v1 · padrão canônico

Lição 49 — Limite de sequências (formalizado)

Definição rigorosa épsilon-N de convergência. Teoremas fundamentais: unicidade, álgebra dos limites, confronto, monótona limitada, Bolzano-Weierstrass. Aplicações em algoritmos iterativos e finanças.

Used in: 2.º ano do programa (17 anos) · Equiv. Math III japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 LK Análise alemã · Equiv. H2 Math singapurense — Sequences & Series

\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall\,\varepsilon > 0,\; \exists N \in \mathbb{N} : n > N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon

A sequência $(a_n)$ converge para $L$ se, para qualquer tolerância $\varepsilon > 0$ escolhida, todos os termos além do índice $N$ já estão a menos de $\varepsilon$ de distância de $L$ . É a versão discreta da definição $\varepsilon$ - $\delta$ — o "N" substitui o "delta" porque o domínio agora é $\mathbb{N}$ , não $\mathbb{R}$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e teoremas fundamentais

Definição épsilon-N

"We say the sequence $(x_n)$ converges to a number $L$ if for every $\varepsilon > 0$ , there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that $|x_n - L| < \varepsilon$ for all $n \geq M$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.1

"A sequence $(x_n)$ is a Cauchy sequence if for every $\varepsilon > 0$ there exists an $M \in \mathbb{N}$ such that for all $n, k \geq M$ we have $|x_n - x_k| < \varepsilon$ ." — Lebl, Basic Analysis Vol. I, §2.4

Interpretação geométrica

A faixa horizontal $(L - \varepsilon, L + \varepsilon)$ captura todos os termos com $n > N$ . Para qualquer faixa que você escolha (por mais estreita que seja), existe um $N$ que funciona.

Teoremas fundamentais

Teorema	Enunciado resumido
Álgebra dos limites	$\lim(a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n$ ; análogo para produto e quociente (denominador $\neq 0$ )
Teorema do confronto	$a_n \leq b_n \leq c_n$ e $\lim a_n = \lim c_n = L$ implica $\lim b_n = L$
Bolzano-Weierstrass	Toda sequência limitada tem subsequência convergente
Cauchy $\iff$ convergente	Em $\mathbb{R}$ : toda sequência de Cauchy converge (equivalência que define completude)

Limites notáveis

\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^p} = 0\;(p>0),\quad \lim_{n\to\infty}r^n = 0\;(|r|<1),\quad \lim_{n\to\infty}n^{1/n} = 1,\quad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e.

what this means · Sequências fundamentais cujos limites devem ser memorizados.

Hierarquia de crescimento

\ln n \ll n^a \ll b^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 0,\; b > 1).

what this means · Qualquer função à esquerda cresce muito mais devagar do que qualquer função à direita.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Limite de sequência racional por divisão de potência

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5}$ .

Estratégia. Divisão de numerador e denominador pelo maior grau de $n$ que aparece ( $n^2$ ). Após isso, cada parcela com $n$ no denominador vai para zero.

Resolução.

Divida numerador e denominador por $n^2$ :

$\frac{2n^2 - 3n + 1}{n^2 + 5} = \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2}.$

Aplique o limite usando álgebra dos limites. Cada fração $c/n^k \to 0$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 - 3/n + 1/n^2}{1 + 5/n^2} = \frac{2 - 0 + 0}{1 + 0} = 2.$

Verificação. Para $n = 100$ : $(20000 - 300 + 1)/(10000 + 5) = 19701/10005 \approx 1{,}969$ . Para $n = 10000$ : $(2 \cdot 10^8 - 30000 + 1)/(10^8 + 5) \approx 2{,}0003$ . Convergindo para 2.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Teorema do confronto: sequência oscilante dividida por n

Problema. Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .

Estratégia. A função $\sin n$ oscila sem convergir, mas está sempre entre $-1$ e $1$ . Usamos o teorema do confronto prensando a sequência entre $-1/n$ e $1/n$ .

Resolução.

Use a desigualdade fundamental $-1 \leq \sin n \leq 1$ :

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n} \quad \text{para todo } n \geq 1.$

Calcule os limites das sequências balizadoras:

$\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0 \quad \text{e} \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.$

Pelo teorema do confronto, a sequência do meio também vai a 0:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0.$

Verificação. Para $n = 100$ : $\sin(100)/100 \approx -0{,}00506$ . Para $n = 1000$ : $\sin(1000)/1000 \approx 0{,}000827$ . Ambos próximos de zero.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.7 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Sequencia monotona limitada: convergencia de (1+1/n)^n

Problema. Mostre que a sequência $a_n = (1 + 1/n)^n$ é crescente e limitada superiormente por 3, logo converge. Identifique o limite.

Estratégia. Expansão binomial para mostrar crescimento; comparação com série geométrica para a cota superior.

Resolução.

Expansão binomial:

$a_n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j=0}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right).$

Cada parcela é crescente em $n$ : o produto $\prod_{j=0}^{k-1}(1 - j/n)$ aumenta quando $n$ aumenta. Logo $a_n$ é crescente.
Cota superior: cada parcela é no máximo $1/k!$ , então:

$a_n \leq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \leq 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1 + \frac{1}{1 - 1/2} = 3.$

Pelo teorema da monótona limitada, $(a_n)$ converge. Por definição, seu limite é $e \approx 2{,}71828$ .

Verificação. $a_{10} \approx 2{,}5937$ , $a_{100} \approx 2{,}7048$ , $a_{1000} \approx 2{,}7169$ . Crescendo em direção a $e$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 2, §5.1, Example 5.9 — CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Sequencia recursiva: ponto fixo e seção aurea

Problema. Seja $F_n$ a sequência de Fibonacci com $F_1 = F_2 = 1$ e $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . Determine $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .

Estratégia. Definimos $r_n = F_{n+1}/F_n$ e derivamos uma recorrência para $r_n$ . Se a sequência $r_n$ converge, seu limite satisfaz uma equação de ponto fixo.

Resolução.

Recorrência para $r_n$ : Da identidade $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , dividindo por $F_{n+1}$ :

$r_{n+1} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{r_n}.$

Valores iniciais: $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 3/2 = 1{,}5$ , $r_4 = 5/3 \approx 1{,}667$ , $r_5 = 8/5 = 1{,}6$ , $r_6 = 13/8 = 1{,}625$ . A sequência oscila convergindo.
Equação de ponto fixo: Se $r_n \to L$ , tomando limite na recorrência:

$L = 1 + \frac{1}{L} \implies L^2 - L - 1 = 0 \implies L = \frac{1 + \sqrt 5}{2} = \varphi \approx 1{,}618.$

(Raiz negativa descartada pois $L > 0$ .)

Verificação. $r_{10} = 89/55 \approx 1{,}6182$ , $r_{15} = 987/610 \approx 1{,}6180$ . Convergindo para $\varphi$ .

Fonte. Active Calculus, §8.1, Activity 8.1.6 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Capitalização composta e o limite e^r (modelagem financeira)

Problema. Um banco oferece 12% ao ano com capitalização $n$ vezes por ano. Qual o montante final em R$ 1.000 quando $n \to \infty$ ? Compare com capitalização anual ( $n = 1$ ) e mensal ( $n = 12$ ).

Estratégia. Expressamos o montante como $A_n = 1000 \cdot (1 + r/n)^n$ e calculamos o limite usando o limite fundamental $(1 + x/n)^n \to e^x$ .

Resolução.

Identifique $r = 0{,}12$ . O montante após 1 ano com $n$ capitalizações é:

$A_n = 1000 \cdot \left(1 + \frac{0{,}12}{n}\right)^n.$

Use o limite: $\left(1 + r/n\right)^n \to e^r$ quando $n \to \infty$ :

$A_\infty = 1000 \cdot e^{0{,}12} = 1000 \cdot 1{,}12749\ldots \approx \mathrm{R\$}\ 1127{,}50.$

Compare as três situações:

Capitalização	Fórmula	Montante
Anual ( $n=1$ )	$1000 \cdot (1{,}12)^1$	R$ 1.120,00
Mensal ( $n=12$ )	$1000 \cdot (1{,}01)^{12}$	R$ 1.126,83
Contínua ( $n \to \infty$ )	$1000 \cdot e^{0{,}12}$	R$ 1.127,50

A diferença entre capitalização contínua e mensal é de apenas R$ 0,67 por ano.

Verificação. $e^{0{,}12} = 1{,}12749...$ . Para $n = 365$ (diária): $(1 + 0{,}12/365)^{365} \approx 1{,}12747$ — praticamente igual ao contínuo.

Fonte. Active Calculus, §8.1, Preview Activity 8.1 — Boelkins · CC-BY-NC-SA 4.0.

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 5Modeling 8Challenge 2Proof 2

Ex. 49.1Application
Determine $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1}$ . Resolva no caderno e verifique para $n = 100$ e $n = 10000$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 1
Show solution
Divida numerador e denominador por $n$ : $\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n} \to 0$ . Limite = 0.
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva. $a_n = 1/(n+1)$ . O denominador cresce sem limite conforme $n \to \infty$ .
2. Aplique a hierarquia. $1/(n+1) \leq 1/n \to 0$ pelo limite fundamental $1/n^p \to 0$ com $p=1$ .
3. Confirme numericamente. Para $n = 100$ : $1/101 \approx 0{,}0099$ . Para $n = 10000$ : $1/10001 \approx 0{,}0001$ .
4. Macete: qualquer sequência da forma $c/(n+k)$ com $c, k$ constantes converge para 0.
Ex. 49.2Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n}{n^2 + 2}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 5
Show solution
Divida por $n^2$ : $\frac{3n^2 + n}{n^2 + 2} = \frac{3 + 1/n}{1 + 2/n^2} \to 3/1 = 3$ .
Ex. 49.3Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 7
Show solution
Divida por $n^2$ : $\frac{n}{n^2 + 1} = \frac{1/n}{1 + 1/n^2} \to 0/1 = 0$ . O denominador cresce mais rápido que o numerador.
Ex. 49.4Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 13
Show solution
Pelo teorema do confronto: $-1/n \leq (-1)^n/n \leq 1/n$ . Como $1/n \to 0$ , o confronto garante $(-1)^n/n \to 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a dificuldade. $(-1)^n$ alterna entre +1 e -1, então a sequência oscila. Limite direto não funciona.
2. Use o módulo. $|(-1)^n/n| = 1/n$ , logo $-1/n \leq (-1)^n/n \leq 1/n$ .
3. Confronto. $\lim(-1/n) = 0$ e $\lim(1/n) = 0$ , então pelo teorema do confronto, $\lim (-1)^n/n = 0$ .
4. Macete: quando uma sequência oscila mas é "espremida" por sequências que vão para zero, ela também vai para zero.
Ex. 49.5Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\cos^2 n}{n}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 15
Show solution
Use que $0 \leq \cos^2(n)/n \leq 1/n \to 0$ . Pelo confronto, o limite é 0.
Ex. 49.6Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 3
Show solution
Escreva $\frac{n+1}{n} = 1 + 1/n \to 1$ . Simples álgebra dos limites.
Ex. 49.7Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.2
Show solution
Para qualquer $|r| < 1$ fixo, $r^n \to 0$ . Aqui $r = 1/2$ , então $(1/2)^n \to 0$ .
Ex. 49.8ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ . Esboce os primeiros 10 termos no caderno e trace a aproximação para $e$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 21
Show solution
Por definição, $\lim_{n\to\infty}(1 + 1/n)^n = e \approx 2{,}71828$ . Este é um dos limites fundamentais do cálculo. Ver Exemplo 3 desta lição para a demonstração completa.
Ex. 49.9Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 23
Show solution
Escreva $(1 + 2/n)^n = ((1 + 2/n)^{n/2})^2$ . Como $(1 + 2/n)^{n/2} \to e$ (substituição $m = n/2 \to \infty$ ), o limite é $e^2$ .
Ex. 49.10ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^{1/n}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 25
Show solution
Escreva $n^{1/n} = e^{(\ln n)/n}$ . Como $(\ln n)/n \to 0$ (hierarquia: $\ln n \ll n$ ), temos $e^0 = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva usando exponencial. $n^{1/n} = e^{(1/n)\ln n} = e^{(\ln n)/n}$ .
2. Calcule o expoente. $\lim (\ln n)/n$ . Pela hierarquia, $\ln n$ cresce muito mais devagar que $n$ , logo $(\ln n)/n \to 0$ .
3. Use a continuidade de $e^x$ . $\lim e^{(\ln n)/n} = e^{\lim(\ln n)/n} = e^0 = 1$ .
4. Curiosidade: este limite aparece no critério da raiz (Cauchy) para convergência de séries.
Ex. 49.11Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.3 (b)
Show solution
Para qualquer $a > 0$ fixo, $a^n/n! \to 0$ . Segue da hierarquia $a^n \ll n!$ . Para $a = 3$ , já para $n = 10$ : $3^{10}/10! \approx 0{,}016$ , e continua decrescendo.
Ex. 49.12Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 27
Show solution
Pela hierarquia de crescimento: $\ln n \ll n$ , logo $(\ln n)/n \to 0$ . Formalmente: aplique L'Hôpital na função contínua análoga $(\ln x)/x$ — a derivada do numerador é $1/x$ e do denominador é 1, dando $1/x \to 0$ .
Ex. 49.13ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 31
Show solution
Como $|\sin n| \leq 1$ , temos $|\sin(n)/n| \leq 1/n \to 0$ . Pelo confronto, limite é 0.
Ex. 49.14Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 35
Show solution
Racionalizar: $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ . O denominador cresce como $2\sqrt{n} \to \infty$ , logo o limite é 0.
Show step-by-step (with the why)
1. Racionalize. Multiplique pelo conjugado: $(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ .
2. Estime o denominador. $\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \geq 2\sqrt{n} \to \infty$ .
3. Conclua. $0 \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$ . Logo o limite é 0.
4. Atalho mental: diferença de raízes consecutivas — a técnica do conjugado transforma em fração e exibe o denominador crescente.
Ex. 49.15Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 37
Show solution
Usando o resultado anterior: $n(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = \frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} \to \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ .
Ex. 49.16Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (3^n + 4^n)^{1/n}$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.4
Show solution
Fatore $4^n$ : $(3^n + 4^n)^{1/n} = 4(1 + (3/4)^n)^{1/n}$ . Como $(3/4)^n \to 0$ e $(1+0)^{1/n} \to 1$ , o limite é $4$ .
Ex. 49.17Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n \sin\!\left(\frac{1}{n}\right)$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 41
Show solution
Escreva $n\sin(1/n) = \sin(1/n)/(1/n)$ . Fazendo $t = 1/n \to 0^+$ , isso é $\sin(t)/t \to 1$ (limite fundamental).
Ex. 49.18Understanding
A sequência de somas parciais $H_n = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots + \tfrac{1}{n}$ (série harmônica): ela converge ou diverge?
Select the correct option
Diverge — a sequência de somas parciais cresce sem limiteConverge para 1Converge para $\ln 2$ Converge para um valor entre 1 e 2
Select an option first
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.3
Show solution
A série harmônica $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ diverge. Demonstração por agrupamento: $H_{2^m} \geq 1 + m/2$ pois cada bloco de $2^{k-1}$ termos soma pelo menos $1/2$ . Logo $H_n \to \infty$ . Os distratores B e C são valores finitos que parecem plausíveis — $\ln 2$ aparece na série alternada $\sum (-1)^{n+1}/n$ , não na harmônica.
Ex. 49.19UnderstandingAnswer key
A sequência de somas parciais $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ : ela converge? Para qual valor?
Select the correct option
Converge — para $\pi^2/6$ (Problema da Basileia de Euler, 1734)Diverge — como a harmônica, todas as séries $\sum 1/n^p$ divergemConverge — para $1$ Converge — para $e$
Select an option first
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.4
Show solution
A série $\sum 1/n^2$ converge (série-p com $p = 2 > 1$ ). Euler (1734) calculou seu valor exato: $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$ . O distrator B confunde com a harmônica ( $p=1$ , que diverge). O critério série-p: $\sum 1/n^p$ converge se e somente se $p > 1$ .
Ex. 49.20Application
Determine se $a_n = (-1)^n$ converge ou diverge. Justifique usando a definição épsilon- $N$ ou argumento de unicidade.
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 43
Show solution
A sequência $(-1)^n$ alterna entre $+1$ (termos pares) e $-1$ (termos ímpares). Ela tem duas subsequências convergentes com limites distintos (1 e -1), logo pelo teorema da unicidade do limite, não converge. Formalmente: para qualquer candidato $L$ , escolha $\varepsilon = 1/2$ e mostre que a condição épsilon-N falha.
Ex. 49.21Application
Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\!\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)$ (método de Heron para $\sqrt{2}$ ). Calcule $\lim a_n$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.5 (b)
Show solution
O método de Heron: $a_{n+1} = (a_n + 2/a_n)/2$ com $a_1 = 1$ . Se converge para $L$ , então $L = (L + 2/L)/2$ , logo $L^2 = 2$ , então $L = \sqrt{2}$ . Numericamente: $a_1=1$ , $a_2=1{,}5$ , $a_3\approx1{,}4167$ , $a_4\approx1{,}4142$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule os primeiros termos. $a_1 = 1$ , $a_2 = (1 + 2/1)/2 = 1{,}5$ , $a_3 = (1{,}5 + 2/1{,}5)/2 = (1{,}5 + 1{,}3\overline{3})/2 \approx 1{,}4167$ .
2. Assuma convergência para L. Tomando limite na recorrência: $L = (L + 2/L)/2$ , logo $2L = L + 2/L$ , então $L^2 = 2$ .
3. Raiz positiva. $L = \sqrt{2} \approx 1{,}4142$ . (A existência da convergência pode ser provada mostrando que a sequência é decrescente e limitada inferiormente por $\sqrt{2}$ .)
4. Curiosidade: convergência quadrática — cada iteração dobra o número de algarismos corretos. Babilônios usavam esse método 2000 anos antes de Heron.
Ex. 49.22Application
Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ . Determine $\lim_{n \to \infty} a_n$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.5
Show solution
A sequência $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ com $a_1 = 1$ é crescente e limitada por 2 (por indução). Logo converge para $L$ satisfazendo $L = \sqrt{2 + L}$ , ou seja, $L^2 - L - 2 = 0$ , raízes $L = 2$ ou $L = -1$ . Como $L > 0$ , o limite é $L = 2$ .
Ex. 49.23Application
Seja $a_0 = 0$ e $a_{n+1} = \dfrac{a_n + 3}{2}$ . Determine $\lim a_n$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 69
Show solution
Se $L$ é o limite, então $L = (L + 3)/2$ , logo $2L = L + 3$ , então $L = 3$ . A sequência é crescente (para $a_0 = 0 < 3$ ) e limitada superiormente por 3 (verificável por indução).
Ex. 49.24ApplicationAnswer key
Seja $F_n$ a sequência de Fibonacci. Determine $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.6
Show solution
Seja $r_n = F_{n+1}/F_n$ . Da recorrência $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , tem-se $r_{n+1} = 1 + 1/r_n$ . Se $r_n \to L$ , então $L = 1 + 1/L$ , logo $L^2 - L - 1 = 0$ , raiz positiva $\varphi = (1+\sqrt{5})/2 \approx 1{,}618$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Razão de termos consecutivos. $r_1 = 1$ , $r_2 = 2$ , $r_3 = 1{,}5$ , $r_4 \approx 1{,}667$ , $r_5 = 1{,}6$ .
2. Recorrência. $r_{n+1} = F_{n+2}/F_{n+1} = (F_{n+1}+F_n)/F_{n+1} = 1 + 1/r_n$ .
3. Ponto fixo. $L = 1 + 1/L \Rightarrow L^2 - L - 1 = 0 \Rightarrow L = (1+\sqrt{5})/2 = \varphi$ .
4. Curiosidade: a seção áurea $\varphi$ aparece em folhas de plantas (filotaxia), na espiral de Nautilus, e no pentágono regular. Fibonacci não sabia disso.
Ex. 49.25Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 45
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Para $n > 2 \cdot 2$ , os fatores de $2^n/n!$ a partir de $n=5$ são menores que $1/2$ . Logo $0 \leq 2^n/n! \leq (2^4/4!) \cdot (1/2)^{n-4} \to 0$ . Hierarquia: $a^n \ll n!$ para qualquer $a > 0$ fixo.
Ex. 49.26ApplicationAnswer key
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 47
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Escreva $(1 + 3/n)^n = ((1 + 3/n)^{n/3})^3 \to e^3$ , pois $(1 + x/m)^m \to e^x$ com $m = n/3 \to \infty$ .
Ex. 49.27Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 49
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$(1 - 1/n)^n = (1 + (-1)/n)^n \to e^{-1}$ pelo limite fundamental $(1 + x/n)^n \to e^x$ com $x = -1$ .
Ex. 49.28Application
Calcule $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 51
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Escreva $(1 + 1/n)^{n+1} = (1+1/n)^n \cdot (1+1/n) \to e \cdot 1 = e$ , pela álgebra dos limites.
Ex. 49.29Application
Seja $a_1 = 1$ e $a_{n+1} = \dfrac{1}{1 + a_n}$ . Calcule $\lim a_n$ .
Solve online Active Calculus · §8.1 · Activity 8.1.7
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A sequência $a_{n+1} = 1/(1 + a_n)$ com $a_1 = 1$ . Se converge para $L$ : $L = 1/(1+L) \Rightarrow L^2 + L - 1 = 0 \Rightarrow L = (-1+\sqrt{5})/2 \approx 0{,}618$ .
Ex. 49.30Understanding
Para $0 < r < 1$ , a sequência de somas parciais $S_n = \sum_{k=0}^n r^k$ : mostre que ela é crescente e limitada superiormente, logo convergente. Para qual valor?
Solve online Active Calculus · §8.2 · Preview Activity 8.2
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Para $0 < r < 1$ , a soma parcial $S_n = \sum_{k=0}^n r^k = (1-r^{n+1})/(1-r)$ é crescente (cada termo $r^k > 0$ é adicionado) e limitada superiormente por $1/(1-r)$ . Pelo teorema da monótona limitada, converge. O limite é exatamente $1/(1-r)$ (série geométrica).
Ex. 49.31ModelingAnswer key
R$ 1.000 investidos por 1 ano a 6% ao ano com capitalização $n$ vezes ao ano. Qual o montante quando $n \to \infty$ ?
Solve online Active Calculus · §8.1 · Preview Activity 8.1
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Com capitalização $n$ vezes por ano: $A_n = 1000(1+0{,}06/n)^n \to 1000 e^{0{,}06} \approx \mathrm{R\$}\; 1061{,}84$ . Capitalização anual dá R\$ 1.060,00. Diferença: R\$ 1,84.
Show step-by-step (with the why)
1. Montante com capitalização $n$ vezes. Taxa por período: $r/n = 0{,}06/n$ . Após 1 ano: $A_n = 1000(1 + 0{,}06/n)^n$ .
2. Calcule o limite. $\lim_{n\to\infty}(1 + 0{,}06/n)^n = e^{0{,}06}$ . Logo $A_\infty = 1000 e^{0{,}06}$ .
3. Valor numérico. $e^{0{,}06} \approx 1{,}06184$ , então $A_\infty \approx \mathrm{R\$}\; 1061{,}84$ .
4. Compare. Capitalização anual: $A_1 = 1000 \cdot 1{,}06 = \mathrm{R\$}\; 1060{,}00$ . Diferença: apenas R\$ 1,84 por ano — mas o percentual cresce com prazo e capital.
Ex. 49.32ModelingAnswer key
Um ativo paga R$ 10 por mês indefinidamente (perpétuidade). Com taxa de juros de 5% ao mês, qual é o valor presente desse fluxo? Use a fórmula de série geométrica.
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.2
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Perpétuidade: $V = P/r = 10/0{,}05 = \mathrm{R\$}\; 200$ . O valor presente de um fluxo eterno de R\$ 10 a 5% ao mês é R\$ 200. Para taxa mensal de 0,8% (mais realista): $V = 10/0{,}008 = \mathrm{R\$}\; 1250$ .
Ex. 49.33Modeling
A série $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ converge? Se sim, calcule a soma.
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.1 (a)
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Série geométrica: $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n = 1/(1-1/2) = 2$ . Série geométrica com $r = 1/2 < 1$ , primeiro termo 1. A soma é 2.
Ex. 49.34Modeling
Uma bola é largada de 5 metros de altura e cada salto atinge 90% da altura anterior. Qual a distância total percorrida?
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.1
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A bola sobe $5 \cdot 0{,}9 = 4{,}5$ m, desce 4,5 m, sobe $4{,}05$ m, etc. Distância total: $5 + 2 \sum_{n=1}^\infty 5 \cdot (0{,}9)^n = 5 + 2 \cdot \frac{4{,}5}{1-0{,}9} = 5 + 90 = 95$ metros.
Show step-by-step (with the why)
1. Queda inicial. Bola cai 5 m.
2. Sequência de saltos. Cada salto tem ida e volta. O $k$ -ésimo salto percorre $2 \cdot 5 \cdot (0{,}9)^k$ metros.
3. Soma total. $D = 5 + 2\sum_{k=1}^\infty 5(0{,}9)^k = 5 + 10 \cdot \frac{0{,}9}{1-0{,}9} = 5 + 90 = 95$ metros.
4. Observação: apesar de infinitos saltos, a distância total é finita. Isso é exatamente o que significa a série geométrica convergir.
Ex. 49.35Modeling
Uma empresa paga dividendos de R$ 100 por mês indefinidamente. Com taxa de desconto de 1% ao mês, qual é o valor justo da empresa hoje?
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.2 (b)
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Valor presente de perpétuidade: $V = P/r = 100/0{,}01 = \mathrm{R\$}\; 10{,}000$ . Com taxa de 1% ao mês, um fluxo eterno de R\$ 100/mês equivale a um capital de R\$ 10.000 hoje.
Ex. 49.36Modeling
R$ 1.000 investidos a 12% ao ano com capitalização contínua rendem quanto após 1 ano? Compare com capitalização anual.
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 77
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Com capitalização contínua: $A = 1000 e^{0{,}12} = 1000 \cdot 1{,}1275 \approx \mathrm{R\$}\; 1127{,}50$ . Com capitalização anual: $1000 \cdot 1{,}12 = \mathrm{R\$}\; 1120{,}00$ . A diferença é de R\$ 7,50 no primeiro ano.
Ex. 49.37ModelingAnswer key
Em economia, cada R$ de renda gasta-se $2/3$ e poupa-se $1/3$ (propensão marginal a consumir $c = 2/3$ ). Qual o efeito total (multiplicador keynesiano) de um aumento inicial de R$ 1 na renda?
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.5
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Em economia keynesiana, se a propensão marginal a consumir é $c = 2/3$ , o multiplicador fiscal é $1/(1-c) = 1/(1/3) = 3$ . Um aumento de R\$ 1 no gasto público gera R\$ 3 no total de renda através das rodadas de consumo. A série: $1 + c + c^2 + \cdots = 1/(1-c)$ com $c = 2/3$ dá $3$ .
Ex. 49.38ModelingAnswer key
Um financiamento paga R$ 500 por mês indefinidamente a 1% ao mês. Calcule o valor presente total usando o limite da série geométrica.
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.2 (c)
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Para $n$ prestações mensais $P$ a taxa mensal $r$ , o valor presente é: $VP_n = P \sum_{k=1}^n (1+r)^{-k} = P \cdot \frac{1-(1+r)^{-n}}{r}$ . Quando $n \to \infty$ : $VP = P/r$ (perpétuidade). Para $P = 500$ , $r = 0{,}01$ : $VP = 500/0{,}01 = \mathrm{R\$}\; 50{,}000$ .
Ex. 49.39Understanding
A sequência $a_n = n$ é convergente? Justifique usando a definição épsilon- $N$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 53
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A sequência $a_n = n$ é crescente e ilimitada. Para qualquer candidato $L$ , tome $\varepsilon = 1$ : para $n > L + 1$ tem-se $|a_n - L| = n - L > 1 = \varepsilon$ . A definição épsilon-N não pode ser satisfeita para nenhum $L$ .
Ex. 49.40Understanding
Prove que a sequência de somas parciais $S_n = \sum_{k=0}^n (1/2)^k$ é crescente e limitada superiormente, logo converge pelo teorema da monótona limitada.
Active Calculus · §8.2 · Preview Activity 8.2 (c)
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A sequência de somas parciais $S_n = \sum_{k=0}^n (1/2)^k$ satisfaz: (i) $S_{n+1} = S_n + (1/2)^{n+1} > S_n$ (crescente); (ii) $S_n < \sum_{k=0}^\infty (1/2)^k = 2$ (limitada). Logo converge pelo teorema da monótona limitada. O limite é $2$ .
Ex. 49.41ChallengeAnswer key
Calcule $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n$ . Compute as primeiras 5 somas parciais no caderno para confirmar a convergência.
Solve online Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.1 (b)
Show solution
Série geométrica $\sum_{n=0}^\infty (2/3)^n$ : razão $r = 2/3$ , $|r| < 1$ . Soma: $1/(1 - 2/3) = 1/(1/3) = 3$ . Somas parciais: $S_0=1$ , $S_1=5/3$ , $S_2=19/9 \approx 2{,}11$ , $S_5 \approx 2{,}74$ , $S_{10} \approx 2{,}97$ . Convergindo para 3.
Ex. 49.42Challenge
Mostre que $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ converge. Calcule $S_{10}$ e compare com $\pi^2/6$ .
Active Calculus · §8.2 · Activity 8.2.4
Show solution
A série $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ converge (série-p, $p=2>1$ ). Compare: $1/n^2 \leq 1/(n(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n$ (soma telescópica que converge). Euler (1734) calculou $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$ . Calcule $S_{10} = 1 + 1/4 + 1/9 + \cdots + 1/100 \approx 1{,}5498$ — já próximo de $\pi^2/6$ .
Ex. 49.43Proof
Demonstre rigorosamente via épsilon- $N$ que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ .
OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 57
Show solution
Dado $\varepsilon > 0$ , escolha $N = \lceil 1/\varepsilon \rceil$ . Para $n > N$ : $|1/n - 0| = 1/n \leq 1/N \leq 1/(1/\varepsilon) = \varepsilon$ . Como $\varepsilon$ foi arbitrário, segue $\lim 1/n = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva o objetivo. Queremos: $\forall \varepsilon > 0, \exists N : n > N \Rightarrow |1/n - 0| < \varepsilon$ .
2. Simplifique. $|1/n - 0| = 1/n$ . Precisamos $1/n < \varepsilon$ , ou seja, $n > 1/\varepsilon$ .
3. Escolha N. Tome $N = \lceil 1/\varepsilon \rceil$ . Então $N \geq 1/\varepsilon$ .
4. Verifique. Para $n > N \geq 1/\varepsilon$ , tem-se $n > 1/\varepsilon$ , logo $1/n < \varepsilon$ . QED.
Ex. 49.44Proof
Prove o teorema da álgebra dos limites: se $\lim a_n = L$ e $\lim b_n = M$ , então $\lim (a_n + b_n) = L + M$ .
OpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · ex. 59
Show solution
Dado $\varepsilon > 0$ : existem $N_1, N_2$ tais que $n > N_1 \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon/2$ e $n > N_2 \Rightarrow |b_n - M| < \varepsilon/2$ . Para $n > N = \max(N_1, N_2)$ : $|(a_n + b_n) - (L+M)| \leq |a_n - L| + |b_n - M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$ . Logo $\lim(a_n + b_n) = L + M$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Hipóteses. $\lim a_n = L$ e $\lim b_n = M$ .
2. Objetivo. Dado $\varepsilon > 0$ , achar $N$ tal que $n > N \Rightarrow |(a_n+b_n)-(L+M)| < \varepsilon$ .
3. Use as hipóteses com $\varepsilon/2$ . Existem $N_1, N_2$ com as condições acima.
4. Tome $N = \max(N_1, N_2)$ . Pela desigualdade triangular: $|(a_n+b_n)-(L+M)| \leq |a_n-L| + |b_n-M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$ . QED.

Fontes

Lebl — Basic Analysis: Introduction to Real Analysis — Jiří Lebl · CC-BY-NC-SA · §2.1–2.4 (Sequences). Definição épsilon-N, unicidade, Cauchy, Bolzano-Weierstrass. Referência primária para rigor.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §8.1 (Sequences) e §8.2 (Geometric Series). Atividades com sequências recursivas, Fibonacci, aplicações financeiras.
OpenStax Calculus Volume 2 — Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0 · §5.1 (Sequences). Limites notáveis, drill de exercícios com soluções completas.