
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §15.4 · ex. 1 · p. 763
Show solution
$\omega = \sqrt{g/L} = \sqrt{9{,}81/1} \approx 3{,}132$ rad/s. Período: $T = 2\pi/3{,}132 \approx 2{,}007$ s.
Ex. 13.29Modeling
Sistema massa-mola: $m = 0{,}5$ kg, $k = 50$ N/m. Calcule a frequência angular $\omega = \sqrt{k/m}$ .
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §15.1 · ex. 1 · p. 745
Show solution
$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{50/0{,}5} = \sqrt{100} = 10$ rad/s.
Show step-by-step (with the why)
1. Fórmula. Para MHS massa-mola: $\omega_n = \sqrt{k/m}$ .
2. Substituir. $\omega = \sqrt{50/0{,}5} = \sqrt{100}$ .
3. Calcular. $\sqrt{100} = 10$ rad/s.
4. Sanidade. Período: $T = 2\pi/10 \approx 0{,}63$ s. Mola razoavelmente rígida com massa pequena — faz sentido. ✓
Curiosidade: aumentar a massa ou diminuir a rigidez reduz $\omega$ . Amortecedores automotivos operam exatamente nessa lógica para evitar ressonância com irregularidades da pista.
Ex. 13.30Modeling
Em MHS, $x(t) = 5\sin(2\pi t)$ cm. Qual a velocidade máxima?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §15.1 · ex. 5 · p. 746
Show solution
Velocidade: $v(t) = x'(t) = 5 \cdot 2\pi\cos(2\pi t) = 10\pi\cos(2\pi t)$ cm/s. Velocidade máxima: $|10\pi| \approx 31{,}4$ cm/s.
Ex. 13.31Modeling
Marés M2 (semidiurnas lunares): período $T = 12$ h $25$ min. Frequência em Hz?
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §16.1 · ex. 1 · p. 787
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$T = 12 \times 3600 + 25 \times 60 = 44\,700$ s. $f = 1/T \approx 2{,}24 \times 10^{-5}$ Hz.
Ex. 13.32Modeling
Estrela cefeida: brilho varia com $T = 5{,}4$ dias, amplitude $0{,}8$ mag em torno de $4{,}5$ mag. Modele a magnitude $m(t)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §6.1 · ex. 75 · p. 563
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Centro 4,5 mag, amplitude 0,8 mag, período 5,4 dias. $\omega = 2\pi/5{,}4$ rad/dia. Modelo: $m(t) = 4{,}5 + 0{,}8\sin(2\pi t/5{,}4)$ .
Ex. 13.33Modeling
Sinal GPS L1: portadora de $1\,575{,}42$ MHz. Calcule o período em segundos.
Solve online OpenStax University Physics Vol. 2 · §16.1 · ex. 1 · p. 729
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Frequência: $f = 1{,}575 \times 10^9$ Hz. Período: $T = 1/f \approx 6{,}35 \times 10^{-10}$ s (sub-nanossegundo).
Ex. 13.34UnderstandingAnswer key
O comprimento de um pêndulo é quadruplicado. O que acontece com o período?
Select the correct option
Aumenta o período para 2T (oscilação mais lenta)Diminui o período para T/2 (oscilação mais rápida)Não altera o período, só a amplitudeO sistema passa a não ter solução senoidal
Select an option first
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §15.4 · ex. 3 · p. 764
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Para pêndulo: $T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{L/g}$ . Quadruplicar $L$ : $T' = 2\pi\sqrt{4L/g} = 2 \cdot 2\pi\sqrt{L/g} = 2T$ . O período dobra — o pêndulo oscila mais devagar.
Ex. 13.35Understanding
Verifique: $\sin x + \sin(x + \pi) = 0$ para todo $x$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §9.2 · ex. 1 · p. 821
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Usando a identidade de adição: $\sin(x + \pi) = \sin x\cos\pi + \cos x\sin\pi = -\sin x + 0 = -\sin x$ . Logo $\sin x + \sin(x + \pi) = \sin x - \sin x = 0$ . ∎
Ex. 13.36UnderstandingAnswer key
Mostre que $\sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3) = 0$ . (Resultado fundamental em motores trifásicos.)
Stitz-Zeager Precalculus · §10.4 · ex. 31 · p. 659
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Use $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ e $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Soma $S = \sin x + \sin(x + 2\pi/3) + \sin(x + 4\pi/3)$ . Expanda cada parcela com a identidade de adição:
Coeficiente de $\sin x$ : $1 + \cos(2\pi/3) + \cos(4\pi/3) = 1 - 1/2 - 1/2 = 0$ .
Coeficiente de $\cos x$ : $0 + \sin(2\pi/3) + \sin(4\pi/3) = \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 = 0$ .
Logo $S = 0$ . ∎
Ex. 13.37ProofAnswer key
Demonstre que $A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t) = \sqrt{A^2+B^2}\,\sin(\omega t + \varphi)$ com $\tan\varphi = B/A$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §11.2 · ex. 5 · p. 801
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Defina $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ e $\varphi$ por $\cos\varphi = A/R$ , $\sin\varphi = B/R$ (existe pois $(A/R)^2 + (B/R)^2 = 1$ ). Então $R\sin(\omega t + \varphi) = R[\sin(\omega t)\cos\varphi + \cos(\omega t)\sin\varphi] = A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t)$ . ∎
Ex. 13.38Challenge
Resolva $\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$ em $[0, 2\pi)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.7 · ex. 31 · p. 797
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Substituição $u = \sin x$ : $u^2 - 3u + 2 = 0 \Rightarrow (u-1)(u-2) = 0$ . $u = 1$ ou $u = 2$ . Como $-1 \leq \sin x \leq 1$ , descarta-se $u = 2$ . Resta $\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2$ . Conjunto: $\{\pi/2\}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Substituição. $u = \sin x$ transforma em $u^2 - 3u + 2 = 0$ .
2. Fatorar. $(u-1)(u-2) = 0 \Rightarrow u = 1$ ou $u = 2$ .
3. Filtrar pela restrição. $\sin x \in [-1, 1]$ , logo $u = 2$ é impossível.
4. Voltar a x. $\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2$ em $[0, 2\pi)$ .
Macete: em equações polinomiais no seno, filtre as raízes pelo domínio $[-1, 1]$ antes de voltar ao ângulo. Raízes fora desse intervalo são descartadas.
Ex. 13.39ProofAnswer key
Demonstre a identidade $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §10.5 · ex. 1 · p. 673
Show solution
Parta de $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$ . Use $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ : $\cos(2x) = (1 - \sin^2 x) - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x$ . ∎
Ex. 13.40Proof
Demonstre que $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ usando a definição via círculo trigonométrico.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.3 · ex. 1 · p. 495
Show solution
O ponto no círculo unitário associado a $x + 2\pi$ é o mesmo de $x$ : uma volta completa ($2\\pi$ radianos) retorna ao ponto de partida. A coordenada y (= seno) é portanto igual: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ . ∎

Fontes

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §6.1-6.3 (gráficos), §7.5 (equações), §9.2-9.3 (identidades). Fonte primária dos blocos A, B, D.
Precalculus (Stitz–Zeager) — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.5-10.7 (gráficos, identidades, equações), §11.2 (superposição de senoides). Fonte de boa parte do bloco B e dos exemplos.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7-0.8: precálculo trigonométrico aplicado e modelagem de marés. Fonte do exemplo 3 e do bloco C.
University Physics (Volume 1) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §15.1 (MHS), §15.4 (pêndulos), §16.1 (ondas), §17.1 (som). Fonte do bloco C (modelagem física).
University Physics (Volume 2) — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §15.2-15.3 (circuitos AC), §16.1 (ondas EM). Fonte dos exercícios 13.24 e 13.33.