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Lição 35 — Resolução de sistemas lineares via matrizes

Matriz aumentada, operações elementares, escalonamento de Gauss, forma escalonada reduzida (RREF), Gauss-Jordan, posto, Teorema de Rouché-Capelli e Regra de Cramer. Aplicações em economia e circuitos.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã

A\vec{x} = \vec{b}

Forma matricial de um sistema linear. $A$ é a matriz dos coeficientes, $\vec{x}$ é o vetor de incógnitas e $\vec{b}$ é o vetor dos termos independentes. O escalonamento de Gauss opera sobre a matriz aumentada $[A \mid \vec{b}]$ para encontrar $\vec{x}$ sem calcular $A^{-1}$ explicitamente.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Sistema linear e forma matricial

Definition· Sistema linear e matriz aumentada

Um sistema linear de $m$ equações em $n$ incógnitas é um conjunto de equações da forma

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$ $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$ $\vdots$ $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m$

A forma matricial é $A\vec{x} = \vec{b}$ , onde $A \in M_{m \times n}(\mathbb{R})$ , $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$ , $\vec{b} \in \mathbb{R}^m$ .

A matriz aumentada é $[A \mid \vec{b}] \in M_{m \times (n+1)}(\mathbb{R})$ , obtida acrescentando $\vec{b}$ como última coluna de $A$ .

Operações elementares de linha

"As operações elementares de linha são reversíveis: trocar é desfeita por trocar de novo; multiplicar por $c$ é desfeita por multiplicar por $1/c$ ; $L_i \leftarrow L_i + cL_j$ é desfeita por $L_i \leftarrow L_i - cL_j$ . Logo os sistemas antes e depois têm exatamente as mesmas soluções." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §RO

Forma escalonada e RREF

Algoritmo de Gauss e Gauss-Jordan

[A \mid \vec{b}] \xrightarrow{\text{REF}} \begin{pmatrix} * & * & * \mid * \\ 0 & * & * \mid * \\ 0 & 0 & * \mid * \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{back-sub}} \vec{x}

what this means · Gauss: redução à REF, depois substituição reversa (back-substitution) de baixo para cima.

[A \mid \vec{b}] \xrightarrow{\text{RREF}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \mid x_1 \\ 0 & 1 & 0 \mid x_2 \\ 0 & 0 & 1 \mid x_3 \end{pmatrix}

what this means · Gauss-Jordan: redução direta à RREF. Solução lida imediatamente na coluna direita, sem substituição reversa.

Posto e classificação de sistemas

Regra de Cramer

Exemplos resolvidos

Example— 1· Sistema 2x2 pela matriz aumentada

Problema. Resolva o sistema $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = -1 \end{cases}$ usando a matriz aumentada e o método de Gauss.

Estratégia. Montar $[A \mid \vec{b}]$ e aplicar operações elementares até obter a REF. Depois resolver por substituição reversa.

Resolução.

Passo 1. Montar a matriz aumentada: $[A \mid \vec{b}] = \left[\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 8 \\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right]$

Passo 2. Trocar linhas para ter o pivô mais conveniente: $\xrightarrow{L_1 \leftrightarrow L_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 3 & 8 \end{array}\right]$

Passo 3. Eliminar o elemento abaixo do pivô na coluna 1: $\xrightarrow{L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 5 & 10 \end{array}\right]$

Passo 4. Substituição reversa. Da linha 2: $5y = 10 \Rightarrow y = 2$ . Na linha 1: $x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1$ .

Verificação: $2(1) + 3(2) = 8$ e $1 - 2 = -1$ . Ambas corretas.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e, §9.6 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Sistema 3x3 por escalonamento de Gauss

Problema. Resolva por escalonamento de Gauss: $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 14 \\ -x + 2y - z = -2 \end{cases}$

Estratégia. Montar a matriz aumentada $3 \times 4$ e aplicar eliminação progressiva para obter forma triangular superior.

Resolução.

Passo 1. Matriz aumentada inicial: $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 & 14 \\ -1 & 2 & -1 & -2 \end{array}\right]$

Passo 2. $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ e $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ : $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \end{array}\right]$

Passo 3. $L_3 \leftarrow L_3 + L_2$ : $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{array}\right]$

Passo 4. Substituição reversa: $z = 6$ ; $-3y + 6 = 2 \Rightarrow y = 4/3$ ; $x + 4/3 + 6 = 6 \Rightarrow x = -4/3$ .

Verificação: linha 1: $-4/3 + 4/3 + 6 = 6$ . Linha 2: $2(-4/3) - 4/3 + 18 = -12/3 + 18 = 14$ .

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, cap. SLE — licença GNU FDL.

Example— 3· Gauss-Jordan e RREF — sistema 3x3

Problema. Usando Gauss-Jordan, leve à RREF e leia a solução diretamente: $\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 8 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases}$

Estratégia. Reduzir à RREF: cada pivô deve ser 1 e o único elemento não-nulo da sua coluna.

Resolução.

Partindo de $\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 8 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$ , após as operações $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 + L_1$ , $L_2 \leftarrow -\tfrac{1}{3}L_2$ , eliminações acima e abaixo dos pivôs, e $L_3 \leftarrow \tfrac{1}{4}L_3$ , obtemos:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 5/2 \\ 0 & 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 5/2 \end{array}\right]$

Leitura direta: $x = 5/2$ , $y = 1/2$ , $z = 5/2$ .

Verificação: linha 1: $5/2 + 1 - 5/2 = 1$ ✓; linha 2: $5 + 1/2 + 5/2 = 8$ ✓.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §9.6 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Sistema impossível — identificação pela matriz aumentada

Problema. Classifique e interprete o sistema: $\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 5 \\ -x - 2y + z = 1 \end{cases}$

Estratégia. Escalonar e observar se aparece uma linha do tipo $[0\;\;0\;\;0\;\mid\;c]$ com $c \neq 0$ .

Resolução.

$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ produz a linha 2: $[0\;\;0\;\;0\;\mid\;-1]$ , ou seja, $0 = -1$ — contradição.

Diagnóstico: $\text{rank}(A) = 1$ , $\text{rank}([A \mid \vec{b}]) = 2$ . Como $\text{rank}(A) < \text{rank}([A \mid \vec{b}])$ , o Teorema de Rouché-Capelli confirma: sistema impossível.

Verificação. A segunda equação original é $2x + 4y - 2z = 5$ e a primeira é $x + 2y - z = 3$ , então $2 \cdot$ (primeira) = $2x + 4y - 2z = 6 \neq 5$ . Contradição direta.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, cap. SLE §RCLS — licença GNU FDL.

Example— 5· Sistema com variáveis livres — infinitas solucoes

Problema. Encontre todas as soluções de: $\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x + 4y - 2z = 8 \\ x + y - z = 2 \end{cases}$

Estratégia. Escalonar e identificar variáveis livres quando $\text{rank}(A) < n$ .

Resolução.

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & -2 & 8 \\ 1 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$

$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ ; $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ ; $L_2 \leftrightarrow L_3$ (mover não-nula para cima); $L_2 \leftarrow -L_2$ ; $L_1 \leftarrow L_1 - 2L_2$ :

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$

$\text{rank}(A) = 2 < n = 3$ : há $3 - 2 = 1$ variável livre. Escolhemos $z = t$ , $t \in \mathbb{R}$ .

Leitura: $y = 2$ e $x = t$ . Solução geral:

$(x, y, z) = (t,\, 2,\, t) = (0, 2, 0) + t(1, 0, 1), \quad t \in \mathbb{R}.$

Verificação. Substituindo na equação 3: $t + 2 - t = 2$ ✓.

Fonte. Beezer, A First Course in Linear Algebra, cap. LS §ISSI — licença GNU FDL.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 3Modeling 9Challenge 1Proof 1

Fontes

OpenStax College Algebra 2e — §9.6 Solving Systems with Gaussian Elimination, §9.7 Solving Systems with Inverses, §9.8 Solving Systems with Cramer's Rule. Rice University · 2021 · CC-BY 4.0. Fonte primária.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — §9.6 Gaussian Elimination, §9.8 Cramer's Rule. Rice University · 2021 · CC-BY 4.0.
Beezer, A First Course in Linear Algebra — Capítulos SLE (Solving Linear Equations), RREF (Reduced Row-Echelon Form), LS (Linear Systems), HSE (Homogeneous Systems). Robert A. Beezer · 2022 · GNU Free Documentation License.