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Lição 47 — Assíntotas e comportamento assintótico

Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas: definições por limite, cálculo para funções racionais, aplicações em farmacocinética, economia e crescimento populacional.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II japonês cap. 5 · Equiv. Klasse 11 alemã análise de funções

lim⁡x→a±f(x)=±∞  ⇒  x=a eˊ assıˊntota vertical\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty \;\Rightarrow\; x = a \text{ é assíntota vertical}

A assíntota vertical x=ax = a ocorre quando a função cresce ou decresce sem limite ao se aproximar de aa pelo lado direito ou esquerdo. Para funções racionais f=P/Qf = P/Q, isso acontece nos zeros do denominador onde o numerador é não-nulo.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e teoremas

Assíntota vertical

"We say the function has a vertical asymptote at x=ax = a if lim⁡x→a−f(x)=±∞\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty or lim⁡x→a+f(x)=±∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.2

Assíntota horizontal

"A function ff has a horizontal asymptote of y=Ly = L if lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L or lim⁡x→−∞f(x)=L\lim_{x \to -\infty} f(x) = L." — OpenStax Calculus Volume 1, §4.6

Regra para racionais f=P/Qf = P/Q com deg⁡P=m\deg P = m, deg⁡Q=n\deg Q = n:

CasoAHAO
m<nm < ny=0y = 0Não
m=nm = ny=am/bny = a_m/b_n (razão dos coef. líderes)Não
m=n+1m = n + 1Nãoy=y = quociente da divisão longa
m>n+1m > n + 1NãoNão (crescimento superlinear)

Assíntota oblíqua

m=lim⁡x→±∞f(x)x,b=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - mx\bigr)
what this means · Calcule m primeiro; depois b. Se m = 0, o limite seria uma AH, não AO.

"If the degree of the numerator is one more than the degree of the denominator, the rational function has an oblique asymptote found by polynomial long division." — APEX Calculus, §3.5

Funções clássicas — tabela de referência

FunçãoAVAHAO1/xx = 0y = 0—(x+1)/(x−1)x = 1y = 1—(x²+1)/xx = 0—y = xeˣ—y = 0 (x→−∞)—ln xx = 0——arctan x—y = ±π/2—tan xx = π/2 + kπ——

Tabela de assíntotas para funções elementares. Ponto central: arctan tem duas AHs distintas; tan tem infinitas AVs.

Exemplos resolvidos

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 6Modeling 9Challenge 1Proof 3
  1. Ex. 47.1Application

    Determine todas as assíntotas verticais de f(x)=5x2−9f(x) = \dfrac{5}{x^2 - 9} e a assíntota horizontal.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Example 2.12 · p. 149
    Show solution
    Fatorar o denominador: x2−9=(x−3)(x+3)x^2 - 9 = (x-3)(x+3). Zeros em x=3x = 3 e x=−3x = -3. O numerador é a constante 55, que não se anula nesses pontos. Portanto AV em x=3x = 3 e AV em x=−3x = -3. Grau num = 0, grau den = 2: AH y=0y = 0.
  2. Ex. 47.2Application

    Determine as assíntotas verticais de f(x)=x2+x−2x2−1f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 - 1}.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Example 2.14 · p. 152
    Show solution
    Fatorar: x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1) e numerador x2+x−2=(x+2)(x−1)x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1). Em x=1x = 1: fator (x−1)(x-1) cancela — zero removível, sem AV. Em x=−1x = -1: numerador (−1+2)=1≠0(-1+2) = 1 \neq 0 — AV em x=−1x = -1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fatorar: f(x)=(x+2)(x−1)/((x−1)(x+1))f(x) = (x+2)(x-1)/((x-1)(x+1)).
    2. Cancelar (x−1)(x-1): f(x)=(x+2)/(x+1)f(x) = (x+2)/(x+1) para x≠1x \neq 1. Zero removível em x=1x = 1 — há um buraco no gráfico, não uma AV.
    3. Em x=−1x = -1: numerador →1\to 1, denominador →0\to 0: lim⁡x→−1±f(x)=±∞\lim_{x \to -1^\pm} f(x) = \pm\infty. AV confirmada.
    4. Macete: sempre simplifique antes de declarar AV — cancelamentos destroem poles.
  3. Ex. 47.3Application

    Determine as assíntotas verticais de f(x)=x2−4x−2f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Checkpoint 2.11 · p. 150
    Show solution
    Fatorar: x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2). O numerador x2−4x^2 - 4 também fatora como (x−2)(x+2)(x-2)(x+2). Cancelar: f(x)=x+2f(x) = x + 2 para x≠2x \neq 2. Zero removível em x=2x = 2: não há AV. O gráfico é a reta y=x+2y = x + 2 com buraco em (2,4)(2, 4).
  4. Ex. 47.4ApplicationAnswer key

    Para f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, determine a AV e calcule os dois limites laterais, indicando seus sinais.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · Example 1.4.2 · p. 48
    Show solution
    AV em x=0x = 0. Limites laterais: lim⁡x→0+1/x=+∞\lim_{x \to 0^+} 1/x = +\infty e lim⁡x→0−1/x=−∞\lim_{x \to 0^-} 1/x = -\infty. Os dois limites têm sinais opostos — o gráfico sobe de um lado e desce do outro da AV.
  5. Ex. 47.5ApplicationAnswer key

    Determine a única assíntota vertical de f(x)=x2x2−xf(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - x}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Exercise 2.16
  6. Ex. 47.6Application

    Determine e descreva todas as assíntotas verticais de f(x)=tan⁡xf(x) = \tan x.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · Example 1.4.4 · p. 50
    Show solution
    tan⁡x=sin⁡x/cos⁡x\tan x = \sin x / \cos x. AVs onde cos⁡x=0\cos x = 0: isso ocorre em x=π/2+kπx = \pi/2 + k\pi para todo k∈Zk \in \mathbb{Z}. O seno não se anula nesses pontos (sin⁡(π/2+kπ)=±1\sin(\pi/2 + k\pi) = \pm 1). Logo infinitas AVs, uma a cada meio período.
  7. Ex. 47.7Application

    Determine as assíntotas verticais de f(x)=x2x2−1f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Exercise 2.19
  8. Ex. 47.8Understanding

    A função f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x tem assíntota vertical? Se sim, em que ponto e qual o sinal do limite?

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · p. 148
    Show solution
    O domínio de ln⁡x\ln x é (0,+∞)(0, +\infty). Em x=0x = 0: lim⁡x→0+ln⁡x=−∞\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty. AV em x=0x = 0, com limite −∞-\infty — a função desce sem limite quando xx se aproxima de zero pela direita. Note: o gráfico de ln⁡x\ln x cruza o eixo xx em x=1x = 1 (ln⁡1=0\ln 1 = 0), mas isso é um zero ordinário, não AV.
  9. Ex. 47.9UnderstandingAnswer key

    A função f(x)=1xln⁡xf(x) = \dfrac{1}{x \ln x} tem AV em x=0x = 0? Em x=1x = 1? Justifique cada caso.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · p. 52
    Show solution
    Domínio: x>0x > 0 e x≠1x \neq 1 (pois ln⁡1=0\ln 1 = 0). Em x=1x = 1: xln⁡x→0x \ln x \to 0, logo 1/(xln⁡x)→±∞1/(x \ln x) \to \pm\infty — AV em x=1x = 1. Em x→0+x \to 0^+: ln⁡x→−∞\ln x \to -\infty e x→0x \to 0, produto xln⁡x→0x \ln x \to 0 (L'Hôpital ou limite clássico), logo 1/(xln⁡x)→−∞1/(x \ln x) \to -\infty — AV em x=0x = 0 também.
  10. Ex. 47.10Application

    Determine todas as assíntotas de f(x)=x3−1x2−1f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.26
    Show solution
    Numerador: x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1). Denominador: x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Cancelar (x−1)(x-1): f(x)=(x2+x+1)/(x+1)f(x) = (x^2+x+1)/(x+1) para x≠1x \neq 1. Zero removível em x=1x = 1; AV apenas em x=−1x = -1. Divisão longa: x2+x+1=(x+1)⋅x+1x^2+x+1 = (x+1) \cdot x + 1. AO: y=xy = x (resto 1 vai a zero).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fatorar: x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1), x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1).
    2. Cancelar (x−1)(x-1): f(x)=(x2+x+1)/(x+1)f(x) = (x^2+x+1)/(x+1), zero removível em x=1x=1.
    3. AV: denom. (x+1)=0(x+1) = 0 em x=−1x = -1; num. em −1-1: 1−1+1=1≠01-1+1=1 \neq 0. AV confirmada.
    4. Divisão longa: quociente xx, resto 11. AO: y=xy = x.
    5. Macete: sempre simplifique primeiro; depois calcule assíntotas do quociente simplificado.
  11. Ex. 47.11Application

    Determine as assíntotas de f(x)=2x2−3x2+1f(x) = \dfrac{2x^2 - 3}{x^2 + 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.24
  12. Ex. 47.12UnderstandingAnswer key

    Uma função racional f(x)=P(x)/(x2−1)f(x) = P(x)/(x^2 - 1) necessariamente tem AV em x=1x = 1 e x=−1x = -1?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · p. 49
    Show solution
    A presença de AV depende do numerador. Se P(1)≠0P(1) \neq 0: AV em x=1x=1. Se P(1)=0P(1) = 0: o fator (x−1)(x-1) pode cancelar, tornando o ponto removível. Distrator A ignora cancelamentos; C e D são falsos. Resposta: B.
  13. Ex. 47.13Application

    Determine a assíntota horizontal de f(x)=3x+1x−2f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.22 · p. 441
  14. Ex. 47.14Application

    Determine as assíntotas horizontais de f(x)=e−xf(x) = e^{-x} em +∞+\infty e em −∞-\infty separadamente.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 440
    Show solution
    e−x→0e^{-x} \to 0 quando x→+∞x \to +\infty: AH y=0y = 0 em +∞+\infty. Em x→−∞x \to -\infty: e−x=e∣x∣→+∞e^{-x} = e^{|x|} \to +\infty — sem limite finito, sem AH em −∞-\infty. Portanto há apenas uma AH, somente do lado direito.
  15. Ex. 47.15Application

    Determine as assíntotas horizontais de f(x)=arctan⁡xf(x) = \arctan x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.23 · p. 442
    Show solution
    lim⁡x→+∞arctan⁡x=π/2\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \pi/2 e lim⁡x→−∞arctan⁡x=−π/2\lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\pi/2. A função arctan⁡\arctan tem duas AHs distintas: y=π/2y = \pi/2 em +∞+\infty e y=−π/2y = -\pi/2 em −∞-\infty. Isso é possível porque os dois limites laterais no infinito são diferentes.
  16. Ex. 47.16ApplicationAnswer key

    Determine a assíntota oblíqua de f(x)=x2+1xf(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x} e a assíntota vertical.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 443
    Show solution
    Dividir: (x2+1)/x=x+1/x(x^2+1)/x = x + 1/x. O termo 1/x→01/x \to 0 quando x→±∞x \to \pm\infty. Logo a curva se aproxima da reta y=xy = x. AO: y=xy = x. AV: x=0x = 0 (denom. zero, num. =1≠0= 1 \neq 0). Sem AH pois grau num (2)>(2) > grau den (1)(1).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Dividir: (x2+1)/x=x+1/x(x^2+1)/x = x + 1/x. Quociente linear: xx. Resto: 1/x1/x.
    2. Verificar: lim⁡x→±∞1/x=0\lim_{x \to \pm\infty} 1/x = 0. Resto vai a zero: AO confirmada.
    3. AO: y=xy = x. AV: x=0x = 0.
    4. Macete: se deg(num) = deg(den) + 1, sempre tente divisão longa primeiro — é mais rápido que calcular limites.
  17. Ex. 47.17Application

    Determine a assíntota oblíqua de f(x)=x2+3x+1x−2f(x) = \dfrac{x^2 + 3x + 1}{x - 2} por divisão longa.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.28 · p. 444
  18. Ex. 47.18Application

    Determine a assíntota oblíqua de f(x)=x3x2+1f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1} usando o método dos limites (m=lim⁡f/xm = \lim f/x, depois bb).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.29 · p. 445
    Show solution
    Calcular m=lim⁡x→∞f(x)/x=lim⁡x3/((x2+1)⋅x)=lim⁡x2/(x2+1)=1m = \lim_{x \to \infty} f(x)/x = \lim x^3/((x^2+1) \cdot x) = \lim x^2/(x^2+1) = 1. Depois b=lim⁡(f(x)−x)=lim⁡(x3−x(x2+1))/(x2+1)=lim⁡(−x)/(x2+1)=0b = \lim (f(x) - x) = \lim (x^3 - x(x^2+1))/(x^2+1) = \lim (-x)/(x^2+1) = 0. AO: y=xy = x. Sem AV (denom. x2+1>0x^2+1 > 0 sempre). Sem AH pois grau num (3)>(3) > grau den (2)(2).
  19. Ex. 47.19Application

    Determine a assíntota oblíqua de f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §3.5 · Example 3.5.3 · p. 178
  20. Ex. 47.20UnderstandingAnswer key

    Analise f(x)=x2+2xxf(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x}: simplifique, identifique eventuais assíntotas e descreva o gráfico completo.

    Solve onlineAPEX Calculus · §3.5 · p. 177
    Show solution
    f(x)=(x2+2x)/x=x+2f(x) = (x^2+2x)/x = x + 2 para x≠0x \neq 0. A função simplifica para um polinômio linear com buraco em x=0x = 0. O que existe é um zero removível, não uma AV. O gráfico é a reta y=x+2y = x+2 com ponto faltando em (0,2)(0, 2). Não há AO "separada" — a própria função já é linear.
  21. Ex. 47.21Application

    Identifique todas as assíntotas de f(x)=1x2−4f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Exercise 4.37
  22. Ex. 47.22Application

    Identifique todas as assíntotas de f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Exercise 4.38
    Show solution
    Denominador x2+1>0x^2 + 1 > 0 para todo real — sem zeros, sem AV. Graus: num 1, den 2 (num menor): AH y=0y = 0. Divisão: grau num (1)<(1) < grau den (2)(2), logo não há AO. O gráfico passa pela origem (zero em x=0x = 0) e decai para zero em ambos os lados.
  23. Ex. 47.23Application

    Identifique todas as assíntotas de f(x)=x2+2xx−1f(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{x - 1}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §3.5 · Example 3.5.4 · p. 179
  24. Ex. 47.24Application

    Determine as assíntotas horizontais de f(x)=tanh⁡x=ex−e−xex+e−xf(x) = \tanh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 443
    Show solution
    tanh⁡x=(ex−e−x)/(ex+e−x)\tanh x = (e^x - e^{-x})/(e^x + e^{-x}). Quando x→+∞x \to +\infty: dividir por exe^x: numerador →1\to 1, denominador →1\to 1, logo tanh⁡x→1\tanh x \to 1. Quando x→−∞x \to -\infty: dividir por e−xe^{-x}: numerador →−1\to -1, denominador →1\to 1, logo tanh⁡x→−1\tanh x \to -1. Duas AHs: y=1y = 1 e y=−1y = -1.
  25. Ex. 47.25Application

    Determine as assíntotas oblíquas de f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Exercise 4.41
    Show solution
    Para x>0x > 0: x2+1=x1+1/x2≈x(1+1/(2x2))=x+1/(2x)\sqrt{x^2+1} = x\sqrt{1+1/x^2} \approx x(1 + 1/(2x^2)) = x + 1/(2x). Resto 1/(2x)→01/(2x) \to 0: AO y=xy = x em +∞+\infty. Para x→−∞x \to -\infty: x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -x, logo x2+1≈−x\sqrt{x^2+1} \approx -x: AO y=−xy = -x em −∞-\infty. Esta é uma função com duas AOs distintas.
  26. Ex. 47.26ApplicationAnswer key

    Determine as assíntotas de f(x)=x⋅e−xf(x) = x \cdot e^{-x}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · p. 53
    Show solution
    Quando x→+∞x \to +\infty: xe−x→0x e^{-x} \to 0 (exponencial domina polinômio). AH y=0y = 0 em +∞+\infty. Quando x→−∞x \to -\infty: e−x=e∣x∣→+∞e^{-x} = e^{|x|} \to +\infty e x→−∞x \to -\infty, produto →−∞\to -\infty. Sem AH em −∞-\infty. Sem AV (nenhum zero do denominador).
  27. Ex. 47.27Application

    Determine todas as assíntotas de f(x)=x4+1x3−1f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Exercise 4.43
    Show solution
    Grau num =4= 4, grau den =3= 3: caso m=n+1m = n+1. Divisão: x4+1=(x3−1)⋅x+(x+1)x^4+1 = (x^3-1)\cdot x + (x+1), logo f(x)=x+(x+1)/(x3−1)f(x) = x + (x+1)/(x^3-1). Resto (x+1)/(x3−1)→0(x+1)/(x^3-1) \to 0: AO y=xy = x. AV: x3−1=0⇒x=1x^3-1=0 \Rightarrow x=1; num. em x=1x=1: 2≠02 \neq 0: AV em x=1x=1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Graus: deg(num) = 4 = 3 + 1 = deg(den) + 1. Caso AO.
    2. Divisão: x4+1÷(x3−1)x^4 + 1 \div (x^3 - 1). x⋅(x3−1)=x4−xx \cdot (x^3-1) = x^4-x, resto: x+1x+1.
    3. f(x)=x+(x+1)/(x3−1)f(x) = x + (x+1)/(x^3-1). Resto →0\to 0: AO y=xy = x.
    4. AV: x3=1⇒x=1x^3=1 \Rightarrow x=1 (real). Num. em 1: 2≠02 \neq 0. AV confirmada.
    5. Observação: x3−1x^3-1 tem raízes complexas ω,ωˉ\omega, \bar{\omega} além de x=1x=1, mas só as reais dão AV.
  28. Ex. 47.28Modeling

    Em farmacocinética de eliminação de primeira ordem, C(t)=C0e−ktC(t) = C_0 e^{-kt} com k>0k > 0. Determine a assíntota horizontal e interprete clinicamente.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 447
    Show solution
    C(t)=C0e−kt→0C(t) = C_0 e^{-kt} \to 0 quando t→+∞t \to +\infty (com k>0k > 0). AH: C=0C = 0. Biologicamente: o fármaco é completamente eliminado a longo prazo. A velocidade de eliminação é ∣C′(t)∣=kC0e−kt|C'(t)| = kC_0 e^{-kt} — exponencialmente decrescente; nunca zero, mas tende a zero.
  29. Ex. 47.29Modeling

    No modelo C(t)=Att+kC(t) = \dfrac{At}{t + k} (concentração de fármaco em mg/L), determine a AH e calcule o tempo t50t_{50} em que a concentração atinge 50%50\% do platô.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.31 · p. 447
    Show solution
    C(t)=At/(t+k)C(t) = At/(t+k). Dividir por tt: A/(1+k/t)→AA/(1+k/t) \to A quando t→∞t \to \infty. AH: C=AC = A — platô terapêutico. Sem AV no domínio físico (t≥0t \geq 0, pois t+k>0t + k > 0). O tempo para atingir 50% do platô é t50=kt_{50} = k (verificar: C(k)=A/2C(k) = A/2).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Dividir num. e denom. por tt: C(t)=A/(1+k/t)C(t) = A/(1 + k/t).
    2. Quando t→∞t \to \infty: k/t→0k/t \to 0, logo C(t)→AC(t) \to A. AH: C=AC = A.
    3. Verificar t50t_{50}: At/(t+k)=A/2⇒2t=t+k⇒t=kAt/(t+k) = A/2 \Rightarrow 2t = t+k \Rightarrow t = k.
    4. Curiosidade: o parâmetro kk tem unidade de tempo e é o "tempo de meia saturação" — em t=kt = k o fármaco atingiu metade do platô.
  30. Ex. 47.30Modeling

    Custo total C(q)=F+cqC(q) = F + cq. Custo médio Cˉ(q)=C(q)/q\bar{C}(q) = C(q)/q. Determine as assíntotas de Cˉ\bar{C} e interprete economicamente.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 448
    Show solution
    Cˉ(q)=F/q+c\bar{C}(q) = F/q + c. AV em q=0q = 0: custo médio explode com volume zero. AH em q→∞q \to \infty: Cˉ→c\bar{C} \to c — o custo fixo por unidade diluiu; sobra só o custo variável cc. Conclusão: crescer volume é financeiramente vantajoso pois F/q→0F/q \to 0.
  31. Ex. 47.31Modeling

    No modelo logístico P(t)=K1+(K−P0P0)e−rtP(t) = \dfrac{K}{1 + \left(\frac{K - P_0}{P_0}\right)e^{-rt}}, determine a AH e interprete biologicamente.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 449
  32. Ex. 47.32Modeling

    Objeto em queda com resistência proporcional à velocidade: v(t)=mgk ⁣(1−e−kt/m)v(t) = \dfrac{mg}{k}\!\left(1 - e^{-kt/m}\right). Determine a assíntota horizontal e explique o papel dos parâmetros mm e kk.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 450
    Show solution
    v(t)=(mg/k)(1−e−kt/m)v(t) = (mg/k)(1 - e^{-kt/m}). Quando t→∞t \to \infty: e−kt/m→0e^{-kt/m} \to 0, logo v→mg/kv \to mg/k. AH: v=mg/kv = mg/k — velocidade terminal. Quanto maior a massa mm, maior a velocidade terminal. Quanto maior o coeficiente de arrasto kk, menor a velocidade terminal. Um paraquedista abre o paraquedas para aumentar kk e diminuir vtv_t.
  33. Ex. 47.33ModelingAnswer key

    No modelo C(t)=120tt+4C(t) = \dfrac{120t}{t + 4} (mg/L), em quanto tempo a concentração atinge 90%90\% do valor assintótico?

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 447
    Show solution
    90% de 120 mg/L = 108 mg/L. Resolver: 120t/(t+4)=108120t/(t+4) = 108. Multiplicar por (t+4)(t+4): 120t=108t+432120t = 108t + 432. Isolar: 12t=432⇒t=3612t = 432 \Rightarrow t = 36 horas. Interpretação: a aproximação ao platô é lenta — requer 36 h para 90%, mas só 4 h para 50% (pois C(4)=120⋅4/(4+4)=60C(4) = 120 \cdot 4/(4+4) = 60).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Platô: AH C=120C = 120 mg/L. Meta: 90% = 108 mg/L.
    2. Equação: 120t/(t+4)=108120t/(t+4) = 108. Multiplicar por t+4t+4: 120t=108t+432120t = 108t + 432.
    3. Isolar: 12t=432⇒t=3612t = 432 \Rightarrow t = 36 h.
    4. Curiosidade: verificar 50%: C(4)=120⋅4/8=60C(4) = 120 \cdot 4/8 = 60 — exatamente 50%. O parâmetro k=4k = 4 é o tempo de meia saturação.
  34. Ex. 47.34Modeling

    O campo elétrico de uma carga puntiforme é E(r)=kq/r2E(r) = kq/r^2 para r>0r > 0. Determine as assíntotas (AH e AV) e interprete fisicamente.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 448
    Show solution
    O campo elétrico puntiforme: E(r)=kq/r2E(r) = kq/r^2. Grau num = 0, grau den = 2 (num menor): AH E=0E = 0 quando r→∞r \to \infty. Fisicamente: o campo decai como 1/r21/r^2 e vai a zero no infinito — nenhuma carga puntiforme tem alcance infinito. AV em r=0r = 0: campo explode próximo à carga (singularidade de polo).
  35. Ex. 47.35Modeling

    A hipérbole x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 tem assíntotas oblíquas. Determine-as e esboce os ramos e as retas assintóticas.

    Solve onlineAPEX Calculus · §3.5 · p. 180
    Show solution
    A hipérbole x2−y2=1x^2 - y^2 = 1 tem ramos y=±x2−1y = \pm\sqrt{x^2-1}. Para x→+∞x \to +\infty: x2−1=x1−1/x2→x\sqrt{x^2-1} = x\sqrt{1-1/x^2} \to x. Logo ramo superior tem AO y=xy = x e ramo inferior AO y=−xy = -x. As assíntotas passam pela origem. Em geral, a hipérbole x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 tem assíntotas y=±(b/a)xy = \pm (b/a)x.
  36. Ex. 47.36ModelingAnswer key

    Custo total quadrático: C(q)=aq2+bq+FC(q) = aq^2 + bq + F (a>0a > 0). O custo médio Cˉ(q)=C(q)/q\bar{C}(q) = C(q)/q tem qual assíntota oblíqua? Interprete economicamente.

    Solve onlineAPEX Calculus · §3.5 · Exercise 3.5.7 · p. 181
    Show solution
    Cˉ(q)=(aq2+bq+F)/q=aq+b+F/q\bar{C}(q) = (aq^2 + bq + F)/q = aq + b + F/q. AO: y=aq+by = aq + b — o custo médio cresce linearmente com a produção (custo marginal crescente). O termo F/q→0F/q \to 0 é o custo fixo diluído. Contraste com custo total linear (C=cq+FC = cq + F): naquele caso, AH Cˉ→c\bar C \to c. Aqui, custo quadrático implica AO crescente — escala não dilui o custo marginal crescente.
  37. Ex. 47.37Understanding

    Uma função pode cruzar sua própria assíntota horizontal?

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    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · Example 1.4.6 · p. 54
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    Considere f(x)=(sin⁡x)/xf(x) = (\sin x)/x: lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, então AH y=0y = 0. Os zeros: f(x)=0  ⟺  sin⁡x=0f(x) = 0 \iff \sin x = 0, i.e., x=kπx = k\pi. Infinitos cruzamentos. Distrator A confunde assíntota com barreira; D é falso (basta que ff oscile, não precisa ser periódica). Resposta: C.
  38. Ex. 47.38Understanding

    Uma função pode ter assíntota horizontal e assíntota oblíqua no mesmo sentido (x→+∞x \to +\infty)?

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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 444
    Show solution
    Se ff tem AH y=Ly = L em +∞+\infty: f(x)/x→L/x→0f(x)/x \to L/x \to 0. Mas se houvesse AO y=mx+by = mx+b com m≠0m \neq 0: f(x)/x→m≠0f(x)/x \to m \neq 0. Contradição. Portanto AH e AO nunca coexistem no mesmo sentido. Distratores A, C, D inventam condições falsas. Resposta: B.
  39. Ex. 47.39Challenge

    Determine todas as assíntotas de f(x)=x4+1x3−1f(x) = \dfrac{x^4 + 1}{x^3 - 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Exercise 4.43
    Show solution
    Grau num =4= 4, grau den =3= 3: m=n+1m = n+1. Divisão: x4+1÷(x3−1)x^4+1 \div (x^3-1). x⋅(x3−1)=x4−xx \cdot (x^3-1) = x^4-x, resto x+1x+1. Logo f(x)=x+(x+1)/(x3−1)f(x) = x + (x+1)/(x^3-1). Resto →0\to 0: AO y=xy = x. AV: x3=1⇒x=1x^3 = 1 \Rightarrow x = 1 (raiz real); num. em x=1x=1: 2≠02 \neq 0: AV em x=1x=1.
  40. Ex. 47.40ProofAnswer key

    Demonstre que se y=mx+by = mx + b é assíntota oblíqua de ff, então necessariamente m=lim⁡x→∞f(x)/xm = \lim_{x \to \infty} f(x)/x e b=lim⁡x→∞(f(x)−mx)b = \lim_{x \to \infty}(f(x) - mx).

    OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · Example 4.27 · p. 443
    Show solution
    Se y=mx+by = mx + b é AO, então por definição f(x)−(mx+b)→0f(x) - (mx+b) \to 0. Dividir por xx (válido em x→∞x \to \infty): f(x)/x−m−b/x→0f(x)/x - m - b/x \to 0. Como b/x→0b/x \to 0, segue f(x)/x→mf(x)/x \to m. Então b=lim⁡(f(x)−mx)b = \lim (f(x) - mx). Este é o método canônico quando divisão longa não é direta. Se m=0m = 0, a AO degenera em AH.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Definição: f(x)−(mx+b)→0f(x) - (mx+b) \to 0 quando x→∞x \to \infty.
    2. Dividir por xx: f(x)/x−m−b/x→0f(x)/x - m - b/x \to 0.
    3. b/x→0b/x \to 0, logo m=lim⁡x→∞f(x)/xm = \lim_{x\to\infty} f(x)/x.
    4. Substituir: b=lim⁡x→∞(f(x)−mx)b = \lim_{x\to\infty} (f(x) - mx).
    5. Observação: se m=0m = 0, o método ainda funciona mas dá uma AH — não uma AO.
  41. Ex. 47.41Proof

    Prove rigorosamente que uma função não pode ter simultaneamente assíntota horizontal e assíntota oblíqua (com m≠0m \neq 0) quando x→+∞x \to +\infty.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 444
    Show solution
    Suponha que $f$ tem AO $y = mx + b$ com $m \neq 0$ em $+\infty$, e também AH $y = L$ em $+\infty$. Pela AO: $f(x) - mx \to b$, logo $f(x)/x \to m$. Mas pela AH: $f(x) \to L$, logo $f(x)/x \to 0$. Como $m \neq 0$ e $0$ são distintos, chegamos a contradição. Portanto AH e AO não coexistem no mesmo lado. CQD.
  42. Ex. 47.42Proof

    Prove que se f=P/Qf = P/Q é racional com deg⁡P=deg⁡Q=n\deg P = \deg Q = n, então ff tem AH y=an/bny = a_n/b_n onde an,bna_n, b_n são os coeficientes líderes de PP e QQ respectivamente.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §4.6 · p. 441
    Show solution
    Seja f=P/Qf = P/Q com deg⁡P=n\deg P = n, deg⁡Q=n\deg Q = n (graus iguais), coeficientes líderes ana_n e bnb_n. Escreva P(x)=anxn+⋯P(x) = a_n x^n + \cdots e Q(x)=bnxn+⋯Q(x) = b_n x^n + \cdots. Então f(x)=(anxn+⋯ )/(bnxn+⋯ )f(x) = (a_n x^n + \cdots)/(b_n x^n + \cdots). Divida numerador e denominador por xnx^n: f(x)=(an+c1/x+⋯ )/(bn+d1/x+⋯ )→an/bnf(x) = (a_n + c_1/x + \cdots)/(b_n + d_1/x + \cdots) \to a_n/b_n. Logo lim⁡x→±∞f(x)=an/bn\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = a_n/b_n: AH y=an/bny = a_n/b_n. CQD.

Fontes

  • Calculus Volume 1 — OpenStax · Strang & Herman · 2016 · §2.2 (limites infinitos e AVs) e §4.6 (AH, AO, aplicações) · CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para definições, regra dos graus e exemplos aplicados.
  • APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · §1.4 (limites infinitos, comportamento de tan e log) e §3.5 (esboço de curvas, AO por divisão longa) · CC-BY-NC 4.0.
  • Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.2 e §1.8 (comportamento de longo prazo, limites no infinito) · CC-BY-NC-SA 4.0. Abordagem ativa com questões de prévia, exercícios de investigação.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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