v1 · padrão canônico

Lição 112 — Transformações lineares

Funções entre espaços vetoriais que preservam combinação linear. Representação matricial em uma base. Mudança de base. A operação fundamental que torna ML, gráficos 3D e processamento de sinais possíveis.

Used in: Leistungskurs alemão (Lineare Algebra) · Math III japonês · H2 Math singapurense · graduação engenharia 1.º semestre

T(au + bv) = a\,T(u) + b\,T(v)

Uma transformação linear é uma função $T: V \to W$ entre espaços vetoriais que preserva soma e multiplicação por escalar. Em base fixa, é representada por uma matriz: aplicar $T$ a um vetor vira multiplicação matricial $T(v) = Av$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Transformações lineares

"Uma transformação linear é uma função que vai de um espaço vetorial para outro e preserva as operações de espaço vetorial de adição de vetores e multiplicação por escalar." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LT

"Se $T$ é uma transformação linear, então $T(0) = 0$ ." — Beezer — A First Course in Linear Algebra, Teorema LTTZZ, §LT

Representação matricial

Definition· Matriz de uma transformação linear

Fixe base $\mathcal{B} = \{v_1, \ldots, v_n\}$ de $V$ e base $\mathcal{C} = \{w_1, \ldots, w_m\}$ de $W$ . A matriz de $T$ nas bases $\mathcal{B}$ e $\mathcal{C}$ , denotada $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \in M_{m \times n}(K)$ , é a matriz cuja $j$ -ésima coluna é o vetor $T(v_j)$ escrito em coordenadas na base $\mathcal{C}$ :

[T]_j = [T(v_j)]_{\mathcal{C}}

what this means · A j-ésima coluna de [T] é T(v_j) em coordenadas de C. Para qualquer vetor v com coordenadas x em B, temos T(v) com coordenadas [T]x em C.

Resultado: $T$ fica completamente determinada pelos valores em uma base. Aplicar $T$ a qualquer $v$ equivale a multiplicar $[T]$ pelo vetor de coordenadas de $v$ em $\mathcal{B}$ .

Diagrama: T leva vetores de V (com base B) para W (com base C). Em coordenadas, a operação é multiplicação pela matriz [T].

Mudança de base e matrizes semelhantes

"Duas matrizes que representam a mesma transformação linear em diferentes bases são chamadas de matrizes semelhantes, e $B = P^{-1}AP$ para alguma matriz invertível $P$ ." — Hefferon — Linear Algebra, cap. 3 §III.1

Composição

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificar linearidade de T(x, y) = (2x, 3y)

Problema: Determine se $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida por $T(x, y) = (2x,\, 3y)$ é transformação linear.

Estratégia: Verificar as duas condições da definição: preservação de soma e preservação de escalar. Usar vetores genéricos.

Resolução:

Sejam $u = (x_1, y_1)$ e $v = (x_2, y_2)$ vetores em $\mathbb{R}^2$ , e $a \in \mathbb{R}$ um escalar.

Preservação de soma: $T(u + v) = T(x_1 + x_2,\; y_1 + y_2) = (2(x_1+x_2),\; 3(y_1+y_2))$ $= (2x_1 + 2x_2,\; 3y_1 + 3y_2) = (2x_1, 3y_1) + (2x_2, 3y_2) = T(u) + T(v). \checkmark$
Preservação de escalar: $T(a u) = T(ax_1, ay_1) = (2ax_1,\; 3ay_1) = a(2x_1, 3y_1) = a\,T(u). \checkmark$

Verificação: Como ambas as condições foram verificadas para vetores genéricos, $T$ é linear. Adicionalmente, $T(0, 0) = (0, 0) = 0$ — consistente com linearidade.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LT Exemplo LTPM — licença GNU FDL.

Example— 2· Construir a matriz de rotação de 60 graus

Problema: Encontre a matriz $2 \times 2$ que representa a rotação de $60°$ no plano $\mathbb{R}^2$ .

Estratégia: Aplicar o algoritmo coluna-a-coluna: calcular onde $T$ leva $e_1 = (1,0)$ e $e_2 = (0,1)$ . As imagens são as colunas.

Resolução:

Imagem de $e_1$ : O vetor $(1, 0)$ aponta para a direita (ângulo $0°$ ). Após rotação de $60°$ , aponta no ângulo $60°$ : $T(e_1) = (\cos 60°,\; \sin 60°) = \left(\frac{1}{2},\; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Imagem de $e_2$ : O vetor $(0, 1)$ aponta para cima (ângulo $90°$ ). Após rotação de $60°$ , aponta no ângulo $150°$ : $T(e_2) = (\cos 150°,\; \sin 150°) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\; \frac{1}{2}\right)$
Montar a matriz (colunas = imagens): $[T] = \begin{pmatrix} \cos 60° & \cos 150° \\ \sin 60° & \sin 150° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix}$

Verificação: $\det[T] = (1/2)(1/2) - (-\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) = 1/4 + 3/4 = 1$ . Rotações preservam área — $\det = 1$ está correto. E $[T]^\top [T] = I$ (matriz ortogonal), confirmando que normas são preservadas.

Fonte. Hefferon — Linear Algebra, cap. 3 §I Exemplo 1.9 — licença CC-BY-SA.

Example— 3· Diferenciacao em P2 — matriz na base canonica

Problema: Defina $D: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$ por $D(p) = p'$ (derivada usual). Mostre que $D$ é linear e encontre sua matriz na base $\mathcal{B} = \{1, x, x^2\}$ .

Estratégia: (1) Verificar linearidade usando propriedades da derivada. (2) Calcular $D$ em cada vetor de base e montar as colunas.

Resolução:

Linearidade: $D(p + q) = (p + q)' = p' + q' = D(p) + D(q). \checkmark$ $D(\lambda p) = (\lambda p)' = \lambda p' = \lambda D(p). \checkmark$
Imagens dos vetores de base:

$D(1) = 0 = 0 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \Rightarrow \text{coluna 1: } \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

$D(x) = 1 = 1 \cdot 1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^2 \Rightarrow \text{coluna 2: } \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

$D(x^2) = 2x = 0 \cdot 1 + 2 \cdot x + 0 \cdot x^2 \Rightarrow \text{coluna 3: } \begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$

Matriz: $[D]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Verificação: Aplique $[D]$ ao vetor de coordenadas de $p = 3 + 2x + 5x^2$ , que é $(3, 2, 5)^\top$ : $[D]\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\10\\0\end{pmatrix}$ Isso corresponde ao polinômio $2 + 10x$ . E de fato $p'(x) = 2 + 10x$ . Correto.

Fonte. Beezer — A First Course in Linear Algebra, §LT Exemplo MLTCV — licença GNU FDL.

Example— 4· Mudanca de base — mesma T, matrizes diferentes

Problema: Seja $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ a reflexão em relação ao eixo $x$ : $T(x, y) = (x, -y)$ . (a) Encontre $[T]$ na base canônica $\mathcal{B} = \{e_1, e_2\}$ . (b) Encontre $[T]$ na base $\mathcal{B}' = \{(1,1),\, (1,-1)\}$ . (c) Confirme que $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}[T]_{\mathcal{B}}\,P$ .

Estratégia: (a) Algoritmo coluna-a-coluna em cada base. (c) Usar a fórmula de mudança de base com $P =$ matriz cujas colunas são os vetores de $\mathcal{B}'$ em coordenadas de $\mathcal{B}$ .

Resolução:

(a) Base canônica: $T(e_1) = T(1, 0) = (1, 0) \Rightarrow \text{col. 1: } (1, 0)^\top$ $T(e_2) = T(0, 1) = (0, -1) \Rightarrow \text{col. 2: } (0, -1)^\top$ $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

(b) Base $\mathcal{B}' = \{v_1, v_2\} = \{(1,1),(1,-1)\}$ . Calcular imagens em coordenadas de $\mathcal{B}'$ : $T(v_1) = T(1,1) = (1,-1) = v_2 = 0 \cdot v_1 + 1 \cdot v_2 \Rightarrow \text{col. 1: } (0, 1)^\top$ $T(v_2) = T(1,-1) = (1,1) = v_1 = 1 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 \Rightarrow \text{col. 2: } (1, 0)^\top$ $[T]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$

(c) Matriz $P$ (colunas são $v_1, v_2$ em coordenadas canônicas): $P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2\end{pmatrix}$

$P^{-1}[T]_{\mathcal{B}}P = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} = [T]_{\mathcal{B}'}. \checkmark$

Verificação: Em $\mathcal{B}'$ , a reflexão troca $v_1 \leftrightarrow v_2$ , então a matriz deve ser exatamente a de permutação $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ — faz sentido geometricamente.

Fonte. Hefferon — Linear Algebra, cap. 3 §V Exercício 1.18 — licença CC-BY-SA.

Example— 5· Composicao de transformacoes e produto matricial

Problema: Defina $S: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ como cisalhamento horizontal $S(x, y) = (x + 2y,\, y)$ e $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ como reflexão $T(x, y) = (-x,\, y)$ . Calcule (a) as matrizes $[S]$ e $[T]$ ; (b) a matriz de $T \circ S$ ; (c) verifique computando $(T \circ S)(3, 1)$ diretamente e via produto matricial.

Estratégia: Algoritmo coluna-a-coluna para cada transformação. Composição = produto matricial $[T][S]$ .

Resolução:

(a) Matrizes via coluna-a-coluna: $[S] = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad [T] = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

(b) Composição $T \circ S$ (aplicar $S$ primeiro, depois $T$ ): $[T \circ S] = [T][S] = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

(c) Verificação para $(3, 1)$ :

Diretamente: $S(3, 1) = (3 + 2\cdot1,\; 1) = (5, 1)$ . Depois $T(5, 1) = (-5, 1)$ .

Via matriz: $[T \circ S]\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3-2\\0+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\1\end{pmatrix}$ .

Resultado: $(-5, 1)$ — idêntico. Produto matricial = composição de transformações.

Fonte. Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed., §3B Exercício 1 — licença CC-BY-NC.

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 27Understanding 4Modeling 7Challenge 2Proof 4

Ex. 112.1Application
$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y) = (2x,\, 3y)$ . Verifique que $T$ é linear e encontre sua matriz.
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C20
Show solution
Verificamos as duas condições. Seja $u = (x_1,y_1)$ , $v = (x_2,y_2)$ . Soma: $T(u+v) = (2(x_1+x_2), 3(y_1+y_2)) = T(u)+T(v)$ . Escalar: $T(au) = (2ax_1, 3ay_1) = aT(u)$ . Logo $T$ é linear. Matriz: $\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva vetores genéricos $u = (x_1,y_1)$ , $v = (x_2,y_2)$ e escalar $a \in \mathbb{R}$ . Trabalhamos com genéricos para provar pra todo par, não só um exemplo.
2. Condição de soma: compute $T(u+v)$ e compare com $T(u)+T(v)$ . Devem ser iguais.
3. Condição de escalar: compute $T(au)$ e compare com $aT(u)$ .
4. Para a matriz: aplique o algoritmo coluna-a-coluna. $T(e_1) = T(1,0) = (2,0)$ → coluna 1. $T(e_2) = T(0,1) = (0,3)$ → coluna 2.
Macete: $T(x,y) = (2x, 3y)$ é uma escala não-uniforme — estica o eixo $x$ por 2 e o eixo $y$ por 3. Transformações de escala são sempre lineares.
Ex. 112.2ApplicationAnswer key
$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y) = (x + 1,\, y)$ . Por que $T$ não é transformação linear?
Select the correct option
Não é linear — viola $T(0) = 0$ É linear — satisfaz $T(u+v)=T(u)+T(v)$ É linear — é uma função afimNão é linear — não é injetiva
Select an option first
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C21
Show solution
Basta testar o zero: $T(0,0) = (0+1, 0) = (1,0) \neq (0,0)$ . Como toda transformação linear satisfaz $T(0) = 0$ , esta função NÃO é linear. É uma translação, ou seja, uma transformação afim.
Ex. 112.3Application
$T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $T(x) = x^2$ . Dê um contraexemplo concreto para mostrar que $T$ não é linear.
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.1
Show solution
$T(x) = x^2$ não é linear. Exemplo: $T(1+1) = T(2) = 4$ , mas $T(1)+T(1) = 1+1 = 2 \neq 4$ . A condição de soma falha. Adicionalmente, $T(-1) = 1 \neq -1 = -T(1)$ .
Ex. 112.4Application
$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y) = (y,\, x)$ . Mostre que é linear e encontre sua matriz $2 \times 2$ .
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C22
Show solution
$T(x,y) = (y,x)$ é linear. Matriz: $T(e_1) = T(1,0) = (0,1)$ e $T(e_2) = T(0,1) = (1,0)$ . Logo $[T] = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Esta é a matriz de permutação — ela troca as coordenadas.
Ex. 112.5Application
$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x, y, z) = (x + y,\, y + z)$ . Mostre que é linear e encontre a matriz $2 \times 3$ .
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C30
Show solution
É linear. Matriz $2 \times 3$ : $T(e_1)=(1,0)$ , $T(e_2)=(1,1)$ , $T(e_3)=(0,1)$ . Logo $[T] = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ .
Ex. 112.6Application
$D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$ , $D(p) = p'$ . Encontre a matriz $4 \times 4$ na base $\{1, x, x^2, x^3\}$ . O que é especial nessa matriz?
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.5
Show solution
Derivação $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$ , $D(p) = p'$ . Base $\{1, x, x^2, x^3\}$ : $D(1)=0$ , $D(x)=1$ , $D(x^2)=2x$ , $D(x^3)=3x^2$ . Matriz $4\times4$ : $[D] = \begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ . É nilpotente: $D^4=0$ .
Ex. 112.7Application
$I: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_3$ , $I(p)(x) = \int_0^x p(t)\,dt$ . Mostre que é linear e encontre a matriz $4 \times 3$ nas bases canônicas.
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C31
Show solution
Integração $I: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_3$ , $I(p)(x) = \int_0^x p(t)\,dt$ . É linear pelas propriedades da integral. Imagens: $I(1)=x$ , $I(x)=x^2/2$ , $I(x^2)=x^3/3$ . Matriz $4\times3$ : colunas são $(0,1,0,0)^\top$ , $(0,0,1/2,0)^\top$ , $(0,0,0,1/3)^\top$ .
Ex. 112.8ApplicationAnswer key
$T: \mathcal{M}_2 \to \mathcal{M}_2$ , $T(A) = A^\top$ . Mostre que é linear e escreva a matriz $4 \times 4$ na base canônica de $\mathcal{M}_2$ .
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.11
Show solution
Transposição $T(A) = A^T$ em $\mathcal{M}_2$ . Base canônica: $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ . $T(E_{11})=E_{11}$ , $T(E_{12})=E_{21}$ , $T(E_{21})=E_{12}$ , $T(E_{22})=E_{22}$ . Matriz $4\times4$ : permuta as coordenadas 2 e 3. É linear, pois $(A+B)^T = A^T+B^T$ e $(aA)^T = aA^T$ .
Ex. 112.9Application
Fixe $B \in \mathcal{M}_n$ . Define-se $T: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ por $T(A) = AB$ . Mostre que $T$ é linear.
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.10
Show solution
Sim, é linear. Fixando $B$ , para quaisquer $A_1, A_2$ e escalar $a$ : $(A_1+A_2)B = A_1 B + A_2 B$ (distribuição) e $(aA)B = a(AB)$ (associatividade). Ambas as propriedades da multiplicação matricial garantem linearidade.
Ex. 112.10Application
$T: \mathcal{M}_2 \to \mathbb{R}$ , $T(A) = \det A$ . $T$ é transformação linear?
Select the correct option
Não — $\det(2A) = 2^n\det(A) \neq 2\det(A)$ em geralSim — $\det(A+B) = \det A + \det B$ Não — o determinante não está definido em espaços vetoriaisSim — $\det$ é multilinear, logo linear
Select an option first
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.20
Show solution
$T(A) = \det A$ não é linear. Para ver isso, tome $A = I_2$ : $T(2I) = \det(2I) = 4$ , mas $2T(I) = 2\cdot1 = 2$ . Claramente $4 \neq 2$ . O determinante é multilinear (linear em cada coluna separadamente), mas não é linear como função de matrizes.
Ex. 112.11Application
$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$ , $T(p)(x) = p(2x)$ . Mostre que é linear e encontre a matriz diagonal na base $\{1, x, x^2\}$ .
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C40
Show solution
Todo polinômio $p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ satisfaz: $T(p)(x) = p(2x) = a_0 + 2a_1 x + 4a_2 x^2$ . Na base $\{1, x, x^2\}$ : $T(1)=1$ , $T(x)=2x$ , $T(x^2)=4x^2$ . Matriz diagonal: $\mathrm{diag}(1,2,4)$ .
Ex. 112.12Application
$T: V \to W$ , $T(v) = 0$ para todo $v \in V$ . Mostre que $T$ é linear. Qual sua matriz em qualquer base?
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.7
Show solution
$T(v) = 0$ para todo $v$ . A transformação zero é trivialmente linear: $T(u+v) = 0 = 0+0 = T(u)+T(v)$ . A matriz é a matriz nula $0_{m\times n}$ .
Ex. 112.13Application
Encontre a matriz $2 \times 2$ da rotação de 45° no plano. Verifique que seu determinante é 1.
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.3
Show solution
Rotação de 45°: $\cos 45° = \sin 45° = \sqrt{2}/2$ . Matriz: $R_{45} = \begin{pmatrix}\sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2\end{pmatrix}$ . Verificação: $\det = 1$ e $R^T R = I$ .
Ex. 112.14ApplicationAnswer key
Encontre a matriz $2 \times 2$ da reflexão pela reta $y = x$ . Verifique que $[T]^2 = I$ .
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.5
Show solution
Reflexão pela reta $y=x$ : $T(e_1) = T(1,0) = (0,1)$ e $T(e_2) = T(0,1) = (1,0)$ . Logo $[T] = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Note $[T]^2 = I$ — refletir duas vezes volta ao original.
Ex. 112.15Application
Encontre a matriz $2 \times 2$ da projeção ortogonal no eixo $y$ . Verifique que $P^2 = P$ (idempotência).
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C50
Show solution
Projeção ortogonal no eixo $y$ : $T(x,y) = (0,y)$ . Matriz: $T(e_1) = (0,0)$ , $T(e_2) = (0,1)$ . Logo $P = \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Idempotente: $P^2 = P$ .
Ex. 112.16ApplicationAnswer key
Encontre a matriz $2 \times 2$ da projeção ortogonal na reta $y = x$ . Verifique idempotência.
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.8
Show solution
Projeção ortogonal na reta $y=x$ : a fórmula para projeção na direção de $u = (1,1)/\sqrt{2}$ é $P = uu^T = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ . Verificação: $P^2 = \frac{1}{4}\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} = P$ .
Ex. 112.17Application
Encontre a matriz da escala não-uniforme $(x,y) \mapsto (3x,\, 2y)$ . Qual o significado geométrico do determinante?
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.14
Show solution
Escala não-uniforme: $T(x,y) = (3x, 2y)$ . Matriz: $\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}$ . Determinante: $6$ — a transformação multiplica áreas por 6.
Ex. 112.18Application
Encontre a matriz do cisalhamento horizontal de fator 2: $T(x, y) = (x + 2y,\, y)$ .
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.15
Show solution
Cisalhamento horizontal de fator 2: $T(x,y)=(x+2y, y)$ . Matriz: $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ . Determinante: $1$ — preserva áreas.
Ex. 112.19Application
Composição: rotação de 30° seguida de escala por 2. Calcule a matriz produto $[E_2][R_{30}]$ .
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C55
Show solution
Composição: rotação 30° e depois escala 2. $R_{30} = \begin{pmatrix}\sqrt{3}/2 & -1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$ , $E_2 = 2I$ . Produto: $E_2 R_{30} = \begin{pmatrix}\sqrt{3} & -1 \\ 1 & \sqrt{3}\end{pmatrix}$ . Geometricamente: escala por 2 E rotação de 30° (nessa ordem: rotação antes, escala depois).
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva a matriz de rotação de 30° usando a fórmula geral $R_\theta = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$ . Substituindo $\theta = 30°$ : $\cos30° = \sqrt{3}/2$ , $\sin30° = 1/2$ .
2. A escala 2 tem matriz $2I = \begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$ . Multiplicar um vetor por esta matriz dobra cada coordenada.
3. Composição "rotação então escala": a transformação que se aplica primeiro fica à direita no produto. Queremos escala ∘ rotação = $(2I)(R_{30})$ .
4. Execute o produto: multiplique linha a linha. O resultado $\begin{pmatrix}\sqrt{3}&-1\\1&\sqrt{3}\end{pmatrix}$ tem determinante $3+1=4=2^2$ — faz sentido, pois escalar por 2 multiplica áreas por $2^2 = 4$ .
Macete: A transformação que se aplica primeiro fica sempre à direita no produto matricial. "Rotação depois escala" = (escala) × (rotação). Esta convenção gera um erro clássico em programação gráfica.
Ex. 112.20ApplicationAnswer key
Composição: reflexão pela reta $y = x$ e depois rotação de 90°. Calcule a matriz produto e identifique a transformação resultante.
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §II · p. ex. 2.7
Show solution
Reflexão $y=x$ seguida de rotação 90°. Reflexão: $F = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Rotação 90°: $R_{90} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ . Produto: $R_{90}F = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Esta é a reflexão pelo eixo $y$ !
Ex. 112.21Application
Em $\mathbb{R}^3$ , encontre a matriz $3 \times 3$ da rotação de 90° em torno do eixo $z$ (o eixo $z$ fica fixo).
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C60
Show solution
Rotação de 90° no $\mathbb{R}^3$ em torno do eixo $z$ : eixo $z$ fica fixo, plano $xy$ rotaciona. $T(e_1) = (0,1,0)$ , $T(e_2) = (-1,0,0)$ , $T(e_3) = (0,0,1)$ . Matriz $3\times3$ : $\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .
Ex. 112.22Application
Em $\mathbb{R}^3$ , encontre a matriz $3 \times 3$ da projeção ortogonal no plano $xy$ .
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.16
Show solution
Projeção no plano $xy$ : $T(x,y,z) = (x,y,0)$ . Coluna-a-coluna: $T(e_1)=(1,0,0)$ , $T(e_2)=(0,1,0)$ , $T(e_3)=(0,0,0)$ . Matriz: $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ . Idempotente: $P^2=P$ .
Ex. 112.23Application
$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$ , $T(p) = p' + p$ . Encontre a matriz $3 \times 3$ na base canônica.
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. C65
Show solution
$T: \mathcal{P}_2 \to \mathcal{P}_2$ , $T(p) = p' + p$ . Imagens da base $\{1, x, x^2\}$ : $T(1) = 0+1 = 1$ , $T(x) = 1+x$ , $T(x^2) = 2x+x^2$ . Matriz: $[T] = \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Triangular superior — todos os autovalores são 1.
Ex. 112.24Application
$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $T(v) = v \times (1,1,1)$ (produto vetorial com $(1,1,1)$ fixo). Encontre a matriz $3 \times 3$ .
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3B · p. ex. 3B.5
Show solution
$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ , $T(v) = v \times w$ com $w = (1,1,1)$ . Para $v = (x,y,z)$ : $T(v) = (y-z,\ z-x,\ x-y)$ . Matrizes coluna-a-coluna: $T(e_1)=(0,-1,1)$ , $T(e_2)=(1,0,-1)$ , $T(e_3)=(-1,1,0)$ . Logo $[T] = \begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}$ . Antissimétrica: $[T]^T = -[T]$ .
Ex. 112.25Application
$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ , $T(x,y) = (x, -y)$ (reflexão no eixo $x$ ). Encontre $[T]$ na base canônica e na base $\mathcal{B}' = \{(1,1),\,(1,-1)\}$ . Confirme que são semelhantes.
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §V · p. ex. 1.10
Show solution
Reflexão $T(x,y) = (x,-y)$ . Base canônica: $[T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ . Nova base $\mathcal{B}' = \{(1,1),(1,-1)\}$ : $T(1,1)=(1,-1)=v_2$ , $T(1,-1)=(1,1)=v_1$ . Logo $[T]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ . Matrizes semelhantes, mesma transformação.
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $[T]_{\mathcal{B}}$ na base canônica pelo método coluna-a-coluna: $T(e_1)=(1,0)$ e $T(e_2)=(0,-1)$ .
2. Para a base $\mathcal{B}' = \{v_1,v_2\} = \{(1,1),(1,-1)\}$ , calcule $T(v_1)$ e $T(v_2)$ .
3. Expresse cada imagem em coordenadas de $\mathcal{B}'$ : escreva $T(v_j) = a\cdot v_1 + b \cdot v_2$ e resolva para $(a,b)$ . Essas coordenadas formam a coluna $j$ .
4. Compare as duas matrizes. Elas são diferentes, mas representam a mesma operação geométrica.
Observação: Em $\mathcal{B}'$ , a reflexão troca os dois vetores de base entre si — por isso a matriz fica a permutação $\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}$ , que é mais simples que a diagonal na base canônica!
Ex. 112.26Application
Mostre que matrizes semelhantes têm o mesmo determinante e o mesmo traço.
Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §V · p. ex. 1.14
Show solution
Se $A \sim B$ , existe $P$ invertível com $B = P^{-1}AP$ . Então: $\det B = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \frac{\det A}{\det P}\cdot\det P = \det A$ . E $\text{tr}(B) = \text{tr}(P^{-1}AP) = \text{tr}(APP^{-1}) = \text{tr}(A)$ (ciclicidade do traço).
Ex. 112.27ApplicationAnswer key
Mostre que se $A \sim B$ (semelhantes), então $A^k \sim B^k$ para todo $k \geq 1$ . Conclua: nilpotência é invariante por semelhança.
Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3B · p. ex. 3B.10
Show solution
Se $A \sim B$ , existe invertível $P$ com $B = P^{-1}AP$ . Então $B^k = (P^{-1}AP)^k = P^{-1}A^kP$ , logo $A^k \sim B^k$ . Se $A$ é nilpotente ( $A^k=0$ ), então $B^k = P^{-1}0P = 0$ , logo $B$ também é nilpotente.
Ex. 112.28ModelingAnswer key
Em computação gráfica, translação por $(a, b)$ em $\mathbb{R}^2$ não é transformação linear. Como coordenadas homogêneas permitem representá-la como transformação linear em $\mathbb{R}^3$ ? Escreva a matriz $3 \times 3$ .
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.22
Show solution
Coordenadas homogêneas: representar ponto $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ como $(x,y,1) \in \mathbb{R}^3$ . Translação por $(a,b)$ : $\begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x+a\\y+b\\1\end{pmatrix}$ . Translação vira multiplicação matricial — linear em $\mathbb{R}^3$ mesmo não sendo linear em $\mathbb{R}^2$ .
Ex. 112.29Modeling
Portfólio com $n$ ativos, pesos $w \in \mathbb{R}^n$ , retornos esperados $\mu \in \mathbb{R}^n$ . O retorno esperado $r_p = w^\top \mu$ é transformação linear em $w$ ? E a variância $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma w$ ?
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. M30
Show solution
Retorno de portfólio: $r_p = w^\top \mu$ . É transformação linear $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ com $T(w) = \mu^\top w$ . Linear em $w$ : se você dobrar todos os pesos, o retorno dobra. A variância do portfólio $\sigma_p^2 = w^\top \Sigma w$ é forma bilinear (não linear).
Ex. 112.30Modeling
Escreva a matriz Toeplitz $3 \times 5$ que realiza convolução linear 1D com kernel $k = (1, 2, 1)$ sobre um sinal de comprimento 5 (saída válida, comprimento 3).
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §III · p. ex. 3.8
Show solution
Convolução 1D com kernel de tamanho 3 sobre sinal de tamanho 5: saída de tamanho 3. Kernel $k = (k_0, k_1, k_2)$ , entrada $x = (x_0,\ldots,x_4)$ . Saída $y_i = \sum_{j=0}^{2} k_j x_{i+j}$ . Matriz Toeplitz $3\times5$ : cada linha é o kernel deslocado uma posição.
Ex. 112.31Modeling
Em aprendizado de máquina, uma camada densa é $y = Wx + b$ . Qual parte é transformação linear? Por que adicionar $b$ não torna a camada linear? De onde vem a não-linearidade de uma rede neural?
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.15
Show solution
Camada densa: $y = Wx + b$ . A parte $Wx$ é transformação linear $W: \mathbb{R}^{n_{\rm in}} \to \mathbb{R}^{n_{\rm out}}$ . O $b$ (bias) torna a camada afim, não linear. A não-linearidade da rede vem das funções de ativação (ReLU, sigmoid) aplicadas após cada camada afim.
Ex. 112.32Modeling
Sistema LTI: $\dot{x} = Ax$ , solução $x(t) = e^{At}x_0$ . Mostre que a aplicação $x_0 \mapsto x(t)$ é transformação linear. O que é a matriz $e^{At}$ ?
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. M35
Show solution
Sistema LTI: $\dot{x} = Ax$ , solução $x(t) = e^{At}x_0$ . A aplicação $x_0 \mapsto x(t)$ é transformação linear: $e^{At}(x_0 + y_0) = e^{At}x_0 + e^{At}y_0$ . A matriz de transição é $\Phi(t) = e^{At}$ . Em engenharia de controle, autovalores de $A$ determinam estabilidade do sistema.
Ex. 112.33Modeling
O operador de derivação $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n$ tem matriz nilpotente. Explique por que $D^{n+1} = 0$ , e o que isso significa em termos de polinômios.
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §III · p. ex. 3.12
Show solution
Derivação $D: \mathcal{P}_n \to \mathcal{P}_n$ . Matriz nilpotente: $D^{n+1} = 0$ porque derivar $n+1$ vezes qualquer polinômio de grau $n$ dá zero. Geometricamente: grau decresce a cada derivação, e após $n+1$ aplicações, todo polinômio vai a zero.
Ex. 112.34Modeling
Por que $\dim \mathcal{L}(V, W) = (\dim V)(\dim W)$ ? O que isso diz sobre o espaço de todas as matrizes $m \times n$ ?
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3B · p. ex. 3B.14
Show solution
Dimensão de $\mathcal{L}(V,W) = \mathrm{Hom}(V,W)$ : todo elemento é determinado pelos valores em uma base de $V$ (n vetores), e cada imagem vive em $W$ (dimensão m). São $n \cdot m$ escalares livres. Logo $\dim \mathcal{L}(V,W) = mn$ . Para $V=W=\mathbb{R}^n$ : $n^2$ entradas = dimensão de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ .
Ex. 112.35UnderstandingAnswer key
$T(0) = 0$ é condição necessária para linearidade. Dê um exemplo de $T$ com $T(0) = 0$ que não é linear. Por que $T(0) = 0$ não é suficiente?
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. T10
Show solution
$T(0)=0$ é necessário mas não suficiente. Exemplo: $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $T(x) = x^2$ . Temos $T(0)=0$ , mas $T(1+1)=4 \neq 1+1=T(1)+T(1)$ . Logo a condição $T(0)=0$ é necessária (toda linear satisfaz) mas não suficiente (existem não-lineares que também satisfazem).
Ex. 112.36Understanding
Se $A = [T]_{\mathcal{B}}$ representa $T$ em $\mathcal{B}$ , explique o significado geométrico da fórmula $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}AP$ . O que faz cada fator?
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §V · p. ex. 1.17
Show solution
Se $A$ representa $T$ em $\mathcal{B}$ e queremos $[T]_{\mathcal{B}'}$ : seja $P$ a matriz cujas colunas são os vetores de $\mathcal{B}'$ em coordenadas de $\mathcal{B}$ . Então $[T]_{\mathcal{B}'} = P^{-1}AP$ . A fórmula lê-se: "converter de $\mathcal{B}'$ para $\mathcal{B}$ via $P$ , aplicar $A$ , converter de volta via $P^{-1}$ ".
Ex. 112.37Understanding
Explique, sem calcular, por que o produto matricial $[T][S]$ é exatamente a composição $T \circ S$ . Qual é a relação entre a definição de produto matricial e a definição de composição?
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.3
Show solution
O produto matricial $[T][S]$ realiza composição $T \circ S$ . Prova: para qualquer $v$ com coordenadas $x$ em $\mathcal{B}$ , $(T \circ S)(v)$ tem coordenadas $[T]([S]x)$ . Mas isso é exatamente $([T][S])x$ por definição de produto matricial.
Ex. 112.38UnderstandingAnswer key
Mostre que $\mathcal{L}(V, W)$ (conjunto de todas as transformações lineares de $V$ em $W$ ) é ele mesmo um espaço vetorial, com as operações $(T_1 + T_2)(v) = T_1(v) + T_2(v)$ e $(aT)(v) = a\,T(v)$ .
Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT · p. ex. T20
Show solution
Sejam $T_1, T_2 \in \mathcal{L}(V,W)$ . Define-se $(T_1+T_2)(v) = T_1(v)+T_2(v)$ e $(aT)(v) = a\cdot T(v)$ . Verificação: $(T_1+T_2)(u+v) = T_1(u+v)+T_2(u+v) = T_1(u)+T_1(v)+T_2(u)+T_2(v) = (T_1+T_2)(u)+(T_1+T_2)(v)$ . Portanto $\mathcal{L}(V,W)$ é fechado sob soma e escalar — é espaço vetorial.
Ex. 112.39ChallengeAnswer key
Encontre $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ com $T^2 = -I$ (o negativo da identidade). Sugere-se rotação de 90°. Qual a conexão com os números complexos?
Solve online Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I · p. ex. 1.28
Show solution
Queremos $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ com $T^2 = -I$ . A rotação de 90° funciona: $R_{90} = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ . Então $R_{90}^2 = \begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix} = -I$ . Esta propriedade é análoga a $i^2 = -1$ nos complexos — a rotação de 90° age como a unidade imaginária $i$ !
Ex. 112.40Challenge
Demonstre: toda transformação linear $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tem a forma $T(x) = ax$ para algum $a \in \mathbb{R}$ .
Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3A · p. ex. 3A.17
Show solution
Toda $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ linear tem forma $T(x) = T(1)\cdot x$ . Demonstração: dado qualquer $x \in \mathbb{R}$ , $T(x) = T(x \cdot 1) = x\,T(1)$ pela linearidade (preservação de escalar). Portanto $a = T(1) \in \mathbb{R}$ determina completamente $T$ , e $T(x) = ax$ .
Ex. 112.41Proof
Demonstração. Prove que a composição de transformações lineares é linear. Seja $S: U \to V$ e $T: V \to W$ ambas lineares. Mostre que $T \circ S: U \to W$ é linear.
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT Teorema LTLC · p. p. 320
Show solution
Sejam $S: U \to V$ e $T: V \to W$ lineares. Para quaisquer $u_1, u_2 \in U$ e $a \in K$ : Soma: $(T\circ S)(u_1+u_2) = T(S(u_1+u_2)) = T(S(u_1)+S(u_2)) = T(S(u_1))+T(S(u_2)) = (T\circ S)(u_1)+(T\circ S)(u_2)$ . Escalar: análogo. Logo $T \circ S$ é linear. $\square$
Ex. 112.42ProofAnswer key
Demonstração. Prove por indução que toda transformação linear preserva combinações lineares arbitrárias: $T\!\left(\sum c_i v_i\right) = \sum c_i T(v_i)$ .
Solve online Axler — Linear Algebra Done Right 4.ª ed. · §3B · p. ex. 3B.2
Show solution
Seja $T: V \to W$ linear e $c_1, \ldots, c_n \in K$ , $v_1, \ldots, v_n \in V$ . Então: $T\left(\sum_{i=1}^n c_i v_i\right) = \sum_{i=1}^n c_i T(v_i)$ . Prova por indução: base $n=1$ é a preservação de escalar; passo: $T(c_1v_1 + \cdots + c_n v_n) = T(c_1v_1 + \cdots + c_{n-1}v_{n-1}) + T(c_n v_n) = \sum_{i=1}^{n-1}c_i T(v_i) + c_n T(v_n)$ . $\square$
Ex. 112.43Proof
Demonstração. Prove: $T$ linear é injetiva $\iff \ker T = \{0\}$ .
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §ILT Teorema KILT · p. p. 338
Show solution
( $\Rightarrow$ ) Se $T$ é injetiva e $T(v)=0=T(0)$ , então $v=0$ , logo $\ker T = \{0\}$ . ( $\Leftarrow$ ) Se $\ker T = \{0\}$ e $T(u)=T(v)$ , então $T(u-v) = T(u)-T(v) = 0$ , logo $u-v \in \ker T = \{0\}$ , portanto $u=v$ . $\square$
Ex. 112.44Proof
Demonstração. Prove o teorema de extensão linear: dados espaços vetoriais $V$ (dim $n$ ) e $W$ , e vetores $w_1, \ldots, w_n \in W$ arbitrários, existe única transformação linear $T: V \to W$ com $T(v_i) = w_i$ para $i = 1, \ldots, n$ .
Solve online Beezer — A First Course in Linear Algebra · §LT Teorema MBLT · p. p. 325
Show solution
Seja $\mathcal{B} = \{v_1,\ldots,v_n\}$ base de $V$ . Todo $v \in V$ se escreve unicamente como $v = \sum a_i v_i$ . Definindo $T(v) = \sum a_i w_i$ com $w_i \in W$ arbitrários: (i) $T$ é bem-definida (unicidade da representação); (ii) é linear (por construção); (iii) é única com esses valores na base (qualquer outra com mesmos valores coincide em toda combinação linear). Isso mostra que a base determina completamente a transformação linear. $\square$

Fontes

Beezer — A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · 2022 · EN · GNU FDL. §LT (Linear Transformations) e §ILT (Injective Linear Transformations). Fonte primária desta lição.
Hefferon — Linear Algebra — Jim Hefferon · 4.ª ed. · EN · CC-BY-SA. Cap. 3 (Maps Between Spaces): enfoque geométrico e exemplos de transformações do plano.
Axler — Linear Algebra Done Right — Sheldon Axler · 4.ª ed. · EN · CC-BY-NC. §3A–§3B: linear maps como objetos de primeira classe; sem determinantes como fundamento.