Lição 120 — Workshop final do Programa

Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x\, dx$.

Resolva $y'' + 4y = 0$ com $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.

Receita $R(q) = 120q - 2q^2$ e custo $C(q) = 200 + 40q + q^2$. Encontre $q^*$ que maximiza o lucro $L = R - C$.

Escreva a série de Taylor de $\cos x$ centrada em $x = 0$ até o termo em $x^4$.

Calcule $\dfrac{d}{dx} e^{x^2}$.

Calcule $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$ usando o TFC.

Calcule $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

Calcule o volume do sólido de revolução gerado por $y = \sqrt{x}$, $x \in [0,4]$, rotacionado em torno do eixo $x$.

Calcule $\dfrac{d}{dx}[x^2 \sin x]$ usando a regra do produto.

Qual enunciado correto do Teorema Fundamental do Cálculo (ambas as partes)?

Diagonalize $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Encontre $P$ e $D$.

Calcule a inversa de $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 7 & 2 \end{pmatrix}$.

Por que toda matriz simétrica real é diagonalizável ortogonalmente? Cite o teorema relevante.

Em $A = U\Sigma V^T$ (SVD), o que representam $U$ e $V^T$ geometricamente?

Dado o sistema $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$, determine se tem solução. Se sim, encontre-a.

Para uma matriz $A$ de ordem $m \times n$, qual é a dimensão do espaço nulo de $A$?

Aplique a matriz de rotação de 30° ao ponto $(1, 0)$.

Encontre o vetor unitário na direção de $(3, 4)$.

$A$ simétrica $2\times 2$ com autovalores $\lambda_1, \lambda_2$. Mostre que $\operatorname{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k$ para todo $k \geq 1$.

$X$ tem duas colunas linearmente dependentes. Mostre via SVD que $X^T X$ é singular.

5 lançamentos de moeda justa. Calcule $P(X = 3)$ onde $X$ = número de caras.

$X \sim N(0,1)$. Calcule $P(X > 2)$.

Cinco pontos: $(1,2)$, $(2,3)$, $(3,5)$, $(4,4)$, $(5,6)$. Encontre $\hat\beta_0$ e $\hat\beta_1$ da reta de regressão $\hat y = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 x$.

A/B test: conversão A = 10%, B = 12%, $n = 1000$ cada. Realize o teste $z$ bilateral para diferença de proporções a $\alpha = 0{,}05$.

Qual a diferença correta entre IC frequentista 95% e credible interval bayesiano 95%?

Prove que $\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X, Y)$.

Prior $\mu \sim \mathcal{N}(0,1)$, observações $x_i \sim \mathcal{N}(\mu, 1)$ com $\bar x = 2$, $n = 4$. Calcule a distribuição posterior de $\mu$.

Enuncie o Teorema Central do Limite e explique intuitivamente por que ele funciona.

Prove que $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2}\,dx = \sqrt{2\pi}$ usando coordenadas polares.

Por que regressão múltipla com features colineares produz $\hat\beta$ instável? Explique via $X^TX$.

Massa-mola amortecido: $m=1$, $k=4$, $c=2$. Identifique o tipo de amortecimento e escreva a solução geral de $\ddot x + 2\dot x + 4x = 0$.

Circuito RC com $\tau = RC = 0{,}1$ s. Quanto tempo para a tensão cair a 5% do valor inicial?

Massa-mola: $m = 1$ kg, $k = 100$ N/m, força $F\cos(\omega t)$, sem amortecimento. Para qual $\omega$ a amplitude diverge (ressonância)?

População cresce a taxa intrínseca 2% ao ano com capacidade de suporte $K$ e colheita de 1000 indivíduos/ano. Modele a EDO e identifique os pontos de equilíbrio.

Use Newton-Raphson para aproximar $\sqrt{2}$ partindo de $x_0 = 1$. Faça 3 iterações.

Carteira Markowitz: 2 ativos com $\sigma_1 = 0{,}1$, $\sigma_2 = 0{,}2$, $\rho = 0{,}3$, pesos iguais. Calcule a volatilidade da carteira.

Prove $e^{i\pi} + 1 = 0$ usando séries de Taylor de $e^z$, $\cos\theta$, $\sin\theta$.

Prove o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 2): $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ onde $F' = f$ e $f$ é contínua em $[a,b]$.

Prove: $\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) + 2\operatorname{Cov}(X,Y)$.

Dado $x^2 + xy + y^2 = 12$, encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal.