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Lição 82 — Integral definida e área orientada

Soma de Riemann como limite. Integral definida como área orientada sob o gráfico. Propriedades: linearidade, aditividade, monotonicidade. Teorema do Valor Médio Integral.

Used in: 3.º ano do EM (17 anos) · Equiv. Math II japonês cap. 6 · Equiv. Klasse 12 alemã Integral

\int_a^b f(x)\, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x

Integral definida via soma de Riemann. Limite das somas de retângulos quando a partição se refina. Mede a área orientada sob o gráfico de f no intervalo [a, b].

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Soma de Riemann

Definition· Integral de Riemann

Seja $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ limitada. Uma partição $P$ de $[a,b]$ é um conjunto $\{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ . A norma da partição é $\|P\| = \max_i \Delta x_i$ onde $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ .

Escolhendo pontos amostrais $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ , a soma de Riemann é:

$S(f, P) = \sum_{i=1}^n f(x_i^*)\, \Delta x_i.$

$f$ é integrável em $[a,b]$ se existe um limite $L$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ com $|S(f,P) - L| < \varepsilon$ sempre que $\|P\| < \delta$ , independente da escolha dos $x_i^*$ . Escreve-se $\int_a^b f(x)\, dx = L$ .

"A integral definida é formalmente o limite das somas de Riemann quando a norma da partição tende a zero." — OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2

Somas de Darboux

Definição equivalente via somas inferior e superior:

$L(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\inf_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i, \qquad U(f, P) = \sum_{i=1}^n \Bigl(\sup_{[x_{i-1}, x_i]} f\Bigr) \Delta x_i.$

$f$ é integrável $\iff \sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ .

Critério de integrabilidade

Propriedades

Definition· Propriedades da integral definida

Para $f$ , $g$ integráveis em $[a, b]$ e $\alpha, \beta, c \in \mathbb{R}$ com $a \leq c \leq b$ :

Linearidade: $\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g$
Aditividade: $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Inversão de limites: $\int_b^a f = -\int_a^b f$
Integral nula: $\int_a^a f = 0$
Monotonicidade: $f \leq g$ em $[a,b] \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$
Triângulo: $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

Seis retângulos de Riemann aproximando a integral. À medida que $n \to \infty$ e $\|P\| \to 0$ , a soma converge para a área exata.

Teorema do Valor Médio Integral

Exemplos resolvidos

Example— 1· Soma de Riemann com n = 4 (básico)

Problema. Estime $\int_0^2 x^2\, dx$ usando a soma de Riemann à direita com $n = 4$ subintervalos.

Estratégia. Dividir $[0, 2]$ em 4 partes iguais, tomar o ponto à direita de cada parte, calcular a soma.

Resolução. $\Delta x = 2/4 = 0{,}5$ . Pontos direitos: $x_1^* = 0{,}5$ , $x_2^* = 1$ , $x_3^* = 1{,}5$ , $x_4^* = 2$ .

$S_4 = f(0{,}5) + f(1) + f(1{,}5) + f(2)) \cdot 0{,}5 = (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) \cdot 0{,}5 = 7{,}5 \cdot 0{,}5 = 3{,}75.$

(O valor exato pelo TFC é $\int_0^2 x^2\, dx = 8/3 \approx 2{,}67$ . A soma à direita superestimou pois $x^2$ é crescente.)

Verificação. Soma com $n$ grande converge para $8/3$ : confirma que $3{,}75$ é uma aproximação pelo excesso.

Fonte. APEX Calculus, §5.2, Exemplo 5.2.4 — CC-BY-NC.

Example— 2· Interpretacao geometrica de integral com funcao negativa (basico)

Problema. Interprete geometricamente $\int_0^\pi \sin x\, dx$ e $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx$ .

Estratégia. $\sin x \geq 0$ em $[0, \pi]$ e $\sin x \leq 0$ em $[\pi, 2\pi]$ . A integral definida mede área orientada.

Resolução.

$\int_0^\pi \sin x\, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$ (área acima do eixo: $+2$ ).
$\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = [-\cos x]_\pi^{2\pi} = -\cos 2\pi + \cos\pi = -1 - 1 = -2$ (área abaixo do eixo: contribuição $-2$ ).

Logo $\int_0^{2\pi} \sin x\, dx = 2 + (-2) = 0$ . A área geométrica total é $2 + 2 = 4$ , mas a integral é zero.

Verificação. Aditividade: $\int_0^\pi + \int_\pi^{2\pi} = 2 - 2 = 0 = \int_0^{2\pi} \sin x\, dx$ . Confere.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 1, §5.2, Exemplo 5.18 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Estimativa por cota (intermediario)

Problema. Mostre que $2 \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ .

Estratégia. Usar monotonicidade: cotar $\sqrt{x+1}$ em $[0, 2]$ por baixo e por cima.

Resolução. Em $[0, 2]$ : mínimo de $\sqrt{x+1}$ em $x = 0$ é $\sqrt{1} = 1$ ; máximo em $x = 2$ é $\sqrt{3}$ .

Por monotonicidade: $\int_0^2 1\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx \leq \int_0^2 \sqrt{3}\, dx$ , ou seja $2 \leq \int \leq 2\sqrt{3}$ .

Verificação. O valor exato pelo TFC: $\int_0^2 \sqrt{x+1}\, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^2 = \frac{2}{3}(3^{3/2} - 1) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3} - 1) \approx 2{,}80$ , que está entre 2 e $2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ . Confere.

Fonte. Active Calculus, §4.2, Exercício 4.2.3 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Valor medio de funcao contínua (desafio)

Problema. Calcule o valor médio de $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 4]$ .

Estratégia. Usar a fórmula do valor médio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\, dx$ .

Resolução. $f_{\text{med}} = \frac{1}{4-1}\int_1^4 x^2\, dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^4 = \frac{1}{3}\left(\frac{64}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7.$

Pelo TVM integral, existe $c \in (1, 4)$ tal que $f(c) = 7$ , ou seja $c^2 = 7$ , logo $c = \sqrt{7} \approx 2{,}65 \in (1, 4)$ . Confere.

Verificação. $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ está dentro do intervalo $(1, 4)$ , como garantido pelo TVM. Confere.

Fonte. APEX Calculus, §5.3, Exemplo 5.3.4 — CC-BY-NC.

Exercise list

30 exercises · 7 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 2Modeling 4Challenge 3Proof 1

Ex. 82.1Application
Estime $\int_0^4 x^2\, dx$ usando soma de Riemann à direita com $n = 4$ e $\Delta x = 1$ .
Solve online APEX Calculus · §5.2 · 5.2.1 · p. 227
Show solution
Soma à direita com $n = 4$ , $\Delta x = 1$ : pontos $x^* = 1, 2, 3, 4$ . $S_4 = (1 + 4 + 9 + 16) \cdot 1 = 30$ . Valor exato: $\int_0^4 x^2\, dx = 64/3 \approx 21{,}33$ . A soma à direita superestimou.
Ex. 82.2Application
Estime $\int_0^4 x^2\, dx$ usando soma de Riemann à esquerda com $n = 4$ e $\Delta x = 1$ .
Solve online APEX Calculus · §5.2 · 5.2.2 · p. 227
Show solution
Soma à esquerda com $n = 4$ , $\Delta x = 1$ : pontos $x^* = 0, 1, 2, 3$ . $S_4 = (0 + 1 + 4 + 9) \cdot 1 = 14$ . Como $x^2$ é crescente, a soma à esquerda subestima.
Ex. 82.3Application
Calcule $\int_0^3 (2x + 1)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.78 · p. 527
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^3 (2x + 1)\, dx = [x^2 + x]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$ .
Ex. 82.4Application
Calcule $\int_1^4 3x^2\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.1 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_1^4 3x^2\, dx = [x^3]_1^4 = 64 - 1 = 63$ .
Ex. 82.5ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^\pi \cos x\, dx$ e interprete o resultado geometricamente.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.80 · p. 527
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^\pi \cos x\, dx = [\sin x]_0^\pi = \sin\pi - \sin 0 = 0$ . Interpretação: contribuições positivas e negativas se cancelam (senoides).
Ex. 82.6Application
Calcule $\int_0^1 e^x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.5 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^1 e^x\, dx = [e^x]_0^1 = e - 1 \approx 1{,}718$ .
Ex. 82.7Application
Calcule $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.7 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_1^e \frac{1}{x}\, dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$ .
Ex. 82.8Application
Calcule $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.82 · p. 527
Show solution
Linearidade: $\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\, dx = [x^3 - 2x^2 + x]_0^2 = (8 - 8 + 2) - 0 = 2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Pela linearidade, integre cada monômio separadamente: $\int 3x^2\, dx = x^3$ , $\int (-4x)\, dx = -2x^2$ , $\int 1\, dx = x$ .
2. Antiderivada geral: $F(x) = x^3 - 2x^2 + x$ .
3. Avalie: $F(2) - F(0) = (8 - 8 + 2) - 0 = 2$ .
Macete: sempre calcule $F(b) - F(a)$ em dois passos — avalie em $b$ , depois em $a$ , e subtraia.
Ex. 82.9Application
Calcule $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.9 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^{\pi/2} \sin x\, dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos 0 = 0 + 1 = 1$ .
Ex. 82.10Application
Calcule $\int_{-1}^2 x^3\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.3 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_{-1}^2 x^3\, dx = [x^4/4]_{-1}^2 = 16/4 - 1/4 = 15/4$ .
Ex. 82.11Application
Sabendo que $\int_0^2 f(x)\, dx = 3$ e $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , calcule $\int_0^5 f(x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.59 · p. 525
Show solution
Aditividade: $\int_0^5 f = \int_0^2 f + \int_2^5 f = 3 + (-4) = -1$ .
Ex. 82.12ApplicationAnswer key
Sabendo que $\int_1^3 f(x)\, dx = 5$ e $\int_1^3 g(x)\, dx = 7$ , calcule $\int_1^3 (4f(x) - 2g(x))\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.61 · p. 525
Show solution
Linearidade: $\int_1^3 (4f - 2g)\, dx = 4(5) - 2(7) = 20 - 14 = 6$ .
Ex. 82.13Application
Se $\int_2^5 f(x)\, dx = -4$ , qual é $\int_5^2 f(x)\, dx$ ?
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.60 · p. 525
Show solution
Inversão: $\int_5^2 f = -\int_2^5 f = -(-4) = 4$ .
Ex. 82.14ApplicationAnswer key
Calcule $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.11 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^4 \sqrt{x}\, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) - 0 = \frac{16}{3}$ .
Ex. 82.15Application
Calcule $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.13 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x\, dx = [\tan x]_0^{\pi/4} = \tan(\pi/4) - 0 = 1$ .
Ex. 82.16Understanding
Sem calcular, qual é o sinal de $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx$ ?
Select the correct option
A integral é positivaA integral é negativaA integral é zeroNão é possível determinar o sinal sem calcular
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.63 · p. 525
Show solution
$\sin x$ é uma função ímpar ( $\sin(-x) = -\sin x$ ) e o intervalo $[-\pi, \pi]$ é simétrico em torno de zero. Por simetria, $\int_{-\pi}^\pi \sin x\, dx = 0$ . Verificação: $[-\cos x]_{-\pi}^{\pi} = -\cos\pi + \cos(-\pi) = 1 - 1 = 0$ .
Ex. 82.17Understanding
Qual afirmação sobre $\int_a^b f(x)\, dx$ está correta?
Select the correct option
Sempre igual à área geométrica totalPode ser negativa se f(x) < 0 na regiãoSempre positiva se f é contínuaIgual ao comprimento do arco do gráfico
Select an option first
Solve online APEX Calculus · §5.2 · conceitual · p. 226
Show solution
A integral definida mede área orientada: regiões abaixo do eixo contribuem negativamente. Opção A: incorreta quando $f$ muda de sinal. Opção C: incorreta — $\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx = -2 < 0$ embora $\sin$ seja contínua. Opção D: comprimento de arco é outra integral.
Ex. 82.18ModelingAnswer key
Um veículo tem velocidade $v(t) = 3t^2 + 2$ m/s. Qual a distância percorrida de $t = 0$ a $t = 4$ s?
Solve online Active Calculus · §4.2 · 4.2.5 · p. 258
Show solution
Distância = $\int_0^4 v(t)\, dt = \int_0^4 (3t^2 + 2)\, dt = [t^3 + 2t]_0^4 = (64 + 8) - 0 = 72$ metros.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique: distância percorrida = integral da velocidade no tempo.
2. Calcule antiderivada: $F(t) = t^3 + 2t$ .
3. Avalie: $F(4) - F(0) = 72 - 0 = 72$ m.
Curiosidade: se a velocidade fosse negativa em parte do intervalo, a integral daria o deslocamento líquido, não a distância total percorrida.
Ex. 82.19ModelingAnswer key
A temperatura de um reator industrial varia como $T(t) = 2t + 1$ °C durante as 6 primeiras horas de operação. Calcule a temperatura média nesse período.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.88 · p. 527
Show solution
Valor médio: $\frac{1}{6-0}\int_0^6 (2t + 1)\, dt = \frac{1}{6}[t^2 + t]_0^6 = \frac{1}{6}(36 + 6) = 7$ . O valor médio da temperatura é 7°C.
Ex. 82.20ApplicationAnswer key
Sabendo que $\int_1^5 f(x)\, dx = 10$ e $\int_3^5 f(x)\, dx = 4$ , calcule $\int_1^3 f(x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.62 · p. 525
Show solution
Aditividade: $\int_1^3 f = \int_1^5 f - \int_3^5 f = 10 - 4 = 6$ . (Usamos $\int_3^5 f = 4$ , então $\int_1^3 f = 10 - 4 = 6$ .)
Ex. 82.21Application
Calcule $\int_{-2}^2 x^3\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.15 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_{-2}^2 x^3\, dx = [x^4/4]_{-2}^2 = 4 - 4 = 0$ . Funções ímpares em intervalos simétricos: integral zero.
Ex. 82.22Application
Calcule $\int_2^5 (4 - x)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.84 · p. 527
Show solution
Pelo TFC: $\int_2^5 (4 - x)\, dx = [4x - x^2/2]_2^5 = (20 - 12{,}5) - (8 - 2) = 7{,}5 - 6 = 1{,}5$ .
Ex. 82.23Modeling
Calcule a área geométrica total (sempre positiva) delimitada por $y = \sin x$ e o eixo $x$ em $[0, 2\pi]$ .
Solve online Active Calculus · §4.2 · 4.2.4 · p. 258
Show solution
A área geométrica requer integrar $|\sin x|$ . Em $[0, \pi]$ : $\sin x \geq 0$ , contribuição = 2. Em $[\pi, 2\pi]$ : $\sin x \leq 0$ , área = $\left|\int_\pi^{2\pi} \sin x\, dx\right| = |-(-2)| = 2$ . Área total geométrica = $2 + 2 = 4$ .
Ex. 82.24Challenge
Use a propriedade de monotonicidade para estabelecer cotas superior e inferior para $\int_0^1 (x^2 + 1)\, dx$ , sem calcular.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.70 · p. 525
Show solution
Cota inferior em $[0,1]$ : mínimo de $x^2 + 1$ é 1 (em $x=0$ ). Cota superior: máximo é 2 (em $x=1$ ). Por monotonicidade: $1 \leq \int_0^1 (x^2+1)\, dx \leq 2$ . Valor exato: $[x^3/3 + x]_0^1 = 4/3 \approx 1{,}33$ . Está dentro das cotas.
Ex. 82.25Challenge
Calcule o valor médio de $f(x) = \sin x$ em $[0, \pi]$ e encontre o valor de $c$ garantido pelo TVM integral.
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.21 · p. 240
Show solution
Valor médio: $\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\, dx = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ . Pelo TVM, existe $c \in (0, \pi)$ com $\sin c = 2/\pi$ ; resolve-se $c = \arcsin(2/\pi) \approx 0{,}69$ rad (ou o suplementar $\pi - 0{,}69 \approx 2{,}45$ ).
Show step-by-step (with the why)
1. Fórmula do valor médio: $f_{\text{med}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$ .
2. Calcule a integral: $\int_0^\pi \sin x\, dx = 2$ .
3. Valor médio: $\frac{2}{\pi}$ .
4. TVM: encontre $c$ com $\sin c = 2/\pi$ . Note que há dois valores no intervalo (simetria do seno).
Curiosidade: o valor médio de $\sin$ num período completo é zero; num semiperíodo é $2/\pi$ — número que aparece em eletrônica (valor médio de retificador de meia onda).
Ex. 82.26Application
Calcule $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.17 · p. 239
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\, dx = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi/2} = (0 + 1) - (-1 + 0) = 2$ .
Ex. 82.27Application
Calcule $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · 5.2.86 · p. 527
Show solution
Pelo TFC: $\int_0^2 (e^x - 1)\, dx = [e^x - x]_0^2 = (e^2 - 2) - (1 - 0) = e^2 - 3 \approx 4{,}389$ .
Ex. 82.28Challenge
Estabeleça cotas para $\int_1^3 \sqrt{x}\, dx$ e depois calcule o valor exato.
Solve online Active Calculus · §4.2 · 4.2.6 · p. 259
Show solution
Em $[1, 3]$ : mínimo de $\sqrt{x}$ é $1$ (em $x=1$ ), máximo é $\sqrt{3}$ (em $x=3$ ). Logo $2 \leq \int_1^3 \sqrt{x}\, dx \leq 2\sqrt{3}$ . Valor exato: $[2x^{3/2}/3]_1^3 = 2(3\sqrt{3}-1)/3 \approx 2{,}80$ . Verificado.
Ex. 82.29ModelingAnswer key
Uma força variável $F(x) = 10 - 2x$ N age sobre um objeto que se desloca de $x = 0$ a $x = 3$ m. Calcule o trabalho realizado ( $W = \int_0^3 F(x)\, dx$ ).
Solve online APEX Calculus · §5.3 · 5.3.25 · p. 241
Show solution
Trabalho = $\int_0^3 F(x)\, dx = \int_0^3 (10 - 2x)\, dx = [10x - x^2]_0^3 = 30 - 9 = 21$ J.
Ex. 82.30Proof
Demonstre a propriedade de inversão dos limites: $\int_b^a f(x)\, dx = -\int_a^b f(x)\, dx$ .
OpenStax Calculus Vol. 1 · §5.2 · Propriedade 4.1 · p. 514
Show solution
Queremos mostrar que $\int_b^a f = -\int_a^b f$ . Pela definição, quando invertemos os limites de integração, cada soma de Riemann muda de sinal: o intervalo é percorrido na direção contrária, então $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ passa a ser negativo. Formalmente: seja $F$ antiderivada de $f$ . Então $\int_b^a f = F(a) - F(b) = -(F(b) - F(a)) = -\int_a^b f$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · §4.2 · CC-BY-NC-SA. Construção intuitiva das somas de Riemann, atividades com gráfico.
APEX Calculus — Hartman et al. · §5.2–5.3 · CC-BY-NC. Definição formal, propriedades, exemplos numéricos.
OpenStax Calculus Volume 1 · §5.2 · CC-BY-NC-SA. Critério de integrabilidade, propriedades, exemplos com funções positivas e negativas.