Lição 57 — Aproximação linear e diferencial

1. Identifique a função e o ponto base. $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 4$. Escolhemos $a = 4$ porque $\sqrt{4} = 2$ é exato.
2. Calcule a derivada em a. $f'(x) = 1/(2\sqrt{x})$, então $f'(4) = 1/(2 \cdot 2) = 1/4$.
3. Escreva a linearização. $L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$.
4. Avalie em x = 4,1. $L(4{,}1) = 2 + \frac{1}{4}(0{,}1) = 2 + 0{,}025 = 2{,}025$.

Macete: o erro real é $\sqrt{4{,}1} = 2{,}02485$; o erro da linearização é apenas 0,00015 — menos de 0,01%.

1. Ponto base. $a = 0$ porque $\sin(0) = 0$ e $\cos(0) = 1$ são triviais.
2. Derivada em a. $f'(x) = \cos x$, $f'(0) = 1$.
3. Linearização. $L(x) = 0 + 1 \cdot x = x$. A aproximação $\sin x \approx x$ é fundamental em física (pequenas oscilações).
4. Avaliação. $L(0{,}05) = 0{,}05$. Erro: $|0{,}05 - 0{,}04998| = 0{,}00002$.

Macete: $\sin x \approx x$ é válida para $|x|$ até cerca de 0,17 rad (10°) com erro menor que 0,5%.

1. Ponto base. $a = 1$ porque $\ln(1) = 0$ é exato e simples.
2. Derivada em a. $f'(x) = 1/x$, $f'(1) = 1$.
3. Linearização. $L(x) = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1$. Equivalentemente: $\ln(1 + u) \approx u$ para $u$ pequeno.
4. Avaliação. $L(1{,}05) = 1{,}05 - 1 = 0{,}05$. Erro: $|0{,}05 - 0{,}04879| = 0{,}00121$, ou seja, 2,5% de erro.

Macete: a fórmula $\ln(1+u) \approx u$ é extensamente usada em finanças para converter taxas compostas em taxas simples quando $u$ é pequeno.

1. Ponto base. $a = 27$ porque $27^{1/3} = 3$ é cubo perfeito exato.
2. Derivada em a. $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$, $f'(27) = \frac{1}{3} \cdot 27^{-2/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$.
3. Linearização. $L(x) = 3 + \frac{1}{27}(x - 27)$.
4. Avaliação. $L(27{,}5) = 3 + \frac{0{,}5}{27} \approx 3{,}0185$.

Curiosidade: Newton usou este tipo de cálculo para computar raízes sem calculadora. O método era publicado no Arithmetica Universalis (1707).

1. Avalie f em a = 0. $f(0) = e^0 \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0$.
2. Calcule f'(x) pela regra do produto. $f'(x) = (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' = e^x \sin x + e^x \cos x$.
3. Avalie f'(0). $f'(0) = e^0 \sin 0 + e^0 \cos 0 = 0 + 1 = 1$.
4. Escreva L(x). $L(x) = 0 + 1 \cdot (x - 0) = x$.

Observação: mesmo sendo um produto complexo, a linearização é simples — $e^x \sin x \approx x$ perto de zero — porque ambos os fatores têm linearizações simples que se multiplicam como $(1+x) \cdot x \approx x$ para $x$ pequeno.

1. Escreva o diferencial. $dy = \frac{d}{dx}(x^3)\,dx = 3x^2\,dx$. O diferencial é a derivada vezes a variação em x.
2. Substitua os valores. $x = 2$, $dx = 0{,}01$: $dy = 3(2)^2(0{,}01) = 3 \cdot 4 \cdot 0{,}01 = 0{,}12$.
3. Confirme com a variação real. $\Delta y = (2{,}01)^3 - 2^3 = 8{,}120601 - 8 = 0{,}120601$. Diferença: $0{,}120601 - 0{,}12 = 0{,}000601$. Menos de 0,5%.

Macete: o diferencial é sempre uma forma de primeira ordem — ignora todos os termos de ordem 2 em $dx$. A diferença entre $\Delta y$ e $dy$ é justamente esses termos de ordem superior.

1. Converta ângulos para radianos. $a = 30° = \pi/6$, $x = 31° = 31\pi/180$.
2. Calcule x - a. $x - a = 1° = \pi/180 \approx 0{,}01745$ rad.
3. Derivada em a. $f'(\pi/6) = \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$.
4. Linearização. $L = 0{,}5 + 0{,}866 \times 0{,}01745 \approx 0{,}5151$.

Macete: ao linearizar funções trigonométricas em ângulos dados em graus, converta SEMPRE para radianos antes de aplicar a derivada. Graus não funcionam com as derivadas usuais.

1. Reformule o problema. Encontrar $\sqrt{5}$ equivale a resolver $x^2 - 5 = 0$. Defina $f(x) = x^2 - 5$, $f'(x) = 2x$.
2. Aplique Newton-Raphson. $x_1 = x_0 - f(x_0)/f'(x_0) = 2 - (4 - 5)/(2 \cdot 2) = 2 - (-1)/4 = 2 + 0{,}25 = 2{,}25$.
3. Avalie o erro. $|\sqrt{5} - 2{,}25| = |2{,}2361 - 2{,}25| = 0{,}0139$. Partimos de 0 e já temos 2 casas certas em 1 iteração.

Macete: a convergência é quadrática — na próxima iteração o erro seria $\approx C(0{,}014)^2 \approx 0{,}0001$, dando mais 2 casas decimais de graça.

1. Diferencial do volume. $V = \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow dV = 4\pi r^2\,dr$. Note que $4\pi r^2$ é a área da superfície da esfera — faz sentido geometricamente.
2. Substitua os valores. $r = 5$ cm, $dr = 0{,}1$ cm: $dV = 4\pi(25)(0{,}1) = 10\pi \approx 31{,}4$ cm³.
3. Calcule o erro relativo. $V(5) = (4/3)\pi(125) = 500\pi/3 \approx 524$ cm³. Erro relativo: $31{,}4/524 \approx 6\%$.

Curiosidade: o erro relativo no volume é 3 vezes o erro relativo no raio — consequência direta de $V \propto r^3$. Regra geral: para $f(x) = x^n$, erro relativo em $f$ é $n$ vezes erro relativo em $x$.

1. Escreva T como potência de L. $T = 2\pi g^{-1/2} L^{1/2}$. O expoente de $L$ é $1/2$.
2. Regra do erro relativo. Para $T \propto L^{1/2}$, o erro relativo em $T$ é $1/2$ vezes o erro relativo em $L$.
3. Aplique. $dT/T = (1/2) \cdot 1\% = 0{,}5\%$.

Macete: o expoente aparece como fator multiplicativo dos erros relativos. Para raiz quadrada (expoente 1/2), o erro relativo cai pela metade. Para quadratura (expoente 2), o erro relativo dobra.

1. Escreva Taylor com resto. $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^2$ para algum $\xi$ entre $a$ e $x$.
2. Identifique o erro. $f(x) - L(x) = \frac{f''(\xi)}{2}(x-a)^2$. O termo é quadrático em $(x-a)$.
3. Interprete. Se $|x-a|$ diminui pela metade, o erro cai por fator 4. Se aumenta ao dobro, o erro quadruplica.

Macete: "2ª ordem" significa que o expoente de $(x-a)$ no erro é 2 — por isso a linearização é tão útil para distâncias pequenas mas falha para distâncias grandes.

1. Diferencial do volume. $V = s^3 \Rightarrow dV = 3s^2\,ds$.
2. Erro relativo. Divida $dV$ por $V$: $dV/V = 3s^2 ds / s^3 = 3(ds/s)$.
3. Substitua. $ds/s = 1\% \Rightarrow dV/V = 3 \times 1\% = 3\%$.

Macete: para qualquer $f(x) = x^n$, o erro relativo em $f$ é $n$ vezes o erro relativo em $x$. Isso é direto da regra da potência aplicada ao diferencial.