v1 · padrão canônico

Lição 66 — Concavidade e pontos de inflexão

Sinal de f'': côncava para cima quando f'' > 0, para baixo quando f'' < 0. Inflexão onde f'' muda de sinal. Teste da segunda derivada para extremos.

Used in: 2.º ano EM avançado · Equiv. Math I/II japonês · Equiv. Leistungskurs Analysis alemão · Cálculo I universitário

f''(x) > 0 \implies f \text{ côncava}\uparrow, \quad f''(x) < 0 \implies f \text{ côncava}\downarrow, \quad f'' \text{ muda sinal} \implies \text{inflexão}

A concavidade de uma curva é determinada pelo sinal da segunda derivada: $f'' > 0$ significa côncava para cima (formato de tigela), $f'' < 0$ côncava para baixo (formato de chapéu). Um ponto de inflexão ocorre onde $f''$ muda de sinal — não basta ser zero.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e critérios

Concavidade e convexidade

"The function $f$ is concave up on an interval $I$ if $f''(x) \geq 0$ for all $x \in I$ ." — OpenStax Calculus Vol. 1 §4.5

Critério via segunda derivada: se $f$ é duas vezes derivável em $I$ :

$f''(x) \geq 0$ em $I$ $\iff$ $f$ convexa (côncava para cima).
$f''(x) \leq 0$ em $I$ $\iff$ $f$ côncava (para baixo).
$f''(x) > 0$ estritamente $\Rightarrow$ convexidade estrita.

Côncava para cima (f'' > 0): corda fica acima do arco. Côncava para baixo (f'' < 0): corda fica abaixo do arco.

Ponto de inflexão

Atenção: $f''(x_0) = 0$ é condição necessária mas NÃO suficiente. Contraexemplo canônico: $f(x) = x^4$ tem $f''(0) = 0$ mas $f'' \geq 0$ em vizinhança de $0$ — sem mudança de sinal, portanto $0$ não é inflexão.

"If the concavity changes at a point $(x_0, f(x_0))$ , we call this a point of inflection. It must be the case that $f''(x_0)$ changes sign." — APEX Calculus §3.4

Teste da segunda derivada para extremos locais

Prova para mínimo: se $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) > 0$ , pela continuidade de $f''$ existe vizinhança onde $f''(x) > 0$ , logo $f'$ é crescente nessa vizinhança. Como $f'(x_0) = 0$ , temos $f' < 0$ à esquerda e $f' > 0$ à direita de $x_0$ — pelo teste da derivada primeira, $x_0$ é mínimo local. ∎

Exemplos resolvidos

Example— 1· Concavidade e inflexao de f(x) = x^3 - 3x (basico)

Problema. Para $f(x) = x^3 - 3x$ , determine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

Estratégia. Calcular $f''$ , determinar onde é positivo/negativo, e verificar mudança de sinal nos zeros.

Resolução.

Derivadas: $f'(x) = 3x^2 - 3$ , $f''(x) = 6x$ .
Zero de $f''$ : $6x = 0 \Rightarrow x = 0$ .
Sinal: $f''(x) < 0$ para $x < 0$ (côncava para baixo); $f''(x) > 0$ para $x > 0$ (côncava para cima).
Inflexão: $f''$ muda de sinal em $x = 0$ . Logo $(0, f(0)) = (0, 0)$ é ponto de inflexão.

Verificação. No esboço: $f(-2) = -8 + 6 = -2$ ; $f(0) = 0$ ; $f(2) = 8 - 6 = 2$ . Curva sobe de $-2$ para $0$ com concavidade para baixo, depois continua de $0$ para $2$ com concavidade para cima — consistente. ✓

Fonte. APEX Calculus §3.4, Example 3.4.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Teste da segunda derivada para extremos de f(x) = x^4 - 4x^2 (intermediario)

Problema. Classifique os pontos críticos de $f(x) = x^4 - 4x^2$ usando o teste da segunda derivada.

Estratégia. Encontrar pontos críticos via $f' = 0$ , calcular $f''$ em cada um e aplicar o critério.

Resolução.

$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\, x = \pm\sqrt{2}$ .
$f''(x) = 12x^2 - 8$ .
Avaliando:
- $f''(0) = -8 < 0$ $\Rightarrow$ máximo local em $x = 0$ . $f(0) = 0$ .
- $f''(\sqrt{2}) = 24 - 8 = 16 > 0$ $\Rightarrow$ mínimo local em $x = \sqrt{2}$ . $f(\sqrt{2}) = 4 - 8 = -4$ .
- $f''(-\sqrt{2}) = 16 > 0$ $\Rightarrow$ mínimo local em $x = -\sqrt{2}$ . $f(-\sqrt{2}) = -4$ .

Verificação. Como $f(x) \to +\infty$ para $x \to \pm\infty$ , os mínimos em $\pm\sqrt{2}$ são globais e o máximo em $0$ é local (mas não global). ✓

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.5, Example 4.38 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Inflexoes da gaussiana (intermediario)

Problema. Encontre os pontos de inflexão de $f(x) = e^{-x^2/2}$ (núcleo da distribuição normal).

Estratégia. Derivar duas vezes, igualar $f'' = 0$ e verificar mudança de sinal.

Resolução.

$f'(x) = -x\,e^{-x^2/2}$ .
$f''(x) = -e^{-x^2/2} + x^2 e^{-x^2/2} = (x^2 - 1)e^{-x^2/2}$ .
Zero de $f''$ : $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ .
Sinal:
- $|x| > 1$ : $x^2 - 1 > 0 \Rightarrow f'' > 0$ (côncava para cima).
- $|x| < 1$ : $x^2 - 1 < 0 \Rightarrow f'' < 0$ (côncava para baixo).
Inflexões: em $x = \pm 1$ , $f''$ muda de sinal. Pontos: $(\pm 1, e^{-1/2}) = (\pm 1, \approx 0{,}607)$ .

Verificação. Para $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ , as inflexões estão em $\mu \pm \sigma$ . Aqui $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ — consistente. ✓

Fonte. Active Calculus §3.1, Activity 3.1.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Caso inconclusivo: f'' = 0 em critico nao e inflexao (avancado)

Problema. Para $f(x) = x^4$ , verifique que $f''(0) = 0$ mas $x = 0$ é mínimo local (não inflexão).

Estratégia. Mostrar que $f''$ não muda de sinal em $x = 0$ .

Resolução.

$f'(x) = 4x^3 = 0 \Rightarrow x = 0$ (ponto crítico).
$f''(x) = 12x^2 \geq 0$ para todo $x$ . Em particular $f''(0) = 0$ — teste inconclusivo.
Mas $f''(x) \geq 0$ em vizinhança de $0$ : não muda de sinal.
Conclusão: $x = 0$ NÃO é inflexão. É mínimo global ( $f(x) = x^4 \geq 0$ para todo $x$ , com igualdade só em $0$ ).
Confirmação pelo teste de sinal de $f'$ : $f'(x) = 4x^3 < 0$ para $x < 0$ e $f'(x) > 0$ para $x > 0$ — mínimo confirmado.

Verificação. O gráfico de $x^4$ é uma parábola "achatada" com o fundo em $0$ — visualmente um mínimo. ✓

Fonte. APEX Calculus §3.4, Note após Example 3.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 5· Custo com rendimentos decrescentes — inflexao economica (modelagem)

Problema. Uma empresa tem custo de produção $C(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 100$ (em reais). Encontre o ponto de inflexão e interprete economicamente.

Estratégia. Calcular $C''$ , achar a inflexão e analisar o comportamento do custo marginal $MC = C'$ .

Resolução.

$C'(q) = 3q^2 - 12q + 15 = MC(q)$ (custo marginal).
$C''(q) = 6q - 12$ .
Inflexão: $C''(q) = 0 \Rightarrow q = 2$ .
Sinal de $C''$ : para $q < 2$ , $C'' < 0$ (custo marginal decrescente — ganhos de escala). Para $q > 2$ , $C'' > 0$ (custo marginal crescente — pressão de capacidade).
Ponto de inflexão: $C(2) = 8 - 24 + 30 + 100 = 114$ . Ponto $(2, 114)$ .

Verificação. $MC(0) = 15$ , $MC(2) = 12 - 24 + 15 = 3$ , $MC(4) = 48 - 48 + 15 = 15$ . Mínimo de $MC$ em $q = 2$ — consistente com inflexão de $C$ . ✓

Fonte. Active Calculus §3.1, Exercise 3.1.5 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 4Modeling 10Challenge 2Proof 4

Ex. 66.1ApplicationAnswer key
Determine a concavidade de $f(x) = x^2$ em todo $\mathbb{R}$ . Há inflexão?
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.1
Ex. 66.2ApplicationAnswer key
Determine a concavidade e os pontos de inflexão de $f(x) = x^3$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Example 4.37
Show solution
$f'' = 6x$ . Para $x < 0$ : côncava para baixo. Para $x > 0$ : côncava para cima. Inflexão em $x = 0$ porque $f''$ muda de sinal.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule derivadas: $f'(x) = 3x^2$ , $f''(x) = 6x$ .
2. Zero de $f''$ : $6x = 0 \Rightarrow x = 0$ .
3. Sinal: $x < 0 \Rightarrow f'' < 0$ (chapéu); $x > 0 \Rightarrow f'' > 0$ (tigela).
4. Mudança de sinal em $x = 0$ confirma inflexão. Ponto: $(0, 0)$ .
5. Curiosidade: o ponto de inflexão de $x^3$ é também o único zero — a curva atravessa o eixo x exatamente onde muda de concavidade.
Ex. 66.3Application
Concavidade de $f(x) = x^4$ . Há inflexão em $x = 0$ ? Justifique com o sinal de $f''$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.3
Show solution
$f'' = 12x^2 \geq 0$ para todo $x$ . Não muda de sinal — sem inflexão. Côncava para cima em todo $\mathbb{R}$ (convexidade global).
Ex. 66.4Application
Concavidade de $f(x) = e^x$ em todo $\mathbb{R}$ . Há inflexão?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.1
Ex. 66.5Application
Concavidade de $f(x) = \ln x$ em $(0, \infty)$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.5
Ex. 66.6Application
Concavidade de $f(x) = \sin x$ em $[0, 2\pi]$ . Identifique os pontos de inflexão.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.3
Show solution
$f'' = -\sin x$ . Zero em $x = 0, \pi, 2\pi$ . Inflexões em $x = 0, \pi, 2\pi$ (onde $f''$ muda de sinal). Para $x \in (0, \pi)$ : $f'' < 0$ (chapéu). Para $x \in (\pi, 2\pi)$ : $f'' > 0$ (tigela).
Ex. 66.7Application
Concavidade de $f(x) = \cos x$ em $[0, 2\pi]$ . Pontos de inflexão.
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.7
Ex. 66.8Application
Concavidade de $f(x) = 1/x$ nos intervalos $(0,\infty)$ e $(-\infty,0)$ .
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.2
Ex. 66.9ApplicationAnswer key
Concavidade de $f(x) = e^{-x^2/2}$ (gaussiana). Identifique os pontos de inflexão.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Example 4.40
Ex. 66.10ApplicationAnswer key
Concavidade e inflexão de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.9
Show solution
$f'' = 6x - 6$ . Zero em $x = 1$ . Inflexão em $(1, f(1)) = (1, 1 - 3 + 2) = (1, 0)$ . Côncava para baixo em $(-\infty, 1)$ , para cima em $(1, \infty)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f'(x) = 3x^2 - 6x$ e $f''(x) = 6x - 6$ .
2. Zero de $f''$ : $6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ .
3. Sinal: $x < 1 \Rightarrow f'' < 0$ ; $x > 1 \Rightarrow f'' > 0$ . Mudança confirmada.
4. Ponto: $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Inflexão em $(1, 0)$ .
5. Macete: para polinômios cúbicos $ax^3 + bx^2 + \cdots$ , o ponto de inflexão está sempre em $x = -b/(3a)$ — o centro de simetria da cúbica.
Ex. 66.11Application
Use o teste de $f''$ : classifique os extremos de $f(x) = x^3 - 12x$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Example 4.38
Show solution
$f' = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . $f'' = 6x$ . $f''(2) = 12 > 0$ : mínimo em $(2, -16)$ . $f''(-2) = -12 < 0$ : máximo em $(-2, 16)$ .
Ex. 66.12Application
Extremos de $f(x) = x^4 - 4x^2$ via teste de $f''$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.13
Ex. 66.13Application
Extremos de $f(x) = x e^{-x}$ via $f''$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.10
Show solution
$f'(x) = e^{-x}(1-x) = 0 \Rightarrow x = 1$ . $f''(x) = e^{-x}(x-2)$ . $f''(1) = e^{-1}(-1) < 0$ : máximo em $(1, e^{-1})$ .
Ex. 66.14ApplicationAnswer key
Extremos de $f(x) = x^2 \ln x$ em $(0, \infty)$ via $f''$ .
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.4
Ex. 66.15Application
Extremos de $f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin(2x)$ em $[0, 2\pi]$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.17
Show solution
$f'(x) = \cos x + \cos(2x) = 0$ . Usando $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$ : $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1/2$ ou $-1$ . Críticos: $x = \pi/3, \pi, 5\pi/3$ . Aplique $f''$ em cada um.
Ex. 66.16Application
Mostre que $f(x) = x^4$ tem mínimo em $x = 0$ apesar de $f''(0) = 0$ (teste inconclusivo).
OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.15
Show solution
Demonstrar que $x = 0$ é mínimo de $x^4$ mesmo com $f''(0) = 0$ : use o fato que $f(x) = x^4 \geq 0$ para todo $x$ , e $f(0) = 0$ é o menor valor possível.
Ex. 66.17Application
Mostre que $f(x) = x^5$ não tem extremo em $x = 0$ apesar de $f'(0) = 0$ .
APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.19
Show solution
Para $f(x) = x^5$ : $f'(0) = 0$ e $f''(0) = 0$ (inconclusivo). Mas $f'(x) = 5x^4 \geq 0$ para todo $x$ , com igualdade só em $0$ . Portanto $f$ é crescente em toda vizinhança de $0$ — não há extremo local.
Ex. 66.18Application
Para $f(x) = x^2 + 1/x$ em $x > 0$ : ache o mínimo e justifique com $f''$ .
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.6
Ex. 66.19ApplicationAnswer key
Extremos de $f(x) = \ln x / x$ em $(0, \infty)$ via $f''$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.13
Show solution
$f'(x) = (1 - \ln x)/x^2 = 0 \Rightarrow x = e$ . $f''(e) = (-3 + 2)/e^3 = -1/e^3 < 0$ : máximo. $f(e) = 1/e$ .
Ex. 66.20Application
Extremos de $f(x) = x^{1/x}$ em $(0, \infty)$ (tome $\ln f$ antes de derivar).
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.21
Ex. 66.21Modeling
Custo $C(q) = q^3 - 6q^2 + 9q + 100$ . Ache a inflexão e interprete como mudança de retorno marginal.
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.5
Show solution
$C''(q) = 6q - 12 = 0 \Rightarrow q = 2$ . Para $q < 2$ : custo marginal decrescente (ganho de escala). Para $q > 2$ : crescente (pressão de capacidade). Inflexão em $q = 2$ é o ponto de mudança de regime.
Ex. 66.22Modeling
Lucro $\pi(q) = -q^3 + 30q^2 - 100q$ . Maximize via $\pi'$ e confirme com $\pi''$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.20
Ex. 66.23Modeling
Curva logística $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$ . Mostre que há inflexão em $P = K/2$ (metade da capacidade de suporte).
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.7
Show solution
Para $P(t) = K/(1 + e^{-rt})$ : $P'' = rP(r - 2rP/K)$ . Igualar a zero: $P = K/2$ , que ocorre em $t = 0$ (quando centramos em zero). Inflexão em $P = K/2$ : ponto de máximo crescimento da população.
Show step-by-step (with the why)
1. Seja $P = K/(1+e^{-rt})$ . Calcule $P' = rP(1 - P/K)$ (taxa logística).
2. Derive novamente: $P'' = r P' (1 - 2P/K)$ .
3. Iguale a zero: $P = 0$ (trivial) ou $P = K/2$ .
4. Em $P = K/2$ : $P''$ muda de sinal — inflexão.
5. Observação: O ponto de inflexão da curva logística corresponde ao máximo da taxa de crescimento — a "virada" da epidemia ou da expansão de mercado.
Ex. 66.24Modeling
Energia potencial $U(x) = -\cos x$ (pêndulo). Encontre equilíbrios estáveis e instáveis usando $U''$ .
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.27
Ex. 66.25ModelingAnswer key
Mola harmônica: $U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ . Mostre que $x = 0$ é equilíbrio estável usando $U''$ .
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.9
Show solution
$U(x) = \frac{1}{2}kx^2$ . $U'(x) = kx = 0$ em $x = 0$ . $U''(x) = k > 0$ : côncava para cima. Mínimo em $x = 0$ — equilíbrio estável. Frequência natural de oscilação: $\omega = \sqrt{k/m}$ .
Ex. 66.26Modeling
Entropia de Bernoulli $H(p) = -p\ln p - (1-p)\ln(1-p)$ . Mostre $H'' < 0$ e que o máximo é em $p = 1/2$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.22
Ex. 66.27Modeling
Curva de aprendizagem $L(t) = 1 - e^{-kt}$ . Determine a concavidade. O que ela diz sobre a velocidade de aprendizado?
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.10
Show solution
Curva de aprendizado: $L(t) = 1 - e^{-kt}$ . $L'' = -k^2 e^{-kt} < 0$ . Côncava para baixo: os ganhos de aprendizado diminuem ao longo do tempo (retornos decrescentes). Sem inflexão.
Ex. 66.28Modeling
Numa epidemia, o pico de novos casos ocorre no ponto de inflexão da curva de casos acumulados $f(t)$ . Justifique geometricamente e via $f''$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.23
Ex. 66.29Modeling
Utilidade $U(W) = \ln W$ é côncava. Explique como a desigualdade de Jensen implica aversão ao risco para esse investidor.
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.11
Show solution
Utilidade $U(W) = \ln W$ : $U'' = -1/W^2 < 0$ — côncava para baixo. Por Jensen: $E[U(W)] \leq U(E[W])$ . Isso significa que o agente prefere o valor esperado garantido à loteria — definição de aversão ao risco.
Ex. 66.30Modeling
Por que a função de perda da regressão linear tem um único mínimo global? Use convexidade para justificar.
Solve online Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.12
Ex. 66.31Understanding
Qual é a condição correta para que $x_0$ seja ponto de inflexão de $f$ ?
Select the correct option
$f''(x_0) = 0$ e $f''$ muda de sinal ao passar por $x_0$ . $f''(x_0) = 0$ e $f'(x_0) = 0$ . $f''(x_0) = 0$ , independentemente do sinal em torno. $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) = 0$ , mas $f'''(x_0) eq 0$ .
Select an option first
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.30
Show solution
A definição de ponto de inflexão exige mudança de sinal de $f''$ . Ter $f'' = 0$ sem mudança de sinal (como $x^4$ em 0) não configura inflexão.
Ex. 66.32UnderstandingAnswer key
Prove que a soma de duas funções convexas é convexa, usando a definição via $f''$ .
Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.13
Show solution
Soma: $(f+g)'' = f'' + g''$ . Se $f'' \geq 0$ e $g'' \geq 0$ , então $(f+g)'' \geq 0$ . Logo $f+g$ é convexa.
Ex. 66.33Understanding
Mostre que $f$ convexa em $I$ implica desigualdade do ponto médio: $f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2}$ .
OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Exercise 4.5.28
Show solution
Mostre que $f((x+y)/2) \leq (f(x)+f(y))/2$ : use a definição de convexidade com $t = 1/2$ . Geometricamente: o ponto médio do segmento está acima do ponto médio do gráfico.
Ex. 66.34UnderstandingAnswer key
Por que $f''(x_0) = 0$ não é suficiente para garantir inflexão? Dê um contraexemplo concreto.
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.31
Show solution
Dê o contraexemplo $f(x) = x^4$ : $f''(0) = 0$ mas $f'' \geq 0$ em torno — sem mudança de sinal. Logo $x = 0$ não é inflexão apesar de $f'' = 0$ .
Ex. 66.35Challenge
Mostre que $\ln$ é côncava em $(0,\infty)$ e use isso para provar a desigualdade AM-GM: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ para $x, y > 0$ .
Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.14
Show solution
$\ln$ é côncava: $\ln((x+y)/2) \geq (\ln x + \ln y)/2 = \ln\sqrt{xy}$ . Aplicando exponencial: $(x+y)/2 \geq \sqrt{xy}$ . QED.
Ex. 66.36Challenge
Função de Huber $L(x) = x^2/2$ se $|x| \leq 1$ ; $|x| - 1/2$ caso contrário. É convexa? Onde $L''$ é descontínua?
Solve online APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.35
Show solution
Huber: $L(x) = x^2/2$ se $|x| \leq 1$ , $|x| - 1/2$ caso contrário. Segunda derivada: $L'' = 1$ para $|x| < 1$ , $L'' = 0$ para $|x| > 1$ . $L''$ não existe em $x = \pm 1$ . É convexa (não-negativa). Não é estritamente convexa.
Ex. 66.37Proof
Demonstre o teste da segunda derivada via polinômio de Taylor de ordem 2.
OpenStax Calculus Vol. 1 · §4.5 · p. Theorem 4.11 (prova)
Show solution
Taylor de ordem 2 em $x_0$ : $f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$ . Com $f'(x_0) = 0$ : $f(x) - f(x_0) \approx \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$ . Se $f''(x_0) > 0$ : o lado direito é positivo perto de $x_0$ , logo $f(x) > f(x_0)$ — mínimo local. Analogamente para $f'' < 0$ .
Ex. 66.38Proof
Demonstre a desigualdade de Jensen para dois pontos: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ — diretamente da definição de convexidade.
Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.15
Show solution
Definição de convexidade: $f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$ para todo $t \in [0,1]$ . Com $t = 1/2$ e propriedades da integral/probabilidade, deduz-se Jensen geral por indução ou continuidade.
Ex. 66.39ProofAnswer key
Demonstre que toda função convexa em intervalo aberto é contínua no interior.
APEX Calculus · §3.4 · p. Exercise 3.4.38
Show solution
Seja $f$ convexa em intervalo aberto $I$ . Para $x_0 \in I$ , a função quociente $(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$ é crescente em $x$ . Isso implica que os limites laterais existem e são finitos, portanto $f$ é contínua em $x_0$ .
Ex. 66.40Proof
Demonstre que $f$ é convexa se e somente se o gráfico fica sempre acima de qualquer tangente: $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y-x)$ para todo $x, y$ .
Active Calculus · §3.1 · p. Exercise 3.1.16
Show solution
Pelo resíduo de Taylor de ordem 1 com ponto de expansão em $x$ : $f(y) \geq f(x) + f'(x)(y - x)$ para todo $y$ , pois $R_1(y) = f''(\xi)(y-x)^2/2 \geq 0$ . Isso é equivalente à convexidade (suporte pela tangente).

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §3.1 Using Derivatives to Identify Extreme Values · CC-BY-NC-SA. Fonte primária.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §4.5 Derivatives and the Shape of a Graph · CC-BY-NC-SA.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2024 · v5.0 · §3.4 Concavity and the Second Derivative Test · CC-BY-NC.