v1 · padrão canônico

Lição 54 — Derivada implícita

Derivar y definido implicitamente por equação F(x, y) = 0. Regra da cadeia, tangente a curvas implícitas, segunda derivada implícita.

Used in: Equiv. Math III japonês (implícita + funções inversas) · Equiv. Klasse 11 LK alemão · H2 Math singapurense (derivadas de curvas)

\frac{d}{dx}\bigl[F(x,y)\bigr] = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}

A derivada implícita de $F(x, y) = 0$ : diferencia ambos os lados em relação a $x$ , trate $y$ como função de $x$ (regra da cadeia), e isole $dy/dx$ . A fórmula $-F_x/F_y$ vale onde $F_y \neq 0$ .

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e Teorema da Função Implícita

Motivação

Uma curva plana pode ser dada por $F(x, y) = 0$ sem que seja possível, ou conveniente, isolar $y$ explicitamente. O círculo $x^2 + y^2 = r^2$ e o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3axy$ são exemplos canônicos. A derivada implícita contorna o obstáculo.

Receita formal

Seja $F(x, y) = 0$ uma equação que define $y$ como função de $x$ numa vizinhança de um ponto $(a, b)$ .

Exemplo canônico: círculo

$x^2 + y^2 = r^2$

Derivando: $2x + 2y\,y' = 0$ , donde $y' = -\dfrac{x}{y}$ (válido para $y \neq 0$ ).

Tabela de curvas clássicas

Curva	Equação $F(x,y)=0$	$dy/dx$
Círculo	$x^2 + y^2 - r^2 = 0$	$-x/y$
Elipse	$x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 = 0$	$-(b^2 x)/(a^2 y)$
Hipérbole	$x^2/a^2 - y^2/b^2 - 1 = 0$	$(b^2 x)/(a^2 y)$
Folium de Descartes	$x^3 + y^3 - 3axy = 0$	$(ay - x^2)/(y^2 - ax)$

"Se a equação que une $x$ e $y$ não pode ser resolvida para $y$ de forma explícita, ainda podemos encontrar $y'$ diferenciando a equação implicitamente." — OpenStax Calculus Volume 1, §3.8

Teorema da função implícita (versão 1D)

Quando falha. Se $F_y(a, b) = 0$ , a curva pode ter tangente vertical naquele ponto, ou pode não definir localmente uma função. Exemplo: círculo nos pontos $(\pm r, 0)$ — $F_y = 2y = 0$ ali.

Segunda derivada implícita

Aplica-se $\tfrac{d}{dx}$ novamente a $y' = -F_x/F_y$ , usando a regra do quociente e lembrando que $y$ depende de $x$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Derivada implícita de um círculo (fundamento)

Problema. Encontre $dy/dx$ para o círculo $x^2 + y^2 = 25$ .

Estratégia. Este é o exemplo-padrão de derivação implícita. Diferenciar diretamente em relação a $x$ , lembrando que $y$ é função de $x$ .

Resolução.

Diferencie ambos os lados em relação a $x$ :

$\frac{d}{dx}\bigl[x^2 + y^2\bigr] = \frac{d}{dx}[25]$

Aplique a regra da cadeia em $y^2$ :

$2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0$

Isole $dy/dx$ :

$2y\,\frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Verificação no ponto $(3, 4)$ : O ponto está na curva ( $9 + 16 = 25$ ). A inclinação é $dy/dx = -3/4$ . A reta tangente é $y - 4 = -\tfrac{3}{4}(x - 3)$ , ou $3x + 4y = 25$ . Geometricamente: o raio até $(3,4)$ tem inclinação $4/3$ , e $(-3/4)(4/3) = -1$ , confirmando que tangente e raio são perpendiculares.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.8, exemplo 3.68, p. 318 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Derivada implícita da elipse — tangente em ponto específico

Problema. Para a elipse $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ , encontre $dy/dx$ e a equação da reta tangente em $\left(2, \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ .

Estratégia. Aplicar derivação implícita, depois avaliar no ponto dado.

Resolução.

Diferenciando:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9}\right] = 0 \implies \frac{2x}{16} + \frac{2y}{9}\,y' = 0$

Simplificando:

$\frac{x}{8} + \frac{2y}{9}\,y' = 0 \implies y' = -\frac{9x}{16y}$

No ponto $\left(2, \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ :

$y' = -\frac{9 \cdot 2}{16 \cdot \tfrac{3\sqrt{3}}{2}} = -\frac{18}{24\sqrt{3}} = -\frac{3}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$

Equação da tangente:

$y - \frac{3\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}\left(x - 2\right) \implies y = -\frac{\sqrt{3}}{4}\,x + 2\sqrt{3}$

Verificação: Substituindo $x = 2$ : $y = -\sqrt{3}/2 + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}/2$ . Correto.

Fonte. Active Calculus 2.0 §2.7, Preview Activity 2.7.1, p. 154 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 3· Folium de Descartes — derivada implícita com regra do produto

Problema. Encontre $dy/dx$ para o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$ .

Estratégia. O lado direito $3xy$ exige regra do produto ao derivar. Depois, agrupar e isolar $y'$ .

Resolução.

Diferenciando ambos os lados em relação a $x$ :

$3x^2 + 3y^2\,y' = 3\,(y + x\,y')$

(No lado direito: $\dfrac{d}{dx}[3xy] = 3\left[(1)\cdot y + x \cdot y'\right] = 3y + 3x\,y'$ .)

Expanda e agrupe termos com $y'$ :

$3x^2 + 3y^2\,y' = 3y + 3x\,y'$

$3y^2\,y' - 3x\,y' = 3y - 3x^2$

$y'(3y^2 - 3x) = 3(y - x^2)$

Isole $y'$ :

$y' = \frac{3(y - x^2)}{3(y^2 - x)} = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

Verificação: No ponto $\left(\tfrac{3}{2}, \tfrac{3}{2}\right)$ (que pertence ao Folium com $a=1$ ):

$y' = \frac{3/2 - 9/4}{9/4 - 3/2} = \frac{-3/4}{3/4} = -1$

A tangente tem inclinação $-1$ , o que faz sentido pela simetria da curva em relação à bissetriz $y = x$ naquele ponto.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1 §3.8, exercício 175, p. 325 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Segunda derivada implicitamente

Problema. Para $x^2 + y^2 = r^2$ , encontre $d^2y/dx^2$ em termos de $x$ , $y$ e $r$ .

Estratégia. Já sabemos $y' = -x/y$ . Derivar mais uma vez em relação a $x$ , aplicando a regra do quociente e substituindo $y'$ na expressão resultante.

Resolução.

Parta de $y' = -\dfrac{x}{y}$ .
Aplique $\dfrac{d}{dx}$ usando a regra do quociente:

$y'' = -\frac{(x)'\,y - x\,(y)'}{y^2} = -\frac{y - x\,y'}{y^2}$

Substitua $y' = -x/y$ :

$y'' = -\frac{y - x \cdot (-x/y)}{y^2} = -\frac{y + x^2/y}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$

Use $x^2 + y^2 = r^2$ :

$y'' = -\frac{r^2}{y^3}$

Interpretação. Para $y > 0$ (parte superior do círculo), $y'' = -r^2/y^3 < 0$ — a curva é côncava para baixo, o que é geometricamente correto para o semicírculo superior.

Fonte. Active Calculus 2.0 §2.7, Activity 2.7.3, p. 158 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 5· Derivada logarítmica e curva implícita trigonométrica

Problema (duas partes). (a) Use derivada logarítmica para encontrar $y'$ se $y = x^{\sin x}$ (com $x > 0$ ). (b) Encontre $dy/dx$ para $\sin(xy) = x - y$ . Avalie em $(0, 0)$ .

Estratégia. (a) Logaritmizar antes de derivar elimina o expoente variável. (b) Derivação implícita com regra da cadeia em $\sin(xy)$ exigindo regra do produto no argumento.

Resolução — parte (a).

Tome $\ln$ de ambos os lados: $\ln y = \sin x \cdot \ln x$ .
Derive em relação a $x$ :

$\frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

Multiplique por $y = x^{\sin x}$ :

$y' = x^{\sin x}\!\left(\cos x\,\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

Resolução — parte (b).

Diferenciando $\sin(xy) = x - y$ :

$\cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}[xy] = 1 - y'$

$\cos(xy) \cdot (y + x\,y') = 1 - y'$

Expanda e agrupe:

$y\cos(xy) + x\cos(xy)\,y' = 1 - y'$

$y' \bigl(x\cos(xy) + 1\bigr) = 1 - y\cos(xy)$

$y' = \frac{1 - y\cos(xy)}{1 + x\cos(xy)}$

Em $(0, 0)$ : $\cos(0 \cdot 0) = \cos 0 = 1$ .

$y'(0,0) = \frac{1 - 0 \cdot 1}{1 + 0 \cdot 1} = \frac{1}{1} = 1$

Verificação: $(0,0)$ satisfaz $\sin(0 \cdot 0) = 0 - 0$ ? $\sin(0) = 0$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §2.6, exemplos 2.6.4 e 2.6.5, p. 117 — licença CC-BY-NC 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 22Understanding 6Modeling 8Challenge 3Proof 1

Ex. 54.1Application
Para o círculo $x^2 + y^2 = 1$ , encontre $dy/dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 3.68 · p. 318
Show solution
Derivando $x^2 + y^2 = 1$ em relação a $x$ : $2x + 2y\,y' = 0$ . Isolando: $y' = -x/y$ . Válido onde $y \neq 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva e diferencie. Partindo de $x^2 + y^2 = 1$ , aplique $d/dx$ em ambos os lados: $d[x^2]/dx + d[y^2]/dx = 0$ .
2. Use regra da cadeia em $y^2$ . Como $y$ é função de $x$ , $d[y^2]/dx = 2y\,y'$ . Logo: $2x + 2y\,y' = 0$ .
3. Isole $y'$ . Subtraia $2x$ : $2y\,y' = -2x$ . Divida por $2y$ : $y' = -x/y$ .
Macete: O resultado $-x/y$ faz sentido geometricamente — a tangente ao círculo num ponto $(x_0, y_0)$ é perpendicular ao raio $(x_0, y_0)$ , que tem inclinação $y_0/x_0$ . O produto das inclinações é $(-x_0/y_0)(y_0/x_0) = -1$ .
Ex. 54.2Application
Para a elipse $x^2/4 + y^2/9 = 1$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Preview Activity 2.7.1 · p. 154
Show solution
Para a elipse $x^2/4 + y^2/9 = 1$ : derivando, $x/2 + 2y\,y'/9 = 0$ , logo $y' = -9x/(4y)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Diferencie cada termo. $d[x^2/4]/dx = x/2$ e $d[y^2/9]/dx = 2y\,y'/9$ . Equação: $x/2 + 2y\,y'/9 = 0$ .
2. Isole $y'$ . $2y\,y'/9 = -x/2$ , então $y' = -9x/(4y)$ .
Observação: Ao variar os semi-eixos $a, b$ , a fórmula geral para $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ é $y' = -b^2 x/(a^2 y)$ .
Ex. 54.3Application
Para $xy = 1$ , calcule $dy/dx$ via derivação implícita. Verifique que coincide com derivar $y = 1/x$ explicitamente.
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.1 · p. 115
Show solution
Para $xy = 1$ : derivando (regra do produto), $y + x\,y' = 0$ , logo $y' = -y/x$ . Verificação: $y = 1/x$ dá $y' = -1/x^2 = -(1/x)/x = -y/x$ — consistente.
Ex. 54.4Application
Para a hipérbole $x^2/9 - y^2/16 = 1$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 214 · p. 323
Show solution
Para a hipérbole $x^2/9 - y^2/16 = 1$ : derivando, $2x/9 - 2y\,y'/16 = 0$ , logo $y' = 16x/(9y)$ . Compare com a elipse: o sinal é positivo porque o sinal do termo em $y^2$ é negativo na equação da hipérbole.
Ex. 54.5Application
Para $x^3 + y^3 = 6xy$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 175 · p. 325
Show solution
Para $x^3 + y^3 = 6xy$ : derivando, $3x^2 + 3y^2\,y' = 6y + 6x\,y'$ . Agrupando: $y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$ , logo $y' = (2y - x^2)/(y^2 - 2x)$ .
Ex. 54.6Application
Para $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.2(a) · p. 155
Show solution
Para $x^2 - 2xy + 3y^2 = 1$ : $2x - 2(y + x\,y') + 6y\,y' = 0$ . Simplificando: $2x - 2y + y'(-2x + 6y) = 0$ , logo $y' = (y - x)/(3y - x)$ .
Ex. 54.7ApplicationAnswer key
Para $x^2 y + xy^2 = 6$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.2(b) · p. 155
Show solution
Para $x^2 y + xy^2 = 6$ , derivando (regra do produto em cada parcela): $(2x\,y + x^2\,y') + (y^2 + 2xy\,y') = 0$ . Agrupando: $y'(x^2 + 2xy) = -(2xy + y^2)$ , logo $y' = -(2xy + y^2)/(x^2 + 2xy)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique as parcelas. A equação é $x^2 y + x y^2 = 6$ . Cada parcela é um produto de funções de $x$ e $y(x)$ , então a regra do produto se aplica duas vezes.
2. Derive a primeira parcela. $d[x^2 y]/dx = 2x \cdot y + x^2 \cdot y'$ (produto: derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo).
3. Derive a segunda parcela. $d[x y^2]/dx = 1 \cdot y^2 + x \cdot 2y\,y' = y^2 + 2xy\,y'$ .
4. Monte a equação e isole. $2xy + x^2\,y' + y^2 + 2xy\,y' = 0$ , portanto $y'(x^2 + 2xy) = -(2xy + y^2)$ e $y' = -(2xy + y^2)/(x^2 + 2xy)$ .
Macete: Fatore numerador e denominador: $y' = -y(2x + y)/(x(x + 2y))$ . Verifica-se que no ponto $(1, 2)$ , que satisfaz $1\cdot2 + 1\cdot4=6$ , temos $y' = -2(2+2)/(1(1+4)) = -8/5$ .
Ex. 54.8Application
Para $\tan y = x$ , calcule $dy/dx$ . Interprete o resultado como a derivada de $\arctan x$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 209 · p. 323
Show solution
Para $\tan y = x$ : derivando, $\sec^2 y \cdot y' = 1$ , logo $y' = 1/\sec^2 y = \cos^2 y$ . Este exercício deriva implicitamente a função $\arctan$ : como $y = \arctan x$ , e $\cos^2(\arctan x) = 1/(1+x^2)$ , recuperamos a fórmula conhecida $(\arctan x)' = 1/(1+x^2)$ .
Ex. 54.9ApplicationAnswer key
Para $e^y = xy$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 211 · p. 323
Show solution
Para $e^y = xy$ : derivando, $e^y\,y' = y + x\,y'$ . Agrupando: $y'(e^y - x) = y$ , logo $y' = y/(e^y - x)$ . Substituindo $e^y = xy$ : $y' = y/(xy - x) = y/(x(y-1)) = 1/(x(1 - 1/y))$ . A forma mais limpa é manter $y' = y/(e^y - x)$ .
Ex. 54.10Application
Para $\ln(xy) = x + y$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.12 · p. 118
Show solution
Para $\ln(xy) = x + y$ : usando $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ , derive: $1/x + y'/y = 1 + y'$ . Rearranjo: $y'/y - y' = 1 - 1/x$ , logo $y'(1/y - 1) = (x-1)/x$ , e $y' = y(x-1)/(x(1-y))$ .
Ex. 54.11ApplicationAnswer key
Para $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ , calcule $dy/dx$ e avalie no ponto $(1, 9)$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 215 · p. 323
Show solution
Para $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 4$ : derivando, $1/(2\sqrt{x}) + y'/(2\sqrt{y}) = 0$ , logo $y' = -\sqrt{y}/\sqrt{x} = -\sqrt{y/x}$ . No ponto $(1, 9)$ (verifica: $1 + 3 = 4$ ): $y' = -3$ .
Ex. 54.12ApplicationAnswer key
Para $\cos(x + y) = y$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.14 · p. 118
Show solution
Para $\cos(x+y) = y$ : derivando, $-\sin(x+y)(1 + y') = y'$ . Expanda: $-\sin(x+y) - \sin(x+y)\,y' = y'$ . Agrupe: $-\sin(x+y) = y'(1 + \sin(x+y))$ , logo $y' = -\sin(x+y)/(1+\sin(x+y))$ .
Ex. 54.13Application
Para $\sin(xy) = x$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 213 · p. 323
Show solution
Para $\sin(xy) = x$ : derivando, $\cos(xy)(y + x\,y') = 1$ . Expanda: $y\cos(xy) + x\cos(xy)\,y' = 1$ . Isole: $y' = (1 - y\cos(xy))/(x\cos(xy) + 1)$ .
Ex. 54.14Application
Para $y^3 + 3y = x$ , calcule $dy/dx$ e discuta se a derivada existe em todos os pontos.
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.2(c) · p. 155
Show solution
Para $y^3 + 3y = x$ : derivando, $3y^2\,y' + 3\,y' = 1$ , logo $y'(3y^2 + 3) = 1$ e $y' = 1/(3(y^2+1))$ . Observe que $y^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $y$ , então $y'$ existe em todo ponto da curva — não há tangente vertical.
Ex. 54.15ApplicationAnswer key
Encontre a reta tangente ao círculo $x^2 + y^2 = 25$ no ponto $(3, 4)$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 3.68 · p. 318
Show solution
Para o círculo $x^2+y^2=25$ , $y' = -x/y$ . No ponto $(3,4)$ : $y' = -3/4$ . Reta tangente: $y - 4 = -3/4 (x-3)$ , ou seja $4y - 16 = -3x + 9$ , logo $3x + 4y = 25$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $y'$ implicitamente. Derivando $x^2 + y^2 = 25$ : $2x + 2y\,y' = 0$ , portanto $y' = -x/y$ .
2. Avalie no ponto. Em $(3,4)$ : verifique que $9 + 16 = 25$ . Sim. Logo $y' = -3/4$ .
3. Escreva a reta. Ponto-inclinação: $y - 4 = -3/4(x - 3)$ . Multiplique por 4: $4y - 16 = -3x + 9$ , portanto $3x + 4y = 25$ .
4. Verificação geométrica. O raio até $(3,4)$ tem inclinação $4/3$ . Produto $(-3/4)(4/3) = -1$ — tangente e raio são perpendiculares.
Macete: Para qualquer círculo centrado na origem, a tangente em $(x_0, y_0)$ tem equação $x_0 x + y_0 y = r^2$ — resultado elegante direto da derivada implícita.
Ex. 54.16Application
Para a elipse $x^2 + 4y^2 = 16$ , encontre a reta tangente no ponto $(2, \sqrt{3})$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.3 · p. 156
Show solution
Para $x^2 + 4y^2 = 16$ : derivando, $2x + 8y\,y' = 0$ , logo $y' = -x/(4y)$ . No ponto $(2, \sqrt{3})$ : verifique $4 + 4\cdot3 = 16$ . Correto. $y' = -2/(4\sqrt{3}) = -1/(2\sqrt{3}) = -\sqrt{3}/6$ . Reta tangente: $y - \sqrt{3} = -\sqrt{3}/6\,(x-2)$ , ou seja $y = -\sqrt{3}x/6 + \sqrt{3}/3 + \sqrt{3} = -\sqrt{3}x/6 + 4\sqrt{3}/3$ .
Ex. 54.17Application
Para $x^2 + xy + y^2 = 7$ , encontre a reta tangente em $(1, 2)$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 220 · p. 324
Show solution
Para $x^2 + xy + y^2 = 7$ : $2x + y + x\,y' + 2y\,y' = 0$ . Em $(1,2)$ : verifique $1 + 2 + 4 = 7$ . Correto. $2 + 2 + y' + 4y' = 0 \Rightarrow 4 + 5y' = 0 \Rightarrow y' = -4/5$ . Tangente: $y - 2 = -4/5(x-1)$ , ou seja $5y - 10 = -4x + 4$ , logo $4x + 5y = 14$ .
Ex. 54.18ApplicationAnswer key
Para $x^3 + y^3 = 9$ , encontre a reta tangente em $(1, 2)$ .
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.3 · p. 116
Show solution
Para $x^3 + y^3 = 9$ : $3x^2 + 3y^2\,y' = 0$ , $y' = -x^2/y^2$ . Em $(1,2)$ : verifique $1 + 8 = 9$ . Correto. $y' = -1/4$ . Tangente: $y - 2 = -1/4(x-1) \Rightarrow y = -x/4 + 1/4 + 2 = -x/4 + 9/4$ .
Ex. 54.19Application
Para $y\sin x = x\cos y$ , calcule $dy/dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 216 · p. 323
Show solution
Para $y\sin x = x\cos y$ : derivando (regra do produto em ambos os lados): $y'\sin x + y\cos x = \cos y - x\sin y\,y'$ . Agrupe: $y'(\sin x + x\sin y) = \cos y - y\cos x$ , logo $y' = (\cos y - y\cos x)/(\sin x + x\sin y)$ .
Ex. 54.20Application
Para a circunferência $x^2 + y^2 = 1$ , determine todos os pontos de tangente horizontal e vertical.
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Preview Activity 2.7.2 · p. 154
Show solution
Para a elipse $x^2 + y^2 = 1$ (círculo): $y' = -x/y$ . Tangente vertical quando denominador $y = 0$ . Substituindo $y=0$ na curva: $x^2 = 1$ , logo $x = \pm 1$ . Os pontos de tangente vertical são $(1, 0)$ e $(-1, 0)$ . Tangente horizontal quando numerador $x = 0$ : ponto $(0, \pm 1)$ .
Ex. 54.21Application
Para o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$ , calcule $dy/dx$ e determine os pontos de tangente horizontal.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 175 (b) · p. 325
Show solution
Para o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$ : $3x^2 + 3y^2\,y' = 3y + 3x\,y'$ . Agrupe: $y'(3y^2 - 3x) = 3y - 3x^2$ , logo $y' = (y - x^2)/(y^2 - x)$ . Tangente horizontal quando numerador $y - x^2 = 0$ , ou seja $y = x^2$ . Substituindo no Folium: $x^3 + x^6 = 3x^3 \Rightarrow x^6 - 2x^3 = 0 \Rightarrow x^3(x^3-2)=0$ . Soluções: $x=0$ (singular) e $x = 2^{1/3}$ , com $y = 2^{2/3}$ .
Ex. 54.22Application
Para o Folium de Descartes $x^3 + y^3 = 3xy$ , encontre a tangente no ponto $(3/2, 3/2)$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 175 (b) · p. 325
Show solution
No Folium $x^3 + y^3 = 3xy$ , o ponto $(3/2, 3/2)$ : verifique $2\cdot(27/8) = 27/4 = 3\cdot(3/2)\cdot(3/2) = 27/4$ . Sim. $y' = (3/2 - 9/4)/(9/4 - 3/2) = (-3/4)/(3/4) = -1$ . Tangente: $y - 3/2 = -(x - 3/2) \Rightarrow y = -x + 3$ .
Ex. 54.23Modeling
A lei dos gases ideais diz $PV = nRT$ . Mantendo $T$ constante, use derivação implícita para encontrar $dP/dV$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.4 · p. 157
Show solution
Da lei dos gases ideais $PV = nRT$ , com $T$ e $nR$ constantes, derivando implicitamente em relação a $V$ : $\frac{dP}{dV}V + P = 0$ , logo $dP/dV = -P/V = -nRT/V^2$ . Isso é a compressibilidade isotérmica — quanto mais comprimido o gás, mais rápido a pressão sobe com nova compressão.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique as variáveis. $P$ e $V$ são as variáveis; $nRT$ é constante (temperatura fixa).
2. Derive ambos os lados em relação a $V$ . $d[PV]/dV = d[nRT]/dV$ . Lado esquerdo (regra do produto): $(dP/dV)V + P\cdot 1 = 0$ . Lado direito: zero.
3. Isole $dP/dV$ . $(dP/dV)V = -P$ , logo $dP/dV = -P/V$ . Substituindo $P = nRT/V$ : $dP/dV = -nRT/V^2$ .
Curiosidade: Para o gás de Van der Waals, $(P + a/V^2)(V - b) = nRT$ . Derivar implicitamente essa equação mais complexa dá a compressibilidade real do gás.
Ex. 54.24ModelingAnswer key
Para a curva $y^2 + xy = 12$ , determine se existem pontos de tangente horizontal ou vertical.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 222 · p. 324
Show solution
Para $y^2 + xy - 12 = 0$ , $2y\,y' + y + x\,y' = 0$ , então $y' = -y/(2y+x)$ . Tangente horizontal quando numerador $-y=0$ , ou seja $y=0$ . Mas $y=0$ na curva implica $0 + 0 - 12 = 0$ — impossível. Tangente vertical quando denominador $2y+x=0$ , ou seja $x=-2y$ . Substituindo: $y^2 + (-2y)y - 12 = 0 \Rightarrow -y^2 = 12$ — impossível nos reais. Portanto não há tangentes horizontais nem verticais em pontos reais desta hipérbole.
Ex. 54.25Modeling
Em microeconomia, a curva de indiferença $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ descreve combinações de dois bens que deixam o consumidor indiferente. Usando derivação implícita, encontre $dx_2/dx_1$ — a taxa marginal de substituição.
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.4 (economics version) · p. 157
Show solution
Uma curva de indiferença é definida por $U(x_1, x_2) = \bar{U}$ (constante). Derivando implicitamente em relação a $x_1$ : $U_{x_1} + U_{x_2}\,(dx_2/dx_1) = 0$ , logo $dx_2/dx_1 = -U_{x_1}/U_{x_2}$ . Isso é a taxa marginal de substituição — a inclinação da curva de indiferença. Para um consumidor racional, essa taxa é negativa (se quer mais de um bem, abre mão do outro).
Ex. 54.26Modeling
Para a lemniscata $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$ , calcule $dy/dx$ no ponto $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 219 · p. 324
Show solution
Para a lemniscata $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$ , diferenciando ambos os lados: $2(x^2+y^2)(2x+2y\,y') = 2(2x - 2y\,y')$ . Expanda com $u = x^2 + y^2$ : $4u(x + y\,y') = 4x - 4y\,y'$ . Agrupando $y'$ : $y'(4uy + 4y) = 4x - 4ux$ , logo $y' = x(1-u)/(y(1+u))$ onde $u = x^2+y^2$ . No ponto $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ : $u = 3/4 + 1/4 = 1$ , portanto $y' = x(0)/(y(2)) = 0$ ... Reanalise diretamente: com $u=1$ , $4(2x+2y\,y') = 4x - 4y\,y'$ , logo $8x+8y\,y' = 4x-4y\,y'$ , $y'(8y+4y)=4x-8x=-4x$ , $y' = -4x/(12y) = -x/(3y)$ . Em $(\sqrt{3}/2, 1/2)$ : $y' = -(\sqrt{3}/2)/(3/2) = -\sqrt{3}/3$ .
Ex. 54.27Modeling
Use derivada logarítmica para encontrar $y'$ se $y = x^x$ ( $x > 0$ ).
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.20 · p. 119
Show solution
Seja $y = x^x$ . Logaritmize: $\ln y = x \ln x$ . Derive: $y'/y = \ln x + x \cdot (1/x) = \ln x + 1$ . Logo $y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$ . A derivada da função "potência-exponencial" envolve tanto $\ln x$ (do expoente) quanto $1$ (da base).
Ex. 54.28Modeling
Use derivada logarítmica para encontrar $y'$ se $y = x^{\sin x}$ ( $x > 0$ ). Avalie em $x = \pi$ .
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.22 · p. 119
Show solution
Seja $y = x^{\sin x}$ . Então $\ln y = \sin x \ln x$ . Derivando: $y'/y = \cos x \ln x + \sin x / x$ . Logo $y' = x^{\sin x}(\cos x\,\ln x + \sin x/x)$ . Note que em $x = \pi$ : $y'(\pi) = \pi^0(\cos\pi \ln\pi + 0) = 1\cdot(-\ln\pi) = -\ln\pi$ .
Ex. 54.29Modeling
Para $x^2 + y^2 = r^2$ , encontre $d^2y/dx^2$ em termos de $x$ , $y$ e $r$ . Interprete o sinal de $y''$ para $y > 0$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.3 · p. 158
Show solution
Já sabemos $y' = -x/y$ . Derivando novamente em relação a $x$ : $y'' = -(y - x\,y')/y^2$ . Substitua $y' = -x/y$ : $y'' = -(y - x(-x/y))/y^2 = -(y + x^2/y)/y^2 = -(y^2 + x^2)/y^3 = -r^2/y^3$ . Para $y > 0$ (semicírculo superior), $y'' < 0$ — a curva é côncava para baixo.
Ex. 54.30Modeling
Para a elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ , calcule $dy/dx$ e $d^2y/dx^2$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 226 · p. 324
Show solution
Para $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ , derivando: $2x/a^2 + 2y\,y'/b^2 = 0$ , logo $y' = -b^2 x/(a^2 y)$ . Derivando novamente: $y'' = -b^2/a^2 \cdot (y - x\,y')/y^2$ . Substituindo $y' = -b^2 x/(a^2 y)$ : $y'' = -b^2/a^2 \cdot (y + b^2 x^2/(a^2 y))/y^2 = -(b^2/a^2)(a^2 y^2 + b^2 x^2)/(a^2 y^3)$ . Como $a^2 y^2 + b^2 x^2 = a^2 b^2 (x^2/a^2 + y^2/b^2) = a^2 b^2$ para pontos da elipse: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$ .
Ex. 54.31Understanding
Por que a condição $F_y \neq 0$ é necessária para aplicar o Teorema da Função Implícita?
Select the correct option
Porque a equação $F(x,y) = 0$ não define uma função única de $x$ para todo o domínioPara evitar divisão por zero na fórmula $y' = -F_x/F_y$ Porque $F_y = 0$ indica tangente vertical — a curva não é gráfico de função localmentePorque $y$ precisa ser um polinômio para derivação implícita funcionar
Select an option first
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Preview Activity 2.7.2 · p. 154
Show solution
A condição $F_y \neq 0$ tem dois aspectos complementares: (1) a fórmula $y' = -F_x/F_y$ exige $F_y \neq 0$ para não ter divisão por zero; (2) $F_y = 0$ geometricamente indica que o gradiente $\nabla F$ é horizontal, logo a tangente à curva é vertical — e uma curva com tangente vertical não é localmente o gráfico de uma função $y = g(x)$ . A opção C captura a razão geométrica mais profunda.
Ex. 54.32UnderstandingAnswer key
Qual é a principal vantagem da derivação implícita sobre isolar $y$ e derivar explicitamente?
Select the correct option
São idênticos — derivação implícita é apenas uma forma diferente de escrever a mesma contaA derivação implícita funciona sem isolar $y$ e unifica os vários ramos da curva numa fórmula sóA derivação explícita nunca requer regra da cadeiaA derivação implícita só funciona para polinômios
Select an option first
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.1 (conceitual) · p. 153
Show solution
A derivação implícita e explícita dão o mesmo resultado quando ambas são aplicáveis, mas a implícita tem vantagem dupla: (a) funciona sem isolar $y$ ; (b) a fórmula $y' = -F_x/F_y$ vale para todos os ramos simultaneamente. Para o círculo, $y' = -x/y$ cobre tanto o ramo superior ( $y > 0$ ) quanto o inferior ( $y < 0$ ). Se isolássemos, teríamos de tratar dois casos.
Ex. 54.33Understanding
Use derivação implícita para mostrar que a tangente ao círculo $x^2 + y^2 = r^2$ é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 3.68 (extensão) · p. 318
Show solution
O raio até $(x_0, y_0)$ tem inclinação $y_0/x_0$ . A tangente ao círculo tem inclinação $y' = -x_0/y_0$ . Produto: $(y_0/x_0)(-x_0/y_0) = -1$ . Logo as retas são perpendiculares — a tangente ao círculo é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência. Esta é a propriedade geométrica fundamental do círculo, e a derivada implícita a demonstra analiticamente de forma direta.
Ex. 54.34Understanding
Para uma curva $F(x,y)=0$ , explique em que condições a reta tangente existe, possivelmente vertical, e quando o ponto é singular.
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Preview Activity 2.7.2 (extensão) · p. 154
Show solution
A tangente a $\{F=0\}$ existe e não é vertical onde $F_y \neq 0$ (dá $y' = -F_x/F_y$ ). A tangente vertical existe onde $F_y = 0$ mas $F_x \neq 0$ . Se ambas as derivadas parciais se anulam, o ponto é singular (possível cúspide, ponto duplo ou tangente indeterminada) e a análise requer desenvolvimento local de ordem superior.
Ex. 54.35Understanding
Verifique que derivar $x^2 + y^2 = r^2$ implicitamente dá o mesmo resultado que derivar $y = \pm\sqrt{r^2-x^2}$ explicitamente.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 3.67 (verificação) · p. 317
Show solution
Derivando $y = \sqrt{r^2-x^2}$ : $y' = -x/\sqrt{r^2-x^2} = -x/y$ . Mesmo resultado da implícita. Para $y = -\sqrt{r^2-x^2}$ : $y' = x/\sqrt{r^2-x^2} = x/(-y) = -x/y$ . Ambos os ramos dão $y' = -x/y$ , confirmando que a fórmula implícita unifica os dois casos em uma expressão compacta.
Ex. 54.36UnderstandingAnswer key
Ao diferenciar implicitamente $e^{xy} = x + y$ em relação a $x$ , qual é $\frac{d}{dx}[e^y]$ ? Por que não é simplesmente $e^y$ ?
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6 (conceitual) · p. 115
Show solution
Pela regra da cadeia, $d[e^y]/dx = e^y \cdot dy/dx = e^y \cdot y'$ . Não é apenas $e^y$ (isso seria correto somente se $y$ fosse a variável de diferenciação). Trate $e^{(\cdot)}$ como função externa e $y(x)$ como função interna da regra da cadeia. Erro clássico: esquecer o fator $y'$ .
Ex. 54.37Challenge
Para a curva $x^4 + y^4 = 1$ , encontre todos os pontos de tangente horizontal e vertical.
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.2 (extensão) · p. 155
Show solution
Para $x^4 + y^4 = 1$ : derivando, $4x^3 + 4y^3\,y' = 0$ , logo $y' = -x^3/y^3$ . Tangente horizontal ( $y'=0$ ): numerador $x^3=0 \Rightarrow x=0$ , com $y = \pm 1$ na curva. Tangente vertical (denominador $=0$ ): $y=0 \Rightarrow x = \pm 1$ . Logo tangentes horizontais em $(0, \pm 1)$ e verticais em $(\pm 1, 0)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Derive implicitamente. $4x^3 + 4y^3\,y' = 0$ , portanto $y' = -x^3/y^3$ .
2. Tangente horizontal. Ocorre quando $y' = 0$ , ou seja, numerador $x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$ . Com $x=0$ na curva: $y^4=1 \Rightarrow y = \pm 1$ . Pontos: $(0, 1)$ e $(0, -1)$ .
3. Tangente vertical. Ocorre quando denominador $y^3 = 0 \Rightarrow y=0$ (e numerador $\neq 0$ ). Com $y=0$ na curva: $x^4=1 \Rightarrow x = \pm 1$ . Pontos: $(1,0)$ e $(-1,0)$ .
Observação: A curva $x^4 + y^4 = 1$ é uma "superelipse" — parecida com o círculo mas com cantos mais arredondados. A posição dos pontos de tangente horizontal e vertical é análoga à do círculo.
Ex. 54.38Challenge
Para a elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ , calcule $y''$ implicitamente e simplifique usando a equação da elipse. (Resp: $y'' = -b^4/(a^2 y^3)$ .)
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §3.8 · ex. 226 · p. 324
Show solution
Para a elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ : $y' = -b^2 x/(a^2 y)$ . Derivando novamente, usando regra do quociente e substituindo $y'$ : $y'' = -b^2/a^2 \cdot (y - x\,y')/y^2$ . Substituindo $y'$ : $y'' = -b^2/(a^2 y^2)(y + b^2 x^2/(a^2 y)) = -(b^2 a^2 y^2 + b^4 x^2)/(a^4 y^3)$ . Usando $x^2/a^2 + y^2/b^2=1$ implica $b^2 x^2/a^2 = b^2 - y^2$ : $y'' = -b^4(x^2/a^2 + y^2/b^2)/(a^2 y^3) = -b^4/(a^2 y^3)$ .
Ex. 54.39ChallengeAnswer key
Para $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$ , calcule $dy/dx$ em $(0, 0)$ . Explique por que o ponto é singular para a fórmula direta.
Solve online APEX Calculus · §2.6 · ex. 2.6.17 · p. 119
Show solution
Para $\sin(xy) + \cos(x+y) = 1$ , em $(0,0)$ : verifique $\sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$ . Correto. Derivando: $\cos(xy)(y + x\,y') - \sin(x+y)(1+y') = 0$ . Em $(0,0)$ : $\cos(0)(0 + 0) - \sin(0)(1 + y') = 0 \Rightarrow 0 - 0 = 0$ — indeterminado. Expanda ao redor de $(0,0)$ até segunda ordem: $xy - (x+y)^2/2 + \ldots \approx 0$ . Para $y = mx$ : $mx^2 - x^2(1+m)^2/2 \approx 0$ , logo $m = (1+m)^2/2$ . Solução por inspeção: $m=0$ dá $0 = 1/2$ ... O ponto $(0,0)$ é singular para este sistema — $F_x = y\cos(xy) - \sin(x+y) = 0$ e $F_y = x\cos(xy) - \sin(x+y) = 0$ coincidem em $(0,0)$ . A derivada direcional é $y'(0,0) = 0$ para a tangente ao ramo principal.
Ex. 54.40Proof
Demonstração. Prove que $(x^a)' = ax^{a-1}$ para $a \in \mathbb{R}$ arbitrário ( $x > 0$ ), usando $x^a = e^{a\ln x}$ e a regra da cadeia. Explique por que a prova cobre o caso $a$ irracional.
Solve online Active Calculus 2.0 · §2.7 · Activity 2.7.5 · p. 159
Show solution
Escreva $x^a = e^{a \ln x}$ (definição de potência com expoente real arbitrário, para $x > 0$ ). Diferenciando: $(x^a)' = e^{a \ln x} \cdot \frac{d}{dx}[a \ln x] = x^a \cdot \frac{a}{x} = a\,x^{a-1}$ . Esta derivação vale para qualquer $a \in \mathbb{R}$ , inclusive irracional, algo que a prova por limites elementares não cobre de forma limpa.
Show step-by-step (with the why)
1. Reescreva usando a definição. Para $x > 0$ e $a \in \mathbb{R}$ : $x^a = e^{a \ln x}$ . Esta é a definição de potência com expoente real arbitrário.
2. Aplique a regra da cadeia. $\frac{d}{dx}[e^{a \ln x}] = e^{a \ln x} \cdot \frac{d}{dx}[a \ln x] = e^{a \ln x} \cdot \frac{a}{x}$ .
3. Simplifique. $e^{a \ln x} = x^a$ , portanto o resultado é $x^a \cdot a/x = a\,x^{a-1}$ .
4. Conclusão. $(x^a)' = a\,x^{a-1}$ para todo $a \in \mathbb{R}$ e $x > 0$ . Esta é a regra da potência em sua versão mais geral.
Macete: A demonstração funciona porque $e^u$ e $\ln x$ são funções bem-definidas para $x > 0$ . Para $a \in \mathbb{Q}$ e $x > 0$ há outras provas, mas apenas esta cobre o caso $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ de forma elementar.

Fontes

Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · §2.7 (Derivatives of Functions Given Implicitly). Fonte primária. Licença CC-BY-NC-SA 4.0.
OpenStax Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §3.8 (Implicit Differentiation). Licença CC-BY-NC-SA 4.0.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5 · §2.6 (Implicit Differentiation). Licença CC-BY-NC 4.0.