Math ClubMath Club
v1 · padrão canônico

Lição 51 — Derivada: definição via limite

Derivada como limite da taxa de variação média. Reta tangente. Diferenciabilidade implica continuidade, mas não vice-versa. Cálculo pela definição para funções elementares.

Used in: 2.º ano do EM (16–17 anos) · Equiv. Math II japonês (微分) · Equiv. Klasse 11 alemã (Analysis)

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

A derivada de f no ponto a: limite da taxa de variação média quando o incremento hh encolhe a zero. Geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a))(a,\, f(a)). Fisicamente, é a taxa instantânea de variação de f em a.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e teoremas

Definição de derivada

"We say that a function ff is differentiable at x=ax = a whenever f′(a)f'(a) exists. […] The derivative measures the instantaneous rate of change of the function, as well as the slope of the tangent line to the function at the given point." — Boelkins, Active Calculus §1.3

"The derivative of a function f(x)f(x) at a point aa in its domain, if it exists, is f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.1

Notações equivalentes

f′(x)  =  dfdx  =  dydx  =  Df(x)  =  f˙(x)f'(x) \;=\; \frac{df}{dx} \;=\; \frac{dy}{dx} \;=\; Df(x) \;=\; \dot{f}(x)
what this means · Todas as notações abaixo representam o mesmo objeto — a derivada de f. Leibniz (dy/dx), Lagrange (f'), Newton (f com ponto) e o operador D são as mais usadas.

A expressão dfdx∣x=a\frac{df}{dx}\Big|_{x=a} denota a derivada avaliada no ponto aa.

Da secante à tangente — geometria do limite

xyy = f(x)(a, f(a))(a+h, f(a+h))secantetangente (h→0)hf(a+h)−f(a)

A reta secante (laranja) passa pelos pontos (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)). Conforme h → 0, a secante gira até coincidir com a reta tangente (dourada). A derivada é o coeficiente angular desse limite.

Reta tangente e reta normal

Sendo ff diferenciável em aa:

  • Reta tangente em (a,f(a))(a, f(a)): y−f(a)=f′(a)(x−a)\quad y - f(a) = f'(a)(x - a)
  • Reta normal em (a,f(a))(a, f(a)) (perpendicular à tangente, se f′(a)≠0f'(a) \neq 0): y−f(a)=−1f′(a)(x−a)\quad y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x - a)

Teorema fundamental de diferenciabilidade

"If ff is differentiable at aa, then ff is continuous at aa. […] The converse is not true, and a function can be continuous but fail to be differentiable at a point." — OpenStax Calculus Vol. 1, §3.2

Pontos de não-diferenciabilidade

Derivadas fundamentais via definição

Função f(x)f(x)f′(x)f'(x)
cc (constante)00
xx11
x2x^22x2x
x3x^33x23x^2
xnx^n (n∈Zn \in \mathbb{Z})nxn−1n x^{n-1}
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 10Modeling 7Challenge 2Proof 1
  1. Ex. 51.1Application

    Calcule f′(3)f'(3) para f(x)=x2f(x) = x^2 usando a definição de derivada. (Resp: 66.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Preview Activity 1.3.1
    Show solution
    Pela definição: f′(3)=lim⁡h→0(3+h)2−9h=lim⁡h→06h+h2h=lim⁡h→0(6+h)=6f'(3) = \lim_{h \to 0}\frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(6 + h) = 6. Resp: f′(3)=6f'(3) = 6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte o quociente incremental com a=3a = 3. Calcule f(3+h)=(3+h)2=9+6h+h2f(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2 e f(3)=9f(3) = 9. O quociente é 9+6h+h2−9h=6h+h2h\frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h}.
    2. Fatore e cancele hh. Numerador tem fator comum hh: h(6+h)h=6+h\frac{h(6+h)}{h} = 6 + h. O cancelamento é válido porque no processo limite h≠0h \neq 0.
    3. Tome o limite. lim⁡h→0(6+h)=6\lim_{h \to 0}(6 + h) = 6. Logo f′(3)=6f'(3) = 6.

    Macete: para f(x)=x2f(x) = x^2, a derivada é f′(x)=2xf'(x) = 2x — avalie diretamente em x=3x = 3 para conferir o resultado.

  2. Ex. 51.2Application

    Calcule f′(a)f'(a) para f(x)=x3f(x) = x^3 usando a definição. (Resp: 3a23a^2.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Activity 1.3.2
    Show solution
    Expanda (a+h)3=a3+3a2h+3ah2+h3(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3. O quociente incremental reduz-se a 3a2+3ah+h23a^2 + 3ah + h^2. No limite h→0h \to 0: f′(a)=3a2f'(a) = 3a^2.
  3. Ex. 51.3Application

    Calcule f′(a)f'(a) para f(x)=cf(x) = c (constante real) pela definição. (Resp: 00.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 1
    Show solution
    Para f(x)=cf(x) = c (constante), f(a+h)=cf(a+h) = c e f(a)=cf(a) = c. Logo o quociente c−ch=0\frac{c - c}{h} = 0 para todo h≠0h \neq 0. O limite é f′(a)=0f'(a) = 0.
  4. Ex. 51.4ApplicationAnswer key

    Calcule f′(a)f'(a) para f(x)=mx+bf(x) = mx + b (função afim) pela definição. (Resp: mm.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 3
    Show solution
    Para f(x)=mx+bf(x) = mx + b: f(a+h)=m(a+h)+b=ma+mh+bf(a+h) = m(a+h)+b = ma + mh + b. Quociente: ma+mh+b−ma−bh=mhh=m\frac{ma + mh + b - ma - b}{h} = \frac{mh}{h} = m. Limite: f′(a)=mf'(a) = m. A derivada de uma função afim é sua própria inclinação — constante.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule f(a+h)f(a+h). Substitua x=a+hx = a+h: m(a+h)+b=ma+mh+bm(a+h) + b = ma + mh + b.
    2. Monte o quociente. (ma+mh+b)−(ma+b)h=mhh=m\frac{(ma + mh + b) - (ma + b)}{h} = \frac{mh}{h} = m. O hh cancela exatamente.
    3. Limite. lim⁡h→0m=m\lim_{h \to 0} m = m. A derivada é a inclinação mm, constante em todo ponto.

    Curiosidade: este resultado confirma que a reta tangente a uma reta é ela mesma — a "aproximação linear" de uma função já linear é perfeita.

  5. Ex. 51.5Application

    Calcule f′(2)f'(2) para f(x)=2x2+3xf(x) = 2x^2 + 3x via definição. (Resp: 1111.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Exercise 1.3.3
    Show solution
    Para f(x)=2x2+3xf(x) = 2x^2 + 3x: f(2+h)=2(4+4h+h2)+6+3h=14+11h+2h2f(2+h) = 2(4 + 4h + h^2) + 6 + 3h = 14 + 11h + 2h^2. f(2)=14f(2) = 14. Quociente: 11h+2h2h=11+2h\frac{11h + 2h^2}{h} = 11 + 2h. Limite: f′(2)=11f'(2) = 11.
  6. Ex. 51.6Application

    Calcule f′(1)f'(1) para f(x)=2x2−5x+1f(x) = 2x^2 - 5x + 1 via definição. (Resp: −1-1.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 5
    Show solution
    Para f(x)=2x2−5x+1f(x) = 2x^2 - 5x + 1: f(1+h)=2(1+h)2−5(1+h)+1=−2−h+2h2f(1+h) = 2(1+h)^2 - 5(1+h) + 1 = -2 - h + 2h^2. f(1)=−2f(1) = -2. Quociente: −h+2h2h=−1+2h\frac{-h + 2h^2}{h} = -1 + 2h. Limite: f′(1)=−1f'(1) = -1. Sinal negativo: ff está decrescendo em x=1x = 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule f(1+h)f(1+h). Substitua x=1+hx = 1+h: 2(1+h)2−5(1+h)+12(1+h)^2 - 5(1+h) + 1. Expanda (1+h)2=1+2h+h2(1+h)^2 = 1 + 2h + h^2. Logo f(1+h)=2+4h+2h2−5−5h+1=−2−h+2h2f(1+h) = 2 + 4h + 2h^2 - 5 - 5h + 1 = -2 - h + 2h^2.
    2. Monte o quociente. f(1)=2(1)−5(1)+1=−2f(1) = 2(1) - 5(1) + 1 = -2. Quociente: (−2−h+2h2)−(−2)h=−h+2h2h=−1+2h\frac{(-2 - h + 2h^2) - (-2)}{h} = \frac{-h + 2h^2}{h} = -1 + 2h.
    3. Limite. lim⁡h→0(−1+2h)=−1\lim_{h \to 0}(-1 + 2h) = -1. Derivada negativa: a função decresce em x=1x = 1.

    Macete: antes de usar a definição para polinômios, expanda f(a+h)f(a+h) completamente e organize por potências de hh — os termos sem hh sempre cancelam com f(a)f(a).

  7. Ex. 51.7Application

    Calcule a função derivada f′(x)f'(x) para f(x)=2x2−x+3f(x) = 2x^2 - x + 3 via definição. (Resp: 4x−14x - 1.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.2 · ex. 63
    Show solution
    Para f(x)=2x2−x+3f(x) = 2x^2 - x + 3: quociente incremental 2(x+h)2−(x+h)+3−(2x2−x+3)h=4xh+2h2−hh=4x+2h−1\frac{2(x+h)^2 - (x+h) + 3 - (2x^2 - x + 3)}{h} = \frac{4xh + 2h^2 - h}{h} = 4x + 2h - 1. Limite: f′(x)=4x−1f'(x) = 4x - 1.
  8. Ex. 51.8Application

    Use a definição para calcular f′(a)f'(a) sendo f(x)=x4f(x) = x^4. (Resp: 4a34a^3.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Activity 1.3.3
    Show solution
    Expanda (a+h)4=a4+4a3h+6a2h2+4ah3+h4(a+h)^4 = a^4 + 4a^3h + 6a^2h^2 + 4ah^3 + h^4. O quociente incremental é 4a3+6a2h+4ah2+h34a^3 + 6a^2h + 4ah^2 + h^3. No limite: f′(a)=4a3f'(a) = 4a^3. Confirma o padrão (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1} para n=4n=4.
  9. Ex. 51.9ApplicationAnswer key

    Calcule f′(0)f'(0) para f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x via definição. (Resp: −1-1.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 9
    Show solution
    Para f(x)=x2−xf(x) = x^2 - x: f(h)=h2−hf(h) = h^2 - h, f(0)=0f(0) = 0. Quociente: h2−hh=h−1\frac{h^2 - h}{h} = h - 1. Limite: f′(0)=−1f'(0) = -1. O sinal negativo indica que a função está decrescendo em x=0x = 0.
  10. Ex. 51.10ApplicationAnswer key

    Calcule f′(a)f'(a) para f(x)=2x3−2xf(x) = 2x^3 - 2x via definição. (Resp: 6a2−26a^2 - 2.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.2 · ex. 65
    Show solution
    Expanda f(a+h)=2(a+h)3−2(a+h)=2(a3+3a2h+3ah2+h3)−2a−2hf(a+h) = 2(a+h)^3 - 2(a+h) = 2(a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3) - 2a - 2h. Subtraindo f(a)=2a3−2af(a) = 2a^3 - 2a e dividindo por hh: 6a2+6ah+2h2−26a^2 + 6ah + 2h^2 - 2. Limite: f′(a)=6a2−2f'(a) = 6a^2 - 2.
  11. Ex. 51.11Application

    Calcule f′(2)f'(2) para f(x)=1/xf(x) = 1/x via definição. (Resp: −1/4-1/4.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 7
    Show solution
    Para f(x)=1/xf(x) = 1/x: f′(a)=−1/a2f'(a) = -1/a^2 (calculado no Exemplo 2). Em a=2a = 2: f′(2)=−1/4f'(2) = -1/4. Sinal negativo: a hipérbole é decrescente para x>0x > 0.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Quociente incremental. 1/(2+h)−1/2h\frac{1/(2+h) - 1/2}{h}. Combine as frações: numerador = 2−(2+h)2(2+h)=−h2(2+h)\frac{2 - (2+h)}{2(2+h)} = \frac{-h}{2(2+h)}.
    2. Divida por hh. −hh⋅2(2+h)=−12(2+h)\frac{-h}{h \cdot 2(2+h)} = \frac{-1}{2(2+h)}.
    3. Limite. lim⁡h→0−12(2+h)=−12⋅2=−14\lim_{h \to 0} \frac{-1}{2(2+h)} = \frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}.

    Macete: para f(x)=1/xf(x) = 1/x, use sempre MDC a(a+h)a(a+h) para combinar as frações do numerador — a manipulação é sempre a mesma.

  12. Ex. 51.12ApplicationAnswer key

    Calcule f′(4)f'(4) para f(x)=xf(x) = \sqrt{x} via definição. (Resp: 1/41/4.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Activity 1.3.4
    Show solution
    Para f(x)=xf(x) = \sqrt{x}: multiplique numerador e denominador por (a+h+a)(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}). O quociente torna-se 1/(a+h+a)1/(\sqrt{a+h}+\sqrt{a}). Limite: f′(a)=1/(2a)f'(a) = 1/(2\sqrt{a}). Em a=4a=4: f′(4)=1/(2⋅2)=1/4f'(4) = 1/(2 \cdot 2) = 1/4.
  13. Ex. 51.13ApplicationAnswer key

    Calcule f′(1)f'(1) para f(x)=1/xf(x) = 1/x via definição e escreva a equação da reta tangente em x=1x = 1. (Resp: f′(1)=−1f'(1) = -1; tangente y=−x+2y = -x + 2.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 17
    Show solution
    Para f(x)=1/xf(x) = 1/x, f′(a)=−1/a2f'(a) = -1/a^2. Em a=1a = 1: f′(1)=−1f'(1) = -1. A reta tangente passa por (1,1)(1, 1) com inclinação −1-1: y=−x+2y = -x + 2.
  14. Ex. 51.14Application

    Determine a equação da reta tangente a y=x2y = x^2 no ponto x=2x = 2.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 19
    Show solution
    Derivada de f(x)=x2f(x) = x^2 é f′(x)=2xf'(x) = 2x. Em x=2x = 2: f′(2)=4f'(2) = 4 e f(2)=4f(2) = 4. Reta tangente: y−4=4(x−2)⇒y=4x−4y - 4 = 4(x - 2) \Rightarrow y = 4x - 4.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule f(2)f(2). f(2)=4f(2) = 4. Ponto de tangência: (2,4)(2, 4).
    2. Calcule f′(2)f'(2). Via definição ou resultado do Exemplo 1: f′(x)=2xf'(x) = 2x, então f′(2)=4f'(2) = 4. Este é o coeficiente angular da tangente.
    3. Equação ponto-inclinação. y−4=4(x−2)y - 4 = 4(x - 2). Simplifique: y=4x−8+4=4x−4y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4.
    4. Verificação. Em x=2x = 2: y=4(2)−4=4=f(2)y = 4(2) - 4 = 4 = f(2). Correto.

    Macete: a equação da reta tangente sempre tem a forma y=f′(a)(x−a)+f(a)y = f'(a)(x - a) + f(a) — memorize esse molde e não precisará rederivá-lo.

  15. Ex. 51.15ApplicationAnswer key

    Determine a equação da reta tangente a y=1/xy = 1/x no ponto x=1x = 1.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 21
    Show solution
    f(x)=1/xf(x) = 1/x, f(1)=1f(1) = 1, f′(1)=−1f'(1) = -1. Reta tangente: y−1=−1(x−1)⇒y=−x+2y - 1 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x + 2.
  16. Ex. 51.16Application

    Para f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x, em qual valor de xx a reta tangente é horizontal? Determine também o ponto do gráfico. (Resp: x=2x = 2; ponto (2,−4)(2, -4).)

    Solve onlineActive Calculus · §1.4 · Preview Activity 1.4.1
    Show solution
    A derivada de f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x é f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4 (pela definição). Tangente horizontal quando f′(x)=0f'(x) = 0: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2. O ponto é (2,f(2))=(2,−4)(2, f(2)) = (2, -4).
  17. Ex. 51.17Application

    Calcule f′(9)f'(9) para f(x)=xf(x) = \sqrt{x} via definição. (Resp: 1/61/6.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 11
    Show solution
    Para f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, f′(a)=1/(2a)f'(a) = 1/(2\sqrt{a}). Em a=9a = 9: f′(9)=1/(29)=1/(2⋅3)=1/6f'(9) = 1/(2\sqrt{9}) = 1/(2 \cdot 3) = 1/6.
  18. Ex. 51.18Application

    Calcule f′(a)f'(a) para f(x)=1/x2f(x) = 1/x^2 via definição. (Resp: −2/a3-2/a^3.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.2 · ex. 73
    Show solution
    Para f(x)=1/x2f(x) = 1/x^2: quociente incremental 1/(a+h)2−1/a2h=a2−(a+h)2h⋅a2(a+h)2=−2ah−h2h⋅a2(a+h)2=−2a−ha2(a+h)2\frac{1/(a+h)^2 - 1/a^2}{h} = \frac{a^2 - (a+h)^2}{h \cdot a^2(a+h)^2} = \frac{-2ah - h^2}{h \cdot a^2(a+h)^2} = \frac{-2a - h}{a^2(a+h)^2}. Limite: f′(a)=−2a/a4=−2/a3f'(a) = -2a/a^4 = -2/a^3.
  19. Ex. 51.19Application

    Equação da reta tangente a y=x3y = x^3 em x=2x = 2.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineAPEX Calculus · §2.1 · ex. 2.1.3
    Show solution
    Do Exemplo 3: f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2. Em x=2x = 2: f′(2)=12f'(2) = 12 e f(2)=8f(2) = 8. Tangente: y−8=12(x−2)⇒y=12x−16y - 8 = 12(x - 2) \Rightarrow y = 12x - 16.
  20. Ex. 51.20ApplicationAnswer key

    Determine a equação da reta normal a y=x2y = x^2 no ponto x=1x = 1. (Resp: y=−12x+32y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 25
    Show solution
    Para f(x)=x2f(x) = x^2: f′(x)=2xf'(x) = 2x, logo f′(1)=2f'(1) = 2. A reta tangente em x=1x=1 tem inclinação 22. A reta normal é perpendicular, inclinação −1/f′(1)=−1/2-1/f'(1) = -1/2. Ponto: (1,1)(1, 1). Equação: y−1=−12(x−1)⇒y=−12x+32y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}.
  21. Ex. 51.21Understanding

    A função f(x)=∣x∣f(x) = |x| é diferenciável em x=0x = 0? Justifique calculando as derivadas laterais.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · Activity 1.7.3
    Show solution
    Derivada lateral direita: lim⁡h→0+∣h∣/h=1\lim_{h \to 0^+} |h|/h = 1. Derivada lateral esquerda: lim⁡h→0−∣h∣/h=−1\lim_{h \to 0^-} |h|/h = -1. Como f+′(0)≠f−′(0)f'_+(0) \neq f'_-(0), a derivada não existe em 00. Note que ff é contínua em 00 — este é o exemplo canônico de continuidade sem diferenciabilidade.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Verifique continuidade. lim⁡x→0∣x∣=0=∣0∣\lim_{x \to 0}|x| = 0 = |0|. Contínua — mas a continuidade não garante diferenciabilidade.
    2. Derivada lateral direita (h>0h > 0). lim⁡h→0+∣0+h∣−∣0∣h=lim⁡h→0+hh=1\lim_{h \to 0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h} = \lim_{h \to 0^+}\frac{h}{h} = 1.
    3. Derivada lateral esquerda (h<0h < 0). Para h<0h < 0, ∣h∣=−h|h| = -h. Logo lim⁡h→0−−hh=−1\lim_{h \to 0^-}\frac{-h}{h} = -1.
    4. Conclusão. 1≠−11 \neq -1: derivadas laterais divergem. Não diferenciável em 00. O gráfico tem bico (canto) em (0,0)(0,0).

    Macete: sempre que a função for definida por partes ou envolver módulo, calcule as derivadas laterais separadamente — não assuma que existência do limite implica igualdade dos dois lados.

  22. Ex. 51.22Understanding

    A função f(x)=x∣x∣f(x) = x|x| é diferenciável em x=0x = 0? (Resp: sim, f′(0)=0f'(0) = 0.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.4
    Show solution
    Para f(x)=x∣x∣f(x) = x|x|: lateral direita lim⁡h→0+h∣h∣/h=lim⁡h→0+∣h∣=0\lim_{h \to 0^+}h|h|/h = \lim_{h \to 0^+}|h| = 0. Lateral esquerda: lim⁡h→0−h∣h∣/h=lim⁡h→0−∣h∣=0\lim_{h \to 0^-}h|h|/h = \lim_{h \to 0^-}|h| = 0. Ambas valem 00: diferenciável com f′(0)=0f'(0) = 0. Contraste com ∣x∣|x|: o fator extra xx suaviza o bico.
  23. Ex. 51.23Understanding

    Analise f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x} em x=0x = 0. O limite do quociente incremental existe? (Resp: +∞+\infty — tangente vertical.)

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.2 · ex. 84
    Show solution
    Quociente: h3−0h=h1/3/h=h−2/3=1/h2/3\frac{\sqrt[3]{h} - 0}{h} = h^{1/3}/h = h^{-2/3} = 1/h^{2/3}. Quando h→0h \to 0, 1/h2/3→+∞1/h^{2/3} \to +\infty. A derivada é +∞+\infty: tangente vertical em x=0x=0. Não diferenciável no sentido clássico (derivada deve ser finita).
  24. Ex. 51.24UnderstandingAnswer key

    Seja f(x)={x2x≤13x−2x>1f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 3x - 2 & x > 1 \end{cases}. É ff diferenciável em x=1x = 1? Calcule as derivadas laterais. (Resp: não diferenciável; f−′(1)=2≠3=f+′(1)f'_-(1) = 2 \neq 3 = f'_+(1).)

    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · Activity 1.7.2
    Show solution
    Lateral esquerda (h<0h < 0, ramo x≤1x \leq 1): lim⁡h→0−(1+h)2−1h=lim⁡h→0−(2+h)=2\lim_{h \to 0^-}\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-}(2 + h) = 2. Lateral direita (h>0h > 0, ramo x>1x > 1): lim⁡h→0+3(1+h)−3h=3\lim_{h \to 0^+}\frac{3(1+h) - 3}{h} = 3. Como 2≠32 \neq 3: bico em x=1x = 1, não diferenciável.
  25. Ex. 51.25Understanding

    Seja f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^2\sin(1/x) para x≠0x \neq 0 e f(0)=0f(0) = 0. Mostre que f′(0)=0f'(0) = 0. (Resp: use o teorema do confronto — ∣hsin⁡(1/h)∣≤∣h∣→0|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.5
    Show solution
    Para f(x)=x2sin⁡(1/x)f(x) = x^2 \sin(1/x), f(0)=0f(0) = 0: quociente incremental em h≠0h \neq 0 é h2sin⁡(1/h)/h=hsin⁡(1/h)h^2\sin(1/h)/h = h\sin(1/h). Como ∣hsin⁡(1/h)∣≤∣h∣→0|h\sin(1/h)| \leq |h| \to 0 pelo teorema do confronto, o limite é 00. Logo f′(0)=0f'(0) = 0.
  26. Ex. 51.26Understanding

    Seja f(x)=xsin⁡(1/x)f(x) = x\sin(1/x) para x≠0x \neq 0 e f(0)=0f(0) = 0. A função é diferenciável em x=0x = 0?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.6
    Show solution
    O quociente incremental é hsin⁡(1/h)/h=sin⁡(1/h)h\sin(1/h)/h = \sin(1/h). Quando h→0h \to 0, sin⁡(1/h)\sin(1/h) oscila entre −1-1 e 11 indefinidamente — o limite não existe. Logo ff não é diferenciável em 00. Contraste com x2sin⁡(1/x)x^2\sin(1/x): o fator x2x^2 "amortece" a oscilação.
  27. Ex. 51.27Understanding

    Seja f(x)={x2x≥0−x2x<0f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}. Calcule f′(0)f'(0) pelas derivadas laterais. (Resp: f′(0)=0f'(0) = 0.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.2 · ex. 81
    Show solution
    Lateral direita (h>0h > 0): quociente (h2−0)/h=h→0(h^2 - 0)/h = h \to 0. Lateral esquerda (h<0h < 0): quociente (−h2−0)/h=−h→0(-h^2 - 0)/h = -h \to 0. Ambas valem 00: f′(0)=0f'(0) = 0. Geometricamente, os dois ramos se unem com tangente horizontal na origem.
  28. Ex. 51.28Understanding

    Interprete geometricamente: o que significa f′(a)>0f'(a) > 0, f′(a)<0f'(a) < 0 e f′(a)=0f'(a) = 0?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.4 · Preview Activity 1.4.2
    Show solution
    Geometricamente: f′(a)>0f'(a) > 0 significa tangente com inclinação positiva — função crescente em aa. f′(a)<0f'(a) < 0: inclinação negativa — decrescente. f′(a)=0f'(a) = 0: tangente horizontal — ponto potencialmente máximo, mínimo ou inflexão (ponto estacionário). O valor f(a)f(a) não tem relação direta com o sinal de f′(a)f'(a).
  29. Ex. 51.29Understanding

    Qual é a relação correta entre diferenciabilidade e continuidade?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.1
    Show solution
    O teorema prova a implicação ⇒\Rightarrow: diferenciável ⇒\Rightarrow contínua. O contraexemplo canônico para a recíproca falsa é f(x)=∣x∣f(x) = |x|: contínua em 00 mas não diferenciável. A diferenciabilidade é condição mais forte que a continuidade.
  30. Ex. 51.30Understanding

    Explique, com um exemplo numérico, por que a diferença central f(a+h)−f(a−h)2h\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} é mais precisa numericamente que a diferença forward f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Exercise 1.3.5
    Show solution
    A diferença forward (f(a+h)−f(a))/h(f(a+h)-f(a))/h tem erro de truncamento O(h)O(h). A diferença central (f(a+h)−f(a−h))/(2h)(f(a+h)-f(a-h))/(2h) cancela o termo de primeira ordem por simetria, resultando em erro O(h2)O(h^2). Para h=0,01h = 0{,}01: erro forward ∼0,01\sim 0{,}01, erro central ∼0,0001\sim 0{,}0001 — 100 vezes melhor. Verifique com f(x)=x2f(x) = x^2 em a=1a = 1: diferença central dá (1+h)2−(1−h)2=4h(1+h)^2-(1-h)^2 = 4h, que dividido por 2h2h resulta exatamente 22 — sem erro.
  31. Ex. 51.31ModelingAnswer key

    Um objeto se move com posição s(t)=2t2s(t) = 2t^2 metros. Qual é sua velocidade instantânea em t=2t = 2 s?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Activity 1.1.2
    Show solution
    Posição s(t)=2t2s(t) = 2t^2. Pela definição: s′(t)=4ts'(t) = 4t. Em t=2t = 2: s′(2)=8s'(2) = 8 m/s. Verificação numérica: s(2,01)−s(2)=2(2,01)2−8=8,0802−8=0,0802s(2{,}01) - s(2) = 2(2{,}01)^2 - 8 = 8{,}0802 - 8 = 0{,}0802. Velocidade média no intervalo: 0,0802/0,01=8,020{,}0802/0{,}01 = 8{,}02 m/s — converge para 8.
  32. Ex. 51.32Modeling

    Posição s(t)=t2+5ts(t) = t^2 + 5t metros. Calcule a velocidade instantânea em t=3t = 3 s pela definição de derivada. (Resp: 1111 m/s.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.1 · Activity 1.1.3
    Show solution
    Posição s(t)=t2+5ts(t) = t^2 + 5t. Derivada via definição: s′(t)=lim⁡h→0(t+h)2+5(t+h)−t2−5th=lim⁡h→02th+h2+5hh=2t+5s'(t) = \lim_{h\to 0}\frac{(t+h)^2+5(t+h)-t^2-5t}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{2th+h^2+5h}{h} = 2t + 5. Em t=3t = 3: s′(3)=2(3)+5=11s'(3) = 2(3) + 5 = 11 m/s.
  33. Ex. 51.33Modeling

    Custo C(q)=q2+30q+500C(q) = q^2 + 30q + 500 reais. Qual o custo marginal em q=50q = 50 unidades?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 33
    Show solution
    Do Exemplo 5: C′(q)=2q+30C'(q) = 2q + 30. Em q=50q = 50: C′(50)=100+30=130C'(50) = 100 + 30 = 130 reais. Cada unidade adicional além das 50 custa aproximadamente R\$ 130.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique C(q)=q2+30q+500C(q) = q^2 + 30q + 500. Custo total em reais para qq unidades. Custo marginal = derivada = taxa de variação instantânea do custo.
    2. Calcule C′(q)C'(q) via definição. Quociente: (q+h)2+30(q+h)+500−q2−30q−500h=2q+h+30\frac{(q+h)^2+30(q+h)+500 - q^2-30q-500}{h} = 2q + h + 30. Limite: C′(q)=2q+30C'(q) = 2q + 30.
    3. Avalie em q=50q = 50. C′(50)=100+30=130C'(50) = 100 + 30 = 130 reais por unidade.
    4. Verificação. C(51)−C(50)=(2601+1530+500)−(2500+1500+500)=131C(51) - C(50) = (2601+1530+500)-(2500+1500+500) = 131 reais. O custo marginal (130) subestima em R\$ 1 — diferença de segunda ordem esperada.

    Curiosidade: a diferença entre custo marginal (R\$ 130) e incremento real (R\$ 131) é exatamente h2=12=1h^2 = 1^2 = 1 — confirma a teoria de aproximação linear.

  34. Ex. 51.34Modeling

    População P(t)=100+5t2P(t) = 100 + 5t^2 indivíduos. Calcule a taxa de crescimento em t=4t = 4 anos pela definição de derivada. (Resp: 4040 indivíduos/ano.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 35
    Show solution
    Para P(t)=100+5t2P(t) = 100 + 5t^2: P′(t)=10tP'(t) = 10t (via definição). Em t=4t = 4: P′(4)=40P'(4) = 40 indivíduos/ano. A população cresce a uma taxa de 40 indivíduos por ano no instante t=4t=4.
  35. Ex. 51.35Modeling

    Em machine learning, a função de perda é L(θ)=(θ−3)2L(\theta) = (\theta - 3)^2. Calcule L′(θ)L'(\theta) via definição e encontre o θ\theta que minimiza LL. (Resp: L′(θ)=2θ−6L'(\theta) = 2\theta - 6; mínimo em θ=3\theta = 3.)

    Solve onlineActive Calculus · §1.3 · Exercise 1.3.6
    Show solution
    Para L(θ)=(θ−3)2L(\theta) = (\theta-3)^2: quociente incremental (θ+h−3)2−(θ−3)2h=2(θ−3)+h\frac{(\theta+h-3)^2 - (\theta-3)^2}{h} = 2(\theta-3) + h. Limite: L′(θ)=2(θ−3)=2θ−6L'(\theta) = 2(\theta-3) = 2\theta - 6. Mínimo em L′(θ)=0⇒θ=3L'(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = 3 — o parâmetro ótimo é o verdadeiro valor.
  36. Ex. 51.36Modeling

    Carga elétrica q(t)=t2+2tq(t) = t^2 + 2t coulombs. A corrente i(t)=q′(t)i(t) = q'(t). Calcule i(2)i(2).

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 37
    Show solution
    Carga q(t)=t2+2tq(t) = t^2 + 2t coulombs. Corrente i(t)=q′(t)=2t+2i(t) = q'(t) = 2t + 2. Em t=2t = 2: i(2)=4+2=6i(2) = 4 + 2 = 6 A. Derivação: quociente (t+h)2+2(t+h)−t2−2th=2t+h+2\frac{(t+h)^2+2(t+h)-t^2-2t}{h} = 2t + h + 2, limite 2t+22t+2.
  37. Ex. 51.37Modeling

    Volume de uma esfera V(r)=43πr3V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3. Calcule a taxa de variação do volume em relação ao raio em r=2r = 2 cm. (Resp: 16π16\pi cm³/cm. Bônus: relacione o resultado com a área da superfície.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 39
    Show solution
    Volume da esfera: V(r)=43πr3V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3. Quociente incremental: 43π(r+h)3−43πr3h=43π(3r2+3rh+h2)=4πr2+4πrh+43πh2\frac{\frac{4}{3}\pi(r+h)^3 - \frac{4}{3}\pi r^3}{h} = \frac{4}{3}\pi(3r^2 + 3rh + h^2) = 4\pi r^2 + 4\pi rh + \frac{4}{3}\pi h^2. Limite: V′(r)=4πr2V'(r) = 4\pi r^2. Em r=2r = 2: V′(2)=16πV'(2) = 16\pi cm³/cm. Note que V′(r)=4πr2=S(r)V'(r) = 4\pi r^2 = S(r), a área da superfície — resultado elegante: a taxa de variação do volume em relação ao raio é a área da superfície.
  38. Ex. 51.38Challenge

    Determine kk tal que f(x)=x2+kxf(x) = x^2 + kx tenha reta tangente horizontal no ponto x=−3/2x = -3/2. (Resp: k=3k = 3.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 1 · §3.1 · ex. 43
    Show solution
    A derivada de f(x)=x2+kxf(x) = x^2 + kx é f′(x)=2x+kf'(x) = 2x + k. Para tangente horizontal em x=−3/2x = -3/2: f′(−3/2)=0⇒2(−3/2)+k=0⇒−3+k=0⇒k=3f'(-3/2) = 0 \Rightarrow 2(-3/2) + k = 0 \Rightarrow -3 + k = 0 \Rightarrow k = 3.
  39. Ex. 51.39ChallengeAnswer key

    Prove que se ff é uma função par e diferenciável em x=0x = 0, então f′(0)=0f'(0) = 0. (Dica: use a definição das derivadas laterais e a propriedade f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).)

    Active Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.8
    Show solution
    Se ff é par, f(−x)=f(x)f(-x) = f(x). Derivada lateral esquerda: f−′(0)=lim⁡h→0−f(h)−f(0)hf'_-(0) = \lim_{h \to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}. Substitua h=−th = -t com t→0+t \to 0^+: =lim⁡t→0+f(−t)−f(0)−t=lim⁡t→0+f(t)−f(0)−t=−f+′(0)= \lim_{t\to 0^+}\frac{f(-t)-f(0)}{-t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)-f(0)}{-t} = -f'_+(0). Para ff diferenciável em 00: f−′(0)=f+′(0)f'_-(0) = f'_+(0), logo f+′(0)=−f+′(0)⇒2f+′(0)=0⇒f′(0)=0f'_+(0) = -f'_+(0) \Rightarrow 2f'_+(0) = 0 \Rightarrow f'(0) = 0.
  40. Ex. 51.40Proof

    Seja h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x), com ff e gg diferenciáveis em aa. Use a definição de derivada para demonstrar que h′(a)=f′(a)+g′(a)h'(a) = f'(a) + g'(a) (regra da soma).

    Solve onlineActive Calculus · §2.1 · Activity 2.1.1
    Show solution
    Para h(x)=f(x)+g(x)h(x) = f(x) + g(x): h(a+t)−h(a)t=f(a+t)−f(a)t+g(a+t)−g(a)t\frac{h(a+t)-h(a)}{t} = \frac{f(a+t)-f(a)}{t} + \frac{g(a+t)-g(a)}{t}. Como ambos os limites existem (por hipótese, ff e gg são diferenciáveis em aa), o limite da soma é a soma dos limites: h′(a)=f′(a)+g′(a)h'(a) = f'(a) + g'(a). Esta é a demonstração da regra da soma a partir da definição.

Fontes

  • Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-SA 4.0. Capítulos §1.1 (velocidade instantânea), §1.3 (derivada num ponto), §1.4 (derivada como função), §1.7 (limites, continuidade e diferenciabilidade). Fonte primária. Atividades guiadas sobre secante→tangente, interpretação gráfica e os bicos do módulo.
  • Calculus, Volume 1 — OpenStax · Herman, Strang et al. · CC-BY-NC-SA 4.0. Capítulos §3.1 (Defining the Derivative), §3.2 (The Derivative as a Function). Exercícios extensivos com cálculo pela definição e aplicações em física, economia e biologia.
  • APEX Calculus — Hartman et al. · 5.ª ed. · CC-BY-NC 4.0. Capítulo §2.1 (Instantaneous Rates of Change). Tratamento formal com exemplos de reta tangente e normal, tabela de derivadas fundamentais via definição.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

Found an error? Open an issue on GitHub or submit a PR — open source forever.