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Lição 102 — Intervalo de confiança para a média

Construção e interpretação de intervalos de confiança para a média populacional. Casos z (sigma conhecido) e t de Student (sigma desconhecido). Margem de erro e tamanho de amostra.

Used in: 3.º ano do EM (17-18 anos) · Equiv. Stochastik LK alemão · Equiv. Math B japonês · H2 Statistics singapurense

\bar X \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad \text{ou} \quad \bar X \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}

O intervalo de confiança para $\mu$ transforma a estimativa pontual $\bar X$ numa faixa plausível. Use $z$ quando $\sigma$ é conhecido; use $t_{n-1}$ quando $\sigma$ é estimado pela amostra. Aumentar o nível de confiança alarga o intervalo; aumentar $n$ o estreita.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Estatística pivotal e o IC para média

"Um intervalo de confiança de 95% significa que se construirmos muitos intervalos de confiança a partir de muitas amostras diferentes, esperamos que 95% desses intervalos contenham o verdadeiro parâmetro da população." — OpenStax Statistics, §8.1

Caso 1: $\sigma$ conhecido (pivô z)

Definition· IC com sigma conhecido

Pelo TCL, $Z = (\bar X - \mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \overset{\text{aprox.}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$ . Portanto:

P\!\left(-z_{\alpha/2} \leq \frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha

what this means · IC bilateral de nivel 1-alpha para mu quando sigma é conhecido.

Reorganizando em torno de $\mu$ :

\mathrm{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left[\bar X - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar X + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]

what this means · O intervalo de confiança z para mu. Extremos são media amostral mais e menos a margem de erro.

Caso 2: $\sigma$ desconhecido (pivô t)

Definition· IC com sigma desconhecido — t de Student

Substituindo $\sigma$ por $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2}$ , a estatística pivotal é:

T = \frac{\bar X - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t_{n-1}

what this means · Estatística t de Student: segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade quando a população é normal.

O IC resultante é:

\mathrm{IC}_{1-\alpha}(\mu) = \left[\bar X - t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},\ \bar X + t_{\alpha/2,\,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}\right]

what this means · IC t de Student para mu. Usa o quantil t com n-1 graus de liberdade.

A distribuição $t_{n-1}$ é mais pesada nas caudas que $\mathcal{N}(0,1)$ ; para $n \geq 30$ , as diferenças são pequenas.

"Quando a população não é normal mas $n$ é grande, a distribuição t ainda aproxima bem o comportamento do pivô pela robustez do TCL." — OpenIntro Statistics, §4.2

Quantis de referência

Nível $(1-\alpha)$	$z_{\alpha/2}$	$t_{\alpha/2,\,29}$	$t_{\alpha/2,\,9}$
90%	1,645	1,699	1,833
95%	1,960	2,045	2,262
99%	2,576	2,756	3,250

Margem de erro e tamanho amostral

Exemplos resolvidos

Example— 102.1· IC com sigma conhecido (básico)

Problema. Um laboratório mede a concentração de glicose em amostras de sangue. O equipamento tem $\sigma = 5$ mg/dL (conhecido por calibração). Uma amostra de $n = 25$ pacientes dá $\bar X = 98$ mg/dL. Construa o IC 95% para a concentração média real $\mu$ .

Estratégia. Como $\sigma$ é conhecido, usar o pivô $z$ . O quantil 95% bilateral é $z_{0{,}025} = 1{,}960$ .

Resolução.

$E = z_{0{,}025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1{,}960 \cdot \frac{5}{\sqrt{25}} = 1{,}960 \cdot 1 = 1{,}96$

$\mathrm{IC}_{95\%}(\mu) = [98 - 1{,}96;\; 98 + 1{,}96] = [96{,}04;\; 99{,}96] \text{ mg/dL}$

Verificação. A amplitude do IC é $2 \times 1{,}96 = 3{,}92$ mg/dL. Para $n = 100$ (quatro vezes maior), $E = 1{,}96 \cdot 5/10 = 0{,}98$ — metade da amplitude, coerente com $\mathrm{SE} \propto 1/\sqrt{n}$ .

Fonte. OpenStax Statistics, §8.1, Exemplo 8.1 — CC-BY.

Example— 102.2· IC com sigma desconhecido — t de Student (intermediário)

Problema. Uma pesquisa com $n = 16$ estudantes sobre horas semanais de estudo para o ENEM produziu $\bar X = 18$ h e $s = 4$ h. Construa o IC 95% para a média real.

Estratégia. $\sigma$ desconhecido, $n$ pequeno: usar $t_{n-1} = t_{15}$ . Quantil: $t_{0{,}025,\,15} = 2{,}131$ .

Resolução.

$E = t_{0{,}025,\,15} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}131 \cdot \frac{4}{\sqrt{16}} = 2{,}131 \cdot 1 = 2{,}131$

$\mathrm{IC}_{95\%}(\mu) = [18 - 2{,}13;\; 18 + 2{,}13] = [15{,}87;\; 20{,}13] \text{ horas}$

Verificação. Se tivéssemos usado $z_{0{,}025} = 1{,}960$ erroneamente, $E = 1{,}96$ — subestimando a incerteza de estimar $\sigma$ . A diferença $2{,}131 - 1{,}960 = 0{,}171$ é o "custo" de desconhecer $\sigma$ .

Fonte. OpenIntro Statistics, §4.2, Exemplo 4.4 — CC-BY-SA.

Example— 102.3· Tamanho de amostra para margem de erro prescrita (intermediário)

Problema. Uma auditoria fiscal quer estimar o valor médio de notas fiscais eletrônicas com margem de erro máxima de R$ 50 a 99% de confiança. Estudos anteriores indicam $\sigma \approx R\$ ,300$. Qual o tamanho mínimo de amostra?

Estratégia. Usar a fórmula $n \geq (z_{\alpha/2}\,\sigma/E)^2$ com $z_{0{,}005} = 2{,}576$ .

Resolução.

$n \geq \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 = \left(\frac{2{,}576 \times 300}{50}\right)^2 = (15{,}456)^2 = 238{,}9$

Arredondando para cima: $n = 239$ notas fiscais.

Verificação. Com $n = 239$ : $E = 2{,}576 \times 300/\sqrt{239} = 2{,}576 \times 19{,}41 = 50{,}0$ — exatamente no limite prescrito. Correto.

Fonte. OpenStax Statistics, §8.1, Exemplo 8.4 — CC-BY.

Example— 102.4· Interpretação correta do IC — armadilha conceitual (avançado)

Problema. Um engenheiro calcula o IC 95% para a resistência média de barras de aço: $[425;\; 435]$ MPa. Seu colega afirma: "Há 95% de probabilidade de $\mu$ estar entre 425 e 435 MPa." Essa afirmação está correta?

Estratégia. Identificar o que é aleatório e o que é fixo na interpretação frequentista.

Resolução.

A afirmação está incorreta na visão frequentista. Após calculado, o intervalo $[425;\; 435]$ é determinístico — ou contém $\mu$ ou não contém. O parâmetro $\mu$ é fixo; não tem distribuição de probabilidade.

A afirmação correta é: o procedimento que gerou este intervalo tem propriedade de cobertura de 95%. Se repetíssemos o experimento muitas vezes e calculássemos um IC a cada vez, esperaríamos que 95% deles contivessem $\mu$ .

Uma versão válida: "Estamos 95% confiantes de que $\mu \in [425;\; 435]$ " — desde que "confiante" seja entendido como referência ao procedimento, não à probabilidade do parâmetro específico.

Verificação. Na abordagem bayesiana, com prior não-informativa de Jeffreys, o credible interval 95% teria a mesma amplitude e seria interpretável como "probabilidade 95% de $\mu$ estar neste intervalo dado os dados" — mas isso requer especificação de prior.

Fonte. OpenIntro Statistics, §4.2, Seção "Common misconceptions" — CC-BY-SA.

Example— 102.5· IC pela distribuição t com comparação de niveis (avançado)

Problema. Renda mensal de $n = 10$ famílias de uma favela: 1200, 850, 1500, 970, 1100, 800, 1350, 1050, 920, 1080 (em R$). Construa os ICs de 90%, 95% e 99% para a renda média.

Estratégia. Calcular $\bar X$ e $s$ da amostra; aplicar a fórmula $t$ com 9 graus de liberdade.

Resolução.

Soma: $1200+850+1500+970+1100+800+1350+1050+920+1080 = 10\,820$ . Média: $\bar X = 1082$ R$.

Desvio: $s^2 = \frac{\sum(X_i - \bar X)^2}{n-1}$ . Calculando os desvios ao quadrado: $(118)^2 + (-232)^2 + (418)^2 + (-112)^2 + (18)^2 + (-282)^2 + (268)^2 + (-32)^2 + (-162)^2 + (-2)^2$ :

$= 13924 + 53824 + 174724 + 12544 + 324 + 79524 + 71824 + 1024 + 26244 + 4 = 433960$

$s^2 = 433960/9 \approx 48218$ , $s \approx 219{,}6$ R$.

$\mathrm{SE} = 219{,}6/\sqrt{10} \approx 69{,}4$ R$.

Nível	$t_{\alpha/2,\,9}$	Margem	IC
90%	1,833	127,2	$[954{,}8;\; 1209{,}2]$
95%	2,262	157,0	$[925{,}0;\; 1239{,}0]$
99%	3,250	225,6	$[856{,}4;\; 1307{,}6]$

Verificação. Os três intervalos são aninhados: IC 99% $\supset$ IC 95% $\supset$ IC 90%. Mais confiança implica intervalo mais amplo. Coerente com a teoria.

Fonte. OpenIntro Statistics, §4.2, Exercício 4.11 — CC-BY-SA.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 19Understanding 3Modeling 4Challenge 2Proof 2

Fontes

OpenIntro Statistics (4ª ed.) — Diez, Çetinkaya-Rundel, Barr · CC-BY-SA. Seções §4.2–4.4 (IC para médias, dualidade com testes, tamanho amostral).
Statistics (OpenStax) — Illowsky, Dean · CC-BY. Capítulo 8 (IC para média com z e com t de Student, margem de erro).
Statistical Thinking for the 21st Century — Russell Poldrack · CC-BY-NC. Capítulo 9 (interpretação frequentista vs. bayesiana do IC).

Definição rigorosa

Estatística pivotal e o IC para média

Caso 1: σ\sigmaσ conhecido (pivô z)

Caso 2: σ\sigmaσ desconhecido (pivô t)

Quantis de referência

Margem de erro e tamanho amostral

Exemplos resolvidos

Fontes

Caso 1: $\sigma$ conhecido (pivô z)

Caso 2: $\sigma$ desconhecido (pivô t)