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Lição 14 — Equações e inequações trigonométricas

Resolução de equações e inequações envolvendo seno, cosseno e tangente. Soluções gerais e em intervalos finitos.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 三角関数) · Trigonometry — US precalc

\sin x = a \iff x = \arcsin a + 2k\pi \ \text{ou}\ x = \pi - \arcsin a + 2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

Estrutura geral das soluções de equações trigonométricas básicas. Periodicidade implica que cada equação tem infinitas soluções; restringir a um intervalo (por exemplo $[0, 2\pi)$ ) seleciona um número finito.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Estrutura das soluções

Definition· Soluções gerais das equações trigonométricas básicas

Seja $a \in [-1, 1]$ .

Seno: $\sin x = a \iff x = \arcsin a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin a + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ onde $\arcsin: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ é a inversa principal (ramo de saída em $\text{Q1}$ ou $\text{Q4}$ ).
Cosseno: $\cos x = a \iff x = \pm\arccos a + 2k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ onde $\arccos: [-1, 1] \to [0, \pi]$ .
Tangente: $\tan x = a \iff x = \arctan a + k\pi,\quad k \in \mathbb{Z}$ com $\arctan: \mathbb{R} \to (-\pi/2, \pi/2)$ . O período da tangente é $\pi$ , não $2\pi$ .

"We close this section with one final example of a trigonometric inequality. To solve such an inequality, we begin by replacing the inequality with the corresponding equation, then check the resulting intervals." — Stitz–Zeager, Precalculus §10.7

"Solving a trigonometric equation requires the same techniques as solving any equation: isolate the variable, use factoring, use the quadratic formula, use identities, and set each factor equal to zero." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §9.5

Simetrias no círculo trigonométrico

Geometria das soluções: $\sin\alpha = \sin(\pi - \alpha)$ (simetria vertical); $\cos\alpha = \cos(-\alpha)$ (simetria horizontal).

Estratégia de redução

Definition· Tipos de equações reduzíveis

Tipo	Exemplo	Estratégia
Polinomial em $\sin$	$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$	$u = \sin x$ , Bhaskara
Polinomial em $\cos$	$\cos^2 x = 1/4$	$u = \cos x$ , raiz quadrada
$\sin x \pm \cos x = c$	$\sin x + \cos x = 1$	$R\sin(x + \varphi)$ com $R = \sqrt{a^2+b^2}$
Duplo ângulo	$\sin 2x = \sin x$	$2\sin x\cos x = \sin x$ ; fatorar
Soma-produto	$\sin x + \sin 3x = 0$	$2\sin 2x\cos x = 0$

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (equação básica em intervalo) ao modelagem real (encontro de fases em uma onda de maré). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Equação básica de seno em intervalo (aplicação)

Problema: Resolva $\sin x = \tfrac{1}{2}$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia: A equação é de tipo básico. Use o círculo trigonométrico para identificar quais ângulos do primeiro giro têm seno igual a $1/2$ — exatamente dois, simétricos em relação ao eixo vertical.

Resolução:

Identificar o ângulo de referência. O valor $1/2$ é tabelado: $\sin(\pi/6) = 1/2$ . Esse é o ângulo de referência no primeiro quadrante.
Usar a simetria do seno. No círculo, o seno tem o mesmo valor em $\pi/6$ e em $\pi - \pi/6 = 5\pi/6$ (segundo quadrante). Nos quadrantes 3 e 4 o seno é negativo.
Listar as soluções em $[0, 2\pi)$ . $x = \frac{\pi}{6} \quad \text{ou} \quad x = \frac{5\pi}{6}$

Verificação: $\sin(\pi/6) = 0{,}5$ e $\sin(5\pi/6) = \sin(\pi - \pi/6) = \sin(\pi/6) = 0{,}5$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Solução geral em ℝ (aplicação)

Problema: Encontre todas as soluções reais de $\cos x = -\tfrac{\sqrt 2}{2}$ .

Estratégia: Identificar a solução básica no intervalo $[0, \pi]$ via $\arccos$ , depois aplicar a simetria $\cos(-x) = \cos x$ e a periodicidade $2\pi$ para gerar todas as soluções.

Resolução:

Solução principal. Como $\arccos(-\sqrt 2/2) = 3\pi/4$ , esse é o ângulo no segundo quadrante.
Simetria. Pelo princípio $\cos(-x) = \cos x$ , o ângulo $-3\pi/4$ (ou equivalente $5\pi/4$ ) também serve.
Generalizar. Somando $2k\pi$ (período do cosseno): $x = \tfrac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\tfrac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Verificação: Para $k = 0$ : $\cos(3\pi/4) = -\sqrt 2/2$ e $\cos(-3\pi/4) = \cos(3\pi/4) = -\sqrt 2/2$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §10.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Equação quadrática em sin x (intermediário)

Problema: Resolva $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia: Substitua $u = \sin x$ e resolva a quadrática $2u^2 - u - 1 = 0$ . Depois volte aos ângulos correspondentes a cada raiz.

Resolução:

Substituição. Seja $u = \sin x$ . A equação vira $2u^2 - u - 1 = 0$ .
Bhaskara. $u = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \dfrac{1 \pm 3}{4}$ . Logo $u = 1$ ou $u = -1/2$ .
Voltar para $x$ .
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2$ .
- $\sin x = -1/2 \Rightarrow x = 7\pi/6$ ou $x = 11\pi/6$ (terceiro e quarto quadrantes).
Conjunto solução em $[0, 2\pi)$ : $\{\pi/2,\ 7\pi/6,\ 11\pi/6\}$ .

Verificação: $2\sin^2(\pi/2) - \sin(\pi/2) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$ . $2\sin^2(7\pi/6) - \sin(7\pi/6) - 1 = 2(1/4) - (-1/2) - 1 = 0$ . Confere.

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Inequação trigonométrica (avançado)

Problema: Resolva $\sin x > \tfrac{\sqrt 3}{2}$ em $[0, 2\pi)$ .

Estratégia: Converta a inequação em equação para encontrar os pontos-fronteira; depois inspecione, no círculo trigonométrico, qual arco tem seno acima de $\sqrt 3/2$ .

Resolução:

Equação associada. $\sin x = \sqrt 3/2$ tem soluções $x = \pi/3$ e $x = 2\pi/3$ em $[0, 2\pi)$ .
Análise do gráfico. O gráfico de $\sin x$ em $[0, 2\pi)$ é uma curva que atinge o máximo em $\pi/2$ . Acima de $\sqrt 3/2$ , ela está apenas entre $\pi/3$ e $2\pi/3$ .
Conjunto solução. Como a desigualdade é estrita, os extremos não entram: $x \in \left(\tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3}\right).$

Verificação: Em $x = \pi/2$ (centro do intervalo): $\sin(\pi/2) = 1 > \sqrt 3/2$ . Em $x = 0$ (fora do intervalo): $\sin(0) = 0 < \sqrt 3/2$ . Confere.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §10.7 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Maré como onda senoidal (modelagem real)

Problema: A altura da maré em um porto é modelada por $h(t) = 3 \sin\!\bigl(\tfrac{\pi t}{6}\bigr)$ metros, com $t$ em horas a partir das 6h. Em quais instantes do intervalo $[0, 12]$ horas a maré atinge $h = 1{,}5$ m?

Estratégia: Igualar o modelo ao valor pedido reduz o problema a uma equação básica de seno. Restringir ao intervalo $[0, 12]$ corresponde a uma volta inteira do argumento.

Resolução:

Equação. $3 \sin(\pi t/6) = 1{,}5 \Leftrightarrow \sin(\pi t/6) = 1/2$ .
Resolver $\sin u = 1/2$ com $u = \pi t/6$ . As soluções básicas em $[0, 2\pi)$ são $u = \pi/6$ e $u = 5\pi/6$ .
Voltar para $t$ . $\pi t/6 = \pi/6 \Rightarrow t = 1$ . $\pi t/6 = 5\pi/6 \Rightarrow t = 5$ .
Verificar o intervalo. Ambos $t = 1$ e $t = 5$ estão em $[0, 12]$ .

$t = 1\ \text{h} \quad \text{ou} \quad t = 5\ \text{h}.$

Verificação: $h(1) = 3 \sin(\pi/6) = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ . $h(5) = 3 \sin(5\pi/6) = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §0.7 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 15Understanding 17Modeling 2Challenge 1

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.5: equações trigonométricas. Fonte primária.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.7: equações em intervalos.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trigonometria em precálculo, modelagem de marés.
Geometria e Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · vocabulário de inequações no círculo.