Lição 113 — Núcleo e imagem

Determine o núcleo de $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $T(x, y) = (x + y, \; x + y)$.

Determine a imagem de $T(x,y) = (x+y, x+y)$ e sua dimensão.

Verifique o teorema posto-nulidade para $T(x,y) = (x+y,\; x+y)$ usando os resultados dos dois exercícios anteriores.

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$, determine núcleo, imagem, posto e nulidade.

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, determine núcleo e imagem.

Determine o posto de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$. (Resp: 2.)

Determine o núcleo do operador derivação $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. (Resp: polinômios constantes.)

Determine a imagem de $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$, $D(p) = p'$. (Resp: $\mathcal{P}_2$.)

Verifique o teorema posto-nulidade para $D: \mathcal{P}_3 \to \mathcal{P}_3$.

Para $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $T(x,y,z) = (x-y,\; y-z)$, determine núcleo e imagem.

Determine o posto da matriz de Vandermonde $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9 \end{pmatrix}$.

Determine o núcleo e a imagem da projeção ortogonal de $\mathbb{R}^2$ sobre a reta $y = x$.

$A$ é uma matriz $3 \times 5$ com posto 3. Qual é a dimensão do núcleo? (Resp: 2.)

Sistema $4 \times 4$ com $\det A = 0$. Pode ter solução única?

Resolva $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ e descreva a família de soluções.

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, o vetor $b = (1, 0)^T$ está na imagem de $A$? Justifique.

Sistema $5 \times 3$ com mais equações que incógnitas: tem mais soluções únicas ou soluções infinitas? Discuta os casos.

Mostre que se $Ax = b$ tem solução particular $x_p$, então o conjunto completo de soluções é $\{x_p + h : h \in \ker A\}$.

Em $\mathbb{R}^4$, encontre um vetor $v$ que não pertence à imagem de $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Quando $A^T A$ é invertível?

Demonstre: $A$ quadrada $n \times n$ é invertível $\iff$ $\operatorname{posto}(A) = n$ $\iff$ $\ker A = \{0\}$.

Mostre que o sistema $\begin{cases} x + y = 1 \\ 2x + 2y = 3 \end{cases}$ não tem solução, verificando que $b = (1,3)^T \notin \operatorname{Im}(A)$.

Para $T: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$ com $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, determine posto, nulidade e classifique a injetividade e sobrejetividade de $T$.

Em ML, regressão com 50 features e 5 amostras: $X$ é $5 \times 50$. Qual o posto máximo de $X$? Discuta a consequência para $X^T X$ e a solução de mínimos quadrados.

Em computação gráfica, a projeção perspectiva $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ descarta a coordenada de profundidade. Qual é o núcleo? Por que isso está relacionado ao problema de z-fighting?

Em controle, o sistema $\dot{x} = Ax + Bu$ é controlável se e somente se a matriz de controlabilidade $\mathcal{C} = [B, AB, \ldots, A^{n-1}B]$ tem posto $n$. Interprete isso em termos de núcleo e imagem.

Em finanças, portfólio de ativos perfeitamente correlacionados leva a matriz de covariância de posto reduzido. Quais são as consequências práticas para a análise de risco?

Demonstre que autovetores correspondentes a autovalores distintos de $T: V \to V$ são linearmente independentes. (Pré-visualização de Lição 114.)

Demonstre: $\operatorname{posto}(A) = \operatorname{posto}(A^T)$.

Construa uma matriz $A$ de tamanho $3 \times 3$ com posto exatamente 2 e um vetor $b$ tal que $Ax = b$ tenha infinitas soluções.

Demonstre que $\ker T$ é um subespaço do domínio $V$.

Demonstre que $\operatorname{Im}(T)$ é um subespaço do contradomínio $W$.

Mostre que $\operatorname{posto}(AB) \leq \min(\operatorname{posto}(A), \operatorname{posto}(B))$.

Demonstre: $\operatorname{Col}(A) \perp \ker(A^T)$.