v1 · padrão canônico

Lição 69 — Método de Newton-Raphson

Iteração x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) para raízes. Convergência quadrática, falhas, bacias de atração.

Used in: 2.º ano do programa (17 anos) · Equiv. Math III japonês (métodos numéricos) · Equiv. Klasse 12 LK alemã (Numerik)

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

O método de Newton-Raphson aproxima uma raiz $r$ de $f(x)=0$ por iteração: parta de $x_0$ próximo de $r$ , em cada passo substitua $f$ pela tangente em $x_n$ e tome o cruzamento dessa tangente com o eixo $x$ . Sob hipóteses suaves, a convergência é quadrática: o número de dígitos corretos dobra a cada iteração.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição, derivação e convergência

A iteração de Newton-Raphson

"Newton's Method is a technique to approximate the solution of $f(x) = 0$ . It works when one can perform repeated evaluations of $f$ and $f'$ , making it ideal for functions like polynomials, exponentials, and trigonometric functions." — APEX Calculus, §4.4

Derivação via aproximação linear (Taylor ordem 1)

Se $r$ é raiz de $f$ e $x_n$ está próximo de $r$ , pela expansão de Taylor:

$0 = f(r) \approx f(x_n) + f'(x_n)(r - x_n).$

Resolvendo para $r$ : $r \approx x_n - f(x_n)/f'(x_n) = x_{n+1}$ . A iteração define a próxima estimativa como o zero da aproximação linear.

(x_n, f(x_n))

x_{n+1}

x_n

r

y = f(x)

tangente em

x_n

A tangente em $(x_n, f(x_n))$ corta o eixo $x$ em $x_{n+1}$ , sempre mais próximo da raiz $r$ (ponto preenchido azul) — desde que $x_0$ esteja próximo o suficiente.

Teorema de convergência local

Prova (esboço). Seja $e_n = x_n - r$ . Taylor de $f$ em torno de $r$ :

$0 = f(r) = f(x_n) + f'(x_n)(r - x_n) + \frac{f''(\xi_n)}{2}(r - x_n)^2$

para algum $\xi_n$ entre $x_n$ e $r$ . Da iteração, $x_{n+1} - r = x_n - f(x_n)/f'(x_n) - r$ . Substituindo e simplificando:

$e_{n+1} = -\frac{f''(\xi_n)}{2 f'(x_n)}\, e_n^2.$

Quando $x_n \to r$ , $\xi_n \to r$ e $f'(x_n) \to f'(r) \neq 0$ , logo $|e_{n+1}|/|e_n|^2 \to |f''(r)|/(2|f'(r)|) = C$ . $\square$

Patologias e falhas

Exemplos resolvidos

Example— 1· Iteração básica: estimar a raiz cúbica de 10 (introducao)

Problema. Aplique 3 iterações de Newton-Raphson para estimar $\sqrt[3]{10}$ , partindo de $x_0 = 2$ .

Estratégia. Defina $f(x) = x^3 - 10$ , de modo que $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{10}$ . Calcule $f'(x) = 3x^2$ e aplique a iteração $x_{n+1} = x_n - (x_n^3 - 10)/(3x_n^2)$ .

Resolução.

$x_0 = 2$

$x_1 = 2 - (8 - 10)/(12) = 2 + 2/12 = 2{,}16\overline{6}$

$x_2 = 2{,}1667 - (2{,}1667^3 - 10)/(3 \cdot 2{,}1667^2) \approx 2{,}1544$

$x_3 \approx 2{,}15443...$

O valor exato é $\sqrt[3]{10} = 2{,}154435\ldots$ Já na 3.ª iteração temos 5 casas corretas.

Verificação. $2{,}15443^3 \approx 9{,}9997 \approx 10$ . Coerente.

Fonte. APEX Calculus §4.4, Example 4.4.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Ciclo e falha: f(x) = x^3 - 2x + 2, x_0 = 0 (compreensao)

Problema. Mostre que Newton-Raphson com $f(x) = x^3 - 2x + 2$ e $x_0 = 0$ não converge — entra em ciclo.

Estratégia. Calcule $f'(x) = 3x^2 - 2$ e verifique o que acontece iterando a partir de $x_0 = 0$ .

Resolução.

$x_1 = 0 - f(0)/f'(0) = 0 - 2/(-2) = 1$

$x_2 = 1 - f(1)/f'(1) = 1 - (1 - 2 + 2)/(3 - 2) = 1 - 1/1 = 0$

$x_3 = 0$ (voltou ao início).

A sequência oscila indefinidamente entre $0$ e $1$ . A única raiz real de $f$ é $x \approx -1{,}769$ — o chute $x_0 = 0$ está longe demais e no lado errado da geometria.

Verificação. $f(0) = 2 > 0$ , $f(1) = 1 > 0$ , $f(-2) = -8 + 4 + 2 < 0$ — a raiz está em $(-2, -1)$ , não próximo de $0$ .

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.9, Example 4.9.4 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Raiz múltipla: convergência linear em (x-1)^2 (intermediario)

Problema. Compare a convergência de Newton-Raphson com a fórmula padrão e com a fórmula modificada $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$ para $f(x) = (x-1)^2$ , partindo de $x_0 = 2$ .

Estratégia. $f(x) = (x-1)^2$ , $f'(x) = 2(x-1)$ . Iteração padrão: $x_{n+1} = x_n - (x_n-1)^2/(2(x_n-1)) = x_n - (x_n-1)/2 = (x_n+1)/2$ . Iteração modificada com $m = 2$ : $x_{n+1} = x_n - 2(x_n-1)^2/(2(x_n-1)) = x_n - (x_n - 1) = 1$ (converge em 1 passo).

Resolução.

Fórmula padrão: $x_0 = 2$ , $x_1 = 1{,}5$ , $x_2 = 1{,}25$ , $x_3 = 1{,}125$ , $x_4 = 1{,}0625$ . O erro cai pela metade a cada passo: convergência linear com razão $1/2$ .

Fórmula modificada: $x_1 = 2 - 2 \cdot 1/2 = 1$ . Convergiu em 1 iteração.

Verificação. Erro na iteração padrão após $k$ passos: $e_k = (1/2)^k$ . Em 10 passos, $e_{10} = 2^{-10} \approx 10^{-3}$ . Na modificada, $e_1 = 0$ exatamente.

Fonte. APEX Calculus §4.4, Discussion after Theorem 4.4.1 — CC-BY-NC.

Example— 4· TIR de investimento: raiz de polinomio em taxa (modelagem)

Problema. Um investimento custa R$ 1000 e retorna R$ 400 ao final do ano 1, R$ 400 ao final do ano 2 e R$ 300 ao final do ano 3. Encontre a TIR usando Newton-Raphson.

Estratégia. A TIR $r$ é raiz de $f(r) = -1000 + 400/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 300/(1+r)^3$ . Calcule $f'(r)$ por derivação e aplique Newton com $x_0 = 0{,}10$ .

Resolução. Faça $u = 1/(1+r)$ . Então $f = -1000 + 400u + 400u^2 + 300u^3$ .

$f'(r) = -400u^2 - 800u^3 - 900u^4$ (derivando $u$ em $r$ : $du/dr = -u^2$ ).

Iteração com $r_0 = 0{,}10$ ( $u_0 \approx 0{,}9091$ ):

$f(0{,}10) = -1000 + 363{,}6 + 330{,}6 + 225{,}4 = -80{,}4$

$f'(0{,}10) \approx -330 - 657 - 676 = -1663$

$r_1 = 0{,}10 - (-80{,}4)/(-1663) \approx 0{,}1517$

Após 3 iterações: $r \approx 0{,}1493$ (14,93% a.a.).

Verificação. $f(0{,}1493) = -1000 + 400/1{,}1493 + 400/1{,}1493^2 + 300/1{,}1493^3 \approx 0{,}01$ (praticamente zero).

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1 §4.9, Exercises 4.9 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Newton em sistema 2x2: equilibrio de mercado nao-linear (desafio)

Problema. Oferta e demanda não-lineares: $Q_d = 100 - p^2$ e $Q_s = 10 p^{0{,}5}$ . Ache o equilíbrio $(p^*, Q^*)$ via Newton em sistema.

Estratégia. Defina $f_1(p, Q) = Q - 100 + p^2 = 0$ e $f_2(p, Q) = Q - 10\sqrt{p} = 0$ . O sistema Newton é $J \Delta \vec{x} = -\vec{f}$ , com Jacobiana $J = \partial(f_1, f_2)/\partial(p, Q)$ .

Resolução.

$J = \begin{pmatrix} 2p & 1 \\ -5/\sqrt{p} & 1 \end{pmatrix}$

Chute inicial: $p_0 = 5$ , $Q_0 = 75$ .

Passo 1: $f_1(5, 75) = 75 - 100 + 25 = 0$ ; $f_2(5, 75) = 75 - 10\sqrt{5} \approx 52{,}6$ .

Passo 2: resolva $J \Delta \vec x = -(0, 52{,}6)^T$ .

$J = \begin{pmatrix} 10 & 1 \\ -2{,}24 & 1 \end{pmatrix}$ , $\det J \approx 12{,}24$ .

$\Delta p = -52{,}6/12{,}24 \approx -4{,}3$ , $\Delta Q \approx 43$ .

Após 3 iterações: $p^* \approx 9{,}08$ , $Q^* \approx 17{,}4$ .

Verificação. $Q_d(9{,}08) = 100 - 82{,}4 = 17{,}6 \approx Q^*$ . $Q_s(9{,}08) = 10\sqrt{9{,}08} \approx 30{,}1$ — discrepância indica que a iteração precisa de mais um passo ou revisão da solução simbólica.

Fonte. REAMAT Cálculo Numérico cap. 3.3 — CC-BY-SA.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 12Understanding 5Modeling 8Challenge 3Proof 4

Ex. 69.1Application
$f(x) = x^2 - 2$ , $x_0 = 1$ . Aplique 3 iterações de Newton-Raphson. Compare com $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 1 · p. 223
Show solution
Para $f(x)=x^2-2$ , $f'(x)=2x$ . A iteração é $x_{n+1}=(x_n+2/x_n)/2$ . Com $x_0=1$ : $x_1=1{,}5$ , $x_2\approx1{,}4167$ , $x_3\approx1{,}41421568$ . Correto: $\sqrt2=1{,}41421356\ldots$ Já temos 5 casas corretas em 3 passos.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique $f(x)=x^2-2$ e $f'(x)=2x$ . Por quê: a raiz de $f$ é exatamente $\sqrt2$ .
2. Simplifique a iteração: $x_{n+1}=x_n-(x_n^2-2)/(2x_n)=(x_n+2/x_n)/2$ . Por quê: esta é a fórmula de Heron (babilônica), válida há 4000 anos.
3. Calcule: $x_1=(1+2)/2=1{,}5$ , $x_2=(1{,}5+2/1{,}5)/2\approx1{,}4167$ , $x_3\approx1{,}41421568$ .
Macete: a fórmula $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$ funciona para qualquer $\sqrt{a}$ — substituindo apenas $a$ .
Ex. 69.2Application
$f(x) = x^2 - 5$ , $x_0 = 2$ . Aplique 3 iterações para estimar $\sqrt{5}$ .
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 2 · p. 223
Show solution
Para $f(x)=x^2-5$ , $f'(x)=2x$ . Iteração: $x_{n+1}=(x_n+5/x_n)/2$ . Com $x_0=2$ : $x_1=2{,}25$ , $x_2\approx2{,}2361$ , $x_3\approx2{,}23606797\ldots$ Valor exato: $\sqrt5=2{,}2360679\ldots$
Ex. 69.3ApplicationAnswer key
$f(x) = x^3 - 2$ , $x_0 = 1$ . Aplique 3 iterações para estimar $\sqrt[3]{2}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 407 · p. 461
Show solution
Para $f(x)=x^3-2$ , $f'(x)=3x^2$ . Iteração: $x_{n+1}=x_n-(x_n^3-2)/(3x_n^2)$ . Com $x_0=1$ : $x_1=1{,}3333$ , $x_2\approx1{,}2639$ , $x_3\approx1{,}25993$ . Valor exato: $\sqrt[3]{2}\approx1{,}25992105$ .
Ex. 69.4ApplicationAnswer key
$f(x) = \cos x - x$ , $x_0 = 1$ . Aplique 3 iterações para estimar o ponto fixo de $\cos$ .
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 7 · p. 224
Show solution
Para $f(x)=\cos x-x$ , $f'(x)=-\sin x-1$ . Com $x_0=1$ : $x_1=1-(cos1-1)/(-\sin1-1)\approx0{,}7391$ , $x_2\approx0{,}7391$ . Convergiu: o ponto fixo de $\cos$ é $x\approx0{,}73909$ (constante de Dottie).
Ex. 69.5ApplicationAnswer key
$f(x) = e^x - 2$ , $x_0 = 1$ . Aplique 3 iterações para estimar $\ln 2$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 411 · p. 461
Show solution
Para $f(x)=e^x-2$ , $f'(x)=e^x$ . Iteração: $x_{n+1}=x_n-(e^{x_n}-2)/e^{x_n}=x_n-1+2e^{-x_n}$ . Com $x_0=1$ : $x_1\approx0{,}7358$ , $x_2\approx0{,}6934$ , $x_3\approx0{,}6931$ . Valor exato: $\ln2\approx0{,}6931$ .
Ex. 69.6Application
$f(x) = x \ln x - 1$ , $x_0 = 2$ . Aproxime a raiz com 4 casas decimais.
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 9 · p. 224
Show solution
Para $f(x)=x\ln x-1$ , $f'(x)=\ln x+1$ . Com $x_0=2$ : $x_1=2-(2\ln2-1)/(\ln2+1)\approx1{,}7630$ , $x_2\approx1{,}7632$ . Raiz: $x\approx1{,}7632$ (satisfaz $x\ln x=1$ ).
Ex. 69.7Application
$f(x) = \sin x$ , $x_0 = 3$ . Mostre numericamente que as iterações convergem para $\pi$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 409 · p. 461
Show solution
Para $f(x)=\sin x$ , $f'(x)=\cos x$ . Com $x_0=3$ : $x_1=3-\sin3/\cos3\approx3-0{,}1411/(-0{,}9900)\approx3{,}1425$ , $x_2\approx3{,}14159$ . Converge para $\pi$ .
Ex. 69.8Application
$f(x) = x^3 - x - 1$ , $x_0 = 1{,}5$ . Aproxime a raiz real (constante plástica $\approx 1{,}3247$ ).
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 11 · p. 224
Show solution
Para $f(x)=x^3-x-1$ , $f'(x)=3x^2-1$ . Com $x_0=1{,}5$ : $x_1\approx1{,}3478$ , $x_2\approx1{,}3247$ , $x_3\approx1{,}32472$ . Raiz real: constante plástica $\rho\approx1{,}3247$ .
Ex. 69.9Application
$f(x) = x^2 - x - 1$ , $x_0 = 1{,}5$ . Aproxime a razão áurea $\phi = (1 + \sqrt{5})/2$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 413 · p. 461
Show solution
Para $f(x)=x^2-x-1$ , $f'(x)=2x-1$ . Com $x_0=1{,}5$ : $x_1=(1{,}5^2-0{,}5)/2=1{,}625$ , $x_2\approx1{,}6180$ , $x_3\approx1{,}61803$ . Razão áurea $\phi=(1+\sqrt5)/2\approx1{,}61803$ .
Ex. 69.10Application
$f(x) = \tan x - x$ , $x_0 = 4{,}5$ . Aproxime a menor raiz positiva maior que $\pi$ .
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 13 · p. 224
Show solution
Para $f(x)=\tan x-x$ , $f'(x)=\sec^2 x-1=\tan^2 x$ . A menor raiz positiva maior que $\pi$ é próxima de $4{,}49$ . Com $x_0=4{,}5$ : após 3 iterações, $x\approx4{,}4934$ .
Ex. 69.11ModelingAnswer key
Mostre que a fórmula de Heron $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ para calcular $\sqrt{a}$ é exatamente Newton-Raphson aplicado a $f(x) = x^2 - a$ .
APEX Calculus · §4.4 · ex. 15 · p. 225
Show solution
Queremos raiz de $f(x)=x^2-a$ , então $f'(x)=2x$ . Newton dá $x_{n+1}=x_n-(x_n^2-a)/(2x_n)=(x_n+a/x_n)/2$ . Esta é exatamente a fórmula de Heron. Demonstrado.
Show step-by-step (with the why)
1. Defina o problema: queremos $\sqrt{a}$ , que é raiz de $f(x)=x^2-a$ .
2. Calcule $f'(x)=2x$ .
3. Aplique Newton: $x_{n+1}=x_n-(x_n^2-a)/(2x_n)$ .
4. Simplifique: $x_{n+1}=(2x_n^2-x_n^2+a)/(2x_n)=(x_n^2+a)/(2x_n)=(x_n+a/x_n)/2$ . Esta é a fórmula de Heron.
Curiosidade: os babilônios usaram esta fórmula para calcular $\sqrt2$ em tábua de argila (YBC 7289, aprox. 1800 a.C.) com 6 casas decimais corretas.
Ex. 69.12Modeling
Generalize: qual é a iteração de Newton para calcular $\sqrt[n]{a}$ ? Aplique para $n = 3$ , $a = 8$ , $x_0 = 2$ (2 passos).
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 417 · p. 462
Show solution
Para $\sqrt[n]{a}$ , defina $f(x)=x^n-a$ , $f'(x)=nx^{n-1}$ . Newton dá $x_{n+1}=x_n-(x_n^n-a)/(nx_n^{n-1})=x_n(1-1/n)+a/(nx_n^{n-1})=\frac{(n-1)x_n}{n}+\frac{a}{nx_n^{n-1}}$ . Para $n=2$ , recupera Heron.
Ex. 69.13Modeling
Mostre que $x_{n+1} = x_n(2 - ax_n)$ calcula $1/a$ via Newton sem nenhuma operação de divisão. Aplique para $a = 7$ , $x_0 = 0{,}1$ (3 passos).
APEX Calculus · §4.4 · ex. 17 · p. 225
Show solution
Queremos $1/a$ : raiz de $f(x)=1/x-a$ . $f'(x)=-1/x^2$ . Newton: $x_{n+1}=x_n-(1/x_n-a)/(-1/x_n^2)=x_n+x_n^2(1/x_n-a)=x_n(2-ax_n)$ . Sem nenhuma divisão na iteração! Com $a=7$ , $x_0=0{,}1$ : $x_1=0{,}1(2-0{,}7)=0{,}13$ , $x_2\approx0{,}1430$ , $x_3\approx0{,}1429$ . Correto: $1/7\approx0{,}1429$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Modele: $1/a$ é raiz de $f(x)=1/x-a$ .
2. $f'(x)=-x^{-2}$ . Newton: $x_{n+1}=x_n-(1/x_n-a)/(-1/x_n^2)$ .
3. Simplifique: $x_{n+1}=x_n+x_n^2(1/x_n-a)=2x_n-ax_n^2=x_n(2-ax_n)$ .
4. Observe: a iteração usa apenas multiplicação e subtração — **zero divisões**. Ideal para hardware com divisão cara.
Curiosidade: processadores RISC antigos (MIPS, alguns ARM) implementavam divisão exatamente assim: tabela de lookup de $1/a$ com 8 bits + 2 passos Newton.
Ex. 69.14Modeling
Minimize $g(x) = x^4 - 4x + 1$ aplicando Newton-Raphson em $g'(x) = 0$ , com $x_0 = 1{,}5$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 419 · p. 462
Show solution
Para minimizar $g(x)=x^4-4x+1$ , encontre zero de $g'(x)=4x^3-4$ . Newton: $x_{n+1}=x_n-(4x_n^3-4)/(12x_n^2)=x_n-(x_n^3-1)/(3x_n^2)$ . Com $x_0=1{,}5$ : $x_1\approx1{,}315$ , $x_2\approx1{,}261$ , $x_3\approx1{,}2599$ . Mínimo em $x\approx1{,}26$ , $g(1{,}26)\approx-3{,}0$ .
Ex. 69.15Modeling
Fluxos de caixa: $-1000$ , $300$ , $400$ , $500$ (anos 0, 1, 2, 3). A TIR $r$ é raiz de $f(r) = -1000 + 300/(1+r) + 400/(1+r)^2 + 500/(1+r)^3 = 0$ . Use Newton com $r_0 = 0{,}15$ .
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 19 · p. 225
Show solution
Defina $f(r)=-1000+300/(1+r)+400/(1+r)^2+500/(1+r)^3$ . Calculando em $r_0=0{,}15$ : $f\approx-1000+260{,}9+302{,}5+328{,}6=−108$ . Derivada $f'(r)=-300/(1+r)^2-800/(1+r)^3-1500/(1+r)^4\approx-2095$ . $r_1\approx0{,}15-(-108)/(-2095)\approx0{,}0985$ . Após 3 iterações, TIR $\approx10{,}1\%$ .
Ex. 69.16Modeling
Em Black-Scholes, dado preço de mercado $V_{\text{mkt}}$ de uma opção, explique como usar Newton-Raphson para encontrar a volatilidade implícita $\sigma$ . Qual é o papel do vega na iteração?
Solve online REAMAT — Cálculo Numérico (Python) · cap. 3 · ex. 3.4 · p. 45
Show solution
Defina $g(\sigma)=V_{BS}(\sigma)-V_{\text{mkt}}$ . A derivada é o vega: $g'(\sigma)=S\sqrt{T}\phi(d_1)$ onde $\phi$ é a normal padrão. Newton converge tipicamente em 3-5 iterações partindo de $\sigma_0=0{,}20$ (20%). Esta é a base de todos os pricing engines de opções.
Ex. 69.17Modeling
Na equação de van der Waals $(P + a/V^2)(V - b) = RT$ , dado $P$ , $T$ (e constantes do gás), use Newton para encontrar o volume molar $V$ . Esboce a iteração.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 421 · p. 462
Show solution
Equação de van der Waals: $(P+a/V^2)(V-b)=RT$ . Rearranjo: $f(V)=(P+a/V^2)(V-b)-RT=0$ . Deriva-se $f'(V)$ e aplica Newton. Para $\text{CO}_2$ com $a=3{,}59$ , $b=0{,}0427$ , $P=10$ atm, $T=300$ K: chute $V_0=RT/P\approx2{,}46$ (gás ideal). Newton converge em 4 passos.
Ex. 69.18ModelingAnswer key
Equação de Kepler: $E - e \sin E = M$ . Para $e = 0{,}3$ (excentricidade) e $M = 1$ rad (anomalia média), use Newton com $E_0 = 1$ para achar a anomalia excêntrica $E$ (4 iterações).
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 21 · p. 225
Show solution
Equação de Kepler: $f(E)=E-e\sin E-M=0$ . $f'(E)=1-e\cos E$ . Newton: $E_{n+1}=E_n-(E_n-e\sin E_n-M)/(1-e\cos E_n)$ . Para $e=0{,}3$ , $M=1$ rad, $E_0=1$ : $E_1\approx1{,}337$ , $E_2\approx1{,}318$ , $E_3\approx1{,}3172$ . Solução: $E\approx1{,}317$ rad.
Ex. 69.19Understanding
Qual comportamento Newton-Raphson pode exibir quando o chute inicial $x_0$ está longe da raiz?
Select the correct option
A) Converge para a raiz mais próxima de x_0B) Pode ciclar indefinidamente entre dois pontosC) Sempre diverge quando a raiz é múltiplaD) Para quando f'(x_n) = 0 e retorna a x_0
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Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · conceitual · p. 460
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A afirmação da alternativa C é **falsa** como generalização: Newton com raiz múltipla **não diverge necessariamente** — converge, mas apenas **linearmente** (não quadraticamente). A opção correta a ser identificada como a que descreve um comportamento real é a B: quando $f(x)=x^3-2x+2$ com $x_0=0$ , a sequência cicla entre 0 e 1. Resposta: B.
Ex. 69.20Understanding
Qual é o critério de parada mais robusto para Newton-Raphson?
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A) |f(x_n)| < ε, pois garante que a raiz foi encontradaB) |x_{n+1} - x_n| < δ apenas, pois a função pode estar próxima de zero em plateauC) Apenas n > 10, pois Newton sempre converge em 10 passosD) Ambos |f(x_n)| < ε e |x_{n+1} - x_n| < δ, pois cada critério sozinho pode falhar
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Solve online REAMAT — Cálculo Numérico (Python) · cap. 3 · conceitual · p. 47
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Critério robusto: use **ambos** $|f(x_n)|<\varepsilon$ e $|x_{n+1}-x_n|<\delta$ . Sozinho, $|f|<\varepsilon$ pode falhar em raízes múltiplas (plateau da função). Sozinho, $|\Delta x|<\delta$ pode parar prematuramente em plateau da iteração. Resposta: D.
Ex. 69.21Understanding
Mostre que Newton-Raphson com $f(x) = x^3 - 2x + 2$ e $x_0 = 0$ cicla indefinidamente entre $0$ e $1$ .
APEX Calculus · §4.4 · conceitual 1 · p. 223
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Para $f(x)=x^3-2x+2$ , $f'(x)=3x^2-2$ . $x_1=0-f(0)/f'(0)=0-2/(-2)=1$ . $x_2=1-f(1)/f'(1)=1-1/1=0$ . $x_3=0$ . Ciclo perfeito $0\to1\to0\to\cdots$ . A única raiz real está em $(-2,-1)$ , longe do chute.
Ex. 69.22Understanding
$f(x) = x^2$ (raiz dupla em $x = 0$ ), $x_0 = 1$ . Mostre que Newton-Raphson converge apenas linearmente, com razão $1/2$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 415 · p. 461
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Para $f(x)=x^2$ (raiz dupla em 0), $f'(x)=2x$ . Newton: $x_{n+1}=x_n-x_n^2/(2x_n)=x_n/2$ . O erro é $e_{n+1}=e_n/2$ — convergência **linear** com razão $1/2$ . Para raiz simples, o erro vai como $Ce_n^2$ (quadrático). A raiz dupla "degrada" a convergência porque $f'(0)=0$ faz a constante $C=f''(r)/(2f'(r))\to\infty$ .
Ex. 69.23UnderstandingAnswer key
$f(x) = x^{1/3}$ tem raiz em $x = 0$ mas $f'(0)$ não existe. O que acontece com Newton-Raphson? Calcule 4 iterações partindo de $x_0 = 1$ .
Solve online APEX Calculus · §4.4 · conceitual 3 · p. 224
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Para $f(x)=x^{1/3}$ , $f'(x)=(1/3)x^{-2/3}$ . Newton: $x_{n+1}=x_n-x_n^{1/3}/((1/3)x_n^{-2/3})=x_n-3x_n=-2x_n$ . De $x_0=1$ : $1\to-2\to4\to-8\to\cdots$ — **diverge** com fator $-2$ . A raiz $r=0$ tem $f'(0)$ indefinido, violando o requisito do método.
Ex. 69.24Application
Aplique o método da secante ( $x_0 = 1$ , $x_1 = 2$ ) a $f(x) = x^2 - 2$ por 4 iterações. Compare com Newton (exercício 69.1).
Solve online REAMAT — Cálculo Numérico (Python) · cap. 3 · ex. 3.2 · p. 44
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Método da secante para $f(x)=x^2-2$ com $x_0=1$ , $x_1=2$ : $x_2=2-f(2)(2-1)/(f(2)-f(1))=2-2\cdot1/(2-(-1))=2-2/3\approx1{,}333$ . Convergência superlinear (expoente $\approx1{,}618$ ): mais lenta que Newton mas sem calcular $f'$ .
Ex. 69.25Application
$f(x) = x^3 - 3x + 1$ tem 3 raízes reais. Aplique Newton com $x_0 = 2$ , depois com $x_0 = -2$ , depois com $x_0 = 0{,}5$ . Qual raiz cada chute encontra?
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 423 · p. 462
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Para $f(x)=x^3-3x+1$ , $f'(x)=3x^2-3$ . Há 3 raízes reais. Com $x_0=2$ : converge para $x\approx1{,}532$ . Com $x_0=-2$ : converge para $x\approx-1{,}879$ . Com $x_0=0{,}5$ : converge para $x\approx0{,}347$ . A escolha de $x_0$ determina qual raiz é atingida.
Ex. 69.26ChallengeAnswer key
Newton modificado para raiz dupla: $x_{n+1} = x_n - 2f(x_n)/f'(x_n)$ . Aplique a $f(x) = (x-1)^2$ , partindo de $x_0 = 3$ . Compare com a iteração padrão.
Solve online APEX Calculus · §4.4 · ex. 25 · p. 226
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Iteração modificada para raiz dupla ( $m=2$ ): $x_{n+1}=x_n-2f(x_n)/f'(x_n)$ . Para $f(x)=(x-1)^2$ , $f'(x)=2(x-1)$ . Newton modificado: $x_{n+1}=x_n-2(x_n-1)^2/(2(x_n-1))=x_n-(x_n-1)=1$ . Converge **exatamente em 1 passo** para qualquer $x_0$ . Fórmula padrão leva infinitos passos lineares.
Ex. 69.27Challenge
Newton pra otimização: mostre que aplicar Newton a $g'(x) = 0$ para minimizar $g$ é equivalente ao Newton padrão com $f = g'$ . Aplique para minimizar $g(x) = e^x - 3x$ com $x_0 = 0$ .
Solve online REAMAT — Cálculo Numérico (Python) · cap. 3 · ex. 3.8 · p. 50
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Para minimizar $g$ , encontre zero de $g^\prime$ . Newton em $g^\prime=0$ usa $x_{n+1}=x_n-g^\prime(x_n)/g^{\prime\prime}(x_n)$ — mesma fórmula de Newton com $f=g^\prime$ . Para $g(x)=e^x-3x$ : $g^\prime=e^x-3$ , $g^{\prime\prime}=e^x$ . Com $x_0=0$ : $x_1=0-(1-3)/1=2$ , $x_2=2-(e^2-3)/e^2\approx1{,}099$ , $x_3\approx1{,}0986$ . Mínimo em $x^*=\ln3\approx1{,}0986$ .
Ex. 69.28Challenge
Para $f(z) = z^3 - 1$ no plano complexo, descreva qualitativamente as 3 bacias de Newton. Na reta real, qual raiz $x_0 = 2$ e $x_0 = -0{,}5$ atingem?
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 427 · p. 462
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Bacias de Newton para $f(z)=z^3-1$ no plano complexo: as 3 raízes são $1$ , $\omega=e^{2\pi i/3}$ , $\omega^2=e^{4\pi i/3}$ . As bacias têm fronteiras fractais (conjuntos de Julia). Em $\mathbb{R}$ : a única raiz real é $x=1$ . Qualquer $x_0>0$ converge para $1$ em $\mathbb{R}$ . Para $x_0<0$ : pode convergir para $1$ ou oscilar dependendo do ponto exato.
Ex. 69.29Proof
Demonstre a convergência quadrática de Newton-Raphson via Taylor de ordem 2. Identifique a constante $C = |f''(r)|/(2|f'(r)|)$ .
APEX Calculus · §4.4 · Theorem 4.4.1 · p. 220
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Erro $e_n=x_n-r$ . Taylor de $f$ em torno de $r$ : $0=f(r)=f(x_n)+f'(x_n)(r-x_n)+\frac{f''(\xi_n)}{2}(r-x_n)^2$ . Da iteração: $x_{n+1}-r=x_n-f(x_n)/f'(x_n)-r=-\frac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}(x_n-r)^2$ , ou seja $e_{n+1}=-\frac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}e_n^2$ . Quando $x_n\to r$ : $|e_{n+1}|/|e_n|^2\to|f''(r)|/(2|f'(r)|)=C$ . Convergência quadrática. $\square$
Show step-by-step (with the why)
1. Defina $e_n=x_n-r$ . Queremos mostrar $e_{n+1}=O(e_n^2)$ .
2. Expanda $f(r)$ via Taylor em torno de $x_n$ até ordem 2: $0=f(x_n)+f'(x_n)(r-x_n)+\frac{f''(\xi_n)}{2}(r-x_n)^2$ .
3. Isole $f(x_n)/f'(x_n)$ : $f(x_n)/f'(x_n)=(r-x_n)+\frac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}(r-x_n)^2$ .
4. Calcule $e_{n+1}=x_{n+1}-r=x_n-f(x_n)/f'(x_n)-r$ . Substitua: $e_{n+1}=\frac{f''(\xi_n)}{2f'(x_n)}e_n^2$ .
5. Tome $n\to\infty$ : a constante converge para $C=|f''(r)|/(2|f'(r)|)$ .
Observação: a hipótese $f'(r)\neq0$ é essencial — se $f'(r)=0$ (raiz múltipla), a constante explode e a análise quebra.
Ex. 69.30Proof
Demonstre: se $f$ é convexa crescente com raiz simples $r$ e $x_0 > r$ com $f(x_0) > 0$ , Newton-Raphson converge para $r$ .
APEX Calculus · §4.4 · Remark 4.4.2 · p. 221
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Se $f$ é convexa crescente com raiz simples $r$ e $f(x_0)>0$ , então $x_0>r$ . A tangente em $x_0$ fica **abaixo** da curva (convexidade). Logo o zero da tangente satisfaz $x_1>r$ também. Por indução, todos $x_n>r$ e a sequência é decrescente. Como é limitada inferiormente por $r$ , converge. O limite só pode ser $r$ . $\square$
Ex. 69.31Proof
Generalize Newton-Raphson para $\vec{f}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ . Escreva o sistema linear a ser resolvido a cada passo e identifique o papel da Jacobiana $J$ .
Solve online REAMAT — Cálculo Numérico (Python) · cap. 3 · ex. 3.10 · p. 52
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Para $\vec f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ , linearize: $\vec f(\vec x_n+\Delta\vec x)\approx\vec f(\vec x_n)+J(\vec x_n)\Delta\vec x=\vec 0$ . Isso dá $J(\vec x_n)\Delta\vec x=-\vec f(\vec x_n)$ . Resolva o sistema linear para $\Delta\vec x$ (LU ou QR), depois $\vec x_{n+1}=\vec x_n+\Delta\vec x$ . Convergência ainda quadrática sob condições análogas ao caso escalar.
Ex. 69.32ProofAnswer key
Mostre que a iteração de Heron $x_{n+1} = (x_n + a/x_n)/2$ converge quadraticamente a $\sqrt{a}$ para qualquer $x_0 > 0$ .
OpenStax Calculus Volume 1 · §4.9 · ex. 431 · p. 463
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Iteração de Heron: $x_{n+1}=(x_n+a/x_n)/2$ . Faça $e_n=x_n-\sqrt{a}$ . Então $x_{n+1}-\sqrt{a}=(x_n^2-2\sqrt{a}x_n+a)/(2x_n)=(x_n-\sqrt{a})^2/(2x_n)=e_n^2/(2x_n)$ . Portanto $e_{n+1}=e_n^2/(2x_n)\leq e_n^2/(2\sqrt{a})$ para $x_n>\sqrt{a}$ . Por indução (se $x_0>\sqrt{a}$ , todos os $x_n>\sqrt{a}$ ), a sequência converge quadraticamente a $\sqrt{a}$ para qualquer $x_0>0$ . $\square$

Fontes

APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · CC-BY-NC. Fonte primária — §4.4 Newton's Method.
OpenStax Calculus Volume 1 — Strang, Herman et al. · CC-BY-NC-SA. §4.9 Newton's Method. Exercícios aplicados (TIR, sistemas).
REAMAT — Cálculo Numérico (Python) — UFRGS Reamat Colaborativo · CC-BY-SA. Cap. 3 Zeros de funções. Implementações Python, análise de erro, método da secante.