v1 · padrão canônico

Lição 32 — Operações com matrizes

Soma, multiplicação por escalar, produto matricial. A multiplicação como composição de transformações lineares.

Used in: 1.º ano EM (álgebra linear elementar) · Equiv. Math I japonês cap. matrizes · Equiv. Klasse 11 alemã (Matrizen)

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj}

Produto matricial: o elemento na linha $i$ e coluna $j$ de $AB$ é a soma dos produtos entre os elementos da linha $i$ de $A$ e os elementos da coluna $j$ de $B$ . Só é possível quando o número de colunas de $A$ coincide com o número de linhas de $B$ . Em geral, $AB eq BA$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Matrizes — tipos básicos

Uma matriz $A$ de ordem $m \times n$ é uma tabela retangular de $mn$ números reais com $m$ linhas e $n$ colunas. Sua entrada na posição $(i, j)$ é $a_{ij}$ .

Definition· Tipos especiais de matriz

Tipo	Condição	Símbolo
Linha	$m = 1$	$[a_{1j}]_{1 \times n}$
Coluna	$n = 1$	$[a_{i1}]_{m \times 1}$
Quadrada	$m = n$	$[a_{ij}]_{n \times n}$
Diagonal	quadrada, $a_{ij}=0$ se $i \neq j$	$\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n)$
Identidade	diagonal com $d_i = 1$	$I_n$
Nula	todas entradas $= 0$	$O$

Soma e multiplicação por escalar

Produto matricial

"A matriz produto $AB$ é definida quando o número de colunas de $A$ é igual ao número de linhas de $B$ . Se $A$ é $m \times n$ e $B$ é $n \times p$ , então o produto $AB$ é $m \times p$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §9.5

"Se $A$ é uma matriz $m \times n$ e $B$ é uma matriz $n \times p$ , então o produto $AB$ é definido e é uma matriz $m \times p$ . O elemento $(i,j)$ de $AB$ é o produto escalar da $i$ -ésima linha de $A$ com a $j$ -ésima coluna de $B$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MO

Propriedades

Theorem· Propriedades das operações matriciais

Operação	Propriedade	Observação
Soma	comutativa: $A+B = B+A$	sempre
Soma	associativa: $(A+B)+C = A+(B+C)$	sempre
Soma	identidade: $A + O = A$	$O$ é a matriz nula
Escalar	$c(A+B) = cA + cB$	distributiva
Escalar	$(c+d)A = cA + dA$	distributiva
Produto	associativa: $(AB)C = A(BC)$	sempre
Produto	distributiva: $A(B+C) = AB + AC$	sempre
Produto	NÃO comutativa: $AB \neq BA$ em geral	regra crítica
Produto	identidade: $AI_n = I_m A = A$	para $A \in M_{m \times n}$
Produto	transposto: $(AB)^T = B^T A^T$	ordem inverte

Não-comutatividade e composição

O produto $AB$ corresponde a aplicar primeiro a transformação $B$ e depois $A$ . Como composição de funções depende da ordem, o produto não comuta.

Exemplo canônico: $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Então $AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e $BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , que são diferentes.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Soma de matrizes e multiplicação por escalar

Problema. Dados $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ , calcule $A + B$ e $2A - B$ .

Estratégia. Soma e diferença de matrizes são operações entrada a entrada. Multiplicação por escalar multiplica cada entrada. Verificamos sempre se as dimensões coincidem — aqui ambas são $2 \times 2$ , então as operações são definidas.

Resolução.

Passo 1 — Soma: $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ $A + B = \begin{pmatrix} 3+2 & -1+5 \\ 0+(-3) & 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}$

Passo 2 — Escalar sobre $A$ : $2A = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$

Passo 3 — Diferença $2A - B$ : $2A - B = \begin{pmatrix} 6-2 & -2-5 \\ 0-(-3) & 8-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$

Verificação. $(2A - B)_{11} = 2 \cdot 3 - 2 = 4$ . Correto.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Produto matricial 2×2 e não-comutatividade

Problema. Calcule $AB$ e $BA$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$ .

Estratégia. Cada entrada $(AB)_{ij}$ é o produto escalar da linha $i$ de $A$ com a coluna $j$ de $B$ . Calcularemos $AB$ e depois $BA$ para demonstrar explicitamente a não-comutatividade.

Resolução.

Produto $AB$ :

$(AB)_{11} = 1 \cdot (-1) + 3 \cdot 4 = -1 + 12 = 11$ $(AB)_{12} = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5$ $(AB)_{21} = 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 = -2 + 0 = -2$ $(AB)_{22} = 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4 + 0 = 4$

$AB = \begin{pmatrix} 11 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$

Produto $BA$ :

$(BA)_{11} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 2 = -1 + 4 = 3$ $(BA)_{12} = (-1) \cdot 3 + 2 \cdot 0 = -3 + 0 = -3$ $(BA)_{21} = 4 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 4 + 2 = 6$ $(BA)_{22} = 4 \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 12 + 0 = 12$

$BA = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$

Conclusão. $AB = \begin{pmatrix} 11 & 5 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} = BA$ . A multiplicação matricial não é comutativa.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Produto matricial com dimensões distintas — 2x3 por 3x2

Problema. Calcule $AB$ para $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ (ordem $2 \times 3$ ) e $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ (ordem $3 \times 2$ ).

Estratégia. Verificamos a regra de dimensão: colunas de $A$ = 3 = linhas de $B$ . O resultado $AB$ terá dimensão $2 \times 2$ . Calculamos cada uma das quatro entradas via produto escalar linha-coluna.

Resolução.

Passo 1 — Verificação de dimensões: $A$ é $2 \times 3$ e $B$ é $3 \times 2$ . As dimensões internas coincidem ( $n = 3$ ). O produto $AB$ será $2 \times 2$ .

Passo 2 — Cálculo das entradas:

$(AB)_{11} = 1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 3 + 0 + 0 = 3$ $(AB)_{12} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 = 1 + 0 + 8 = 9$ $(AB)_{21} = (-1) \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = -3 + 6 + 0 = 3$ $(AB)_{22} = (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = -1 - 3 + 4 = 0$

$AB = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

Passo 3 — Observe que $BA$ seria $3 \times 3$ (definido), mas $AB$ e $BA$ têm dimensões diferentes — são completamente distintos.

Verificação. $(AB)_{11} =$ linha 1 de $A$ · coluna 1 de $B$ $= (1)(3) + (0)(2) + (2)(0) = 3$ . Correto.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §MO — licença GNU FDL.

Example— 4· Produto matricial 3×3

Problema. Calcule $AB$ para $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$ e $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Estratégia. Ambas são $3 \times 3$ , logo $AB$ também é $3 \times 3$ — nove entradas para calcular. Procederemos linha a linha de $A$ , coluna a coluna de $B$ .

Resolução.

Linha 1 de $A$ = $(2, 0, 1)$ :

$(AB)_{11} = 2(1) + 0(0) + 1(2) = 4$ $(AB)_{12} = 2(2) + 0(1) + 1(-1) = 3$ $(AB)_{13} = 2(0) + 0(3) + 1(1) = 1$

Linha 2 de $A$ = $(1, 3, -1)$ :

$(AB)_{21} = 1(1) + 3(0) + (-1)(2) = -1$ $(AB)_{22} = 1(2) + 3(1) + (-1)(-1) = 6$ $(AB)_{23} = 1(0) + 3(3) + (-1)(1) = 8$

Linha 3 de $A$ = $(0, 2, 4)$ :

$(AB)_{31} = 0(1) + 2(0) + 4(2) = 8$ $(AB)_{32} = 0(2) + 2(1) + 4(-1) = -2$ $(AB)_{33} = 0(0) + 2(3) + 4(1) = 10$

$AB = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ -1 & 6 & 8 \\ 8 & -2 & 10 \end{pmatrix}$

Verificação. $(AB)_{22} = 1(2) + 3(1) + (-1)(-1) = 2 + 3 + 1 = 6$ . Correto.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §MO — licença GNU FDL.

Example— 5· Receita total por região via produto matricial (modelagem)

Problema. Uma empresa vende três produtos (P1, P2, P3) em duas regiões (Sul, Norte). A matriz de preços unitários é $P = \begin{pmatrix} 10 & 25 & 40 \end{pmatrix}$ (vetor linha, em R$). A matriz de quantidades vendidas por região é:

$Q = \begin{pmatrix} 200 & 150 & 80 \\ 120 & 300 & 50 \end{pmatrix}$

(linhas = regiões Sul/Norte, colunas = produtos P1/P2/P3). Calcule a receita total por região.

Estratégia. A receita de uma região é $\sum_j p_j \cdot q_{ij}$ . Isso é exatamente o produto matricial $R = Q \cdot P^T$ , onde $P^T$ é o vetor coluna de preços. O resultado $R$ será um vetor $2 \times 1$ — receita por região.

Resolução.

Passo 1 — Organizando: $Q$ é $2 \times 3$ , $P^T$ é $3 \times 1$ . Logo $R = Q P^T$ será $2 \times 1$ .

$P^T = \begin{pmatrix} 10 \\ 25 \\ 40 \end{pmatrix}$

Passo 2 — Receita da região Sul (linha 1 de $Q$ ):

$R_1 = 200 \cdot 10 + 150 \cdot 25 + 80 \cdot 40 = 2\,000 + 3\,750 + 3\,200 = 8\,950$

Passo 3 — Receita da região Norte (linha 2 de $Q$ ):

$R_2 = 120 \cdot 10 + 300 \cdot 25 + 50 \cdot 40 = 1\,200 + 7\,500 + 2\,000 = 10\,700$

$R = QP^T = \begin{pmatrix} 8\,950 \\ 10\,700 \end{pmatrix} \text{ (em R\$)}$

Interpretação. A região Norte gera R$ 10.700 e a região Sul gera R$ 8.950. O produto matricial automatiza o cálculo para qualquer número de regiões ou produtos.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §9.5 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 5Modeling 8Challenge 3Proof 2

Fontes

OpenStax — College Algebra 2e — Abramson et al. · §9.5 · CC-BY 4.0. Fonte dos exercícios do Bloco A e C; 5 exemplos resolvidos parcialmente adaptados da seção.
Beezer — A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · §MO (Matrix Operations) e §MM (Matrix Multiplication) · GNU FDL. Fonte dos exercícios de propriedades, contraexemplos e demonstrações nos Blocos B e D.
Hefferon — Linear Algebra — Jim Hefferon · cap. 3 (Maps Between Spaces) · CC-BY-SA. Fonte da demonstração de associatividade (exercício 32.40) e do referencial sobre matrizes como representações de transformações lineares.