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Lição 50 — Consolidação Trim 5: limites e continuidade

Workshop integrador do Trimestre 5. Limites ε-δ, leis dos limites, limites fundamentais, continuidade, TVI, assíntotas e sequências convergentes.

Used in: 2.º ano EM (16-17 anos) · Equiv. Analysis I (Gymnasium alemão) · Equiv. Math II japonês — seção limites

lim⁡x→af(x)=L    ⟺    ∀ ε>0,  ∃ δ>0:0<∣x−a∣<δ⇒∣f(x)−L∣<ε\lim_{x \to a} f(x) = L \;\iff\; \forall\,\varepsilon > 0,\;\exists\,\delta > 0 : 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

A definição épsilon-delta de limite: para qualquer margem de erro ε\varepsilon que se exija, encontra-se uma vizinhança δ\delta em torno de aa que garante que f(x)f(x) está dentro dessa margem de LL. Esse único enunciado sustenta continuidade, TVI, assíntotas e convergência de sequências — os cinco pilares do Trimestre 5.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Mapa dos teoremas do Trim 5

Definição central

"Dizemos que o limite de f(x)f(x), quando xx tende a aa, é LL, e escrevemos lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \to a} f(x) = L, se para todo número ε>0\varepsilon > 0 existe um número δ>0\delta > 0 tal que se 0<∣x−a∣<δ0 < |x - a| < \delta, então ∣f(x)−L∣<ε|f(x) - L| < \varepsilon." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.5

Mapa do Trimestre 5

LiçãoTópicoResultado central
41Limite formalDefinição ε\varepsilon-δ\delta
42Leis dos limitesSoma, produto, quociente, confronto
43Continuidadelim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a); tipos de descontinuidade
44Limites laterais e infinitosLimite existe   ⟺  \iff lim⁡−=lim⁡+\lim^- = \lim^+; assíntotas verticais
45Limites fundamentaissin⁡x/x→1\sin x/x \to 1; (1+1/n)n→e(1+1/n)^n \to e
46TVI e WeierstrassExistência de raízes e valores intermediários
47AssíntotasVerticais, horizontais, oblíquas
48Limites trigonométricosManipulação de sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan
49SequênciasCauchy, Bolzano-Weierstrass, monótona limitada

Tabela-resumo dos teoremas principais

TeoremaHipóteseConclusão
Confronto (Squeeze)g(x)≤f(x)≤h(x)g(x) \leq f(x) \leq h(x) e lim⁡g=lim⁡h=L\lim g = \lim h = Llim⁡f=L\lim f = L
TVIf∈C([a,b])f \in C([a,b]), kk entre f(a)f(a) e f(b)f(b)∃ c∈(a,b)\exists\,c \in (a,b) com f(c)=kf(c) = k
Weierstrassf∈C([a,b])f \in C([a,b])ff atinge máximo e mínimo
Bolzano-Weierstrass(an)(a_n) limitada em R\mathbb{R}Tem subsequência convergente
Monótona limitada(an)(a_n) crescente (dec.) e limitada superiormente (inf.)Converge
Cauchy(an)(a_n) é sequência de Cauchy em R\mathbb{R}(an)(a_n) converge

Cheat sheet de indeterminações

FormaTécnica padrão
0/00/0 polinomialFatore e cancele o fator nulo
0/00/0 com raízesMultiplique pelo conjugado
0/00/0 trigonométricoLimites fundamentais sin⁡x/x→1\sin x/x \to 1
∞/∞\infty/\infty racionalDivida pelo maior grau
1∞1^\inftyAB=eBln⁡AA^B = e^{B \ln A}, calcule lim⁡Bln⁡A\lim B \ln A
0⋅∞0 \cdot \inftyReescreva como 01/∞\frac{0}{1/\infty} ou ∞1/0\frac{\infty}{1/0}
∞−∞\infty - \inftyFator comum ou conjugado

Hierarquia de crescimento

ln⁡n≪na≪an≪n!≪nn(a>1,  n→∞)\ln n \ll n^a \ll a^n \ll n! \ll n^n \quad (a > 1,\; n \to \infty)

Limites fundamentais para memorizar

lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→01−cos⁡xx2=12\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
what this means · Limite fundamental trigonométrico — usado para todo limite com seno dividido por argumento.
lim⁡x→0ex−1x=1,lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
what this means · Limites exponencial e logarítmico — base de todo limite 1 ao infinito.
lim⁡n→∞(1+1n)n=e,lim⁡x→∞(1+ax)x=ea\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a
what this means · Definição de e como limite — o número de Euler aparece naturalmente nos juros compostos contínuos.

Exemplos resolvidos

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 26Understanding 8Modeling 6Challenge 8Proof 2
  1. Ex. 50.1ApplicationAnswer key

    Calcule lim⁡x→2(3x2−x+1)\lim_{x \to 2} (3x^2 - x + 1).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 88 · p. 170
    Show solution
    Substituição direta: 3(2)2−(2)+1=12−2+1=113(2)^2 - (2) + 1 = 12 - 2 + 1 = 11. Polinômios são contínuos em todo ponto, portanto o limite é igual ao valor da função.
  2. Ex. 50.2Application

    Calcule lim⁡x→1x2−1x−1\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Example 2.18 · p. 168
    Show solution
    Indeterminação 0/00/0. Fatore: (x2−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1(x^2-1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1 para x≠1x \neq 1. Portanto lim⁡x→1(x+1)=2\lim_{x \to 1}(x+1) = 2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Substitua diretamente: (12−1)/(1−1)=0/0(1^2-1)/(1-1) = 0/0. Forma indeterminada — fatorar. Por quê: o limite ainda pode existir se o fator que zera numerador e denominador cancela.
    2. Fatore o numerador: x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1). Por quê: diferença de quadrados.
    3. Cancele o fator (x−1)(x-1), válido para x≠1x \neq 1: lim⁡x→1(x+1)\lim_{x \to 1}(x+1).
    4. Substitua: 1+1=21 + 1 = 2. Macete: sempre verifique se o cancelamento é válido — o limite em x=ax = a exige x≠ax \neq a, então cancelar fatores nulos em aa é sempre lícito.
  3. Ex. 50.3Application

    Calcule lim⁡x→0sin⁡(5x)x\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{x}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Checkpoint 2.20 · p. 171
    Show solution
    Reescreva: sin⁡(5x)/x=5⋅sin⁡(5x)/(5x)\sin(5x)/x = 5 \cdot \sin(5x)/(5x). Quando x→0x \to 0, também 5x→05x \to 0, portanto lim⁡sin⁡(5x)/(5x)=1\lim \sin(5x)/(5x) = 1. Resultado: 5⋅1=55 \cdot 1 = 5.
  4. Ex. 50.4Application

    Calcule lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.3 · Exercise 7 · p. 37
    Show solution
    Use o limite fundamental lim⁡x→0(1−cos⁡x)/x2=1/2\lim_{x \to 0}(1-\cos x)/x^2 = 1/2. Esse resultado vem de 1−cos⁡x=2sin⁡2(x/2)1-\cos x = 2\sin^2(x/2), então (1−cos⁡x)/x2=2sin⁡2(x/2)/x2=(1/2)(sin⁡(x/2)/(x/2))2→1/2(1-\cos x)/x^2 = 2\sin^2(x/2)/x^2 = (1/2)(\sin(x/2)/(x/2))^2 \to 1/2.
  5. Ex. 50.5Application

    Calcule lim⁡x→∞(1+3x)x\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 151 · p. 172
    Show solution
    Use lim⁡x→∞(1+a/x)x=ea\lim_{x \to \infty}(1+a/x)^x = e^a com a=3a=3. Formalmente: (1+3/x)x=exln⁡(1+3/x)(1+3/x)^x = e^{x\ln(1+3/x)}; como x→∞x \to \infty, xln⁡(1+3/x)≈x⋅3/x=3x\ln(1+3/x) \approx x \cdot 3/x = 3, portanto o limite é e3e^3.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique a forma: (1+3/x)x→1∞(1+3/x)^x \to 1^\infty quando x→∞x \to \infty. Por quê: formas 1∞1^\infty podem dar qualquer valor finito positivo — não podemos simplificar sem calcular.
    2. Reescreva como exln⁡(1+3/x)e^{x \ln(1+3/x)}. Por quê: AB=eBln⁡AA^B = e^{B \ln A} permite isolar o expoente problemático.
    3. Calcule o expoente: lim⁡x→∞xln⁡(1+3/x)\lim_{x \to \infty} x \ln(1+3/x). Com u=3/x→0u = 3/x \to 0: x⋅ln⁡(1+3/x)=3⋅ln⁡(1+u)/u→3⋅1=3x \cdot \ln(1+3/x) = 3 \cdot \ln(1+u)/u \to 3 \cdot 1 = 3.
    4. Resultado: e3e^3. Macete: o padrão (1+a/x)x→ea(1+a/x)^x \to e^a aparece em capitalização contínua — memorize.
  6. Ex. 50.6Application

    Calcule lim⁡x→∞2x2+xx2−5\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^2 + x}{x^2 - 5}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.6 · Exercise 3 · p. 60
    Show solution
    Divide numerador e denominador por x2x^2 (maior grau): (2+1/x)/(1−5/x2)→2/1=2(2 + 1/x)/(1 - 5/x^2) \to 2/1 = 2 quando x→∞x \to \infty.
  7. Ex. 50.7Application

    Calcule lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x \to 0^+} x \ln x.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Exercise 82 · p. 151
    Show solution
    Escreva xln⁡x=ln⁡x/(1/x)x \ln x = \ln x / (1/x). Quando x→0+x \to 0^+: forma −∞/+∞-\infty/+\infty. Pela regra de L'Hôpital: (1/x)/(−1/x2)=−x→0(1/x)/(-1/x^2) = -x \to 0. Portanto lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0.
  8. Ex. 50.8Application

    Calcule lim⁡x→0e2x−1sin⁡(3x)\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\sin(3x)}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.3 · Exercise 19 · p. 38
    Show solution
    Indeterminação 0/00/0. Reescreva: e2x−1sin⁡3x=(e2x−1)/(2x)(sin⁡3x)/(3x)⋅23\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x} = \frac{(e^{2x}-1)/(2x)}{(\sin 3x)/(3x)} \cdot \frac{2}{3}. Quando x→0x \to 0 ambas as razões tendem a 1, logo o limite é 2/32/3.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Substitua diretamente: (e0−1)/sin⁡0=0/0(e^0-1)/\sin 0 = 0/0. Usar limites fundamentais.
    2. Multiplique e divida estrategicamente: e2x−1sin⁡(3x)=e2x−12x⋅3xsin⁡(3x)⋅23\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)} = \frac{e^{2x}-1}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)} \cdot \frac{2}{3}. Por quê: para isolar as razões que têm limite fundamental conhecido.
    3. Quando x→0x \to 0: (e2x−1)/(2x)→1(e^{2x}-1)/(2x) \to 1 (limite fundamental de ee) e sin⁡(3x)/(3x)→1\sin(3x)/(3x) \to 1.
    4. Resultado: 1⋅1⋅2/3=2/31 \cdot 1 \cdot 2/3 = 2/3. Curiosidade: esse é o caso geral — (eax−1)/(sin⁡bx)→a/b(e^{ax}-1)/(\sin bx) \to a/b.
  9. Ex. 50.9Application

    Calcule lim⁡x→+∞(x2+x−x)\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 130 · p. 172
    Show solution
    Multiplique pelo conjugado: (x2+x−x)(x2+x+x)/(x2+x+x)=x/(x2+x+x)(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)/(\sqrt{x^2+x}+x) = x/(\sqrt{x^2+x}+x). Divida por x>0x > 0: 1/(1+1/x+1)→1/21/(\sqrt{1+1/x}+1) \to 1/2.
  10. Ex. 50.10ApplicationAnswer key

    Calcule lim⁡x→0ln⁡(1+5x)x\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1 + 5x)}{x}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.3 · Exercise 13 · p. 37
    Show solution
    Use o limite fundamental lim⁡u→0ln⁡(1+u)/u=1\lim_{u \to 0} \ln(1+u)/u = 1 com u=5xu = 5x: ln⁡(1+5x)/x=5⋅ln⁡(1+5x)/(5x)→5⋅1=5\ln(1+5x)/x = 5 \cdot \ln(1+5x)/(5x) \to 5 \cdot 1 = 5.
  11. Ex. 50.11Application

    Seja f(x)=sin⁡x/xf(x) = \sin x / x para x≠0x \neq 0 e f(0)=1f(0) = 1. Verifique as três condições de continuidade em x=0x = 0.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Example 2.31 · p. 179
    Show solution
    Verifique as três condições: (1) f(0)=1f(0)=1 definido; (2) lim⁡x→0sin⁡x/x=1\lim_{x \to 0} \sin x/x = 1 existe; (3) limite =f(0)=1= f(0) = 1. As três condições são satisfeitas, logo ff é contínua em 0.
  12. Ex. 50.12Application

    Determine aa tal que f(x)=x+af(x) = x + a (se x<0x < 0) e f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 (se x≥0x \geq 0) seja contínua em x=0x = 0.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 134 · p. 184
    Show solution
    Para continuidade em x=0x=0: lim⁡x→0−(x+a)=a\lim_{x \to 0^-}(x+a) = a e lim⁡x→0+(x2+1)=1\lim_{x \to 0^+}(x^2+1) = 1. Para os limites laterais coincidirem: a=1a = 1. Verifique: f(0)=02+1=1=af(0) = 0^2+1 = 1 = a.
  13. Ex. 50.13Application

    Classifique as descontinuidades de f(x)=x2−4x2−5x+6f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Example 2.26 · p. 180
    Show solution
    f(x)=(x2−4)/(x2−5x+6)=(x−2)(x+2)/[(x−2)(x−3)]f(x) = (x^2-4)/(x^2-5x+6) = (x-2)(x+2)/[(x-2)(x-3)]. Em x=2x=2: fator (x−2)(x-2) cancela — o limite existe e vale (2+2)/(2−3)=−4(2+2)/(2-3) = -4 mas f(2)f(2) indefinido: descontinuidade removível. Em x=3x=3: denominador zero, numerador 5≠05 \neq 0: descontinuidade infinita.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fatore: f(x)=(x−2)(x+2)/[(x−2)(x−3)]f(x) = (x-2)(x+2)/[(x-2)(x-3)]. Por quê: a fatoração revela onde os zeros de cada parte se sobrepõem.
    2. Em x=2x=2: o fator (x−2)(x-2) aparece no numerador e denominador. O limite existe e é finito — descontinuidade removível (buraco no gráfico).
    3. Em x=3x=3: só o denominador anula. O limite é ±∞\pm\infty — descontinuidade infinita (assíntota vertical).
    4. Macete: removível quando o fator que zera cancela; infinita quando não cancela.
  14. Ex. 50.14Application

    Use o TVI para mostrar que f(x)=x3−2x−1f(x) = x^3 - 2x - 1 tem raiz real em (1,2)(1, 2).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 160 · p. 185
    Show solution
    ff é polinomial, portanto contínua. f(1)=1−2−1=−2<0f(1) = 1 - 2 - 1 = -2 < 0 e f(2)=8−4−1=3>0f(2) = 8 - 4 - 1 = 3 > 0. Como sinais opostos e f∈C([1,2])f \in C([1,2]), pelo TVI existe c∈(1,2)c \in (1,2) com f(c)=0f(c)=0.
  15. Ex. 50.15Modeling

    Mostre que cos⁡x=x2\cos x = x^2 tem solução em (0,1)(0, 1) via TVI. Calcule g(0)g(0) e g(1)g(1) explicitamente.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 163 · p. 185
    Show solution
    Defina g(x)=cos⁡x−x2g(x) = \cos x - x^2. Então g(0)=1>0g(0) = 1 > 0 e g(1)=cos⁡1−1≈0,54−1=−0,46<0g(1) = \cos 1 - 1 \approx 0{,}54 - 1 = -0{,}46 < 0. Como g∈C([0,1])g \in C([0,1]) com sinais opostos, pelo TVI existe c∈(0,1)c \in (0,1) com g(c)=0g(c)=0, ou seja cos⁡c=c2\cos c = c^2.
  16. Ex. 50.16Understanding

    Qual das afirmações sobre continuidade e limites é correta?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 119 · p. 183
    Show solution
    A afirmação correta é A. Exemplo: f(x)=(x2−1)/(x−1)f(x) = (x^2-1)/(x-1) tem limite 2 em x=1x=1, mas f(1)f(1) é indefinido. Continuidade exige as três condições: (1) f(a)f(a) definido, (2) limite existe, (3) são iguais. Existência do limite não implica continuidade.
  17. Ex. 50.17Modeling

    Em circuito RC, V(t)=V∞(1−e−t/RC)V(t) = V_\infty(1 - e^{-t/RC}). Qual é o tempo para VV atingir 99% de V∞V_\infty? Qual é lim⁡t→∞V(t)\lim_{t \to \infty} V(t)?

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Preview Activity 1.1.1 · p. 5
    Show solution
    V(t)=V∞(1−e−t/RC)V(t) = V_\infty(1-e^{-t/RC}). Para V(t)=0,99V∞V(t) = 0{,}99 V_\infty: 0,99=1−e−t/RC0{,}99 = 1-e^{-t/RC}, logo e−t/RC=0,01e^{-t/RC} = 0{,}01, portanto t=RCln⁡100≈4,6RCt = RC \ln 100 \approx 4{,}6RC. O limite lim⁡t→∞V(t)=V∞\lim_{t \to \infty} V(t) = V_\infty confirma que nunca chega exatamente a V∞V_\infty — assíntota horizontal.
  18. Ex. 50.18Modeling

    Em decaimento radioativo N(t)=N0e−t/τN(t) = N_0 e^{-t/\tau}, calcule a meia-vida em termos de τ\tau e lim⁡t→∞N(t)\lim_{t \to \infty} N(t).

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Activity 1.1.2 · p. 6
    Show solution
    Em N(t1/2)=N0/2N(t_{1/2}) = N_0/2: e−t1/2/τ=1/2e^{-t_{1/2}/\tau} = 1/2, logo t1/2=τln⁡2t_{1/2} = \tau \ln 2. E lim⁡t→∞N(t)=N0⋅0=0\lim_{t \to \infty} N(t) = N_0 \cdot 0 = 0. O gráfico tem assíntota horizontal N=0N=0.
  19. Ex. 50.19Understanding

    Explique por que o Teorema de Weierstrass requer o intervalo [a,b][a, b] fechado e limitado. Dê um contraexemplo em cada caso (intervalo aberto e intervalo ilimitado).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 121 · p. 183
    Show solution
    Pelo Teorema de Weierstrass, f∈C([a,b])f \in C([a,b]) com intervalo fechado e limitado implica que ff atinge máximo e mínimo. O intervalo fechado é essencial: em (0,1)(0,1) aberto, f(x)=xf(x) = x não atinge o supremo 1. Em [0,∞)[0,\infty) ilimitado, f(x)=xf(x) = x não está limitada acima.
  20. Ex. 50.20Challenge

    Mostre que ex=5xe^x = 5x tem solução em (0,2)(0, 2) via TVI. Calcule g(0)g(0) e g(2)g(2) numericamente.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 166 · p. 186
    Show solution
    Defina g(x)=ex−5xg(x) = e^x - 5x. Então g(0)=1>0g(0) = 1 > 0 e g(2)=e2−10≈7,39−10=−2,61<0g(2) = e^2 - 10 \approx 7{,}39 - 10 = -2{,}61 < 0. Por continuidade de gg em [0,2][0,2], pelo TVI existe c∈(0,2)c \in (0,2) com g(c)=0g(c)=0, ou seja ec=5ce^c = 5c. A equação tem na verdade duas raízes em (0,∞)(0,\infty).
  21. Ex. 50.21ApplicationAnswer key

    Determine lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} e lim⁡x→0+1x\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}. O limite bilateral lim⁡x→01x\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} existe?

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Example 2.10 · p. 148
    Show solution
    Quando x→0−x \to 0^-: x<0x < 0 portanto 1/x→−∞1/x \to -\infty. Quando x→0+x \to 0^+: x>0x > 0 portanto 1/x→+∞1/x \to +\infty. Os limites laterais diferem — o limite bilateral não existe.
  22. Ex. 50.22Application

    Determine as assíntotas de f(x)=x+3x−2f(x) = \dfrac{x + 3}{x - 2}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.6 · Exercise 1 · p. 59
    Show solution
    AV: x=2x=2 (denominador zero, numerador 5≠05 \neq 0). AH: graus iguais (deg⁡=1\deg=1), lim⁡x→±∞(x+3)/(x−2)=1\lim_{x\to\pm\infty}(x+3)/(x-2) = 1. Logo AH é y=1y=1.
  23. Ex. 50.23Application

    Determine todas as assíntotas de f(x)=x2+1x−2f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.6 · Example 1.6.2 · p. 61
    Show solution
    Divisão: (x2+1)/(x−2)=x+2+5/(x−2)(x^2+1)/(x-2) = x+2+5/(x-2). AV em x=2x=2; como 5/(x−2)→05/(x-2)\to 0, a AO é y=x+2y=x+2. Não há AH pois deg⁡num=deg⁡denom+1\deg\text{num} = \deg\text{denom}+1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Observe os graus: deg⁡(x2+1)=2\deg(x^2+1)=2, deg⁡(x−2)=1\deg(x-2)=1. Como diferem de 1, espera-se AO. Por quê: AO existe exatamente quando deg⁡P=deg⁡Q+1\deg P = \deg Q + 1.
    2. Divida: x2+1=(x−2)(x+2)+5x^2+1 = (x-2)(x+2) + 5, portanto f(x)=x+2+5/(x−2)f(x) = x+2+5/(x-2).
    3. Quando x→±∞x \to \pm\infty: 5/(x−2)→05/(x-2) \to 0, logo f(x)→x+2f(x) \to x+2. A reta y=x+2y=x+2 é a AO.
    4. AV: x=2x=2 (denominador anula, numerador 5≠05 \neq 0). Macete: divisão euclidiana do polinômio sempre revela AO e AV simultaneamente.
  24. Ex. 50.24Application

    Determine as assíntotas de f(x)=arctan⁡x+1xf(x) = \arctan x + \dfrac{1}{x}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.6 · Exercise 5 · p. 60
    Show solution
    1/x→±∞1/x \to \pm\infty quando x→0x \to 0: AV em x=0x=0. Quando x→+∞x \to +\infty: arctan⁡x→π/2\arctan x \to \pi/2 e 1/x→01/x \to 0, logo AH direita: y=π/2y=\pi/2. Quando x→−∞x \to -\infty: arctan⁡x→−π/2\arctan x \to -\pi/2, logo AH esquerda: y=−π/2y=-\pi/2.
  25. Ex. 50.25Understanding

    Qual é a condição necessária e suficiente para que lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) exista?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Theorem 2.2 · p. 150
    Show solution
    O limite bilateral existe se e somente se os dois limites laterais existem e são iguais: lim⁡x→af(x)=L  ⟺  lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = L. Isso não implica que f(a)f(a) exista nem que seja igual a LL (que seria continuidade).
  26. Ex. 50.26Application

    Calcule lim⁡x→π/2−tan⁡(x)⋅(π/2−x)\lim_{x \to \pi/2^-} \tan(x) \cdot (\pi/2 - x).

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.3 · Exercise 27 · p. 39
    Show solution
    Quando x→(π/2)−x \to (\pi/2)^-, tan⁡x→+∞\tan x \to +\infty e (π/2−x)→0+(\pi/2-x) \to 0^+. Substitua u=π/2−xu = \pi/2 - x: tan⁡(π/2−u)=cot⁡u=cos⁡u/sin⁡u\tan(\pi/2-u) = \cot u = \cos u/\sin u. Então u⋅cot⁡u=ucos⁡u/sin⁡u→1u \cdot \cot u = u\cos u/\sin u \to 1 pois u/sin⁡u→1u/\sin u \to 1.
  27. Ex. 50.27UnderstandingAnswer key

    Descreva o comportamento assintótico de f(x)=e−xf(x) = e^{-x}: identifique assíntotas horizontais e verticais, se existirem. Interprete o gráfico.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.2 · Exercise 30 · p. 151
    Show solution
    lim⁡x→∞e−x=0\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0: AH em y=0y=0. Em x=0x=0, e−xe^{-x} está definida e vale 1: sem AV. A função é contínua em todo R\mathbb{R} e nunca toca o eixo xx, apenas se aproxima assintoticamente.
  28. Ex. 50.28Modeling

    Em controle, H(s)=s+1s2+4s+5H(s) = \dfrac{s+1}{s^2 + 4s + 5}. Calcule H(0)H(0) e lim⁡∣s∣→∞H(s)\lim_{|s| \to \infty} H(s). Classifique o filtro.

    Solve onlineActive Calculus · §1.2 · Activity 1.2.1 · p. 14
    Show solution
    H(0)=(0+1)/(0+0+5)=1/5H(0) = (0+1)/(0+0+5) = 1/5. Para ∣s∣→∞|s| \to \infty: grau do numerador 1, grau do denominador 2, portanto H(s)→0H(s) \to 0. É um filtro passa-baixa de segunda ordem — passa sinais de baixa frequência (s≈0s \approx 0) e atenua os de alta frequência (∣s∣→∞|s| \to \infty).
  29. Ex. 50.29Challenge

    Use o teorema do confronto para calcular lim⁡x→0x2sin⁡2(1/x)\lim_{x \to 0} x^2 \sin^2(1/x).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Example 2.27 · p. 167
    Show solution
    Use confronto: para x≠0x \neq 0, 0≤sin⁡2(1/x)≤10 \leq \sin^2(1/x) \leq 1, portanto 0≤x2sin⁡2(1/x)≤x20 \leq x^2 \sin^2(1/x) \leq x^2. Como x2→0x^2 \to 0 quando x→0x \to 0, pelo teorema do confronto o limite é 0.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Note que sin⁡2(1/x)\sin^2(1/x) oscila entre 0 e 1 para qualquer x≠0x \neq 0. Não tem limite em si — mas é limitada. Por quê: o teorema do confronto é ideal quando não conseguimos calcular o limite diretamente mas sabemos que a função está espremida entre duas funções que têm limite.
    2. Escreva a desigualdade: 0≤x2sin⁡2(1/x)≤x20 \leq x^2 \sin^2(1/x) \leq x^2.
    3. Calcule os limites dos extremos: lim⁡x→00=0\lim_{x\to 0} 0 = 0 e lim⁡x→0x2=0\lim_{x\to 0} x^2 = 0.
    4. Pelo Squeeze Theorem: lim⁡x→0x2sin⁡2(1/x)=0\lim_{x\to 0} x^2 \sin^2(1/x) = 0. Observação: essa função é um exemplo de função contínua em x=0x=0 (se definida como 0 lá) mas não derivável.
  30. Ex. 50.30Challenge

    Calcule lim⁡n→∞(1−2n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{2}{n}\right)^n.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 153 · p. 172
    Show solution
    Escreva (1−2/n)n=enln⁡(1−2/n)(1-2/n)^n = e^{n \ln(1-2/n)}. Quando n→∞n \to \infty: nln⁡(1−2/n)≈n⋅(−2/n)=−2n \ln(1-2/n) \approx n \cdot (-2/n) = -2 pois ln⁡(1+u)≈u\ln(1+u) \approx u para u→0u \to 0. Logo o limite é e−2e^{-2}.
  31. Ex. 50.31Application

    Calcule lim⁡x→0tan⁡(3x)x\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{x}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.3 · Exercise 17 · p. 38
    Show solution
    tan⁡(3x)/x=[sin⁡(3x)/(3x)]⋅[3/cos⁡(3x)]\tan(3x)/x = [\sin(3x)/(3x)] \cdot [3/\cos(3x)]. Quando x→0x \to 0: sin⁡(3x)/(3x)→1\sin(3x)/(3x) \to 1 e cos⁡(3x)→1\cos(3x) \to 1. Resultado: 3⋅1/1=33 \cdot 1/1 = 3.
  32. Ex. 50.32Application

    Calcule lim⁡x→0tan⁡x−xx3\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{x^3}.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 122 · p. 171
    Show solution
    Use a expansão de Taylor: tan⁡x=x+x3/3+O(x5)\tan x = x + x^3/3 + O(x^5). Portanto (tan⁡x−x)/x3=(x3/3+O(x5))/x3→1/3(\tan x - x)/x^3 = (x^3/3 + O(x^5))/x^3 \to 1/3. Alternativamente, L'Hôpital três vezes.
  33. Ex. 50.33Application

    Calcule lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos(2x)}{x^2}.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.3 · Exercise 9 · p. 38
    Show solution
    Use 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1-\cos(2x) = 2\sin^2(x): (1−cos⁡2x)/x2=2sin⁡2(x)/x2=2(sin⁡x/x)2→2⋅1=2(1-\cos 2x)/x^2 = 2\sin^2(x)/x^2 = 2(\sin x/x)^2 \to 2 \cdot 1 = 2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Substituição direta: (1−cos⁡0)/02=0/0(1-\cos 0)/0^2 = 0/0. Usar identidade trigonométrica.
    2. Identidade de duplo ângulo: 1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1-\cos(2x) = 2\sin^2(x). Por quê: converte a indeterminação em termos com sin⁡x/x\sin x/x.
    3. Reescreva: (1−cos⁡2x)/x2=2(sin⁡x/x)2(1-\cos 2x)/x^2 = 2(\sin x/x)^2.
    4. Limite: 2⋅12=22 \cdot 1^2 = 2. Macete: toda indeterminação com cos⁡\cos tente 1−cos⁡(nu)=2sin⁡2(nu/2)1-\cos(nu) = 2\sin^2(nu/2).
  34. Ex. 50.34UnderstandingAnswer key

    Por que lim⁡x→0sin⁡x/x=1\lim_{x \to 0} \sin x / x = 1 é válido em radianos mas não em graus? Qual seria o valor desse limite se xx estivesse em graus?

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Example 2.23 · p. 168
    Show solution
    O limite lim⁡x→0sin⁡x/x=1\lim_{x \to 0} \sin x/x = 1 vale quando xx está em radianos. Em graus, sin⁡(x°)=sin⁡(πx/180)\sin(x°) = \sin(\pi x/180), portanto lim⁡x→0sin⁡(x°)/x=π/180≈0,01745≠1\lim_{x\to 0} \sin(x°)/x = \pi/180 \approx 0{,}01745 \neq 1. Esta é a razão fundamental pela qual cálculo usa sempre radianos.
  35. Ex. 50.35ApplicationAnswer key

    Calcule lim⁡n→∞(1+1n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 149 · p. 172
    Show solution
    Identifique forma 1∞1^\infty. Use (1+u)1/u→e(1+u)^{1/u} \to e com u=1/nu = 1/n: (1+1/n)n→e(1+1/n)^n \to e. Esta é uma das definições de $e$ — o número de Euler como limite de um processo de capitalização infinitamente fracionado.
  36. Ex. 50.36Modeling

    Capital PP aplicado com juros compostos nn vezes por ano à taxa RR: montante =P(1+R/n)n= P(1 + R/n)^n. Calcule lim⁡n→∞(1+R/n)n\lim_{n \to \infty}(1 + R/n)^n e interprete no contexto de capitalização contínua.

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Activity 8.1.1 · p. 374
    Show solution
    Com juros compostos contínuos: lim⁡n→∞(1+R/n)n=eR\lim_{n \to \infty} \left(1 + R/n\right)^n = e^R. O capital cresce por fator eRte^{Rt} após tt anos. Com a Selic a 10,75% a.a. e R\$ 10.000 por 2 anos: montante =10000⋅e0,1075×2≈= 10000 \cdot e^{0{,}1075 \times 2} \approx R\$ 12.399.
  37. Ex. 50.37ChallengeAnswer key

    Analise lim⁡x→0(sin⁡x)1/x\lim_{x \to 0} (\sin x)^{1/x}: calcule os limites laterais e diga se o bilateral existe.

    Solve onlineAPEX Calculus · §1.4 · Exercise 25 · p. 44
    Show solution
    Pela direita (x→0+x \to 0^+): (sin⁡x)1/x→0+∞=0(\sin x)^{1/x} \to 0^{+\infty} = 0 (potência de um número menor que 1 com expoente tendendo a +∞+\infty). Pela esquerda (x→0−x \to 0^-): sin⁡x<0\sin x < 0 para xx pequeno e negativo, e (negativo)1/x(\text{negativo})^{1/x} não está definido em R\mathbb{R}. O limite unilateral pela direita é 0; o bilateral não existe em R\mathbb{R}.
  38. Ex. 50.38ProofAnswer key

    Demonstre via definição ε\varepsilon-δ\delta que lim⁡x→3(2x−1)=5\lim_{x \to 3}(2x - 1) = 5.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · Example 2.39 · p. 190
    Show solution
    Pela definição épsilon-delta: dado ε>0\varepsilon > 0, tome δ=ε/2\delta = \varepsilon/2. Se 0<∣x−3∣<δ0 < |x-3| < \delta, então ∣(2x−1)−5∣=∣2x−6∣=2∣x−3∣<2δ=ε|(2x-1)-5| = |2x-6| = 2|x-3| < 2\delta = \varepsilon. Logo lim⁡x→3(2x−1)=5\lim_{x \to 3}(2x-1) = 5. A ideia: a função linear multiplica o erro em xx por 2, então tomamos δ\delta metade de ε\varepsilon.
  39. Ex. 50.39Proof

    Demonstre via definição ε\varepsilon-δ\delta que lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0. Escolha δ\delta explicitamente em função de ε\varepsilon.

    OpenStax Calculus Volume 1 · §2.5 · Example 2.40 · p. 191
    Show solution
    Dado ε>0\varepsilon > 0, tome δ=ε\delta = \sqrt{\varepsilon}. Se 0<∣x−0∣=∣x∣<δ0 < |x-0| = |x| < \delta, então ∣x2−0∣=x2<δ2=ε|x^2 - 0| = x^2 < \delta^2 = \varepsilon. Logo lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0. O caso quadrático exige δ=ε\delta = \sqrt{\varepsilon} porque o erro em ff é quadrático no erro em xx.
  40. Ex. 50.40ChallengeAnswer key

    Calcule lim⁡n→∞(n!)1/n2\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}. Use a aproximação de Stirling: ln⁡(n!)≈nln⁡n−n\ln(n!) \approx n \ln n - n.

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Exercise 8.1.5 · p. 376
    Show solution
    Por Stirling, ln⁡(n!)≈nln⁡n−n\ln(n!) \approx n \ln n - n. Então ln⁡(n!)/n2≈(nln⁡n−n)/n2=(ln⁡n−1)/n→0\ln(n!)/n^2 \approx (n \ln n - n)/n^2 = (\ln n - 1)/n \to 0. Logo (n!)1/n2=eln⁡(n!)/n2→e0=1(n!)^{1/n^2} = e^{\ln(n!)/n^2} \to e^0 = 1. Atenção: a resposta é 1, não e−2e^{-2}.
  41. Ex. 50.41Application

    A sequência an=2n+13n−2a_n = \dfrac{2n+1}{3n-2} converge ou diverge? Se converge, calcule o limite.

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Exercise 8.1.2 · p. 373
    Show solution
    Divida numerador e denominador por nn: (2n+1)/(3n−2)=(2+1/n)/(3−2/n)→2/3(2n+1)/(3n-2) = (2+1/n)/(3-2/n) \to 2/3. A sequência converge para 2/32/3.
  42. Ex. 50.42ApplicationAnswer key

    Calcule lim⁡n→∞n!nn\lim_{n \to \infty} \dfrac{n!}{n^n}.

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Exercise 8.1.3 · p. 374
    Show solution
    Por Stirling: n!≈2πn(n/e)nn! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n, portanto n!/nn≈2πn/en→0n!/n^n \approx \sqrt{2\pi n}/e^n \to 0. A hierarquia n!≪nnn! \ll n^n garante a convergência a zero.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Compare n!n! e nnn^n: n!=1⋅2⋯nn! = 1 \cdot 2 \cdots n enquanto nn=n⋅n⋯nn^n = n \cdot n \cdots n. O segundo tem todos os fatores iguais a nn — muito maior. Por quê: cada fator de n!n! é menor que nn, exceto o último.
    2. Aproximação de Stirling: n!≈2πn(n/e)nn! \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n.
    3. Portanto: n!/nn≈2πn(n/e)n/nn=2πn/enn!/n^n \approx \sqrt{2\pi n}(n/e)^n/n^n = \sqrt{2\pi n}/e^n.
    4. O fator ene^n domina 2πn\sqrt{2\pi n}: o limite é 0. Observação: a hierarquia n!≪nnn! \ll n^n é usada em análise de algoritmos para mostrar que problemas de permutação são intratáveis computacionalmente.
  43. Ex. 50.43Application

    A sequência an=(−1)n/na_n = (-1)^n / n converge? Se sim, para qual valor?

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Exercise 8.1.4 · p. 373
    Show solution
    an=(−1)n/na_n = (-1)^n/n. Como ∣an∣=1/n→0|a_n| = 1/n \to 0, a sequência converge para 0. Critério: se ∣an∣→0|a_n| \to 0 então an→0a_n \to 0.
  44. Ex. 50.44Understanding

    Qual é a relação entre sequências de Cauchy e sequências convergentes em R\mathbb{R}?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · Exercise 5.1.15 · p. 415
    Show solution
    Em R\mathbb{R} (espaço métrico completo): uma sequência converge   ⟺  \iff é de Cauchy. Em Q\mathbb{Q} isso falha: a sequência 3,3,1,3,14,3,141,…3, 3{,}1, 3{,}14, 3{,}141, \ldots (racionais convergindo a π\pi) é de Cauchy em Q\mathbb{Q} mas seu limite π∉Q\pi \notin \mathbb{Q}.
  45. Ex. 50.45UnderstandingAnswer key

    Enuncie o Teorema da Sequência Monótona Limitada. Por que a condição de monotonia é necessária além da limitação? Dê um contraexemplo.

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Theorem 8.1 · p. 374
    Show solution
    Teorema da Sequência Monótona Limitada: se (an)(a_n) é crescente (ou decrescente) e limitada superiormente (ou inferiormente), então converge. Só limitação não basta: (−1)n(-1)^n é limitada mas oscila sem convergir.
  46. Ex. 50.46Modeling

    Calcule lim⁡n→∞∑k=1n1n⋅11+(k/n)2\lim_{n \to \infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{1 + (k/n)^2}. Interprete como integral de Riemann.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.3 · Exercise 158 · p. 172
    Show solution
    A soma de Riemann para f(x)=1/(1+x2)f(x)=1/(1+x^2) em [0,1][0,1] com partição uniforme: lim⁡n→∞∑k=1n(1/n)/(1+(k/n)2)=∫0111+x2 dx=arctan⁡(1)−arctan⁡(0)=π/4\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n (1/n)/(1+(k/n)^2) = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \pi/4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reconheça a estrutura: soma da forma (1/n)∑f(k/n)(1/n) \sum f(k/n) é uma soma de Riemann para ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x)\,dx com partição uniforme e pontos à direita. Por quê: o fator 1/n1/n é o comprimento de cada subintervalo Δx\Delta x.
    2. Identifique f(x)=1/(1+x2)f(x) = 1/(1+x^2).
    3. Calcule a integral: ∫01dx/(1+x2)=[arctan⁡x]01=π/4−0=π/4\int_0^1 dx/(1+x^2) = [\arctan x]_0^1 = \pi/4 - 0 = \pi/4.
    4. Curiosidade: Gregory-Leibniz (1671): π/4=1−1/3+1/5−1/7+⋯\pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + \cdots, que é exatamente esta soma de Riemann para f(x)=1/(1+x2)f(x)=1/(1+x^2) com pontos em x=1/(2k−1)x = 1/(2k-1).
  47. Ex. 50.47ChallengeAnswer key

    A sequência (sin⁡n)n∈N(\sin n)_{n \in \mathbb{N}} tem alguma subsequência convergente? Justifique invocando o teorema correto.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §5.1 · Exercise 5.1.17 · p. 416
    Show solution
    (sin⁡n)n∈N(\sin n)_{n \in \mathbb{N}} é limitada por [−1,1][-1,1]. Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, toda sequência limitada em R\mathbb{R} tem subsequência convergente. Logo existe (nk)(n_k) tal que sin⁡nk\sin n_k converge. De fato, como {nmod  2π}\{n \mod 2\pi\} é denso em [0,2π][0,2\pi], as subsequências convergentes atingem qualquer valor em [−1,1][-1,1].
  48. Ex. 50.48Challenge

    Calcule lim⁡n→∞n1/n\lim_{n \to \infty} n^{1/n}.

    Solve onlineActive Calculus · §8.1 · Exercise 8.1.7 · p. 376
    Show solution
    Escreva n1/n=e(ln⁡n)/nn^{1/n} = e^{(\ln n)/n}. Como lim⁡n→∞(ln⁡n)/n=0\lim_{n \to \infty} (\ln n)/n = 0 (logaritmo cresce mais devagar que qualquer potência), segue n1/n→e0=1n^{1/n} \to e^0 = 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reescreva: n1/n=e(ln⁡n)/nn^{1/n} = e^{(\ln n)/n}. Por quê: converter para base ee permite usar continuidade da exponencial.
    2. Calcule o expoente: lim⁡n→∞(ln⁡n)/n\lim_{n\to\infty}(\ln n)/n. Forma ∞/∞\infty/\infty. Por L'Hôpital: (1/n)/1=1/n→0(1/n)/1 = 1/n \to 0.
    3. Por continuidade da exponencial: e(ln⁡n)/n→e0=1e^{(\ln n)/n} \to e^0 = 1.
    4. Observação: esse resultado generaliza: para qualquer c>0c > 0, c1/n→1c^{1/n} \to 1. A taxa com que ln⁡n\ln n cresce mais devagar que nn é a base matemática da diferença entre complexidade O(n)O(n) e O(nlog⁡n)O(n \log n) em algoritmos.
  49. Ex. 50.49Challenge

    Seja f(x)=xcos⁡(1/x)f(x) = x\cos(1/x) para x≠0x \neq 0 e f(0)=0f(0) = 0. Verifique se ff é contínua em 0. Verifique se ff é derivável em 0. Justifique cada resposta.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · Exercise 170 · p. 186
    Show solution
    Continuidade: ∣f(x)−f(0)∣=∣xcos⁡(1/x)∣≤∣x∣→0|f(x) - f(0)| = |x \cos(1/x)| \leq |x| \to 0. Logo ff é contínua em 0. Derivabilidade: [f(h)−f(0)]/h=cos⁡(1/h)[f(h)-f(0)]/h = \cos(1/h), que oscila entre -1 e 1 quando h→0h \to 0 sem ter limite. Logo f′(0)f'(0) não existe — contínua mas não derivável.
  50. Ex. 50.50Understanding

    Como a definição de derivada f′(a)f'(a) é um caso especial de limite? Interprete geometricamente a passagem de secante para tangente.

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Preview Activity 1.3.1 · p. 27
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    A derivada é definida como limite: f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf'(a) = \lim_{h \to 0} [f(a+h)-f(a)]/h. Este é o limite da taxa de variação média (inclinação da secante) quando o incremento h→0h \to 0. O resultado é a inclinação da reta tangente em (a,f(a))(a, f(a)). Continuidade em aa é necessária mas não suficiente para derivabilidade.
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    1. A taxa de variação média entre aa e a+ha+h: [f(a+h)−f(a)]/h[f(a+h)-f(a)]/h. É a inclinação da reta que passa por (a,f(a))(a,f(a)) e (a+h,f(a+h))(a+h,f(a+h)).
    2. Quando h→0h \to 0: o segundo ponto se aproxima do primeiro. A secante vira tangente.
    3. f′(a)=lim⁡h→0[f(a+h)−f(a)]/hf'(a) = \lim_{h \to 0}[f(a+h)-f(a)]/h — a inclinação da tangente em aa.
    4. Insight: todo o Trim 6 é este limite aplicado a funções diferentes. Quem entende o Trim 5 já entende derivada.

Fontes

  • OpenStax Calculus Volume 1 — Strang & Herman · 2016 · Capítulo 2 (§2.1–§2.5): Limites, leis dos limites, continuidade, TVI, definição ε-δ. Licença CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária deste consolidado.
  • APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · Capítulo 1 (§1.1–§1.6): limites, técnicas de cálculo, assíntotas, limites trigonométricos. Licença CC-BY-NC 4.0.
  • Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.1–§1.7 (limites e taxas de variação) + §8.1 (sequências e convergência). Licença CC-BY-SA 4.0.
  • OpenStax Calculus Volume 2 — Strang & Herman · 2016 · §5.1: Sequências, convergência, Bolzano-Weierstrass, Cauchy. Licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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