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v1 · padrão canônico

Lição 119 — Síntese: Black-Scholes revisited

A culminação de 3 anos: toda a matemática do Ensino Médio converge na fórmula de Black-Scholes. Funções, exp/log, derivadas, integrais, EDPs, distribuição normal, álgebra linear — todos visíveis na fórmula. Nobel de Economia 1997.

Used in: 3.º ano do EM (17-18 anos) · Equiv. Math III japonês cap. final · Equiv. Klasse 12 LK alemã — Finanças Aplicadas · Equiv. H2 Further Math singapurense

C(S,t)=S N(d1)−K e−r(T−t) N(d2)C(S,t) = S\,N(d_1) - K\,e^{-r(T-t)}\,N(d_2)

A fórmula de Black-Scholes precifica uma opção de compra europeia. SS é o preço atual, KK o preço de exercício, rr a taxa livre de risco, σ\sigma a volatilidade, T−tT-t o tempo até vencimento. N(d)N(d) é a distribuição acumulada da normal padrão — uma integral. Toda a matemática de 120 lições converge aqui. Nobel de Economia 1997.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

O modelo e a equação canônica

"Black e Scholes (1973) derivaram o preço de uma opção europeia de compra assumindo que o preço do ativo subjacente segue um movimento browniano geométrico com drift e volatilidade constantes, sem dividendos e em mercado sem fricções." — OpenStax Business Statistics, Cap. 11

"A equação do calor ut=k uxxu_t = k\,u_{xx} é o protótipo de EDP parabólica. Sua solução via convolução com o núcleo gaussiano é exatamente o que produz a fórmula de Black-Scholes quando se impõe a condição de contorno de payoff da opção." — Lebl, Notes on Diffy Qs §4.3

Os Greeks — derivadas parciais de C

GreekDerivadaValor (call)InterpretaçãoDelta∂C/∂SN(d₁)Hedge ratioGamma∂²C/∂S²φ(d₁)/(Sσ√T)ConvexidadeVega∂C/∂σS·φ(d₁)·√TSensib. a volTheta∂C/∂t(negativo)Time decayRho∂C/∂rKT·e^(−rT)·N(d₂)Sensib. a juros

Os cinco Greeks principais — derivadas parciais de C em relação a cada parâmetro. Mesa de derivativos calcula todos continuamente.

Exemplos resolvidos

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 9Modeling 6Challenge 6Proof 3
  1. Ex. 119.1Understanding

    Na fórmula de Black-Scholes C=SN(d1)−Ke−rTN(d2)C = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2), o que representa a variável SS?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · conceitual BS · p. variável
    Show solution
    Na fórmula C=SN(d1)−Ke−rTN(d2)C = SN(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2), SS é o preço atual do ativo subjacente — o preço de mercado da ação hoje. Resp: A.
  2. Ex. 119.2UnderstandingAnswer key

    Na fórmula de Black-Scholes, o que representa N(d)N(d)?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · conceitual CDF · p. 115
    Show solution
    N(d)N(d) é a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão N(0,1)\mathcal{N}(0,1) avaliada em dd. Numericamente é a integral de −∞-\infty até dd da densidade gaussiana. Resp: B.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Lembre a definição de CDF: F(x)=P(X≤x)F(x) = P(X \leq x). Por quê: N(d) é exatamente isso para X normal padrão.
    2. Escreva a integral: N(d)=12π∫−∞de−u2/2 duN(d) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d} e^{-u^2/2}\,du. Por quê: integração da densidade gaussiana.
    3. Elimine as alternativas erradas: A é o significado de N(d₂) especificamente — não de N(d) em geral. C é a PDF (derivada), não CDF. D é vol implícita.

    Macete: N é de "Normal CDF" — lembre que CDF é sempre integral da PDF da esquerda até o ponto.

  3. Ex. 119.3Application

    Para S=K=50S = K = 50, r=0,06r = 0{,}06, σ=0,20\sigma = 0{,}20, T=1T = 1, calcule d1d_1 e d2d_2.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · cálculo d1 · p. variável
    Show solution
    Com S=KS=K, ln⁡(S/K)=0\ln(S/K)=0. Então d1=0+(0,06+0,02)⋅10,20=0,080,20=0,40d_1 = \frac{0+(0{,}06+0{,}02)\cdot 1}{0{,}20} = \frac{0{,}08}{0{,}20} = 0{,}40 e d2=0,40−0,20=0,20d_2 = 0{,}40 - 0{,}20 = 0{,}20.
  4. Ex. 119.4ApplicationAnswer key

    Com d1=0,40d_1 = 0{,}40 e d2=0,20d_2 = 0{,}20 do exercício 119.3, e sabendo que N(0,40)≈0,6554N(0{,}40) \approx 0{,}6554, N(0,20)≈0,5793N(0{,}20) \approx 0{,}5793, calcule o preço da call (S=K=50S = K = 50, r=0,06r = 0{,}06, T=1T = 1).

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · tabela normal · p. 118
    Show solution
    Com d1=0,40d_1=0{,}40 e d2=0,20d_2=0{,}20: N(0,40)≈0,6554N(0{,}40)\approx 0{,}6554 e N(0,20)≈0,5793N(0{,}20)\approx 0{,}5793. Então C=50⋅0,6554−50⋅e−0,06⋅0,5793≈32,77−50⋅0,9418⋅0,5793≈32,77−27,27=5,50C = 50\cdot 0{,}6554 - 50\cdot e^{-0{,}06}\cdot 0{,}5793 \approx 32{,}77 - 50\cdot 0{,}9418\cdot 0{,}5793 \approx 32{,}77 - 27{,}27 = 5{,}50.
  5. Ex. 119.5ApplicationAnswer key

    Com os dados do exercício 119.4 (C=5,50C = 5{,}50, S=K=50S = K = 50, r=0,06r = 0{,}06, T=1T = 1), use a paridade put-call para calcular o preço do put europeu.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.4 · paridade put-call · p. 122
    Show solution
    Pela paridade: P=C−S+Ke−rT=5,50−50+50⋅e−0,06≈5,50−50+47,09=2,59P = C - S + Ke^{-rT} = 5{,}50 - 50 + 50\cdot e^{-0{,}06} \approx 5{,}50 - 50 + 47{,}09 = 2{,}59.
  6. Ex. 119.6Application

    Com Δ=N(d1)=0,6554\Delta = N(d_1) = 0{,}6554 (exercício 119.3), quantas ações vender a descoberto para delta-hedgear uma posição long em 500 calls?

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · delta call · p. variável
    Show solution
    Δ=N(d1)=N(0,40)≈0,6554\Delta = N(d_1) = N(0{,}40) \approx 0{,}6554. Para delta-hedgear 500 calls: vender 500×0,6554=327,7≈328500 \times 0{,}6554 = 327{,}7 \approx 328 ações a descoberto.
  7. Ex. 119.7Understanding

    Qual Greek mede a sensibilidade do preço da opção à volatilidade σ\sigma?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · greeks conceitual · p. variável
    Show solution
    Vega =∂C/∂σ= \partial C/\partial \sigma mede a sensibilidade do preço da opção à volatilidade. É o Greek que a mesa monitora quando opera vol implícita. Resp: C.
  8. Ex. 119.8Application

    Calcule d1d_1 e d2d_2 para PETR4: S=46,60S = 46{,}60, K=47K = 47, r=14,65%r = 14{,}65\% a.a., σ=35%\sigma = 35\%, T=30T = 30 dias.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · d1 d2 geral · p. 115
    Show solution
    ln⁡(46,60/47)=ln⁡(0,9915)≈−0,00854\ln(46{,}60/47) = \ln(0{,}9915) \approx -0{,}00854. d1=−0,00854+(0,1465+0,0613)⋅0,08220,35⋅0,2868≈0,008550,1004≈0,085d_1 = \frac{-0{,}00854 + (0{,}1465+0{,}0613)\cdot 0{,}0822}{0{,}35\cdot 0{,}2868} \approx \frac{0{,}00855}{0{,}1004} \approx 0{,}085. d2=0,085−0,100≈−0,015d_2 = 0{,}085 - 0{,}100 \approx -0{,}015.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Converter T: T=30/365≈0,0822T = 30/365 \approx 0{,}0822 anos. Por quê: BS usa T em anos.
    2. Calcular ln⁡(S/K)=ln⁡(46,60/47)\ln(S/K) = \ln(46{,}60/47). Usar ln⁡(1+x)≈x\ln(1+x)\approx x para x pequeno: x=−0,40/47≈−0,0085x = -0{,}40/47 \approx -0{,}0085.
    3. Calcular numerador de d₁: −0,0085+(0,1465+0,0613)⋅0,0822-0{,}0085 + (0{,}1465 + 0{,}0613)\cdot 0{,}0822.
    4. Calcular denominador: 0,35⋅0,0822=0,35⋅0,2867≈0,1000{,}35\cdot\sqrt{0{,}0822} = 0{,}35\cdot 0{,}2867 \approx 0{,}100.

    Observação: σ2/2=0,352/2=0,0613\sigma^2/2 = 0{,}35^2/2 = 0{,}0613.

  9. Ex. 119.9Application

    Com d1≈0,085d_1 \approx 0{,}085 e d2≈−0,015d_2 \approx -0{,}015 (exercício 119.8), e N(0,085)≈0,534N(0{,}085) \approx 0{,}534, N(−0,015)≈0,494N(-0{,}015) \approx 0{,}494, calcule o preço teórico da call PETR4.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · C PETR4 · p. variável
    Show solution
    Com N(0,085)≈0,534N(0{,}085)\approx 0{,}534 e N(−0,015)≈0,494N(-0{,}015)\approx 0{,}494: C=46,60⋅0,534−47⋅e−0,1465⋅0,0822⋅0,494≈24,88−47⋅0,9879⋅0,494≈24,88−22,96≈1,92C = 46{,}60\cdot 0{,}534 - 47\cdot e^{-0{,}1465\cdot 0{,}0822}\cdot 0{,}494 \approx 24{,}88 - 47\cdot 0{,}9879\cdot 0{,}494 \approx 24{,}88 - 22{,}96 \approx 1{,}92. Preço teórico: aprox. R\$ 1,92.
  10. Ex. 119.10Application

    Com C≈1,92C \approx 1{,}92, S=46,60S = 46{,}60, K=47K = 47, Ke−rT≈46,43Ke^{-rT} \approx 46{,}43, calcule o preço do put PETR4 pela paridade put-call.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.4 · paridade PETR4 · p. 122
    Show solution
    P=C−S+Ke−rT=1,92−46,60+47⋅0,9879≈1,92−46,60+46,43=1,75P = C - S + Ke^{-rT} = 1{,}92 - 46{,}60 + 47\cdot 0{,}9879 \approx 1{,}92 - 46{,}60 + 46{,}43 = 1{,}75. Put vale aprox. R\$ 1,75.
  11. Ex. 119.11UnderstandingAnswer key

    A EDP de Black-Scholes é matematicamente análoga a qual outra equação clássica da física?

    Select the correct option
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    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.1 · classificação EDP · p. 195
    Show solution
    A EDP de BS é parabólica e reduz-se à equação do calor uτ=σ22uxxu_\tau = \frac{\sigma^2}{2}u_{xx} pela mudança de variáveis x=ln⁡S,τ=T−tx=\ln S, \tau=T-t. Resp: C.
  12. Ex. 119.12Application

    Repita o cálculo do Exemplo 2 (S=K=100S = K = 100, r=0,05r = 0{,}05, T=1T = 1) com σ=0,30\sigma = 0{,}30 (maior volatilidade). Compare com o resultado C≈10,45C \approx 10{,}45 para σ=0,20\sigma = 0{,}20. O que acontece com o preço da call?

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · efeito sigma · p. variável
    Show solution
    Para σ=0,30\sigma=0{,}30: d1=0+(0,05+0,045)0,30=0,0950,30≈0,317d_1 = \frac{0+(0{,}05+0{,}045)}{0{,}30} = \frac{0{,}095}{0{,}30} \approx 0{,}317; d2=0,317−0,30=0,017d_2 = 0{,}317 - 0{,}30 = 0{,}017. N(0,317)≈0,624N(0{,}317)\approx 0{,}624, N(0,017)≈0,507N(0{,}017)\approx 0{,}507. C≈100⋅0,624−95,12⋅0,507≈62,4−48,2=14,2C \approx 100\cdot 0{,}624 - 95{,}12\cdot 0{,}507 \approx 62{,}4 - 48{,}2 = 14{,}2. Mais caro que os R\$ 10,45 com σ=0,20\sigma=0{,}20 — maior vol, maior opção.
  13. Ex. 119.13Application

    Com S=K=100S = K = 100, r=0,05r = 0{,}05, σ=0,20\sigma = 0{,}20, calcule CC para T=0,25T = 0{,}25 (3 meses). Compare com C≈10,45C \approx 10{,}45 para T=1T = 1. Interprete o efeito do tempo (Theta).

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · efeito T · p. 115
    Show solution
    Para T=0,25T=0{,}25: denominador =0,20⋅0,50=0,10= 0{,}20\cdot 0{,}50 = 0{,}10; numerador =0+0,07⋅0,25=0,0175= 0 + 0{,}07\cdot 0{,}25 = 0{,}0175. d1=0,175d_1 = 0{,}175, d2=0,075d_2 = 0{,}075. N(0,175)≈0,569N(0{,}175)\approx 0{,}569, N(0,075)≈0,530N(0{,}075)\approx 0{,}530. C≈100⋅0,569−98,77⋅0,530≈56,9−52,3=4,6C \approx 100\cdot 0{,}569 - 98{,}77\cdot 0{,}530 \approx 56{,}9 - 52{,}3 = 4{,}6. Metade do tempo → opção vale menos (Theta negativo).
  14. Ex. 119.14Application

    Leia da tabela normal padrão os valores de N(d)N(d) para d∈{0;0,50;1,00;1,96;2,00}d \in \{0; 0{,}50; 1{,}00; 1{,}96; 2{,}00\}. Use a simetria N(−d)=1−N(d)N(-d) = 1 - N(d) para calcular N(−1)N(-1) e N(−1,96)N(-1{,}96).

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · N(d) tabela · p. variável
    Show solution
    N(0,00)=0,5000N(0{,}00)=0{,}5000, N(0,50)=0,6915N(0{,}50)=0{,}6915, N(1,00)=0,8413N(1{,}00)=0{,}8413, N(1,96)=0,9750N(1{,}96)=0{,}9750, N(2,00)=0,9772N(2{,}00)=0{,}9772. Por simetria: N(−d)=1−N(d)N(-d)=1-N(d).
  15. Ex. 119.15Understanding

    Explique em uma frase a interpretação probabilística de N(d2)N(d_2) na fórmula de Black-Scholes.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · interpretação d2 · p. 118
    Show solution
    N(d2)N(d_2) é a probabilidade, sob a medida neutra a risco, de a opção terminar in-the-money (ST>KS_T > K). N(d1)N(d_1) é o "delta" — probabilidade ajustada pelo peso do ativo subjacente recebido se exercida.
  16. Ex. 119.16Application

    Para S=100S = 100, K=110K = 110 (out-of-the-money), r=0,05r = 0{,}05, σ=0,20\sigma = 0{,}20, T=1T = 1, calcule d1d_1, d2d_2 e CC. Compare com a opção at-the-money do Exemplo 2.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · K > S · p. variável
    Show solution
    ln⁡(100/110)=ln⁡(0,909)≈−0,0953\ln(100/110) = \ln(0{,}909) \approx -0{,}0953. d1=−0,0953+0,070,20=−0,02530,20=−0,127d_1 = \frac{-0{,}0953 + 0{,}07}{0{,}20} = \frac{-0{,}0253}{0{,}20} = -0{,}127; d2=−0,327d_2 = -0{,}327. N(−0,127)≈0,449N(-0{,}127)\approx 0{,}449; N(−0,327)≈0,372N(-0{,}327)\approx 0{,}372. C≈100⋅0,449−110⋅0,9512⋅0,372≈44,9−38,9=6,0C \approx 100\cdot 0{,}449 - 110\cdot 0{,}9512\cdot 0{,}372 \approx 44{,}9 - 38{,}9 = 6{,}0.
  17. Ex. 119.17Application

    Com C=6,0C = 6{,}0 do exercício 119.16 (S=100S = 100, K=110K = 110, r=0,05r = 0{,}05, T=1T = 1), calcule o preço do put pela paridade. Compare put e call.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.4 · paridade OTM · p. 122
    Show solution
    P=C−S+Ke−rT=6,0−100+110⋅0,9512=6,0−100+104,6=10,6P = C - S + Ke^{-rT} = 6{,}0 - 100 + 110\cdot 0{,}9512 = 6{,}0 - 100 + 104{,}6 = 10{,}6. O put OTM vale mais que a call OTM — faz sentido: o put fica in-the-money com queda de mais de 10%, que é mais provável que alta de mais de 10%... mas espera, são equiprováveis sob GBM. A diferença vem do carry: S>Ke−rTS > Ke^{-rT}.
  18. Ex. 119.18ModelingAnswer key

    O mercado cotou a call PETR4 (exercício 119.9) a R$ 2,50 enquanto o modelo com σ=35%\sigma = 35\% deu R$ 1,92. Explique o conceito de volatilidade implícita e como calculá-la.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · vol implícita conceito · p. variável
    Show solution
    Vol implícita é o valor de σ\sigma que, inserido em BS, iguala o preço teórico ao preço de mercado observado. Como BS não tem fórmula fechada para σ\sigma dado CC, inverte-se numericamente via Newton-Raphson: σn+1=σn−(CBS(σn)−Cmkt)/vega(σn)\sigma_{n+1} = \sigma_n - (C_{BS}(\sigma_n) - C_{\text{mkt}})/\text{vega}(\sigma_n).
  19. Ex. 119.19Modeling

    Descreva as 3 substituições de variáveis que transformam a EDP de Black-Scholes na equação do calor. Por que isso é útil?

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.3 · equação calor analogia · p. 205
    Show solution
    A EDP de BS Vt+12σ2S2VSS+rSVS−rV=0V_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 V_{SS} + rSV_S - rV = 0 vira equação do calor uτ=σ22uxxu_\tau = \frac{\sigma^2}{2}u_{xx} com x=ln⁡Sx=\ln S, τ=T−t\tau=T-t, u=erτVu=e^{r\tau}V. A solução é convolução do payoff com o núcleo gaussiano — exatamente a forma da solução da equação do calor estudada em §4.3 de Lebl.
  20. Ex. 119.20Modeling

    Descreva um hedge dinâmico delta-neutro para 1.000 calls PETR4 (Δ=0,534\Delta = 0{,}534) ao longo de 2 dias. Por que esse hedge é "dinâmico" e qual é seu custo real que BS ignora?

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · hedge dinâmico · p. variável
    Show solution
    Dia 0: Δ0=0,534\Delta_0 = 0{,}534 → comprar 534 ações para long 1.000 calls. Dia 1: S sobe para R\$ 47,50, recalcular d1d_1 e Δ1\Delta_1 — digamos Δ1=0,58\Delta_1 = 0{,}58 → comprar mais 46 ações. Custo de transação + bid-ask spread a cada rebalanceamento é o "custo de hedging" que BS ignora.
  21. Ex. 119.21Understanding

    Explique como o Teorema Central do Limite (Lição 77) justifica a hipótese de log-normalidade de STS_T no modelo de Black-Scholes.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.5 · TCL e log-normal · p. 130
    Show solution
    O TCL afirma que soma de muitos retornos independentes converge para a normal. Log-retorno ln⁡(ST/S0)=∑ln⁡(St+1/St)\ln(S_T/S_0) = \sum \ln(S_{t+1}/S_t) é soma de TT incrementos — pelo TCL, distribui-se normalmente. Daí STS_T é log-normal, hipótese central de BS.
  22. Ex. 119.22Understanding

    Por que a EDP de Black-Scholes é classificada como parabólica? O que isso significa fisicamente?

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.1 · EDP tipo · p. 195
    Show solution
    A EDP de BS tem segunda derivada em SS e primeira em tt, com coeficiente positivo no termo VSSV_{SS} — portanto é **parabólica**. Tal como a equação do calor ut=kuxxu_t = ku_{xx}. EDPs parabólicas modelam difusão — a incerteza sobre STS_T "difunde" ao longo do tempo.
  23. Ex. 119.23Application

    No caso especial S=KS = K e r=0r = 0, mostre que C=S[2N(σT/2)−1]C = S[2N(\sigma\sqrt{T}/2) - 1]. Use a simetria da distribuição normal padrão.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 6 · simetria normal · p. variável
    Show solution
    Quando S=KS=K e r=0r=0: d1=σT/2d_1 = \sigma\sqrt{T}/2 e d2=−σT/2d_2 = -\sigma\sqrt{T}/2. Pela simetria da normal: N(d1)+N(−d1)=1N(d_1)+N(-d_1)=1. A call vale C=S[N(d1)−N(−d1)]=S[2N(d1)−1]C = S[N(d_1)-N(-d_1)] = S[2N(d_1)-1]. Para σT→0\sigma\sqrt{T}\to 0, C→0C\to 0; para σT→∞\sigma\sqrt{T}\to\infty, C→SC\to S.
  24. Ex. 119.24Application

    A função N(d)N(d) não tem fórmula fechada. Descreva uma aproximação polinomial (Abramowitz-Stegun) usada em implementações sem biblioteca estatística. Calcule N(0,35)N(0{,}35) pela aproximação e compare com o valor da tabela (≈0,6368\approx 0{,}6368).

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · N aproximação · p. 118
    Show solution
    Aproximação de Abramowitz-Stegun (fórmula 26.2.17): para d>0d>0, N(d)≈1−ϕ(d)(a1t+a2t2+a3t3)N(d)\approx 1 - \phi(d)(a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3) onde t=1/(1+0,33267 d)t=1/(1+0{,}33267\,d), a1=0,4361836a_1=0{,}4361836, a2=−0,1201676a_2=-0{,}1201676, a3=0,9372980a_3=0{,}9372980. Para d=0,35d=0{,}35: t≈0,896t\approx 0{,}896, resultado ≈0,6368\approx 0{,}6368 — bate com o valor exato.
  25. Ex. 119.25Challenge

    Esboce a derivação da EDP de Black-Scholes: construa o portfólio replicante Π=ΔS−C\Pi = \Delta S - C, aplique o Lema de Itô a dCdC, elimine o risco escolhendo Δ\Delta apropriado, e use não-arbitragem para obter a EDP.

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.2 · derivação EDP BS · p. 200
    Show solution
    Portfólio Π=ΔS−C\Pi = \Delta S - C. Por Itô: dC=Ctdt+CSdS+12σ2S2CSSdtdC = C_t dt + C_S dS + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 C_{SS}dt. Escolhendo Δ=CS\Delta = C_S, o termo dSdS cancela em dΠ=ΔdS−dCd\Pi = \Delta dS - dC: dΠ=−(Ct+12σ2S2CSS)dtd\Pi = -(C_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 C_{SS})dt. Por não-arbitragem dΠ=rΠdt=r(CSS−C)dtd\Pi = r\Pi dt = r(C_S S - C)dt. Igualando: Ct+12σ2S2CSS+rSCS−rC=0C_t + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 C_{SS} + rS C_S - rC = 0.
  26. Ex. 119.26Challenge

    Liste 3 hipóteses de Black-Scholes que claramente falharam durante a crise financeira de 2008. Para cada uma, cite um modelo alternativo que a relaxa.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · limitações BS · p. variável
    Show solution
    (a) **Log-normalidade**: na crise de 2008, ações caíram 50%+ em dias — eventos "impossíveis" pela normal. (b) **Vol constante**: smile e skew de vol implícita contradizem BS. (c) **Liquidez infinita**: em pânico, spread compra-venda explode — hedge contínuo impossível. Modelos alternativos: Heston (vol estocástica), Merton (saltos), Local Vol (Dupire).
  27. Ex. 119.27ChallengeAnswer key

    Verifique numericamente que a fórmula BS satisfaz a EDP de BS, usando os valores do Exemplo 2 (S=K=100S = K = 100, r=0,05r = 0{,}05, σ=0,20\sigma = 0{,}20, T=1T = 1). Calcule cada termo da EDP.

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.3 · verificação BS EDP · p. 205
    Show solution
    Calcular Ct,CS,CSSC_t, C_S, C_{SS} e substituir na EDP. CS=N(d1)C_S = N(d_1) (Delta). CSS=ϕ(d1)/(SσT−t)C_{SS} = \phi(d_1)/(S\sigma\sqrt{T-t}) (Gamma). CtC_t é Theta (negativo). Substituindo: Θ+12σ2S2Γ+rSΔ−rC=0\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta - rC = 0 — esta é a relação fundamental entre Greeks: Theta-Gamma-Delta. Verificação numérica: inserir valores do Exemplo 2 e checar que os dois lados se igualam.
  28. Ex. 119.28Proof

    Demonstre a paridade put-call C−P=S−Ke−r(T−t)C - P = S - Ke^{-r(T-t)} via argumento de não-arbitragem com dois portfólios de mesmo payoff.

    OpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.4 · prova paridade · p. 122
    Show solution
    Dois portfólios com mesmo payoff em T: (A) long call + curto put; (B) long ação + tomar empréstimo de Ke−rTKe^{-rT}. Em T: (A) paga max⁡(ST−K,0)−max⁡(K−ST,0)=ST−K\max(S_T-K,0)-\max(K-S_T,0)=S_T-K. (B) paga ST−KS_T - K. Por não-arbitragem: C−P=S−Ke−rTC - P = S - Ke^{-rT}. ■\blacksquare
  29. Ex. 119.29Proof

    Calcule o limite lim⁡σ→0+C(S,t)\lim_{\sigma\to 0^+} C(S, t) pela fórmula de Black-Scholes. Use a propriedade N(−∞)=0N(-\infty) = 0 e N(+∞)=1N(+\infty) = 1. Interprete financeiramente.

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.3 · limite sigma a 0 · p. 205
    Show solution
    Quando σ→0+\sigma\to 0^+, d1→+∞d_1\to +\infty se S>Ke−rTS>Ke^{-rT} (e d1→−∞d_1\to -\infty se S<Ke−rTS<Ke^{-rT}). Portanto N(d1)→1N(d_1)\to 1 e N(d2)→1N(d_2)\to 1, logo C→S−Ke−rT=max⁡(S−Ke−rT,0)C\to S-Ke^{-rT} = \max(S-Ke^{-rT},0) (valor intrínseco descontado). Para S<Ke−rTS<Ke^{-rT}: C→0C\to 0. Resultado: no limite de vol zero, a call vale seu valor temporal descontado — sem incerteza, não há valor de opcionalidade.
  30. Ex. 119.30Application

    Como a taxa Selic afeta o preço de uma call europeia segundo BS? Calcule o Greek Rho (ρ=∂C/∂r\rho = \partial C / \partial r) para os dados da PETR4 (exercício 119.9) e interprete.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · Selic efeito r · p. variável
    Show solution
    Maior rr → maior desconto de K → maior Ke−rTKe^{-rT} redução → call mais cara. Formalmente, ρ=∂C/∂r=KTe−rTN(d2)>0\rho = \partial C/\partial r = KTe^{-rT}N(d_2) > 0. Para PETR4: aumento de 100 bps na Selic (~1%) aumenta C em 0,01×ρ0{,}01\times \rho. Com r=0,1465r=0{,}1465: ρ≈47×0,0822×0,9879×0,494≈1,88\rho \approx 47\times 0{,}0822\times 0{,}9879\times 0{,}494 \approx 1{,}88. Aumento de 1% → call sobe aprox. R\$ 0,019.
  31. Ex. 119.31Application

    Calcule o Vega da call do Exemplo 1 (S=K=100S = K = 100, d1=0,35d_1 = 0{,}35, T=1T = 1, σ=0,20\sigma = 0{,}20). Use ϕ(0,35)≈0,375\phi(0{,}35) \approx 0{,}375. Interprete: quanto a call muda se σ\sigma sobe de 20% para 21%?

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · vega numérico · p. 118
    Show solution
    Vega =Sϕ(d1)T= S\phi(d_1)\sqrt{T}. Para Exemplo 1: ϕ(0,35)=12πe−0,352/2≈e−0,0612,507≈0,9412,507≈0,375\phi(0{,}35) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-0{,}35^2/2} \approx \frac{e^{-0{,}061}}{2{,}507} \approx \frac{0{,}941}{2{,}507} \approx 0{,}375. Vega =100×0,375×1=37,5= 100\times 0{,}375\times 1 = 37{,}5. Significa: aumento de 1 ponto percentual em σ\sigma → call sobe R\$ 0,375 (vega em unidade de 1% de vol).
  32. Ex. 119.32ApplicationAnswer key

    Calcule o Gamma da call do Exemplo 1 (S=K=100S = K = 100, d1=0,35d_1 = 0{,}35, σ=0,20\sigma = 0{,}20, T=1T = 1). Interprete: se SS sobe R$ 1, quanto muda o Delta?

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · gamma numérico · p. variável
    Show solution
    Gamma =ϕ(d1)/(SσT)=0,375/(100×0,20×1)=0,375/20=0,01875= \phi(d_1)/(S\sigma\sqrt{T}) = 0{,}375/(100\times 0{,}20\times 1) = 0{,}375/20 = 0{,}01875. Significa: se S sobe R\$ 1, Delta aumenta de 0,6368 para 0,6368+0,01875≈0,65560{,}6368 + 0{,}01875 \approx 0{,}6556. Gamma é a convexidade da call — opção com alto gamma requer rebalanceamento mais frequente do hedge.
  33. Ex. 119.33Modeling

    Em portfólio com 2 ativos igualmente ponderados, com volatilidades σ1=σ2=25%\sigma_1 = \sigma_2 = 25\% e correlação ρ=0,5\rho = 0{,}5, calcule a volatilidade do portfólio. Como isso se conecta à matriz de covariância usada em BS multi-ativo?

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.4 · portfólio multi-ativo · p. 122
    Show solution
    Risco do portfólio: σP2=w12σ12+w22σ22+2w1w2σ1σ2ρ12\sigma_P^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1 w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12} onde wiw_i são os pesos. Se ρ12=0,5\rho_{12}=0{,}5, σ1=σ2=0,25\sigma_1=\sigma_2=0{,}25, w1=w2=0,5w_1=w_2=0{,}5: σP2=2×(0,5)2×(0,25)2×(1+0,5)=2×0,25×0,0625×1,5=0,046875\sigma_P^2 = 2\times(0{,}5)^2\times(0{,}25)^2\times(1+0{,}5) = 2\times 0{,}25\times 0{,}0625\times 1{,}5 = 0{,}046875. σP≈21,6%\sigma_P \approx 21{,}6\% menor que 25% individual — benefício da diversificação.
  34. Ex. 119.34ModelingAnswer key

    Esboce o diagrama de payoff de uma call europeia no vencimento com K=100K = 100 e prêmio pago C=10,45C = 10{,}45. Identifique o ponto de break-even e as zonas de lucro/prejuízo.

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.1 · payoff diagram · p. 195
    Show solution
    Payoff da call em vencimento: P(ST)=max⁡(ST−K,0)P(S_T) = \max(S_T - K, 0). Para ST<K=100S_T < K=100: payoff = 0 (opção vira pó). Para ST>KS_T > K: payoff = ST−100S_T - 100 (linha com inclinação 1). Break-even incluindo prêmio pago: ST∗=K+C=100+10,45=110,45S_T^* = K + C = 100 + 10{,}45 = 110{,}45. O gráfico é uma "cotovia" — cauda de ganhos ilimitados à direita, perda máxima = prêmio pago à esquerda.
  35. Ex. 119.35Understanding

    Escreva N(d)N(d) como integral e explique por que essa integral não tem fórmula fechada em funções elementares. Como isso se conecta ao Teorema Fundamental do Cálculo (Lição 83)?

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 6 · N(d) integral · p. variável
    Show solution
    N(d)=∫−∞d12πe−u2/2 duN(d) = \int_{-\infty}^{d} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du — integral imprópria da PDF da normal padrão de −∞-\infty até dd. Não tem primitiva em termos elementares: e−u2/2e^{-u^2/2} não integra por Liouville. Por isso usa-se tabela ou algoritmo numérico (Simpson, Gauss-Hermite). A ligação com BS (Lição 83): N(d)N(d) é calculado pelo mesmo tipo de integral estudado no TFC.
  36. Ex. 119.36Understanding

    Compare o movimento browniano geométrico (GBM) com um random walk simples (discreto). Por que o GBM é mais adequado para modelar preços de ações?

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.5 · GBM x random walk · p. 130
    Show solution
    Random walk (discrete): St+1=St+ϵS_{t+1} = S_t + \epsilon, incrementos absolutos. GBM (continuous): dS=μS dt+σS dWdS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW, incrementos **relativos** (retornos). Por isso St>0S_t > 0 sempre no GBM (ação não pode ter preço negativo) mas o random walk pode. O log-retorno ln⁡(St+1/St)\ln(S_{t+1}/S_t) é sempre bem definido no GBM.
  37. Ex. 119.37Application

    PETR4 paga dividendos contínuos a uma taxa q=5%q = 5\% ao ano. Como ajustar a fórmula de BS? Calcule o novo Sadj=Se−qTS_{\text{adj}} = Se^{-qT} para os dados do exercício 119.8 e descreva o efeito no preço da call.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · bs dividendo · p. variável
    Show solution
    Ajuste de dividendo contínuo: substituir SS por Se−qTSe^{-qT} na fórmula. Para PETR4 com q=5%q=5\% a.a. e T=30/365T=30/365: Se−qT=46,60⋅e−0,05×0,0822≈46,60×0,9959≈46,41Se^{-qT} = 46{,}60\cdot e^{-0{,}05\times 0{,}0822} \approx 46{,}60\times 0{,}9959 \approx 46{,}41. Recalcular com S∗=46,41S^* = 46{,}41 → d1d_1 ligeiramente menor → call ligeiramente mais barata (dividendo "vaza" valor do ativo para o acionista, não para o detentor da call).
  38. Ex. 119.38Modeling

    Na prática brasileira, a curva de volatilidade implícita de PETR4 não é plana — é um "smirk" (sorriso assimétrico). Explique o que isso significa e por que contradiz as hipóteses de Black-Scholes.

    Solve onlineOpenIntro Statistics 4ª ed. · §3.3 · vol smirk B3 · p. 118
    Show solution
    Se BS fosse exato, vol implícita seria constante para todos os strikes. Na B3, vol implícita de puts OTM profundo é sistematicamente maior que de calls OTM — "smirk" (ou "skew negativo"). Razão: demanda por proteção (puts OTM) é maior, elevando seu preço, logo sua vol implícita. Isso contradiz a hipótese de log-normalidade simétrica de BS. Modelo alternativo: Heston com correlação negativa entre vol e preço (ρ<0\rho < 0) captura o skew.
  39. Ex. 119.39ChallengeAnswer key

    Descreva o algoritmo de Newton-Raphson para calcular a volatilidade implícita, dado que a call PETR4 está cotada a R$ 2,50 (vs. R$ 1,92 teórico com σ=35%\sigma = 35\%). Use Vega como derivada. Calcule a primeira iteração.

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.2 · Newton-Raphson vol implícita · p. 200
    Show solution
    Objetivo: encontrar σ∗\sigma^* tal que BS(σ∗)=CmktBS(\sigma^*) = C_{\text{mkt}}. Definir f(σ)=BS(σ)−Cmktf(\sigma) = BS(\sigma) - C_{\text{mkt}}. Newton-Raphson: σn+1=σn−f(σn)/f′(σn)=σn−(BS(σn)−Cmkt)/Vega(σn)\sigma_{n+1} = \sigma_n - f(\sigma_n)/f'(\sigma_n) = \sigma_n - (BS(\sigma_n) - C_{\text{mkt}})/\text{Vega}(\sigma_n). Seed inicial de Brenner-Subrahmanyam: σ0≈2π/T⋅CATM/S\sigma_0 \approx \sqrt{2\pi/T}\cdot C_{\text{ATM}}/S. Para PETR4: σ0=2π/0,0822⋅2,50/46,60≈8,74×0,0537≈0,469=46,9%\sigma_0 = \sqrt{2\pi/0{,}0822}\cdot 2{,}50/46{,}60 \approx 8{,}74\times 0{,}0537 \approx 0{,}469 = 46{,}9\%. Poucas iterações convergem.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Definir função objetivo: f(σ)=CBS(σ)−Cmktf(\sigma) = C_{\text{BS}}(\sigma) - C_{\text{mkt}}. Por quê: queremos o zero desta função.
    2. Derivada analítica: f′(σ)=Vega=Sϕ(d1)Tf'(\sigma) = \text{Vega} = S\phi(d_1)\sqrt{T}. Por quê: Vega é ∂C/∂σ\partial C/\partial\sigma por definição.
    3. Seed de Brenner-Subrahmanyam: σ0≈2π/T⋅C/S\sigma_0 \approx \sqrt{2\pi/T}\cdot C/S. Por quê: aproximação válida para ATM.
    4. Iterar até ∣f(σn)∣<0,001|f(\sigma_n)| < 0{,}001 (1 centavo de precisão).

    Macete: Vega é sempre positivo → Newton-Raphson converge monotonicamente a partir de seed razoável.

  40. Ex. 119.40Challenge

    Descreva o modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein (CRR) como alternativa a BS para precificar uma opção americana de compra (S=K=100S = K = 100, r=0,05r = 0{,}05, σ=0,20\sigma = 0{,}20, T=1T = 1 ano, n=3n = 3 passos). Por que BS não funciona para opções americanas?

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.3 · binomial CRR · p. 205
    Show solution
    CRR (Cox-Ross-Rubinstein): discretizar S em árvore binomial com u=eσΔtu=e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}, d=1/ud=1/u, probabilidade neutra a risco p=(erΔt−d)/(u−d)p=(e^{r\Delta t}-d)/(u-d). Para opção americana, em cada nó comparar valor de espera com exercício antecipado — tomar o máximo. No limite Δt→0\Delta t\to 0, binomial converge para BS. Com n=3n=3 passos, Δt=1/3\Delta t = 1/3 ano, u=e0,20/3≈1,122u = e^{0{,}20/\sqrt{3}} \approx 1{,}122, d≈0,891d\approx 0{,}891. Árvore de 4 nós terminais. Calcular payoffs e fazer backward induction.
  41. Ex. 119.41Challenge

    Explique o conceito de "opção real" (real option) e como a fórmula BS pode ser usada para avaliar o direito de expandir uma fábrica. Identifique SS, KK, σ\sigma nesse contexto.

    Solve onlineOpenStax — Introductory Business Statistics · Cap. 11 · opção real · p. variável
    Show solution
    Opção real: direito, mas não obrigação, de fazer um investimento futuro. Analogia: empresa tem opção de expandir fábrica por R\$ 50M daqui a 1 ano (K=50M). Valor presente do projeto = S. Incerteza sobre valor = sigma. Taxa livre de risco = r. BS dá o valor da opção de expansão. Aplicação: empresa de petróleo com licença de exploração — não obrigação de perfurar. Valor da licença = call BS sobre valor do campo.
  42. Ex. 119.42ProofAnswer key

    A partir da EDP de Black-Scholes, demonstre a relação Θ+12σ2S2Γ+rSΔ=rC\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta = rC entre os Greeks. Interprete financeiramente: por que uma posição long call delta-hedgeada perde dinheiro com o tempo mas ganha com movimentos bruscos do ativo?

    Solve onlineNotes on Diffy Qs — Jiří Lebl · §4.3 · theta gamma delta relação · p. 205
    Show solution
    Da EDP de BS com V=CV = C: Θ+12σ2S2Γ+rSΔ−rC=0\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta - rC = 0. Reorganizando: Θ=rC−rSΔ−12σ2S2Γ\Theta = rC - rS\Delta - \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma. Para delta-hedge (ΔS\Delta S neutro), a posição perde Θ\Theta por unidade de tempo mas ganha 12σ2S2Γ\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma via convexidade ("long gamma = compra de volatilidade"). O custo de manter hedge delta-neutro é exatamente compensado pelo ganho de convexidade quando vol realizada = vol implícita.

Fontes

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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