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Lição 64 — Regra de L'Hôpital

Regra de L'Hôpital para indeterminações 0/0 e ∞/∞. Formas indeterminadas 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 e limites notáveis como sin(x)/x e e^x/x^n.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis Klasse 12 alemã · Equiv. H2 Maths Singapura

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \stackrel{0/0\text{ ou }\infty/\infty}{=} \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Regra de L'Hôpital (descoberta por Johann Bernoulli em 1694, publicada por L'Hôpital em 1696): quando $\lim f/g$ assume a forma indeterminada $0/0$ ou $\infty/\infty$ , o limite é igual ao limite da razão das derivadas — desde que este último exista ou seja $\pm\infty$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Enunciado, demonstração e extensões

Enunciado formal

Theorem· Regra de L'Hôpital (formas 0/0 e ∞/∞)

Sejam $f$ e $g$ deriváveis numa vizinhança aberta de $a$ (exceto possivelmente em $a$ ), com $g'(x) \neq 0$ nessa vizinhança.

Se $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$ (forma $0/0$ ), ou se $\lim_{x \to a} |f(x)| = \lim_{x \to a} |g(x)| = \infty$ (forma $\infty/\infty$ ), então:

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

desde que o lado direito exista (em $\mathbb{R}$ ou seja $\pm\infty$ ).

Validade: a regra aplica-se também a $x \to a^+$ , $x \to a^-$ , $x \to +\infty$ e $x \to -\infty$ .

"L'Hôpital's rule simplifies the evaluation of limits of quotients when both numerator and denominator approach 0 or ∞. The key is recognizing the indeterminate form, applying the rule, and checking that the resulting limit actually exists." — OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8

Ideia da demonstração (caso 0/0)

Pelo Teorema do Valor Médio de Cauchy: se $f(a) = g(a) = 0$ , para $x$ próximo de $a$ existe $\xi$ entre $a$ e $x$ tal que:

\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

Quando $x \to a$ , tem-se $\xi \to a$ , e o limite passa: $f(x)/g(x) \to f'(a)/g'(a)$ (quando a razão de derivadas converge).

Extensão a outras formas indeterminadas

Definition· Tabela de reduções

Forma	Redução
$0/0$	Aplicar L'Hôpital diretamente
$\infty/\infty$	Aplicar L'Hôpital diretamente
$0 \cdot \infty$	Reescreva: $f \cdot g = f / (1/g)$ ou $g / (1/f)$
$\infty - \infty$	Combine numa fração (mmc ou racionalização)
$1^\infty, 0^0, \infty^0$	Tome logaritmo: $f^g = e^{g \ln f}$ ; aplique L'Hôpital no expoente

"Note carefully: L'Hôpital's Rule says that the limit of a quotient of functions equals the limit of the quotient of their derivatives, provided the original limit is in the form 0/0 or ∞/∞. This is not the same as the derivative of a quotient." — Active Calculus §2.8

Exemplos resolvidos

Example· Forma 0/0 simples

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ .

Estratégia. Verificar forma indeterminada; aplicar L'Hôpital uma vez.

Resolução.

Substituição direta: $\sin 0 / 0 = 0/0$ — forma indeterminada. Condições atendidas ( $f = \sin x$ e $g = x$ são deriváveis, $g' = 1 \neq 0$ ).

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1

Verificação. Esse resultado é o limite fundamental trigonométrico — consistente com a expansão de Taylor $\sin x = x - x^3/6 + \ldots$ , portanto $\sin x/x \to 1$ .

Fonte. Active Calculus §2.8, Exercise 2.8.1 · CC-BY-NC-SA

Example· Forma 0/0 com L'Hôpital iterado

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1 - x}{x^2}$ .

Estratégia. Forma $0/0$ . Pode ser necessário aplicar L'Hôpital mais de uma vez.

Resolução.

Substituição direta: $(1-1-0)/0 = 0/0$ .

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}

Verificação. Taylor: $e^x = 1 + x + x^2/2 + \ldots$ , portanto $e^x - 1 - x = x^2/2 + \ldots$ e o quociente $\to 1/2$ . Confirma.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8, Example 4.40 · CC-BY-NC-SA

Example· Forma 1^∞ via logaritmo

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^x$ (forma $0^0$ ).

Estratégia. Tomar logaritmo para converter em forma $0/0$ ou $\infty/\infty$ ; depois exponenciar.

Resolução.

Seja $L = \lim_{x \to 0^+} x^x$ . Então $\ln L = \lim_{x \to 0^+} x \ln x$ — forma $0 \cdot (-\infty)$ .

Reescreva: $x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$ — forma $\infty/\infty$ .

\ln L = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0

Portanto $L = e^0 = 1$ . O limite $\lim_{x \to 0^+} x^x = 1$ .

Verificação. Numericamente: $(0{,}1)^{0{,}1} \approx 0{,}794$ , $(0{,}01)^{0{,}01} \approx 0{,}955$ , convergindo para 1.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §4.8, Example 4.43 · CC-BY-NC-SA

Example· Forma ∞ − ∞ via combinação

Problema. Calcule $\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{1}{x}\right)$ .

Estratégia. Forma $\infty - \infty$ . Combinar em fração única, depois aplicar L'Hôpital.

Resolução.

\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}

Quando $x \to 0$ : numerador $\to 0$ , denominador $\to 0$ — forma $0/0$ .

\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x + x \cos x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2\cos x - x\sin x} = \frac{0}{2} = 0

Verificação. Taylor: $x - \sin x = x^3/6 - \ldots$ e $x \sin x = x^2 - x^4/6 + \ldots$ . Quociente: $(x^3/6)/x^2 = x/6 \to 0$ . Confirma.

Fonte. APEX Calculus §6.7, Example 6.7.4 · CC-BY-NC

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 25Understanding 2Challenge 1Proof 2

Ex. 64.1Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{\sin x}$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $0/0$ . L'Hôpital: $\lim_{x \to 0} \frac{2x}{1} = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Substituição direta: $0/0$ — forma indeterminada.
2. Derive numerador: $(x^2)' = 2x$ ; denominador: $(\sin x)' = \cos x$ .
3. Novo limite: $\lim_{x \to 0} 2x/\cos x = 0/1 = 0$ .
Macete: não aplique L'Hôpital sem verificar a forma — aqui era realmente 0/0.
Ex. 64.2Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$ .
Ex. 64.3Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1/(1+x)}{1} = 1$ .
Ex. 64.4ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0$ .
Ex. 64.5ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0$ . O logaritmo cresce mais devagar que qualquer potência positiva.
Ex. 64.6Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$ .
Ex. 64.7Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{x^3}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \lim \frac{\tan^2 x}{3x^2} = \frac{1}{3} \cdot \lim (\tan x / x)^2 = \frac{1}{3}$ . Ou via L'Hôpital duplo: $\to \frac{2\sec^2 x \tan x}{6x} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Ex. 64.8Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^3}{e^{2x}}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{2x}} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim \frac{3x^2}{2e^{2x}} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim \frac{6x}{4e^{2x}} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim \frac{6}{8e^{2x}} = 0$ .
Ex. 64.9ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3}$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} \stackrel{0/0}{=} \lim \frac{1 - \cos x}{3x^2} \stackrel{0/0}{=} \lim \frac{\sin x}{6x} \stackrel{0/0}{=} \lim \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$ . Confirma via Taylor: $x - \sin x = x^3/6 + \ldots$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Substituição: $0/0$ — indeterminado.
2. 1.ª aplicação: $(1-\cos x)/(3x^2)$ — ainda $0/0$ .
3. 2.ª aplicação: $\sin x/(6x)$ — ainda $0/0$ .
4. 3.ª aplicação: $\cos x/6 \to 1/6$ .
Curiosidade: este limite dá o coeficiente $1/6$ do termo cúbico de $\sin x$ na série de Taylor.
Ex. 64.10Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $0 \cdot \infty$ . Reescreva: $x \ln x = \ln x / (1/x)$ — forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$ .
Ex. 64.11Application
Prove via L'Hôpital que $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e$ .
Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $1^\infty$ . Seja $L = \lim_{x \to \infty}(1 + 1/x)^x$ . $\ln L = \lim x \ln(1+1/x)$ — forma $0 \cdot \infty$ . Reescreva: $\ln(1+1/x)/(1/x)$ — forma $0/0$ . L'Hôpital: deriva numerador $(-1/x^2)/(1+1/x)$ e denominador $-1/x^2$ . Razão: $1/(1+1/x) \to 1$ . Logo $\ln L = 1$ e $L = e$ .
Ex. 64.12Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $0^0$ . Seja $L = \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x}$ . $\ln L = \lim_{x \to 0^+} \sin x \cdot \ln x$ . Como $\sin x \approx x$ perto de 0: $\lim x \ln x = 0$ (ex. 64.10). Logo $\ln L = 0$ e $L = 1$ .
Ex. 64.13Understanding
Alguém quer calcular $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2+1}{x+1}$ usando L'Hôpital. O que há de errado?
Select the correct option
É inválido: a forma não é 0/0 nem ∞/∞ — o limite existe diretamenteL'Hôpital se aplica sempre que há uma fraçãoL'Hôpital dá o mesmo resultado, então está corretoÉ necessário verificar g'(x) ≠ 0 primeiro
Select an option first
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
O limite $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+1}{x+1} = \frac{2}{2} = 1$ . Não é indeterminado. Aplicar L'Hôpital seria um erro de pré-condição, mesmo que coincidentemente desse resultado correto ( $2x/(1) \to 2$ — que daria 2, errado). A regra exige forma indeterminada.
Ex. 64.14Understanding
Qual é a forma indeterminada de $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$ ?
Select the correct option
Forma ∞/∞ — L'Hôpital pode ser aplicadoForma ∞/∞ — não é indeterminada, o limite é ∞Forma ∞ − ∞ — deve combinar em fração primeiroForma 0/0 — porque ln x tende a 0 quando x → ∞
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Quando $x \to \infty$ : $\ln x \to \infty$ e $\sqrt{x} \to \infty$ . A forma é $\infty/\infty$ , que é indeterminada — L'Hôpital aplica-se. Resultado: $(1/x)/(1/(2\sqrt{x})) = 2/\sqrt{x} \to 0$ .
Ex. 64.15ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\sin 3x}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\sin 3x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{3\cos 3x} = \frac{2}{3}$ .
Ex. 64.16Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{\ln x}$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{\ln x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1/x} = \lim_{x \to \infty} 2x^2 = \infty$ . O resultado é $+\infty$ — a potência cresce mais rápido que o logaritmo.
Ex. 64.17Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $\infty^0$ . $L = \lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ . $\ln L = \lim \frac{\ln x}{x} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim \frac{1/x}{1} = 0$ . Logo $L = e^0 = 1$ .
Ex. 64.18ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\sin(3x)}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{\sin(3x)} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{5\cos(5x)}{3\cos(3x)} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3}$ . (Ou use o limite fundamental: cada seno sobre seu argumento tende a 1.)
Ex. 64.19ApplicationAnswer key
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^n - 1}{x - 1}$ para $n$ inteiro positivo.
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 1} \frac{x^n - 1}{x - 1} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 1} \frac{nx^{n-1}}{1} = n$ . Confirma a fórmula da derivada de $x^n$ em $x = 1$ .
Ex. 64.20Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\ln(1+x)}\right)$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $\infty - \infty$ . $\frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1+x)} = \frac{\ln(1+x) - x}{x\ln(1+x)}$ . Quando $x \to 0$ : forma $0/0$ . L'Hôpital iterado: $\to \frac{1/(1+x) - 1}{\ln(1+x) + x/(1+x)} = \frac{-x/(1+x)}{\ldots} \to -\frac{1}{2}$ .
Ex. 64.21Application
Calcule $\lim_{x \to 0} (\cos x)^{1/x^2}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $1^\infty$ . $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$ — forma $0/0$ . L'Hôpital: $\frac{-\sin x/\cos x}{2x} = \frac{-\tan x}{2x} \to -\frac{1}{2}$ . Logo $L = e^{-1/2}$ .
Ex. 64.22Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \dfrac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ . Divide numerador e denominador por $e^x$ : $\frac{1 + e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} \to \frac{1}{1} = 1$ . (L'Hôpital é válido mas a manipulação algébrica é mais rápida.)
Ex. 64.23Application
Calcule $\lim_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x}{x}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $0/0$ . $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 0} \frac{1/\sqrt{1-x^2}}{1} = 1$ .
Ex. 64.24Application
Calcule $\lim_{x \to 0^+} x^{x^2}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Forma $0^0$ . $\ln L = \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x^2} \stackrel{\infty/\infty}{=} \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-2/x^3} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-x^2}{2} = 0$ . Logo $L = 1$ .
Ex. 64.25Application
Tente calcular $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x + \sin x}{x}$ via L'Hôpital. O que acontece? Qual é a resposta correta?
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $\infty/\infty$ . $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \cos x}{1}$ ... **atenção**: este limite não existe pois $\cos x$ oscila! L'Hôpital falha quando o limite da razão de derivadas não existe. Mas o limite original existe: $(x + \sin x)/x = 1 + \sin(x)/x \to 1$ .
Ex. 64.26Application
Calcule $\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Forma $\infty - \infty$ . $\sqrt{x^2+x} - x = \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$ . Divida por $x$ : $\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} \to \frac{1}{2}$ . (Racionalização é mais limpa que L'Hôpital aqui.)
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a forma $\infty - \infty$ quando $x \to \infty$ .
2. Multiplique e divida pelo conjugado: $(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)/(\sqrt{x^2+x}+x) = x/(\sqrt{x^2+x}+x)$ .
3. Divida numerador e denominador por $x > 0$ : resultado $1/(\sqrt{1+1/x}+1)$ .
4. Tome o limite: $1/(1+1) = 1/2$ .
Macete: para $\infty - \infty$ com raízes, prefira racionalização a L'Hôpital.
Ex. 64.27Application
Calcule $\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x - 1}$ .
Solve online APEX Calculus · 6.7
Show solution
Forma $0/0$ (pois $\ln 1 = 0$ ). $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} \stackrel{0/0}{=} \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1} = 1$ .
Ex. 64.28Proof
Esboce a demonstração da Regra de L'Hôpital para o caso $0/0$ , usando o Teorema do Valor Médio de Cauchy.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · 4.8
Show solution
Para o caso $0/0$ : sem perda de generalidade, defina $f(a) = g(a) = 0$ (continuidade). Para $x \neq a$ , pelo TVM de Cauchy existe $\xi_x$ entre $a$ e $x$ com $f(x)/g(x) = (f(x)-f(a))/(g(x)-g(a)) = f'(\xi_x)/g'(\xi_x)$ . Quando $x \to a$ , $\xi_x \to a$ (pelo teorema do sanduíche, pois $\xi_x$ está entre $a$ e $x$ ). Se $\lim_{t \to a} f'(t)/g'(t) = L$ , então $f'(\xi_x)/g'(\xi_x) \to L$ .
Ex. 64.29Proof
Use a Regra de L'Hôpital para provar o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ .
Solve online Active Calculus · 2.8
Show solution
Tome $f(x) = \sin x$ , $g(x) = x$ . Então $\lim_{x \to 0} f/g = 0/0$ . Por L'Hôpital: $f'(x)/g'(x) = \cos x / 1 \to 1$ . Logo $\lim_{x \to 0} \sin x/x = 1$ . Isso prova o limite fundamental trigonométrico sem usar a definição geométrica de arco.
Ex. 64.30ChallengeAnswer key
Mostre que $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^p}{e^x} = 0$ para qualquer $p > 0$ (exponencial domina toda potência). Use L'Hôpital iterado e argumente sobre o número de aplicações necessárias.
APEX Calculus · 6.7
Show solution
Seja $L(p) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^p}{e^x}$ para $p > 0$ . Aplicando L'Hôpital $\lceil p \rceil$ vezes: o numerador se transforma em $p(p-1)\cdots(p-k+1) x^{p-k}$ e o denominador permanece $e^x$ . Após $\lceil p \rceil$ aplicações, $x^{p - \lceil p \rceil} \to 0$ enquanto $e^x \to \infty$ . Logo $L(p) = 0$ para todo $p > 0$ . Isso estabelece que $e^x$ domina qualquer potência polinomial no infinito.

Fontes

Boelkins, Matt. Active Calculus 2.0. Grand Valley State University, 2022. CC-BY-NC-SA. activecalculus.org/single/sec-2-8-LHR.html
OpenStax. Calculus Volume 1. Strang, Herman et al., 2023. CC-BY-NC-SA. openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-8-lhopitals-rule
Hartman, G. et al. APEX Calculus. Virginia Military Institute, 2023. CC-BY-NC. apexcalculus.com