Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

Lição 17 — Progressões aritméticas (PA)

Sequência com diferença constante. Termo geral, soma de termos (Gauss), aplicações financeiras e físicas.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math I japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

an=a1+(n−1) r,Sn=n (a1+an)2a_n = a_1 + (n-1)\,r, \qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2}

Progressão aritmética: cada termo difere do anterior por uma razão constante rr. À esquerda, o termo geral. À direita, a soma dos primeiros nn termos — fórmula descoberta por Gauss aos 8 anos.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e fórmulas

Termo geral

an=a1+(n−1) ra_n = a_1 + (n-1)\,r
(1)
what this means · Termo geral da PA. Entre a₁ e aₙ existem exatamente n−1 saltos de tamanho r.

Demonstrável por indução em nn. Equivalente a an=ap+(n−p) ra_n = a_p + (n-p)\,r para qualquer índice pp.

"Uma sequência aritmética é uma sequência na qual a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é constante." — OpenStax College Algebra 2e, §9.2

Soma dos nn primeiros termos

Sn=∑k=1nak=n (a1+an)2=n [ 2a1+(n−1)r ]2S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,[\,2a_1 + (n-1)r\,]}{2}
(2)
what this means · Soma de Gauss. Cada par de termos equidistantes dos extremos soma a₁ + aₙ. Com n/2 pares, a soma total é n(a₁ + aₙ)/2.

Demonstração (Gauss criança, ∼\sim1789): escreva SnS_n duas vezes — em ordem crescente e decrescente:

Sn=a1+a2+…+an−1+anSn=an+an−1+…+a2+a1\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n \\ S_n &= a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1 \end{aligned}

Somando termo a termo: 2Sn=n (a1+an)2 S_n = n\,(a_1 + a_n), pois cada par soma a1+ana_1 + a_n. ∎

Propriedades

  • Média aritmética: três termos consecutivos satisfazem an=(an−1+an+1)/2a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2.
  • Crescente se r>0r > 0, decrescente se r<0r < 0, constante se r=0r = 0.
  • Soma dos extremos = soma dos termos equidistantes: a1+an=a2+an−1=…a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = \ldots

Soma de potências (preview)

∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6,∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 2Modeling 10Challenge 3Proof 3
  1. Ex. 17.1Application

    PA com a1=1a_1 = 1 e r=3r = 3. Calcule a10a_{10}.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    Pela fórmula do termo geral: a10=a1+(10−1) r=1+9⋅3=28a_{10} = a_1 + (10-1)\,r = 1 + 9 \cdot 3 = 28.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique os dados. a1=1a_1 = 1, r=3r = 3, n=10n = 10.
    2. Aplique o termo geral. an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r.
    3. Substitua. a10=1+9⋅3=1+27=28a_{10} = 1 + 9 \cdot 3 = 1 + 27 = 28.
    4. Sanity check. A PA é 1,4,7,10,13,16,19,22,25,281, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28. O 10.º termo é 28. ✓

    Macete: o "(n−1)(n-1)" existe porque entre a1a_1 e ana_n há n−1n-1 "saltos" de tamanho rr.

  2. Ex. 17.2Application

    PA com a1=100a_1 = 100 e r=−7r = -7. Calcule a15a_{15}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    a15=100+14⋅(−7)=100−98=2a_{15} = 100 + 14 \cdot (-7) = 100 - 98 = 2.
  3. Ex. 17.3Application

    Em uma PA, a5=17a_5 = 17 e a10=32a_{10} = 32. Determine a1a_1 e rr.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    Sistema: a1+4r=17a_1 + 4r = 17 e a1+9r=32a_1 + 9r = 32. Subtraindo: 5r=15⇒r=35r = 15 \Rightarrow r = 3. Substituindo: a1=17−12=5a_1 = 17 - 12 = 5. PA: 5,8,11,14,17,…5, 8, 11, 14, 17, \ldots. ✓
  4. Ex. 17.4Application

    Em uma PA, a3=10a_3 = 10 e a8=35a_8 = 35. Determine o termo geral.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    De a3=10a_3 = 10 e a8=35a_8 = 35: 5r=35−10=25⇒r=55r = 35 - 10 = 25 \Rightarrow r = 5. Então a1=a3−2r=10−10=0a_1 = a_3 - 2r = 10 - 10 = 0. Termo geral: an=0+(n−1)⋅5=5(n−1)=5n−5a_n = 0 + (n-1) \cdot 5 = 5(n-1) = 5n - 5. Verificação: a3=10a_3 = 10 ✓, a8=35a_8 = 35 ✓.
  5. Ex. 17.5Application

    Quantos termos tem a PA finita 5,8,11,…,2005, 8, 11, \ldots, 200?

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    a1=5a_1 = 5, r=3r = 3, an=200a_n = 200. 200=5+(n−1)⋅3⇒195=3(n−1)⇒n−1=65⇒n=66200 = 5 + (n-1) \cdot 3 \Rightarrow 195 = 3(n-1) \Rightarrow n - 1 = 65 \Rightarrow n = 66. Verificação: 5+65⋅3=2005 + 65 \cdot 3 = 200 ✓.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a PA. Primeiro termo a1=5a_1 = 5, razão r=8−5=3r = 8 - 5 = 3. Último an=200a_n = 200.
    2. Resolva pelo termo geral. 200=5+(n−1)⋅3200 = 5 + (n-1) \cdot 3.
    3. Isole nn. 195=3(n−1)⇒n−1=65⇒n=66195 = 3(n-1) \Rightarrow n - 1 = 65 \Rightarrow n = 66.
    4. Confira. O 66.º termo é 5+65⋅3=2005 + 65 \cdot 3 = 200. ✓

    Atalho mental: (uˊltimo−primeiro)/r(\text{último} - \text{primeiro}) / r dá número de pulos; soma 1 para incluir o termo inicial.

  6. Ex. 17.6Application

    A PA tem termo geral an=4n−1a_n = 4n - 1. Quais são a1a_1 e rr?

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.1
    Show solution
    De an=4n−1a_n = 4n - 1 tira-se a1=4⋅1−1=3a_1 = 4 \cdot 1 - 1 = 3. Razão: r=a2−a1=7−3=4r = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4. O coeficiente de nn na forma an=rn+(a1−r)a_n = rn + (a_1 - r) é sempre a razão.
  7. Ex. 17.7ApplicationAnswer key

    PA com a1=5a_1 = 5, a19=95a_{19} = 95. Calcule rr.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    an=a1+(n−1)r⇒95=5+18r⇒18r=90⇒r=5a_n = a_1 + (n-1)r \Rightarrow 95 = 5 + 18r \Rightarrow 18r = 90 \Rightarrow r = 5.
  8. Ex. 17.8ApplicationAnswer key

    Determine xx tal que 3x−13x - 1, x+5x + 5, 2x+92x + 9 formem, nessa ordem, uma PA.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    Três termos em PA ⇔\Leftrightarrow o do meio é a média dos extremos: x+5=(3x−1)+(2x+9)2=5x+82x + 5 = \frac{(3x - 1) + (2x + 9)}{2} = \frac{5x + 8}{2}. Multiplicando por 2: 2x+10=5x+8⇒3x=2⇒x=2/32x + 10 = 5x + 8 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = 2/3. Termos: 3(2/3)−1=13(2/3) - 1 = 1, 2/3+5=17/32/3 + 5 = 17/3, 2(2/3)+9=31/32(2/3) + 9 = 31/3. Razão: 17/3−1=14/317/3 - 1 = 14/3 ✓.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Propriedade de PA. Três termos a,b,ca, b, c em PA ⇔b−a=c−b⇔2b=a+c\Leftrightarrow b - a = c - b \Leftrightarrow 2b = a + c (termo do meio = média dos extremos).
    2. Monte a equação. 2(x+5)=(3x−1)+(2x+9)2(x+5) = (3x-1) + (2x+9).
    3. Simplifique. 2x+10=5x+8⇒3x=2⇒x=2/32x + 10 = 5x + 8 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = 2/3.
    4. Verifique os termos. 1, 17/3, 31/31,\ 17/3,\ 31/3. Diferenças: 14/314/3 e 14/314/3. ✓

    Macete: sempre que ver "três termos em PA", a condição é 2b=a+c2b = a+c. Elimina a variável sem precisar calcular a razão explicitamente.

  9. Ex. 17.9Application

    Em uma PA, a2+a8=26a_2 + a_8 = 26 e a3=10a_3 = 10. Calcule a1a_1 e rr.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.2
    Show solution
    Da propriedade dos equidistantes: a2+a8=2a1+8ra_2 + a_8 = 2a_1 + 8r. Dado a2+a8=26a_2 + a_8 = 26: 2a1+8r=26⇒a1+4r=132a_1 + 8r = 26 \Rightarrow a_1 + 4r = 13. Dado a3=10a_3 = 10: a1+2r=10a_1 + 2r = 10. Subtraindo: 2r=3⇒r=3/22r = 3 \Rightarrow r = 3/2. Então a1=10−3=7a_1 = 10 - 3 = 7. ✓
  10. Ex. 17.10ApplicationAnswer key

    Insira 4 meios aritméticos entre 3 e 18.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · PA
    Show solution
    Inserir 4 meios entre 3 e 18 cria PA de 6 termos com a1=3a_1 = 3, a6=18a_6 = 18. Razão: r=(18−3)/5=3r = (18 - 3)/5 = 3. Termos intermediários: 6,9,12,156, 9, 12, 15. Verificação: 3,6,9,12,15,183, 6, 9, 12, 15, 18 — diferença 3 entre todos os termos. ✓
  11. Ex. 17.11ApplicationAnswer key

    Calcule 1+2+3+…+101 + 2 + 3 + \ldots + 10.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    Por Gauss: S10=10⋅(1+10)/2=55S_{10} = 10 \cdot (1 + 10)/2 = 55.
  12. Ex. 17.12Application

    Calcule 1+2+3+…+1001 + 2 + 3 + \ldots + 100 — o problema clássico de Gauss.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    O famoso problema de Gauss criança: S100=100⋅(1+100)/2=5 050S_{100} = 100 \cdot (1 + 100)/2 = 5\,050. Pelo truque dos pares: 50 pares, cada um somando 101, total 50⋅101=5 05050 \cdot 101 = 5\,050.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reconheça a PA. 1,2,3,…,1001, 2, 3, \ldots, 100 tem a1=1a_1 = 1, r=1r = 1, n=100n = 100.
    2. Aplique Gauss. S100=100⋅(1+100)/2=100⋅50,5=5 050S_{100} = 100 \cdot (1 + 100)/2 = 100 \cdot 50{,}5 = 5\,050.
    3. Confira pelo truque dos pares. 50 pares de soma 101: 50⋅101=5 05050 \cdot 101 = 5\,050. ✓

    Curiosidade: Carl Friedrich Gauss tinha 8 anos. O professor punitivo achou que ia descansar 30 min — Gauss devolveu em 30 segundos. A história é tão famosa que aparece em livros do mundo inteiro.

  13. Ex. 17.13Application

    Calcule a soma dos pares: 2+4+6+…+1002 + 4 + 6 + \ldots + 100.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    PA 2,4,…,1002, 4, \ldots, 100: a1=2a_1 = 2, r=2r = 2, n=50n = 50. S50=50⋅(2+100)/2=50⋅51=2 550S_{50} = 50 \cdot (2 + 100)/2 = 50 \cdot 51 = 2\,550.
  14. Ex. 17.14ApplicationAnswer key

    Calcule a soma dos ímpares: 1+3+5+…+991 + 3 + 5 + \ldots + 99.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    PA dos ímpares 1,3,…,991, 3, \ldots, 99: a1=1a_1 = 1, r=2r = 2, n=50n = 50. S50=50⋅(1+99)/2=50⋅50=2 500S_{50} = 50 \cdot (1 + 99)/2 = 50 \cdot 50 = 2\,500. Regra: soma dos primeiros nn ímpares é n2n^2.
  15. Ex. 17.15Application

    Calcule a soma dos 30 primeiros termos da PA 5,9,13,17,…5, 9, 13, 17, \ldots

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    PA 5,9,13,…5, 9, 13, \ldots: a1=5a_1 = 5, r=4r = 4. a30=5+29⋅4=121a_{30} = 5 + 29 \cdot 4 = 121. S30=30⋅(5+121)/2=30⋅63=1 890S_{30} = 30 \cdot (5 + 121)/2 = 30 \cdot 63 = 1\,890.
  16. Ex. 17.16Application

    Em uma PA, a1=4a_1 = 4 e a20=80a_{20} = 80. Calcule S20S_{20}.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    S20=20⋅(4+80)/2=20⋅42=840S_{20} = 20 \cdot (4 + 80)/2 = 20 \cdot 42 = 840.
  17. Ex. 17.17Application

    Calcule ∑k=150(2k−1)\sum_{k=1}^{50} (2k - 1).

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    É a soma dos 50 primeiros ímpares: ∑k=150(2k−1)=502=2 500\sum_{k=1}^{50}(2k-1) = 50^2 = 2\,500. Verificação: a1=1a_1 = 1, a50=99a_{50} = 99, S=50(1+99)/2=2 500S = 50(1 + 99)/2 = 2\,500. ✓
  18. Ex. 17.18Application

    Quantos termos da PA 1,4,7,10,…1, 4, 7, 10, \ldots somam total ≥1 000\geq 1\,000?

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    PA 1,4,7,…1, 4, 7, \ldots: Sn=n(3n−1)/2≥1 000S_n = n(3n - 1)/2 \geq 1\,000. Resolvendo 3n2−n−2 000=03n^2 - n - 2\,000 = 0: n≈25,99n \approx 25{,}99; arredonda para n=26n = 26. Confirmação: S26=26⋅77/2=1 001≥1 000S_{26} = 26 \cdot 77/2 = 1\,001 \geq 1\,000 ✓; S25=25⋅74/2=925<1 000S_{25} = 25 \cdot 74/2 = 925 < 1\,000.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modele a soma. a1=1a_1 = 1, r=3r = 3, então an=3n−2a_n = 3n - 2. Sn=n(1+3n−2)/2=n(3n−1)/2S_n = n(1 + 3n-2)/2 = n(3n-1)/2.
    2. Monte a inequação. n(3n−1)/2≥1 000⇔3n2−n−2 000≥0n(3n-1)/2 \geq 1\,000 \Leftrightarrow 3n^2 - n - 2\,000 \geq 0.
    3. Bhaskara. n=(1+1+24 000)/6≈(1+154,9)/6≈25,99n = (1 + \sqrt{1 + 24\,000})/6 \approx (1 + 154{,}9)/6 \approx 25{,}99.
    4. Arredonde para cima. n=26n = 26. Verifique: S25=925S_{25} = 925; S26=1 001S_{26} = 1\,001. ✓

    Macete: para "número mínimo", sempre arredonde para cima e verifique o candidato.

  19. Ex. 17.19Application

    Calcule a soma dos múltiplos de 3 entre 1 e 100.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · PA
    Show solution
    Múltiplos de 3 entre 1 e 100: 3,6,9,…,993, 6, 9, \ldots, 99. PA com a1=3a_1 = 3, r=3r = 3, n=33n = 33. S33=33⋅(3+99)/2=33⋅51=1 683S_{33} = 33 \cdot (3 + 99)/2 = 33 \cdot 51 = 1\,683.
  20. Ex. 17.20Application

    A soma dos nn primeiros termos de uma PA é Sn=3n2+nS_n = 3n^2 + n. Determine o termo geral ana_n.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    Use an=Sn−Sn−1a_n = S_n - S_{n-1}. Sn−1=3(n−1)2+(n−1)=3n2−5n+2S_{n-1} = 3(n-1)^2 + (n-1) = 3n^2 - 5n + 2. an=(3n2+n)−(3n2−5n+2)=6n−2a_n = (3n^2 + n) - (3n^2 - 5n + 2) = 6n - 2. Verificação: a1=4=S1=3+1=4a_1 = 4 = S_1 = 3 + 1 = 4 ✓; a2=12−2=10a_2 = 12 - 2 = 10 e S2=12+2=14=S1+a2=4+10S_2 = 12 + 2 = 14 = S_1 + a_2 = 4 + 10 ✓.
  21. Ex. 17.21Modeling

    Você economiza R$ 50 no primeiro mês, R$ 60 no segundo, R$ 70 no terceiro, e assim por diante. Quanto economizou em 2 anos (24 meses)?

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    PA com a1=50a_1 = 50, r=10r = 10, n=24n = 24. a24=50+23⋅10=280a_{24} = 50 + 23 \cdot 10 = 280. S24=24⋅(50+280)/2=24⋅165=3 960S_{24} = 24 \cdot (50 + 280)/2 = 24 \cdot 165 = 3\,960 reais.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique o modelo. Mensalidades crescentes com aumento fixo formam PA.
    2. Identifique parâmetros. a1=50a_1 = 50 (mês 1), r=10r = 10 (aumento mensal), n=24n = 24 meses.
    3. Calcule a24a_{24}. a24=50+23⋅10=280a_{24} = 50 + 23 \cdot 10 = 280 reais.
    4. Some por Gauss. S24=24(50+280)/2=12⋅330=3 960S_{24} = 24(50 + 280)/2 = 12 \cdot 330 = 3\,960.
    5. Sanity check. Mensalidade média =(50+280)/2=165= (50 + 280)/2 = 165; total =165⋅24=3 960= 165 \cdot 24 = 3\,960. ✓

    Comparação: aporte fixo de R\$ 50 x 24 = R\$ 1.200. A versão crescente acumula 3,3x mais — poder dos aportes crescentes.

  22. Ex. 17.22Modeling

    Um teatro tem 20 fileiras: a primeira tem 25 lugares, e cada fileira seguinte tem 3 a mais. Quantos lugares no total?

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    PA a1=25a_1 = 25, r=3r = 3, n=20n = 20. a20=25+19⋅3=82a_{20} = 25 + 19 \cdot 3 = 82. S20=20⋅(25+82)/2=10⋅107=1 070S_{20} = 20 \cdot (25 + 82)/2 = 10 \cdot 107 = 1\,070 lugares.
  23. Ex. 17.23Modeling

    Em queda livre, dn=g(2n−1)/2d_n = g(2n-1)/2 com g≈9,81g \approx 9{,}81 m/s². Verifique que forma PA e calcule a distância total em 5 s.

    Solve onlineOpenStax College Physics 2e · §2.7
    Show solution
    Distância no nn-ésimo segundo: dn=g(2n−1)/2d_n = g(2n-1)/2 — PA com a1=g/2≈4,905a_1 = g/2 \approx 4{,}905, r=g≈9,81r = g \approx 9{,}81. d5=9,81⋅9/2≈44,145d_5 = 9{,}81 \cdot 9/2 \approx 44{,}145. Total: S5=5(4,905+44,145)/2=5⋅24,525=122,625S_5 = 5(4{,}905 + 44{,}145)/2 = 5 \cdot 24{,}525 = 122{,}625 m. Confere com gt2/2=9,81⋅25/2=122,625gt^2/2 = 9{,}81 \cdot 25/2 = 122{,}625 m.
  24. Ex. 17.24ModelingAnswer key

    Um relógio bate as horas: 1 batida à 1h, 2 às 2h, ..., 12 às 12h. Quantas batidas em 12 horas?

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · PA — exercícios
    Show solution
    Soma 1+2+…+12=12⋅13/2=781 + 2 + \ldots + 12 = 12 \cdot 13/2 = 78 batidas.
  25. Ex. 17.25Modeling

    Salário inicial R$ 3.500/mês com aumento anual de R$ 300. Calcule o total acumulado (mensalidades somadas) em 10 anos.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    Salário mensal no ano nn (considerando nn de 1 a 10): an=3 500+(n−1)⋅300a_n = 3\,500 + (n-1) \cdot 300. Valor no ano 10: a10=3 500+9⋅300=6 200a_{10} = 3\,500 + 9 \cdot 300 = 6\,200 reais/mês. Soma anual acumulada em 10 anos (12 meses por ano): Total=12⋅S10=12⋅10⋅(3 500+6 200)/2=12⋅10⋅4 850=582 000\text{Total} = 12 \cdot S_{10} = 12 \cdot 10 \cdot (3\,500 + 6\,200)/2 = 12 \cdot 10 \cdot 4\,850 = 582\,000 reais.
  26. Ex. 17.26Modeling

    Uma estaca de prédio mede 0,5 m no primeiro nível, 1 m no segundo, 1,5 m no terceiro, etc. Quantos níveis para a profundidade total ≥\geq 50 m?

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    PA das profundidades por nível: an=0,5na_n = 0{,}5n. Sn=n(0,5+0,5n)/2=0,25n(n+1)≥50S_n = n(0{,}5 + 0{,}5n)/2 = 0{,}25n(n+1) \geq 50. n(n+1)≥200n(n+1) \geq 200: testando n=14n=14: 14⋅15=210≥20014 \cdot 15 = 210 \geq 200 ✓; n=13n=13: 182<200182 < 200. Logo n=14n = 14.
  27. Ex. 17.27Modeling

    Inflação mensal: 0,5%0{,}5\%, 0,6%0{,}6\%, 0,7%0{,}7\%, …\ldots Calcule a inflação acumulada aproximada (via soma linear de PA) em 12 meses.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    PA das taxas mensais (em percentagem): an=0,5+(n−1)⋅0,1a_n = 0{,}5 + (n-1) \cdot 0{,}1. a1=0,5%a_1 = 0{,}5\%, a12=0,5+11⋅0,1=1,6%a_{12} = 0{,}5 + 11 \cdot 0{,}1 = 1{,}6\%. Soma linear aproximada: S12=12(0,5+1,6)/2=12⋅1,05=12,6%S_{12} = 12(0{,}5 + 1{,}6)/2 = 12 \cdot 1{,}05 = 12{,}6\%. Atenção: inflação real usa composição multiplicativa (∏(1+an/100)−1\prod(1 + a_n/100) - 1), não soma. A aproximação linear é válida apenas para taxas pequenas.
  28. Ex. 17.28Application

    Soma dos números de 1 a 1.000. Use Gauss.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    Por Gauss: S1000=1 000⋅(1+1 000)/2=500⋅1 001=500 500S_{1000} = 1\,000 \cdot (1 + 1\,000)/2 = 500 \cdot 1\,001 = 500\,500.
  29. Ex. 17.29Modeling

    Na primeira hora, 50 tarefas; cada hora seguinte rende 5 a menos por cansaço. Quantas tarefas em 8 horas?

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    PA a1=50a_1 = 50, r=−5r = -5, n=8n = 8. a8=50+7⋅(−5)=15a_8 = 50 + 7 \cdot (-5) = 15. S8=8(50+15)/2=4⋅65=260S_8 = 8(50 + 15)/2 = 4 \cdot 65 = 260 tarefas.
  30. Ex. 17.30ModelingAnswer key

    Em uma fileira de árvores plantadas a cada 5 m, quanta cerca para conectar 100 árvores em sequência?

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · PA — aplicações
    Show solution
    Entre 100 árvores espaçadas 5 m há 100−1=99100 - 1 = 99 intervalos. Total: 99⋅5=49599 \cdot 5 = 495 m.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modele o problema. 100 árvores em fila reta, espaçadas 5 m.
    2. Conte os intervalos. Entre 100 árvores há 100−1=99100 - 1 = 99 espaços.
    3. Multiplique pelo comprimento. 99⋅5=49599 \cdot 5 = 495 m.
    4. Sanity check. Com 2 árvores, 1 intervalo. Com 3, 2 intervalos. Padrão: n−1n - 1.

    Macete (fence-post clássico): "número de marcos" e "número de intervalos" diferem em 1. Confunde até engenheiro experiente.

  31. Ex. 17.31Proof

    Demonstre por indução que ∑k=1nk=n(n+1)2\sum_{k=1}^n k = \dfrac{n(n+1)}{2}.

    Hammack — Book of Proof · cap. 10
    Show solution
    Indução em nn. Base (n=1n = 1): ∑k=11k=1=1⋅2/2\sum_{k=1}^1 k = 1 = 1 \cdot 2/2 ✓. Passo: assuma ∑k=1nk=n(n+1)/2\sum_{k=1}^n k = n(n+1)/2. Então ∑k=1n+1k=n(n+1)/2+(n+1)=(n+1)(n+2)/2\sum_{k=1}^{n+1} k = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n + 2)/2, que é (n+1)((n+1)+1)/2(n+1)((n+1)+1)/2. ∎
    Show step-by-step (with the why)
    1. Estabeleça o caso base. Para n=1n=1: lado esquerdo =1= 1, lado direito =1⋅2/2=1= 1 \cdot 2/2 = 1. ✓
    2. Hipótese de indução. Suponha ∑k=1nk=n(n+1)/2\sum_{k=1}^n k = n(n+1)/2 para algum n≥1n \geq 1.
    3. Passo indutivo. ∑k=1n+1k=∑k=1nk+(n+1)=n(n+1)/2+(n+1)\sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^n k + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1).
    4. Fatorize. =(n+1)[n/2+1]=(n+1)(n+2)/2= (n+1)[n/2 + 1] = (n+1)(n+2)/2, que é exatamente a fórmula com n+1n+1. ✓
    5. Conclua. Pelo princípio da indução, vale para todo n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. ∎

    Curiosidade: esta é a demonstração canônica que abre cap. 10 de Hammack — exemplo número um de indução.

  32. Ex. 17.32Proof

    Demonstre por indução que se (an)(a_n) é PA com razão rr, então an=a1+(n−1) ra_n = a_1 + (n-1)\,r.

    Hammack — Book of Proof · cap. 10
    Show solution
    Indução em nn. Base n=1n=1: a1=a1+0⋅ra_1 = a_1 + 0 \cdot r ✓. Passo: se an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r, então an+1=an+r=a1+(n−1)r+r=a1+nr=a1+((n+1)−1)ra_{n+1} = a_n + r = a_1 + (n-1)r + r = a_1 + nr = a_1 + ((n+1)-1)r. ∎
  33. Ex. 17.33ChallengeAnswer key

    Encontre uma PA de 5 termos tal que a1+a5=12a_1 + a_5 = 12 e a2⋅a4=30a_2 \cdot a_4 = 30.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · PA — desafios
    Show solution
    Termos: a1,a1+r,a1+2r,a1+3r,a1+4ra_1, a_1+r, a_1+2r, a_1+3r, a_1+4r. Condição 1: a1+a5=2a1+4r=12⇒a1+2r=6a_1 + a_5 = 2a_1 + 4r = 12 \Rightarrow a_1 + 2r = 6. Condição 2: a2⋅a4=(a1+r)(a1+3r)a_2 \cdot a_4 = (a_1 + r)(a_1 + 3r). Substituindo a1=6−2ra_1 = 6 - 2r: (6−r)(6+r)=36−r2=30⇒r2=6⇒r=±6(6-r)(6+r) = 36 - r^2 = 30 \Rightarrow r^2 = 6 \Rightarrow r = \pm \sqrt 6. Então a1=6∓26a_1 = 6 \mp 2\sqrt 6. As duas PAs são simétricas (uma crescente, outra decrescente).
  34. Ex. 17.34ProofAnswer key

    Mostre que numa PA, ap+aq=am+ana_p + a_q = a_m + a_n sempre que p+q=m+np + q = m + n.

    Hammack — Book of Proof · cap. 10
    Show solution
    Pelo termo geral: ap+aq=[a1+(p−1)r]+[a1+(q−1)r]=2a1+(p+q−2)ra_p + a_q = [a_1 + (p-1)r] + [a_1 + (q-1)r] = 2a_1 + (p+q-2)r. Analogamente, am+an=2a1+(m+n−2)ra_m + a_n = 2a_1 + (m+n-2)r. Como p+q=m+np + q = m + n, os dois resultados são iguais. ∎
  35. Ex. 17.35Challenge

    Use a fórmula da soma para calcular 1+2+3+…+1 000 0001 + 2 + 3 + \ldots + 1\,000\,000.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    Por Gauss: S106=106⋅(1+106)/2=500 000⋅1 000 001=500 000 500 000S_{10^6} = 10^6 \cdot (1 + 10^6)/2 = 500\,000 \cdot 1\,000\,001 = 500\,000\,500\,000.
  36. Ex. 17.36Modeling

    Uma pirâmide tem 1 tijolo no topo e cresce 1 por nível até a base. Quantos tijolos no total se a base tem 60 fileiras?

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.4
    Show solution
    Pirâmide com base 60 fileiras: fileira kk tem kk tijolos. Total: S60=60⋅61/2=1 830S_{60} = 60 \cdot 61/2 = 1\,830 tijolos.
  37. Ex. 17.37Application

    Calcule a soma dos primeiros 100 números ímpares.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    Soma dos primeiros 100 ímpares: 1+3+5+…+199=1002=10 0001 + 3 + 5 + \ldots + 199 = 100^2 = 10\,000. Pela PA: a1=1a_1 = 1, r=2r = 2, n=100n = 100, a100=199a_{100} = 199. S100=100⋅(1+199)/2=10 000S_{100} = 100 \cdot (1 + 199)/2 = 10\,000. ✓
  38. Ex. 17.38Understanding

    "Em toda PA, a sequência das diferenças an+1−ana_{n+1} - a_n é constante." Verdadeira ou falsa?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.1
    Show solution
    Da definição, a2−a1=a3−a2=…=ra_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = r, então a sequência das diferenças é constante. Verdadeiro independente do sinal de rr.
  39. Ex. 17.39Understanding

    Em uma PA finita com 49 termos, qual é a posição do termo central? Qual a relação entre o termo central e a soma S49S_{49}?

    Solve onlineHammack — Book of Proof · cap. 10
    Show solution
    Termo central de uma PA com 49 termos (ímpar) é o 25.º. Pela propriedade da média, vale exatamente (a1+a49)/2=S49/49(a_1 + a_{49})/2 = S_{49}/49 (média dos termos = termo central).
  40. Ex. 17.40ChallengeAnswer key

    Em uma PA decrescente (r<0r < 0) com a1>0a_1 > 0, encontre o maior nn tal que Sn>0S_n > 0. Expresse em função de a1a_1 e ∣r∣|r|.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §9.2
    Show solution
    Por Gauss: Sn=n(2a1+(n−1)r)/2S_n = n(2a_1 + (n-1)r)/2. Para Sn>0S_n > 0 com r<0r < 0 e a1>0a_1 > 0: como n>0n > 0, precisamos 2a1+(n−1)r>0⇒n<1+2a1/∣r∣2a_1 + (n-1)r > 0 \Rightarrow n < 1 + 2a_1/|r|. Maior inteiro válido: nmax⁡=⌊2a1/∣r∣⌋+1n_{\max} = \lfloor 2a_1/|r| \rfloor + 1 (ajustado por inteireza). Verifique sempre os candidatos nmax⁡n_{\max} e nmax⁡−1n_{\max} - 1.

Fontes

  • OpenStax — College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022, 2.ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §9.2 (Arithmetic Sequences), §9.4 (Series and Their Notations). Fonte primária dos exercícios e Exemplos 1, 3 e 5.
  • Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §9.1–9.2 (Sequences and Summation Notation). Fonte do Exemplo 2 e exercícios estruturais.
  • Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3.ª ed · EN · livre · cap. 10 (Mathematical Induction). Fonte das demonstrações 17.31, 17.32, 17.34.
  • OpenStax — College Physics 2e — Paul Peter Urone et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.7 (Falling Objects). Fonte do Exemplo 5 e do exercício 17.23 (queda livre).
  • Wikilivros — Matemática elementar (Progressões aritméticas) — vivo · PT-BR · CC-BY-SA. Referência em português para meios aritméticos e exercícios práticos.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.