v1 · padrão canônico

Lição 76 — Distribuição normal

Curva de sino: densidade, padronização Z, regra 68-95-99,7, intervalos de confiança e testes Z. A distribuição central da estatística e das ciências aplicadas.

Used in: Stochastik — Leistungskurs alemão · H2 Math — Singapura · AP Statistics — EUA · Math B — Japão

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad Z = \frac{X-\mu}{\sigma}

A distribuição normal $\mathcal N(\mu, \sigma^2)$ é a mais importante em estatística. Sua densidade é simétrica em torno de $\mu$ , com largura controlada por $\sigma$ . A padronização $Z = (X-\mu)/\sigma$ converte qualquer normal em normal padrão, permitindo usar uma única tabela para todos os cálculos de probabilidade.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Densidade e parâmetros

Definition· Distribuição normal N(mu, sigma^2)

$X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ se $X$ tem densidade:

$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \in \mathbb{R}$

$\mu \in \mathbb{R}$ : parâmetro de localização (média = mediana = moda).
$\sigma > 0$ : parâmetro de escala (desvio padrão).
$\sigma^2$ : variância.

A normalização $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$ segue do clássico resultado gaussiano: $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ (prova por coordenadas polares).

"If $X$ is a random variable and $X$ has a normal distribution with mean $\mu$ and standard deviation $\sigma$ , we write $X \sim N(\mu, \sigma)$ . The mean $\mu$ is the center of the symmetric curve, and the standard deviation $\sigma$ gives the spread." — OpenStax Statistics §6.1

"Normal distributions are symmetric around their mean... The area under a normal distribution curve within one standard deviation of the mean is approximately 68%, within two standard deviations is approximately 95%, and within three standard deviations is approximately 99.7%." — OpenIntro Statistics §3.5

Curva normal: 68% dos dados entre μ ± σ (região central escura), 27,2% entre μ ± 2σ (regiões laterais), 0,3% nas caudas além de μ ± 3σ.

Exemplos resolvidos

Example— 76.2· Regra 68-95-99,7 aplicada

Problema. QI segue $\mathcal N(100, 15^2)$ . Qual % da população tem QI entre 85 e 115? E acima de 130?

Estratégia. Identificar posições em $\sigma$ e aplicar regra.

Resolução.

85 = $\mu - \sigma$ e 115 = $\mu + \sigma$ (intervalo $\pm 1\sigma$ ): $P(85 \leq X \leq 115) \approx 68\%$ .
130 = $\mu + 2\sigma$ : $P(X > 130) = (1 - 0{,}9545)/2 \approx 2{,}28\%$ .

Verificação. Os 68% entre $\pm 1\sigma$ e 2,28% acima de $+2\sigma$ são resultados tabelados da normal padrão. Escala de QI foi calibrada deliberadamente para ter $\sigma = 15$ e esses percentis fazerem sentido.

Fonte. OpenStax Statistics §6.1 — CC-BY.

Example— 76.3· Tolerancias de engenharia

Problema. Peças com diâmetro $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Especificação $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Qual fração é rejeitada?

Estratégia. Calcular $P(|X - 10| > 0{,}05)$ via padronização.

Resolução.

$z = \frac{0{,}05}{0{,}02} = 2{,}5$

$P(|X - 10| > 0{,}05) = P(|Z| > 2{,}5) = 2\Phi(-2{,}5) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124$

Cerca de $1{,}24\%$ das peças são rejeitadas — aproximadamente 12 por 1000.

Verificação. $z = 2{,}5$ está entre $2\sigma$ (2,28% fora) e $3\sigma$ (0,27% fora). O resultado 1,24% é coerente com esse intervalo. Para Six Sigma (3,4 ppm), seria necessário $z \approx 4{,}5$ .

Fonte. OpenStax Statistics §6.3 — CC-BY.

Example— 76.4· Intervalo de confianca para media

Problema. Amostra de $n = 25$ peças, $\bar X = 105$ mm, $\sigma = 10$ mm (conhecido). Construa IC 95% para $\mu$ .

Estratégia. Usar $\bar X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2/n)$ e $z_{0{,}975} = 1{,}96$ .

Resolução.

$SE = \frac{\sigma}{\sqrt n} = \frac{10}{\sqrt{25}} = 2$

$IC_{95\%} = \left[\bar X - 1{,}96 \cdot SE;\; \bar X + 1{,}96 \cdot SE\right] = [105 - 3{,}92;\; 105 + 3{,}92] = [101{,}08;\; 108{,}92]$

Verificação. A largura total do IC é $2 \times 3{,}92 = 7{,}84$ mm. Como $\sigma = 10$ e $n = 25$ , o erro padrão é 2 — metade do desvio populacional, reduzido por $\sqrt{25}$ . O intervalo cobre a média verdadeira em 95% das amostras.

Fonte. OpenIntro Statistics §4.2 — CC-BY-SA.

Example— 76.5· Derivacao: integral gaussiana

Problema. Demonstre que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ pelo truque de coordenadas polares.

Estratégia. Calcular $I^2$ onde $I = \int e^{-x^2/2}\,dx$ e converter para polares.

Resolução. Seja $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx$ .

$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx\right)\!\left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2/2}\,dy\right) = \int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy$

Polares: $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ , Jacobiano $r$ :

$I^2 = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{+\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_0^{+\infty} r\,e^{-r^2/2}\,dr$

Substituição $u = r^2/2$ : $\int_0^\infty r e^{-r^2/2}\,dr = [-e^{-r^2/2}]_0^\infty = 1$ .

Logo $I^2 = 2\pi$ , portanto $I = \sqrt{2\pi}$ .

Verificação. A densidade $f(x) = e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$ integra 1 sobre $\mathbb R$ — consistente com a normalidade de $Z$ .

Fonte. Introduction to Probability — Grinstead, Snell §5.2 — GNU FDL.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 24Understanding 2Modeling 12Challenge 1Proof 3

Ex. 76.1Application
$X \sim \mathcal N(70, 10^2)$ . Calcule o z-score para $X = 85$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.62 · p. 150
Show solution
$z = (X - \mu)/\sigma = (85 - 70)/10 = 15/10 = 1{,}5$ .
Ex. 76.2Application
$X \sim \mathcal N(100, 15^2)$ . Calcule o z-score para $X = 80$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.64 · p. 151
Show solution
$z = (80 - 100)/15 = -20/15 = -1{,}33$ . Valor abaixo da média; z-score negativo.
Ex. 76.3ApplicationAnswer key
Calcule $P(Z \leq 1{,}96)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.1 · p. 319
Show solution
$P(Z \leq 1{,}96) = \Phi(1{,}96) = 0{,}975$ . Este é o quantil 97,5% da normal padrão — base dos ICs a 95%.
Ex. 76.4Application
Calcule $P(Z \geq 1{,}96)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.3 · p. 320
Show solution
Por simetria: $P(Z \geq 1{,}96) = 1 - \Phi(1{,}96) = 1 - 0{,}975 = 0{,}025$ .
Ex. 76.5Application
Calcule $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.66 · p. 152
Show solution
Por simetria: $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = \Phi(1{,}96) - \Phi(-1{,}96) = 0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}950$ . Este é o intervalo bilateral 95%.
Show step-by-step (with the why)
1. $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) = P(Z \leq 1{,}96) - P(Z \leq -1{,}96)$ .
2. $P(Z \leq -1{,}96) = \Phi(-1{,}96) = 1 - \Phi(1{,}96) = 0{,}025$ (simetria).
3. Resultado: $0{,}975 - 0{,}025 = 0{,}950$ .
Macete: o intervalo $[-1{,}96;\; 1{,}96]$ captura exatamente 95% da área da normal padrão — fundamental para ICs a 95%.
Ex. 76.6Application
Calcule $P(Z \leq -1{,}5)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.5 · p. 321
Show solution
$P(Z \leq -1{,}5) = \Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
Ex. 76.7Application
Calcule $P(0 \leq Z \leq 2)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.68 · p. 153
Show solution
$P(0 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) - \Phi(0) = 0{,}9772 - 0{,}5000 = 0{,}4772$ . Quase 48% da distribuição está entre a média e 2 desvios acima.
Ex. 76.8Application
$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$ . Calcule $P(X > 65)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.7 · p. 322
Show solution
$z = (65 - 50)/10 = 1{,}5$ . $P(X > 65) = P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ . Cerca de 6,7% acima de 65.
Ex. 76.9Application
$X \sim \mathcal N(50, 10^2)$ . Calcule $P(40 < X < 60)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.70 · p. 154
Show solution
$P(40 < X < 60) = P(-1 < Z < 1) \approx 0{,}6827$ . Este é o intervalo $\mu \pm \sigma$ — regra 68%.
Ex. 76.10Application
$X \sim \mathcal N(0, 4)$ (variância = 4). Calcule $P(X > 3)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.9 · p. 323
Show solution
$X \sim \mathcal N(0, 4)$ : aqui $\sigma^2 = 4$ , logo $\sigma = 2$ . $z = (3-0)/2 = 1{,}5$ . $P(X > 3) = P(Z > 1{,}5) \approx 0{,}0668$ .
Ex. 76.11ApplicationAnswer key
Calcule o quantil 90% de $\mathcal N(100, 15^2)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.72 · p. 155
Show solution
Quantil 90%: $z_{0{,}90} = \Phi^{-1}(0{,}90) \approx 1{,}282$ . $x = \mu + z \sigma = 100 + 1{,}282 \times 15 \approx 119{,}2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Quantil 90% na normal padrão: $z = \Phi^{-1}(0{,}90) \approx 1{,}282$ .
2. Desnormalizar: $x = \mu + z\sigma = 100 + 1{,}282 \times 15 \approx 119{,}2$ .
Macete: "desnormalizar" = reverter a padronização. Se $z = (x-\mu)/\sigma$ , então $x = \mu + z\sigma$ .
Ex. 76.12Application
Calcule $Q_1$ (quantil 25%) de $\mathcal N(100, 15^2)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.11 · p. 324
Show solution
Quantil 25% (primeiro quartil): $z_{0{,}25} = \Phi^{-1}(0{,}25) \approx -0{,}674$ . $x = 100 + (-0{,}674) \times 15 \approx 89{,}9$ .
Ex. 76.13Application
QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$ . Qual % da população tem QI entre 85 e 115?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.74 · p. 156
Show solution
QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$ . O intervalo [85, 115] = $[\mu - \sigma;\; \mu + \sigma]$ . Pela regra 68-95-99,7: $P(85 \leq X \leq 115) \approx 68\%$ .
Ex. 76.14Application
QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$ . Qual % tem QI acima de 130?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.76 · p. 157
Show solution
130 = $\mu + 2\sigma$ . Pelo intervalo $\pm 2\sigma$ cobrir 95%: restam 5% nas caudas, 2,5% em cada cauda. $P(X > 130) \approx 2{,}5\%$ .
Ex. 76.15Application
QI $\sim \mathcal N(100, 15^2)$ . Qual % tem QI acima de 145?
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.13 · p. 325
Show solution
145 = $\mu + 3\sigma$ . O intervalo $\pm 3\sigma$ cobre 99,7%. Restam 0,3% nas caudas, 0,15% em cada. $P(X > 145) \approx 0{,}15\%$ .
Ex. 76.16Application
Alturas $\sim \mathcal N(170, 8^2)$ cm. Qual % tem altura acima de 186 cm?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.78 · p. 158
Show solution
186 = 170 + 16 = $\mu + 2\sigma$ (com $\sigma = 8$ ). $P(X > 186) \approx 2{,}5\%$ .
Ex. 76.17ApplicationAnswer key
Notas $\sim \mathcal N(70, 10^2)$ . A partir de qual nota começa o top 5%?
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.15 · p. 326
Show solution
Top 5% equivale ao quantil 95%: $z_{0{,}95} \approx 1{,}645$ . $x = 70 + 1{,}645 \times 10 \approx 86{,}5$ . Notas acima de 86,5 são top 5%.
Show step-by-step (with the why)
1. Top 5% → quantil 95% da distribuição.
2. Normal padrão: $z_{0{,}95} \approx 1{,}645$ .
3. Desnormalizar: $x = 70 + 1{,}645 \times 10 = 86{,}45$ .
Macete: "top k%" = quantil (100-k)% da distribuição. Top 5% = percentil 95.
Ex. 76.18Application
$X \sim \mathcal N(0, 1)$ . Calcule $P(|X| > 3)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.80 · p. 159
Show solution
$P(|Z| > 3) = 2(1 - \Phi(3)) = 2(1 - 0{,}9987) = 2 \times 0{,}0013 = 0{,}0027$ . Regra $3\sigma$ : 0,27% nas caudas.
Ex. 76.19ApplicationAnswer key
Para $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ , qual a relação entre mediana, moda e $\mu$ ?
Select the correct option
Mediana = moda = mu (pelo eixo de simetria da distribuição)Mediana = mu + sigmaMediana = mu^2Moda é indefinida para distribuições contínuas
Select an option first
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.17 · p. 327
Show solution
A normal é simétrica em torno de $\mu$ . Por simetria: $P(X \leq \mu) = 0{,}5$ → $\mu$ é a mediana. O pico da densidade é em $\mu$ → $\mu$ é a moda. As três coincidem.
Ex. 76.20Application
$X \sim \mathcal N(20, 4^2)$ e $Y \sim \mathcal N(10, 3^2)$ independentes. Qual a distribuição de $X + Y$ ?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.82 · p. 160
Show solution
$X \sim \mathcal N(20, 16)$ ( $\sigma = 4$ ) e $Y \sim \mathcal N(10, 9)$ ( $\sigma = 3$ ) independentes. $X + Y \sim \mathcal N(30, 25)$ , logo $\mu_{X+Y} = 30$ e $\sigma_{X+Y} = 5$ .
Ex. 76.21Application
Salário mensal $\sim \mathcal N(5000, 1500^2)$ reais. Qual o piso salarial do top 10%?
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.19 · p. 328
Show solution
Salário $\sim \mathcal N(5000, 1500^2)$ . Quantil 90%: $z = 1{,}282$ . $x = 5000 + 1{,}282 \times 1500 \approx 6923$ . Top 10% ganha mais que R$ 6.923.
Ex. 76.22ApplicationAnswer key
Duração de voo $\sim \mathcal N(120, 10^2)$ min. Quanto tempo reservar para ter 99% de confiança de chegar a tempo?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.84 · p. 161
Show solution
Voo: $X \sim \mathcal N(120, 10^2)$ min. Quantil 99%: $z_{0{,}99} \approx 2{,}326$ . $x = 120 + 2{,}326 \times 10 \approx 143{,}3$ min. Reserve 144 min (arredonde para cima) para 99% de confiança.
Ex. 76.23Application
Retornos diários de ação $\sim \mathcal N(0{,}001,\; 0{,}01^2)$ . Calcule $P(\text{perda} > 2\%)$ .
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.21 · p. 329
Show solution
Retorno diário: $X \sim \mathcal N(0{,}001, 0{,}01^2)$ . Perda maior que 2% = $P(X < -0{,}02)$ . $z = (-0{,}02 - 0{,}001)/0{,}01 = -2{,}1$ . $P(Z < -2{,}1) \approx 0{,}0179$ ou 1,79%.
Ex. 76.24Application
Voltagem $\sim \mathcal N(220, 5^2)$ . Aparelho falha se $V > 235$ V. Calcule a probabilidade de falha.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.86 · p. 162
Show solution
Voltagem $\sim \mathcal N(220, 5^2)$ . $P(V > 235) = P(Z > (235-220)/5) = P(Z > 3) \approx 0{,}0013$ . Cerca de 0,13% das medições falhariam.
Ex. 76.25Modeling
Peças com diâmetro $\mathcal N(10{,}00;\; 0{,}02^2)$ mm. Tolerância $10{,}00 \pm 0{,}05$ mm. Qual fração é rejeitada?
Solve online OpenStax Statistics · §6.3 · 6.3.1 · p. 345
Show solution
Tolerância: $z = 0{,}05/0{,}02 = 2{,}5$ . $P(|X-10| > 0{,}05) = 2\Phi(-2{,}5) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124$ . Fração rejeitada: 1,24% — cerca de 12 peças por 1000.
Show step-by-step (with the why)
1. Padronizar o limite de tolerância: $z = 0{,}05/0{,}02 = 2{,}5$ .
2. $P(\text{rejeição}) = P(|Z| > 2{,}5) = 2(1 - \Phi(2{,}5))$ .
3. $\Phi(2{,}5) \approx 0{,}9938$ . Logo $P = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124$ .
Curiosidade: Six Sigma exige $z \geq 4{,}5$ , reduzindo defeitos a 3,4 ppm — 365 vezes menos que este processo.
Ex. 76.26Modeling
Pesquisa com 1000 entrevistados estima proporção real $p = 0{,}50$ . Construa IC 95% para $p$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §4.2 · 4.20 · p. 172
Show solution
Pesquisa: $\hat p \sim \mathcal N(0{,}5, 0{,}5 \times 0{,}5/1000)$ . IC 95%: $0{,}5 \pm 1{,}96 \times \sqrt{0{,}25/1000} = 0{,}5 \pm 0{,}031$ . Intervalo: [0,469; 0,531].
Ex. 76.27ModelingAnswer key
$\bar X = 105$ , $n = 25$ , $\sigma = 10$ (conhecido). Construa IC 95% para $\mu$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §4.2 · 4.22 · p. 173
Show solution
IC 95% para média: $\bar X \pm z_{0{,}975} \sigma/\sqrt{n} = 105 \pm 1{,}96 \times 10/5 = 105 \pm 3{,}92 = [101{,}08;\; 108{,}92]$ .
Ex. 76.28Modeling
Teste $H_0: \mu = 100$ vs. $H_1: \mu \neq 100$ . $\bar X = 105$ , $n = 25$ , $\sigma = 10$ . Calcule o p-valor e decida.
Solve online OpenStax Statistics · §6.3 · 6.3.3 · p. 346
Show solution
Teste z bilateral: $z = (\bar X - \mu_0)/(\sigma/\sqrt n) = (105 - 100)/(10/5) = 5/2 = 2{,}5$ . $p\text{-valor} = 2 \times P(Z > 2{,}5) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124$ . Como 0,0124 < 0,05, rejeita-se $H_0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Estatística de teste: $z = (105-100)/(10/5) = 2{,}5$ .
2. p-valor bilateral: $2 \times P(Z > 2{,}5) = 2 \times 0{,}0062 = 0{,}0124$ .
3. Decisão: 0,0124 < 0,05 → rejeita $H_0$ ao nível 5%.
Macete: p-valor bilateral = 2 × (área na cauda mais extrema). Compare com $\alpha$ , não com $\alpha/2$ .
Ex. 76.29ModelingAnswer key
Tempo de execução $\sim \mathcal N(50, 5^2)$ ms. Para garantir SLA com 95% das requisições abaixo do limite, qual threshold definir?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.88 · p. 163
Show solution
Tempo de execução: $X \sim \mathcal N(50, 5^2)$ ms. SLA a 95%: $x = 50 + 1{,}645 \times 5 \approx 58{,}2$ ms. Defina limite de SLA em 59 ms (arredonde para cima).
Ex. 76.30Modeling
Six Sigma: especificação $\mu \pm 6\sigma$ . Com ajuste de 1,5σ para deriva do processo, calcule os defeitos por milhão. Por que o resultado é 3,4 ppm e não virtualmente zero?
Solve online OpenStax Statistics · §6.3 · 6.3.5 · p. 347
Show solution
Six Sigma padrão: $\pm 6\sigma$ cobre $2 \times (1 - \Phi(6)) \approx 2 \times 10^{-9}$ — defeitos praticamente zero. Com ajuste de 1,5σ para deriva do processo: equivalente a $\pm 4{,}5\sigma$ efetivos. $2(1-\Phi(4{,}5)) \approx 3{,}4 \times 10^{-6}$ = 3,4 ppm. Daí "Six Sigma = 3,4 defeitos por milhão".
Ex. 76.31Modeling
Gráfico X-bar com $n = 5$ , $\sigma = 2$ (conhecido), $\bar{\bar{X}} = 100$ . Calcule UCL e LCL a $\pm 3\sigma$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.90 · p. 164
Show solution
Gráfico X-bar: $n = 5$ , $\sigma$ conhecido. Limites de controle $\pm 3\sigma/\sqrt n$ : $UCL = \bar{\bar X} + 3\sigma/\sqrt 5$ , $LCL = \bar{\bar X} - 3\sigma/\sqrt 5$ . Para $\sigma = 2$ e $\bar{\bar X} = 100$ : $UCL = 100 + 6/\sqrt 5 \approx 102{,}68$ , $LCL \approx 97{,}32$ .
Ex. 76.32Modeling
Scores de modelo de ML $\sim \mathcal N(0{,}80,\; 0{,}05^2)$ . Qual o threshold para selecionar o top 20% dos modelos?
Solve online OpenStax Statistics · §6.1 · 6.1.23 · p. 330
Show solution
Modelo ML: scores $\sim \mathcal N(0{,}80, 0{,}05^2)$ . Threshold para top 20% = quantil 80%: $z_{0{,}80} \approx 0{,}842$ . $x = 0{,}80 + 0{,}842 \times 0{,}05 \approx 0{,}842$ . Modelos com score > 0,842 estão no top 20%.
Ex. 76.33Modeling
Resistor 100Ω com tolerância $\pm 5\%$ . Assumindo $\sigma = 5/3$ ohm (3 $\sigma$ = tolerância), calcule a fração dentro da especificação.
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.92 · p. 165
Show solution
Resistor 100Ω ± 5%: tolerância = [95, 105]Ω. Se $\sigma = 5/3 \approx 1{,}67$ (pois 3σ = 5): $z = 5/1{,}67 = 3$ . $P(95 \leq X \leq 105) = P(|Z| \leq 3) \approx 0{,}9973$ . 99,73% dentro da tolerância.
Ex. 76.34Modeling
Retorno anual de carteira $\sim \mathcal N(5\%, 20\%^2)$ . Calcule a probabilidade de retorno negativo num ano.
Solve online OpenStax Statistics · §6.3 · 6.3.7 · p. 348
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Bolsa: retornos diários $\sim \mathcal N(0{,}05\%/252; \; 20\%^2/252)$ . Parâmetros anuais: retorno esperado 5%, $\sigma = 20\%$ . Prob. de retorno anual negativo: $P(X < 0) = \Phi(-0{,}05/0{,}20) = \Phi(-0{,}25) \approx 40\%$ . Alta probabilidade de perda num único ano!
Ex. 76.35Modeling
Notas do ENEM (Matemática) $\sim \mathcal N(520, 110^2)$ . Calcule $P(\text{nota} > 700)$ .
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.94 · p. 166
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ENEM: notas $\sim \mathcal N(520, 110^2)$ . $P(\text{nota} > 700) = P(Z > 1{,}636) \approx 0{,}051$ . Cerca de 5% dos candidatos tiram acima de 700 — consistente com dificuldade do exame.
Ex. 76.36ModelingAnswer key
IPCA anual modelado como $\mathcal N(4{,}5\%,\; 1{,}5\%^2)$ . Meta de inflação: até 6,5%. Qual a probabilidade de estourar a meta?
Solve online OpenStax Statistics · §6.3 · 6.3.9 · p. 349
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IPCA acumulado anual: $X \sim \mathcal N(4{,}5\%, 1{,}5\%^2)$ . Limite superior da meta = 6,5%. $P(X > 6{,}5) = P(Z > (6{,}5-4{,}5)/1{,}5) = P(Z > 1{,}33) \approx 0{,}092$ . Cerca de 9,2% de chance de estourar a meta de inflação.
Ex. 76.37Understanding
Por que padronizamos para a normal padrão? O que justifica a existência de uma única tabela $\Phi(z)$ ?
Solve online OpenIntro Statistics · §3.5 · 3.96 · p. 167
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Padronizamos para usar uma única tabela (a da normal padrão $\mathcal N(0,1)$ ) para calcular probabilidades de qualquer normal $\mathcal N(\mu, \sigma^2)$ . Sem padronização, precisaríamos de uma tabela diferente para cada par $(\mu, \sigma)$ — impossível. A transformação $Z = (X-\mu)/\sigma$ é uma mudança de escala e origem que mapeia qualquer normal na padrão.
Ex. 76.38Understanding
A cauda da normal é "fina" ou "pesada"? Por que isso importa em modelagem de risco financeiro?
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A cauda da normal é fina (decai como e^{-x^2/2}); a t-Student tem cauda mais pesada e modela melhor riscos extremos em finançasA cauda da normal é pesada; a t-Student é mais finaNormal e t-Student têm caudas idênticas para n grandeA normal tem cauda mais pesada que qualquer outra distribuição contínua
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Solve online Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.11 · p. 210
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A normal tem cauda "fina": decai como $e^{-x^2/2}$ , super-exponencialmente. Eventos a $5\sigma$ têm probabilidade $\approx 3 \times 10^{-7}$ — quase impossíveis. A t-Student com poucos graus de liberdade decai como polinômio: caudas muito mais pesadas, modelando melhor "cisnes negros" em finanças.
Ex. 76.39Challenge
Mostre que se $X \sim \mathcal N(0, 1)$ , então $Y = X^2$ tem distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade.
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.13 · p. 211
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Se $X \sim \mathcal N(0,1)$ , então $Y = X^2$ tem CDF $P(Y \leq y) = P(-\sqrt y \leq X \leq \sqrt y) = \Phi(\sqrt y) - \Phi(-\sqrt y) = 2\Phi(\sqrt y) - 1$ . Derivando: $f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt y} \phi(\sqrt y)$ para $y > 0$ , onde $\phi$ é a densidade normal padrão. Isso é a densidade Qui-quadrado com 1 grau de liberdade: $f_Y(y) = y^{1/2-1} e^{-y/2} / (2^{1/2}\Gamma(1/2))$ .
Ex. 76.40Proof
Demonstre que se $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ e $Y = aX + b$ (com $a > 0$ ), então $Y \sim \mathcal N(a\mu + b,\; a^2\sigma^2)$ .
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.15 · p. 212
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Seja $X \sim \mathcal N(\mu, \sigma^2)$ , $Y = aX + b$ . CDF de $Y$ : $P(Y \leq y) = P(aX + b \leq y) = P(X \leq (y-b)/a) = \Phi((y-b-a\mu)/(a\sigma))$ . Derivando: densidade de $Y$ é $(1/(a\sigma)) \phi((y - (a\mu+b))/(a\sigma))$ , que é a densidade de $\mathcal N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$ . $\blacksquare$
Ex. 76.41ProofAnswer key
Demonstre que $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ pelo truque de coordenadas polares.
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.17 · p. 213
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Integral gaussiana: $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,dx$ . $I^2 = \int\int e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy$ . Polares: $I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty r e^{-r^2/2}\,dr = 2\pi \times [-e^{-r^2/2}]_0^\infty = 2\pi \times 1 = 2\pi$ . Logo $I = \sqrt{2\pi}$ . $\blacksquare$
Ex. 76.42ProofAnswer key
Demonstre (esboço) que a distribuição normal maximiza a entropia diferencial entre todas as distribuições contínuas com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ fixas.
Introduction to Probability — Grinstead, Snell · §5.2 · 5.2.19 · p. 214
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A normal maximiza entropia diferencial entre distribuições com média $\mu$ e variância $\sigma^2$ fixas. Prova via multiplicadores de Lagrange: maximize $h(f) = -\int f \ln f$ sujeito a $\int f = 1$ , $\int xf = \mu$ , $\int x^2 f = \sigma^2 + \mu^2$ . A função Lagrangiana leva à solução $f(x) = e^{\lambda_0 + \lambda_1 x + \lambda_2 x^2}$ . Para ser integrável com variância finita, $\lambda_2 < 0$ e a solução é a normal Gaussiana. O valor máximo de entropia é $h = \frac{1}{2}\ln(2\pi e \sigma^2)$ . $\blacksquare$

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · 2019 · EN · CC-BY-SA. Fonte primária — §3.5 (padronização, regra 68-95-99,7, Q-Q plot, aplicações).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · 2022 · EN · CC-BY. §6.1–6.4 — densidade, CDF, IC, TCL, exercícios AP-level.
Introduction to Probability (Grinstead-Snell) — Grinstead, Snell · 1997 · EN · GNU FDL. §5.2 — integral gaussiana, MGF, máxima entropia, limite De Moivre-Laplace; exercícios demonstrativos.