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Lição 21 — Plano cartesiano: distância, ponto médio

Coordenadas cartesianas, fórmula da distância, ponto médio, divisão de segmento. Linguagem geométrica de Descartes (1637).

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 2 · Equiv. Algebra & Trigonometry §10

d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

A fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano. Vem direto do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelas projeções nos eixos. Descartes (1637) introduziu este sistema de coordenadas, fundindo álgebra e geometria. Generaliza para $\mathbb{R}^n$ como norma euclidiana $\|P - Q\|_2$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Geometria analítica em ℝ²

"O plano cartesiano consiste em dois eixos numéricos perpendiculares, chamados eixo $x$ e eixo $y$ . O ponto onde se interceptam é a origem. Cada par ordenado $(x, y)$ corresponde a exatamente um ponto do plano e vice-versa." — OpenStax College Algebra 2e, §2.1

Distância entre dois pontos

A distância d(P, Q) é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos |x₂ − x₁| e |y₂ − y₁|.

Ponto médio

"O ponto médio de um segmento de reta unindo dois pontos é o ponto cujas coordenadas são as médias aritméticas das coordenadas dos extremos." — OpenStax College Algebra 2e, §2.1

Divisão de segmento na razão $k$

Para dividir $\overline{PQ}$ em razão $\overline{PR}/\overline{RQ} = k$ (interna):

R = \left(\frac{x_1 + k\,x_2}{1 + k},\ \frac{y_1 + k\,y_2}{1 + k}\right)

what this means · Generalização do ponto médio (caso k = 1). Para dividir em razão arbitrária k.

Área do triângulo

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do cálculo direto da distância à classificação de quadriláteros via coordenadas. Cada exemplo cita sua fonte: o problema vem sempre de um livro aberto.

Example— 1· Distância entre dois pontos (aplicação)

Problema: Calcule a distância entre $P = (-2, 3)$ e $Q = (4, -5)$ .

Estratégia: Aplicar diretamente a fórmula $d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Não importa qual ponto é $P$ e qual é $Q$ — os termos vão ao quadrado.

Resolução:

Identifique as coordenadas: $x_1 = -2$ , $y_1 = 3$ , $x_2 = 4$ , $y_2 = -5$ .
Calcule as diferenças: $x_2 - x_1 = 4 - (-2) = 6$ e $y_2 - y_1 = -5 - 3 = -8$ .
Eleve ao quadrado: $6^2 = 36$ e $(-8)^2 = 64$ .
Some e tire a raiz: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

Verificação: Os catetos do triângulo retângulo são 6 e 8, hipotenusa 10 — clássico terno pitagórico $(6, 8, 10) = 2 \cdot (3, 4, 5)$ . Confere.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Ponto médio de um segmento (aplicação)

Problema: Encontre o ponto médio do segmento de extremos $A = (-3, 7)$ e $B = (5, -1)$ .

Estratégia: A fórmula do ponto médio é a média aritmética coordenada por coordenada.

Resolução:

Coordenada $x$ do ponto médio: $\dfrac{-3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$ .
Coordenada $y$ do ponto médio: $\dfrac{7 + (-1)}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ .
Logo, $M = (1, 3)$ .

Verificação: $M$ deve ser equidistante de $A$ e $B$ . $d(A, M) = \sqrt{(1-(-3))^2 + (3-7)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$ . $d(B, M) = \sqrt{(1-5)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$ . Iguais — confere.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Determinar coordenada faltante (intermediário)

Problema: Encontre $y$ tal que o ponto $P = (3, y)$ esteja a uma distância de $5$ unidades de $Q = (-1, 2)$ .

Estratégia: Aplicar a fórmula da distância e resolver a equação resultante para $y$ . Vai aparecer uma equação quadrática em $y$ — esperar duas soluções (acima e abaixo do alinhamento horizontal de $Q$ ).

Resolução:

Pela fórmula da distância: $\sqrt{(3 - (-1))^2 + (y - 2)^2} = 5$ .
Simplifique: $\sqrt{16 + (y-2)^2} = 5$ .
Eleve ao quadrado: $16 + (y - 2)^2 = 25$ .
Isole o quadrado: $(y - 2)^2 = 9$ .
Extraia a raiz quadrada (com $\pm$ ): $y - 2 = \pm 3$ .
Resolva: $y = 5$ ou $y = -1$ .

Verificação: Para $y = 5$ : $d = \sqrt{16 + 9} = 5$ . OK. Para $y = -1$ : $d = \sqrt{16 + 9} = 5$ . OK. Geometricamente, o conjunto dos pontos a distância 5 de $Q$ é um círculo de raio 5; a reta vertical $x = 3$ corta esse círculo em dois pontos — exatamente $(3, 5)$ e $(3, -1)$ .

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §1.1 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Identificar tipo de triângulo (avançado)

Problema: Mostre que o triângulo de vértices $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (8, 2)$ é isósceles e não é equilátero.

Estratégia: Calcular os comprimentos dos três lados via fórmula da distância e comparar. Isósceles $\Leftrightarrow$ pelo menos dois lados iguais; equilátero $\Leftrightarrow$ os três iguais.

Resolução:

Lado $AB$ : $\sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Lado $BC$ : $\sqrt{(8-4)^2 + (2-5)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ .
Lado $CA$ : $\sqrt{(1-8)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \approx 7{,}07$ .
Como $AB = BC = 5$ e $CA = \sqrt{50} \neq 5$ , o triângulo é isósceles com base $\overline{CA}$ e lados iguais $\overline{AB} = \overline{BC}$ . Não é equilátero porque um lado é distinto.

Verificação: Pela desigualdade triangular: $AB + BC = 10 > 7{,}07 = CA$ . OK. O vértice $B$ está à mesma distância dos outros dois — confere "ápice isósceles".

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Logística de entrega (modelagem real)

Problema: Uma transportadora tem um centro de distribuição em $C = (0, 0)$ . Há três clientes nos pontos $A = (3, 4)$ , $B = (-6, 8)$ e $D = (5, -12)$ , com coordenadas em quilômetros. (a) Determine qual cliente é o mais próximo do centro. (b) Calcule a distância média percorrida do centro a cada cliente.

Estratégia: Calcular as três distâncias, identificar a menor (item a) e tirar a média aritmética (item b).

Resolução:

$d(C, A) = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ km. (Terno pitagórico clássico.)
$d(C, B) = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
$d(C, D) = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ km. (Outro terno: $5{-}12{-}13$ .)
(a) O cliente $A$ é o mais próximo, com $5$ km.
(b) Distância média: $\dfrac{5 + 10 + 13}{3} = \dfrac{28}{3} \approx 9{,}33$ km.

Verificação: Todas as distâncias são positivas (faz sentido). A ordem $5 < 10 < 13$ está consistente com a posição visual no plano: $A$ está mais perto da origem que $B$ e $D$ . A média 9,33 km está entre o mínimo 5 e o máximo 13 — sanidade.

Observação prática. Em logística real (problema do caixeiro viajante), a métrica relevante muitas vezes não é euclidiana e sim a distância pelas ruas — que pode ser estimada como euclidiana multiplicada por um fator de tortuosidade ( $\approx 1{,}3$ a $1{,}5$ em cidades médias).

Fonte. Wikilivros — Matemática elementar / Geometria analítica — licença CC-BY-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 3Modeling 6Challenge 3Proof 4

Ex. 21.1ApplicationAnswer key
Calcule $d(A, B)$ para $A = (1, 2)$ e $B = (4, 6)$ . (Resp: 5.)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Aplicando a fórmula: $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . Os catetos 3 e 4 com hipotenusa 5 formam o terno pitagórico clássico.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique as coordenadas. Ponto $A = (1, 2)$ : $x_1 = 1, y_1 = 2$ . Ponto $B = (4, 6)$ : $x_2 = 4, y_2 = 6$ .
2. Calcule as diferenças (catetos). $\Delta x = 4 - 1 = 3$ e $\Delta y = 6 - 2 = 4$ .
3. Eleve ao quadrado e some. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .
4. Extraia a raiz. $d = \sqrt{25} = 5$ .
5. Reconheça o terno. Catetos 3 e 4 — terno $(3, 4, 5)$ . Memorize também $(5, 12, 13)$ e $(8, 15, 17)$ .
Macete: ao ver coordenadas pequenas, calcule mentalmente $(\Delta x, \Delta y)$ e verifique se cai num terno pitagórico — economiza extração de raiz.
Ex. 21.2ApplicationAnswer key
Calcule a distância entre a origem $(0, 0)$ e o ponto $(3, 4)$ . (Resp: 5.)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
$d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
Ex. 21.3Application
Calcule a distância entre $(-2, 1)$ e $(3, -4)$ . (Resp: $5\sqrt{2}$ .)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
$d = \sqrt{(3-(-2))^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ .
Ex. 21.4Application
Calcule $d(P, Q)$ para $P = (2, -3)$ e $Q = (-4, 1)$ . (Resp: $2\sqrt{13}$ .)
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
$d = \sqrt{(-4-2)^2 + (1-(-3))^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ .
Ex. 21.5Application
Calcule a distância entre $(5, 0)$ e $(0, 12)$ . (Resp: 13.)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
$d = \sqrt{(0-5)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ . Terno pitagórico $(5, 12, 13)$ .
Ex. 21.6Application
Determine $x$ tal que $d((x, 3), (5, 7)) = 5$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
De $\sqrt{(5-x)^2 + (7-3)^2} = 5$ , eleve ao quadrado: $(5-x)^2 + 16 = 25$ , então $(5-x)^2 = 9$ , logo $5 - x = \pm 3$ , dando $x = 2$ ou $x = 8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a equação de distância. $\sqrt{(5-x)^2 + (7-3)^2} = 5$ . A diferença em $y$ é $7-3 = 4$ , que é constante.
2. Eleve ambos os lados ao quadrado. $(5-x)^2 + 16 = 25$ .
3. Isole o quadrado. $(5-x)^2 = 9$ .
4. Extraia a raiz quadrada (com sinal ±). $5 - x = \pm 3$ , então $x = 2$ ou $x = 8$ .
5. Verifique as duas soluções. Geometricamente, são dois pontos na reta $y = 3$ equidistantes de $(5, 7)$ — faz sentido.
Macete: ao isolar um quadrado $(A)^2 = k$ , sempre lembre dos dois sinais na raiz: $A = \pm\sqrt{k}$ .
Ex. 21.7Application
Determine $y$ tal que $(0, y)$ esteja a 13 unidades de $(5, 0)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
De $\sqrt{(5-0)^2 + (0-y)^2} = 13$ : $25 + y^2 = 169$ , então $y^2 = 144$ , logo $y = \pm 12$ . Terno pitagórico (5, 12, 13).
Ex. 21.8Application
Pontos $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (-2, 4)$ . Calcule o perímetro do triângulo $ABC$ . (Resp: $\approx 15{,}33$ .)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Calcule os três lados: $AB = \sqrt{9+16} = 5$ , $BC = \sqrt{36+1} = \sqrt{37}$ , $CA = \sqrt{9+9} = 3\sqrt{2}$ . Perímetro: $5 + \sqrt{37} + 3\sqrt{2} \approx 5 + 6{,}08 + 4{,}24 \approx 15{,}33$ .
Ex. 21.9Application
Verifique se $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (5, -3)$ formam triângulo retângulo. Justifique calculando os três lados.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Lados: $AB = \sqrt{9+16} = 5$ , $BC = \sqrt{1+64} = \sqrt{65}$ , $CA = \sqrt{16+16} = \sqrt{32}$ . Verifique Pitágoras para todos os trios: $AB^2 + CA^2 = 25 + 32 = 57 \neq 65 = BC^2$ ; $AB^2 + BC^2 = 25 + 65 = 90 \neq 32 = CA^2$ ; $BC^2 + CA^2 = 65 + 32 = 97 \neq 25 = AB^2$ . Nenhum terno satisfaz Pitágoras — o triângulo não é retângulo.
Ex. 21.10Application
Encontre o ponto $P$ no eixo $x$ equidistante de $(2, 5)$ e $(8, 1)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Seja $P = (a, 0)$ . Equidistante de $A=(2,5)$ e $B=(8,1)$ : $(a-2)^2 + 25 = (a-8)^2 + 1$ . Expanda e cancele $a^2$ : $-4a + 29 = -16a + 65$ , então $12a = 36$ , $a = 3$ . Verificação: $d((3,0),(2,5)) = \sqrt{1+25} = \sqrt{26}$ ; $d((3,0),(8,1)) = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$ . Logo $P = (3, 0)$ .
Ex. 21.11Application
Vértices do quadrilátero $(0,0), (4,0), (4,3), (0,3)$ . Calcule o perímetro. (Resp: 14.)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Os lados paralelos ao eixo $y$: $d = |y_2 - y_1|$ . Coordenadas fornecidas — qualquer retângulo eixo-alinhado com vértices $(0,0),(4,0),(4,3),(0,3)$ tem lados 4 e 3. Perímetro: $2(4+3) = 14$ .
Ex. 21.12ApplicationAnswer key
Determine se $(1,2), (5,2), (5,5), (1,5)$ formam retângulo. Calcule lados e diagonais.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Lados: $(1,2)\to(5,2): 4$ ; $(5,2)\to(5,5): 3$ ; $(5,5)\to(1,5): 4$ ; $(1,5)\to(1,2): 3$ . Lados opostos iguais. Diagonais: $d_1 = \sqrt{16+9} = 5$ ; $d_2 = \sqrt{16+9} = 5$ . Diagonais iguais e lados consecutivos perpendiculares: é retângulo.
Ex. 21.13ApplicationAnswer key
Encontre o ponto médio de $(2, 5)$ e $(6, 9)$ . (Resp: $(4, 7)$ .)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Ponto médio: $M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{5+9}{2}\right) = (4, 7)$ .
Ex. 21.14Application
Encontre o ponto médio de $(-3, 2)$ e $(7, -8)$ . (Resp: $(2, -3)$ .)
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Ponto médio: $M = \left(\frac{-3+7}{2}, \frac{2+(-8)}{2}\right) = (2, -3)$ . Verificação geométrica: $x = 2$ está entre $-3$ e $7$; $y = -3$ está entre $-8$ e $2$.
Show step-by-step (with the why)
1. Aplicar a fórmula coordenada por coordenada. $M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ — média aritmética simples.
2. Coordenada x. $(-3 + 7)/2 = 4/2 = 2$ .
3. Coordenada y. $(2 + (-8))/2 = -6/2 = -3$ . Atenção ao sinal negativo na soma.
4. Sanity check geométrico. O ponto médio deve estar entre os extremos: $-3 \leq 2 \leq 7$ e $-8 \leq -3 \leq 2$ . OK.
Atalho: ponto médio = média aritmética. Não confunda com "ponto médio ponderado" — esse seria divisão de segmento com razão diferente de 1:1.
Ex. 21.15Application
O ponto médio de $\overline{AB}$ é $M = (1, 3)$ e $A = (-3, 7)$ . Encontre $B$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Sabemos o ponto médio $M = (1, 3)$ e um extremo $A = (-3, 7)$ . Usando as fórmulas: $\frac{-3 + x_B}{2} = 1 \Rightarrow x_B = 5$ ; $\frac{7 + y_B}{2} = 3 \Rightarrow y_B = -1$ . Logo $B = (5, -1)$ .
Ex. 21.16Application
Calcule o centroide do triângulo de vértices $A=(0,0)$ , $B=(6,0)$ , $C=(0,9)$ . (Resp: $(2, 3)$ .)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Centroide: $G = \left(\frac{0+6+0}{3}, \frac{0+0+9}{3}\right) = (2, 3)$ .
Ex. 21.17ApplicationAnswer key
Encontre o ponto que divide $\overline{PQ}$ na razão $1:3$ , onde $P = (2,3)$ e $Q = (10,11)$ . (Resp: $(4, 5)$ .)
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
Show solution
Divisão na razão $1:3$ significa $k = 1/3$ . Usando $R = ((x_1 + k x_2)/(1+k),\ (y_1 + k y_2)/(1+k))$ com $P=(2,3), Q=(10,11)$ : $R_x = (2 + (1/3)(10))/(4/3) = (16/3)/(4/3) = 4$ ; $R_y = (3 + (1/3)(11))/(4/3) = (20/3)/(4/3) = 5$ . Logo $R = (4, 5)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Interpretar a razão. Razão $1:3$ significa $PR/RQ = 1/3$ : $R$ está a 1/4 do caminho de $P$ a $Q$ . Identifique $k = 1/3$ .
2. Vetor PQ. $\overrightarrow{PQ} = (10-2, 11-3) = (8, 8)$ .
3. Alternativa mais rápida. $R = P + \frac{1}{1+3}\overrightarrow{PQ} = (2,3) + \frac{1}{4}(8,8) = (2,3) + (2,2) = (4,5)$ .
4. Verificação. $d(P,R) = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2}$ ; $d(R,Q) = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}$ . Razão $2\sqrt{2}/(6\sqrt{2}) = 1/3$ . Confere.
Atalho: para razão $m:n$ , some ao ponto inicial o vetor $PQ$ escalado por $m/(m+n)$ . Mais intuitivo que a fórmula com $k$ .
Ex. 21.18ApplicationAnswer key
Mostre que o triângulo de vértices $(0,0), (4,3), (8,0)$ é isósceles. Calcule os três lados.
Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Lados: $AB = \sqrt{16+9} = 5$ ; $BC = \sqrt{16+9} = 5$ ; $CA = \sqrt{64+0} = 8$ . Dois lados iguais: isósceles. O terceiro lado é diferente: não é equilátero.
Ex. 21.19ApplicationAnswer key
Verifique que os pontos $(0,0), (6,0), (3, 3\sqrt{3})$ formam triângulo equilátero.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Lados: $(0,0)\to(6,0): 6$ ; $(6,0)\to(3, 3\sqrt{3}): \sqrt{9 + 27} = 6$ ; $(3, 3\sqrt{3})\to(0,0): \sqrt{9+27} = 6$ . Os três iguais a 6: equilátero.
Ex. 21.20Application
Calcule a área do triângulo de vértices $(0,0), (4,0), (0,3)$ . (Resp: 6.)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
A área do triângulo retângulo com catetos 4 e 3 sobre os eixos é $\frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ . Alternativa pela fórmula geral: $\text{Área} = \frac{1}{2}|0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)| = \frac{1}{2}|12| = 6$ .
Ex. 21.21Application
Calcule a área do triângulo de vértices $A = (1, 1)$ , $B = (4, 5)$ , $C = (8, 2)$ . (Resp: 12,5.)
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
Show solution
Pela fórmula geral da área: $\text{Área} = \frac{1}{2}|1(5-2) + 4(2-1) + 8(1-5)| = \frac{1}{2}|3 + 4 - 32| = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12{,}5$ .
Ex. 21.22Application
O quadrilátero $A=(0,0)$ , $B=(4,2)$ , $C=(6,5)$ , $D=(2,3)$ é paralelogramo? Calcule os lados e as diagonais e justifique.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Mostre que as 4 inclinações são iguais ou que os 4 lados são iguais. Lados: $AB = \sqrt{(4-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ ; $BC = \sqrt{(6-4)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{13}$ . Lados desiguais — não é losango. Ângulo em $A$ : inclinação $AB$ é $2/4 = 0{,}5$ ; inclinação $AD$ é... Compare diagonais: $d_1 = d((0,0),(6,5)) = \sqrt{61}$ ; $d_2 = d((4,2),(2,3)) = \sqrt{5}$ . Desiguais: não é retângulo (que exige diagonais iguais). Mas verifique perpendicularidade de lados adjacentes para decidir.
Ex. 21.23Application
Escreva a fórmula da distância da origem ao ponto $(a, b)$ genérico. (Resp: $\sqrt{a^2 + b^2}$ .)
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
Show solution
Pela fórmula: $d((0,0),(a,b)) = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Particularização da fórmula geral com $x_1 = y_1 = 0$ .
Ex. 21.24Application
Escreva a fórmula geral do ponto médio de $(a, b)$ e $(c, d)$ .
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
Show solution
Escreva a fórmula do ponto médio genericamente: $M = \left(\frac{a+c}{2}, \frac{b+d}{2}\right)$ . Válida para quaisquer $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ .
Ex. 21.25Understanding
O conjunto de pontos $(x, y)$ satisfazendo $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$ . Que figura geométrica é?
Select the correct option
Círculo de raio 5 centrado na origemReta passando pela origemQuadrado de diagonal 5Elipse com semieixo 5
Select an option first
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
A condição $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$ diz que a distância de $(x, y)$ à origem é 5 — definição clássica de círculo centrado na origem com raio 5. Distrator A: uma reta não tem distância constante a um ponto. Distrator C: um quadrado tem vértices a distâncias diferentes de seu centro. Distrator D: uma elipse teria dois raios distintos.
Ex. 21.26Understanding
O conjunto de pontos equidistantes de $A = (-2, 0)$ e $B = (2, 0)$ . Que reta formam?
Select the correct option
Eixo $y$ — a reta $x = 0$ Eixo $x$ — a reta $y = 0$ A reta $y = x$ Apenas a origem
Select an option first
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Equidistância de $A=(-2,0)$ e $B=(2,0)$ : $(x+2)^2 + y^2 = (x-2)^2 + y^2$ . Cancele $y^2$ e expanda: $4x + 4 = -4x + 4$ , logo $8x = 0$ , $x = 0$ . É o eixo $y$ — a mediatriz do segmento horizontal $AB$ . Distrator B: o eixo $x$ seria equidistante de $A$ e $B$ apenas na origem. Distrator D: a origem satisfaz, mas o conjunto completo é toda a reta.
Ex. 21.27UnderstandingAnswer key
Esboce e descreva o conjunto de pontos $(x, y)$ com $|x| + |y| = 1$ . Que figura geométrica é?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
A condição $|x| + |y| = 1$ define o "círculo unitário" da norma $\ell_1$ (Manhattan). Em cada quadrante, $|x| + |y|$ se torna uma equação linear; o conjunto é um quadrado rotacionado 45°, com vértices em $(\pm 1, 0)$ e $(0, \pm 1)$ . No quadrante I: $x + y = 1$ , que é a diagonal de $(1,0)$ a $(0,1)$ .
Ex. 21.28ModelingAnswer key
Você está em $(2, 3)$ km e quer ir até $(8, 11)$ km. Calcule a distância em linha reta e estime a distância real pelas ruas usando fator de tortuosidade 1,3. (Resp: linha reta = 10 km; estimativa = 13 km.)
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §2.1
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Distância em linha reta: $d = \sqrt{(8-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique as coordenadas. Ponto de partida: $(2, 3)$ km. Destino: $(8, 11)$ km.
2. Calcule as diferenças. $\Delta x = 8 - 2 = 6$ km; $\Delta y = 11 - 3 = 8$ km.
3. Aplique a fórmula. $d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ km.
4. Reconheça o terno. Catetos 6 e 8 — terno $(6, 8, 10) = 2 \cdot (3, 4, 5)$ .
5. Contextualize. Distância real pelas ruas: aproximadamente $10 \times 1{,}3 = 13$ km, usando fator de tortuosidade típico de cidade brasileira.
Observação: a distância em linha reta é o limite inferior da distância real pelas ruas. Sempre $d_{\text{rua}} \geq d_{\text{euclidiana}}$ .
Ex. 21.29Modeling
Numa cidade em grade (tipo Manhattan), calcule a distância de táxi ( $\ell_1$ ) e a euclidiana ( $\ell_2$ ) entre $(0,0)$ e $(10, 7)$ . Qual é maior? Por quê?
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
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Manhattan (táxi): $|10-0| + |7-0| = 17$ quarteirões. Euclidiana (linha reta): $\sqrt{100+49} = \sqrt{149} \approx 12{,}21$ quarteirões. O táxi sempre anda mais que a linha reta — desigualdade entre normas $\|v\|_1 \geq \|v\|_2$ .
Ex. 21.30Modeling
GPS marca sua posição $(\text{lat},\ \text{long}) = (45{,}123,\ -23{,}456)$ e a de sua amiga em $(45{,}126,\ -23{,}450)$ . Estime a distância em metros usando $1° \approx 111$ km.
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
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GPS reporta posição em graus. Diferenças: $\Delta\text{lat} = 0{,}003°$ , $\Delta\text{long} = 0{,}006°$ . Convertendo (1° ≈ 111 km): $\Delta y \approx 0{,}333$ km e $\Delta x \approx 0{,}666$ km. Distância: $\sqrt{0{,}333^2 + 0{,}666^2} \approx 0{,}745$ km $\approx 745$ m.
Show step-by-step (with the why)
1. Aproximação local plana. Para distâncias pequenas (até alguns km), o globo pode ser tratado como plano. Cada grau de latitude ou longitude corresponde a aproximadamente 111 km.
2. Calcular variações em graus. $\Delta\text{lat} = 45{,}126 - 45{,}123 = 0{,}003°$ ; $\Delta\text{long} = -23{,}450 - (-23{,}456) = 0{,}006°$ .
3. Converter para km. $\Delta y \approx 0{,}333$ km; $\Delta x \approx 0{,}666$ km.
4. Aplicar Pitágoras. $d \approx \sqrt{0{,}111 + 0{,}443} \approx \sqrt{0{,}554} \approx 0{,}745$ km.
5. Sanity check. 745 m é caminhável — faz sentido como distância entre duas pessoas na mesma rua.
Observação. Em latitudes distantes do equador, 1° de longitude vale menos que 111 km — o fator de correção é $\cos(\text{latitude})$ . Em São Paulo (~23,5° S), 1° de longitude $\approx 102$ km.
Ex. 21.31Modeling
Em ML, dois pontos $\mathbf{x} = (1, 2, 3, 4)$ e $\mathbf{y} = (5, 6, 7, 8)$ em $\mathbb{R}^4$ . Calcule a distância euclidiana. (Resp: 8.)
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §2.1
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Distância euclidiana em $\mathbb{R}^4$ : $d = \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{16+16+16+16} = \sqrt{64} = 8$ . Cada componente contribui 4² = 16; com 4 componentes: $\sqrt{4 \times 16} = 4\sqrt{4} = 8$ .
Ex. 21.32Modeling
Numa sala quadrada de lado $L = 10$ m, calcule a distância do centro geométrico a cada canto. Por que o centro é a posição ideal para um roteador Wi-Fi?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
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Coordenadas dos cantos: $(0,0), (L,0), (L,L), (0,L)$ . Centro: $P = (L/2, L/2)$ . Distância ao canto: $d = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{L^2/2} = L/\sqrt{2}$ . Para $L = 10$ m: $d = 10/\sqrt{2} \approx 7{,}07$ m. O centro minimiza a distância máxima a qualquer ponto do recinto — posição ótima para um roteador Wi-Fi.
Ex. 21.33ModelingAnswer key
Três escolas estão nos pontos $A=(0,0)$ , $B=(4,0)$ e $C=(0,3)$ (coordenadas em km). Uma biblioteca deve ser construída no ponto equidistante das três escolas. Onde fica esse ponto e a que distância fica de cada escola?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
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Três escolas: $A=(0,0)$ , $B=(4,0)$ , $C=(0,3)$ . Distâncias: $AB = 4$ , $AC = 3$ , $BC = 5$ . A ponto $P$ equidistante dos três (circuncentro): equações $(x-0)^2+y^2 = (x-4)^2+y^2$ dá $x = 2$ ; $x^2+y^2 = x^2+(y-3)^2$ dá $y = 3/2$ . Logo $P = (2, 1{,}5)$ , e a distância de $P$ a cada escola é $\sqrt{4 + 2{,}25} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ km.
Ex. 21.34Challenge
(Desafio.) Qual o comprimento do lado do maior triângulo equilátero que pode ser inscrito num quadrado de lado 1? Calcule também a área desse triângulo.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
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O maior triângulo equilátero inscrito no quadrado unitário tem um vértice num canto e os outros dois em lados. Para o quadrado com vértices $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$ , colocando um vértice em $(0,0)$ e escolhendo o ângulo de 15°, o lado do triângulo é $L = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1{,}035$ . A área é $\frac{\sqrt{3}}{4}L^2 = 2\sqrt{3} - 3 \approx 0{,}464$ . Este é um resultado clássico de otimização geométrica — o triângulo fica "encostado" em dois lados do quadrado com um vértice no canto oposto.
Ex. 21.35Proof
Demonstração. Demonstre a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer do plano usando o teorema de Pitágoras.
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
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Sejam $P=(x_1,y_1)$ e $Q=(x_2,y_2)$ . Construa o ponto auxiliar $R = (x_2, y_1)$ . O triângulo $PRQ$ tem ângulo reto em $R$ : cateto horizontal $PR$ de comprimento $|x_2 - x_1|$ e cateto vertical $RQ$ de comprimento $|y_2 - y_1|$ . A hipotenusa é $PQ$ . Por Pitágoras: $PQ^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$ , logo $d(P,Q) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ . ∎
Ex. 21.36Proof
Demonstração. Mostre que o ponto médio $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ é equidistante dos extremos $P$ e $Q$ , e que cada distância é exatamente $\dfrac{1}{2}d(P,Q)$ .
Solve online Wikilivros — Geometria analítica
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Sejam $P=(x_1,y_1)$ , $Q=(x_2,y_2)$ , e $M = ((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)$ . Calcule $d(P, M)$ : $d(P,M) = \sqrt{\left(\frac{x_1+x_2}{2} - x_1\right)^2 + \left(\frac{y_1+y_2}{2} - y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x_2-x_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y_2-y_1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ . Por simetria, $d(Q, M)$ dá o mesmo resultado. Logo $M$ é equidistante de $P$ e $Q$ e cada distância é exatamente metade de $d(P,Q)$ . ∎
Ex. 21.37Proof
Demonstração. Mostre que se três pontos são colineares, então a área do triângulo formado por eles é zero.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
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Sejam $A, B, C$ colineares, todos sobre uma reta. O vetor $\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1, y_2-y_1)$ é paralelo a $\overrightarrow{AC} = (x_3-x_1, y_3-y_1)$ . Vetores paralelos têm produto vetorial 2D nulo: $(x_2-x_1)(y_3-y_1) - (y_2-y_1)(x_3-x_1) = 0$ . Expandindo esse determinante: $x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) = 0$ . Logo a área $= \frac{1}{2}|0| = 0$ . ∎
Ex. 21.38Proof
Demonstração. Enuncie e demonstre a desigualdade triangular para distâncias no plano: $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$ . Quando ocorre a igualdade?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Desigualdade triangular: para quaisquer $A, B, C$ no plano, $d(A, C) \leq d(A, B) + d(B, C)$ . Prova: seja $\vec{u} = B - A$ e $\vec{v} = C - B$ . Então $C - A = \vec{u} + \vec{v}$ . Por Cauchy-Schwarz, $|\vec{u} + \vec{v}|^2 \leq (|\vec{u}| + |\vec{v}|)^2$ (pois o produto interno satisfaz $\langle u, v \rangle \leq |u||v|$ ). Logo $d(A,C) = |\vec{u} + \vec{v}| \leq |\vec{u}| + |\vec{v}| = d(A,B) + d(B,C)$ . Igualdade ocorre quando $B$ está no segmento $\overline{AC}$ . ∎
Ex. 21.39Challenge
(Desafio.) Encontre o centro do círculo circunscrito ao triângulo de vértices $(0,0)$ , $(4,0)$ e $(0,3)$ . Verifique que ele é o ponto médio da hipotenusa.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §2.1
Show solution
Centro do círculo circunscrito $O = (a, b)$ equidistante dos três: $a^2+b^2 = (a-4)^2+b^2 = a^2+(b-3)^2$ . Da primeira igualdade (com $(0,0)$ e $(4,0)$ ): $a^2 = a^2 - 8a + 16 \Rightarrow a = 2$ . Da primeira com $(0,3)$ : $b^2 = b^2 - 6b + 9 \Rightarrow b = 3/2$ . Centro: $(2, 3/2)$ . É o ponto médio da hipotenusa — propriedade do triângulo retângulo: o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
Ex. 21.40Challenge
(Desafio.) Mostre que $A=(0,0)$ , $B=(3,1)$ , $C=(5,4)$ , $D=(2,3)$ formam paralelogramo usando duas estratégias: (a) lados opostos iguais; (b) diagonais se bissectam.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.1
Show solution
Sejam os quatro pontos $A, B, C, D$ . Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se as diagonais se bissectam mutuamente — ou seja, o ponto médio de $AC$ coincide com o ponto médio de $BD$ . Para $A=(0,0), B=(3,1), C=(5,4), D=(2,3)$ : médio de $AC = (5/2, 2)$ ; médio de $BD = (5/2, 2)$ . Iguais — é paralelogramo. Além disso, $AB = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ e $CD = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ ; $BC = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ e $AD = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ . Lados opostos iguais — confirma paralelogramo.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

College Algebra 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §2.1: plano cartesiano, fórmula da distância, ponto médio. Fonte primária.
Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §2.1.
Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.1.
Matemática elementar — Geometria analítica — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA.

Geometria analítica em ℝ²

Distância entre dois pontos

Ponto médio

Divisão de segmento na razão kkk

Área do triângulo

Exemplos resolvidos

Fontes

Divisão de segmento na razão $k$