v1 · padrão canônico

Lição 86 — Integrais de funções racionais (frações parciais)

Decomposição P(x)/Q(x) em soma de frações simples. Raízes reais simples, multiplicidade e quadrático irredutível. Reduz a integrais elementares em ln ou arctan.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i} \frac{A_i}{(x - r_i)^{k_i}} + \sum_{j} \frac{B_j x + C_j}{(x^2 + p_j x + q_j)^{l_j}}

Frações parciais: toda função racional P/Q com grau de P menor que grau de Q decompõe-se em soma de termos simples — um para cada fator real ou quadrático irredutível de Q. Cada termo integra elementarmente: em ln ou arctan.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Teorema, procedimento e casos

Teorema de decomposição em frações parciais

Definition· Decomposição em frações parciais sobre ℝ

Sejam $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ com $\deg P < \deg Q$ , e seja

$Q(x) = a \prod_{i=1}^{s}(x - r_i)^{m_i} \prod_{j=1}^{t}(x^2 + p_j x + q_j)^{n_j}$

a fatoração completa de $Q$ sobre $\mathbb{R}$ (com $p_j^2 - 4q_j < 0$ — fatores quadráticos irredutíveis). Então existe uma decomposição única:

$\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{s} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - r_i)^k} + \sum_{j=1}^{t} \sum_{l=1}^{n_j} \frac{B_{j,l} x + C_{j,l}}{(x^2 + p_j x + q_j)^l}.$

"We can always write the integrand as a sum of simpler rational functions using the method of partial fractions. The idea is to decompose the rational function into a sum of simpler pieces, each of which is easier to integrate." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4

Procedimento

Definition· Algoritmo de integração por frações parciais

Verifique o grau: se $\deg P \geq \deg Q$ , faça divisão polinomial primeiro: $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ com $\deg R < \deg Q$ .
Fatore $Q(x)$ completamente sobre $\mathbb{R}$ .
Escreva a forma genérica com constantes $A_{i,k}$ , $B_{j,l}$ , $C_{j,l}$ .
Determine as constantes:
- Cover-up (raízes simples): substitua $x = r_i$ diretamente.
- Coeficientes: expanda e iguale grau a grau.
- Derivadas (multiplicidade alta): derive a identidade de numeradores.
Integre cada termo segundo as regras:

\int \frac{A}{x - r}\, dx = A \ln\lvert x - r\rvert + C.

what this means · Integral de fração com raiz simples — resulta em logaritmo natural.

\int \frac{A}{(x - r)^k}\, dx = \frac{-A}{(k-1)(x-r)^{k-1}} + C, \quad k > 1.

what this means · Integral de fração com raiz repetida de multiplicidade k maior que 1.

Para o quadrático irredutível $(x^2 + px + q)$ com $p^2 - 4q < 0$ : complete o quadrado $(x + p/2)^2 + \beta^2$ e decomponha o numerador $Bx + C = B(x + p/2) + (C - Bp/2)$ . O primeiro termo integra em $\ln$ e o segundo em $\arctan$ .

"If the degree of the numerator is less than the degree of the denominator, the rational function is called proper, and partial fractions works directly. If not, perform polynomial division first to reduce to a proper fraction." — APEX Calculus §6.5

Fórmula de Heaviside

Para raízes simples $r_1, \ldots, r_n$ de $Q$ :

A_i = \frac{P(r_i)}{Q'(r_i)}.

what this means · Fórmula direta dos resíduos para raízes simples — resultado do cover-up.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Raízes simples — cover-up (básico)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estratégia. Fatorar denominador em raízes simples, aplicar cover-up, integrar cada $\ln$ .

Resolução.

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Decomposição: $\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}$ .

Multiplicando por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .

Cover-up: $x = 1 \Rightarrow 1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . $x = -1 \Rightarrow 1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .

$\int \frac{1}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x-1}{x+1}\right\rvert + C.$

Verificação. Derivando o resultado: $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1}$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Raiz de multiplicidade 2 (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .

Estratégia. Fator com multiplicidade 2: dois termos na decomposição.

Resolução.

$\dfrac{x+1}{(x-2)^2} = \dfrac{A}{x-2} + \dfrac{B}{(x-2)^2}$ .

Multiplicando por $(x-2)^2$ : $x + 1 = A(x-2) + B$ .

Em $x = 2$ : $3 = B$ . Coeficiente de $x$ : $1 = A$ . Portanto $A = 1$ , $B = 3$ .

$\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \int \frac{1}{x-2}\, dx + \int \frac{3}{(x-2)^2}\, dx = \ln\lvert x - 2\rvert - \frac{3}{x - 2} + C.$

Verificação. Derive $\ln\lvert x-2\rvert - 3(x-2)^{-1}$ : $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{x-2+3}{(x-2)^2} = \frac{x+1}{(x-2)^2}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.40 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Quadrático irredutível (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .

Estratégia. Fator linear + fator quadrático irredutível.

Resolução.

$\dfrac{x}{(x^2+1)(x-1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 1}$ .

Multiplicando por $(x^2+1)(x-1)$ : $x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1)$ .

Em $x = 1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ .

Coeficiente de $x^2$ : $0 = A + B \Rightarrow B = -1/2$ .

Coeficiente de $x^0$ : $0 = A - C \Rightarrow C = 1/2$ .

$\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x-1\rvert - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C.$

Verificação. Derivando o resultado confirma o integrando (álgebra).

Fonte. APEX Calculus §6.5, Example 6.5.3 — CC-BY-NC.

Example— 4· Grau alto — divisão polinomial primeiro (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ .

Estratégia. $\deg P = 3 \geq \deg Q = 2$ : dividir primeiro.

Resolução.

Divisão: $\dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = x + \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$ .

Frações parciais de $\dfrac{x+1}{x^2-1} = \dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x-1}$ (simplifica diretamente).

$\int \frac{x^3+1}{x^2-1}\, dx = \int x\, dx + \int \frac{1}{x-1}\, dx = \frac{x^2}{2} + \ln\lvert x-1\rvert + C.$

Verificação. Derivando: $x + \frac{1}{x-1} = \frac{x(x-1)+1}{x-1} = \frac{x^2 - x + 1}{x-1}$ . Multiplique por $(x+1)/(x+1)$ : $\frac{(x^2-x+1)(x+1)}{x^2-1} = \frac{x^3+1}{x^2-1}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.4, Example 3.41 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Equação logística — frações parciais em EDO (desafio)

Problema. Resolva $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ usando frações parciais (passo-chave na solução da equação logística).

Estratégia. Reescrecer o denominador como produto; cover-up; integrar.

Resolução.

$\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N\cdot\frac{K-N}{K}} = \dfrac{K}{N(K-N)}$ .

Decomposição: $\dfrac{K}{N(K-N)} = \dfrac{A}{N} + \dfrac{B}{K-N}$ .

Multiplicando: $K = A(K-N) + BN$ .

$N = 0$ : $K = AK \Rightarrow A = 1$ . $N = K$ : $K = BK \Rightarrow B = 1$ .

$\int \frac{dN}{N(1-N/K)} = \int \frac{dN}{N} + \int \frac{dN}{K - N} = \ln\lvert N\rvert - \ln\lvert K - N\rvert + C_0 = \ln\left\lvert\frac{N}{K-N}\right\rvert + C_0.$

Igualando a $rt + C_1$ e expoenciando: $\dfrac{N}{K-N} = Ae^{rt}$ , donde $N(t) = \dfrac{K}{1 + B e^{-rt}}$ .

Verificação. Confirme que $N(t) = K/(1 + Be^{-rt})$ satisfaz $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ (derivação direta).

Fonte. Active Calculus §5.5, Activity 5.5.2 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 26Modeling 4Challenge 3Proof 2

Ex. 86.1Application
Decomponha $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ em frações parciais.
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.1 · p. 330
Show solution
Fatora: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Cover-up: $A = 1/2$ , $B = -1/2$ . Decomposição: $\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique raízes de $x^2-1$ : $x = \pm 1$ . Raízes simples, um termo por raiz.
2. Escreva: $\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ . Multiplique por $(x-1)(x+1)$ : $1 = A(x+1) + B(x-1)$ .
3. Cover-up em $x=1$ : $1 = 2A \Rightarrow A = 1/2$ . Em $x=-1$ : $1 = -2B \Rightarrow B = -1/2$ .
4. Resultado: $\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$ . Macete: cover-up é o método mais rápido para raízes simples — substitua a raiz diretamente no numerador e no produto dos fatores restantes.
Ex. 86.2Application
Decomponha $\dfrac{1}{x(x+1)}$ em frações parciais.
OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.1 · p. Exercise 3.4.1
Show solution
Cover-up: $A = 1$ (em $x=0$ ), $B = -1$ (em $x=-1$ ). Resultado: $\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ .
Ex. 86.3Application
Decomponha $\dfrac{x}{(x-1)(x-2)}$ em frações parciais.
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.2 · p. 331
Show solution
Cover-up: $A = -1$ (em $x=1$ ), $B = 2$ (em $x=2$ ). Resultado: $\frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2}$ .
Ex. 86.4Application
Decomponha $\dfrac{2x + 1}{x^2 - x - 6}$ em frações parciais.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.3 · p. Exercise 3.4.3
Show solution
Fatora $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ . Cover-up: $A = 7/5$ , $B = 3/5$ . Resultado: $\frac{7/5}{x-3} + \frac{3/5}{x+2}$ .
Ex. 86.5Application
Decomponha $\dfrac{1}{x^3 - x}$ em frações parciais.
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.3 · p. 332
Show solution
Fatora $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$ . Cover-up: $A = -1$ (em $x=0$ ), $B = 1/2$ (em $x=1$ ), $C = 1/2$ (em $x=-1$ ). Resultado: $\frac{-1}{x} + \frac{1/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}$ .
Ex. 86.6ApplicationAnswer key
Decomponha $\dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}$ em frações parciais.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.5 · p. Exercise 3.4.5
Show solution
Fator $(x-2)^2$ de multiplicidade 2: $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{(x-2)^2}$ . Identidade: $x+1 = A(x-2) + B$ . Em $x=2$ : $B=3$ . Coef. de $x$ : $A=1$ . Resultado: $\frac{1}{x-2} + \frac{3}{(x-2)^2}$ .
Ex. 86.7Application
Decomponha $\dfrac{1}{x^2(x + 1)}$ em frações parciais.
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.5 · p. 333
Show solution
Fatores: $x^2$ (multiplicidade 2 em 0) e $(x+1)$ . Decomposição: $\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$ . Resolvendo: $A=-1$ , $B=1$ , $C=1$ .
Ex. 86.8Application
Mostre que $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ já é uma fração simples (denominador quadrático irredutível) e calcule sua integral.
OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.7 · p. Exercise 3.4.7
Show solution
$x^2+1$ é irredutível sobre $\mathbb{R}$ . Decomposição: $\frac{Bx+C}{x^2+1}$ . Mas numerador é 1 e denominador é $x^2+1$ , então a fração já está na forma parcial: resposta é $\frac{1}{x^2+1}$ (sem decomposição adicional). Integra diretamente em $\arctan x + C$ .
Ex. 86.9ApplicationAnswer key
Decomponha $\dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}$ em frações parciais.
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.7 · p. 334
Show solution
Fatores: $(x^2+1)$ e $(x-1)$ . Decomposição: $\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$ . Cover-up em $x=1$ : $A=1/2$ . Igualando coef: $B=-1/2$ , $C=1/2$ .
Ex. 86.10ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.10 · p. 335
Show solution
Resultado do exercício 86.1: $\int \frac{1}{x^2-1}\, dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Da decomposição do 86.1: $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$ .
2. Integre cada fração: $\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}$ .
3. Cada integral em $\ln$ : $\frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1|$ .
4. Combine por propriedade do logaritmo: $\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C$ . Curiosidade: este resultado aparece na solução de EDOs de segunda ordem e em tabelas de Laplace.
Ex. 86.11Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x(x+1)}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.9 · p. Exercise 3.4.9
Show solution
Da decomposição 86.2: $\int \frac{1}{x(x+1)}\, dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C$ .
Ex. 86.12ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{x}{(x-1)(x-2)}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.11 · p. 336
Show solution
Da decomposição 86.3: $\int \frac{x}{(x-1)(x-2)}\, dx = -\ln|x-1| + 2\ln|x-2| + C$ .
Ex. 86.13Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.11 · p. Exercise 3.4.11
Show solution
Fatora $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Cover-up: $A=1/4$ , $B=-1/4$ . Integral: $\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$ .
Ex. 86.14Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 - 9}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.12 · p. 337
Show solution
Fatora $x^2-9=(x-3)(x+3)$ . Resultado: $\frac{1}{6}\ln\left|\frac{x-3}{x+3}\right| + C$ .
Ex. 86.15ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{x + 4}{x^2 + 5x + 6}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.13 · p. Exercise 3.4.13
Show solution
Fatora $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ . Decomposição: $A=2$ , $B=-1$ . Integral: $2\ln|x+2| - \ln|x+3| + C$ .
Ex. 86.16Application
Calcule $\int \dfrac{3}{x^2 + x - 2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.13 · p. 338
Show solution
Fatora $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ . Decomposição: $A=-1$ , $B=4$ ... Resultado: $-\ln|x+2| + 4\ln|x-1| + C$ . (Valores exatos: $A = P(-2)/Q'(-2)$ , cheque por substituição.)
Ex. 86.17ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^3 - x}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.15 · p. Exercise 3.4.15
Show solution
Da decomposição 86.5: $\int \frac{1}{x^3-x}\, dx = -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x^2-1}{x^2}\right| + C$ .
Ex. 86.18Application
Calcule $\int \dfrac{1}{(x - 1)^2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.14 · p. 338
Show solution
Integral: $\frac{1}{(x-1)^2}$ . $\int (x-1)^{-2}\, dx = \frac{-1}{x-1} + C$ .
Ex. 86.19Application
Calcule $\int \dfrac{x + 1}{(x - 2)^2}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.17 · p. Exercise 3.4.17
Show solution
Da decomposição 86.6: $\int \frac{x+1}{(x-2)^2}\, dx = \ln|x-2| - \frac{3}{x-2} + C$ .
Ex. 86.20Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2(x + 1)}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.15 · p. 339
Show solution
Da decomposição 86.7: $\int \frac{1}{x^2(x+1)}\, dx = -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x+1| + C = \ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{1}{x} + C$ .
Ex. 86.21ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 + 4}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.19 · p. Exercise 3.4.19
Show solution
Complete o quadrado: $x^2+4 = x^2+4$ já está completo. $\int \frac{dx}{x^2+4} = \frac{1}{2}\arctan(x/2) + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Denominador $x^2+4 = x^2 + 2^2$ é irredutível (discriminante $-16 < 0$ ).
2. Use a fórmula padrão: $\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\arctan(x/a) + C$ com $a=2$ .
3. Resultado: $\frac{1}{2}\arctan(x/2) + C$ . Macete: para ∫ dx/(x²+a²) sempre resulta em arctan(x/a)/a — memorize esse padrão.
Ex. 86.22Application
Calcule $\int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.16 · p. 340
Show solution
Complete o quadrado: $x^2+2x+5 = (x+1)^2 + 4$ . Sub $u = x+1$ : $\int \frac{du}{u^2+4} = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$ .
Ex. 86.23Application
Calcule $\int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.21 · p. Exercise 3.4.21
Show solution
Decomponha numerador: $2x+3 = (2x+2) + 1$ . Integral da 1.ª parte: $\ln(x^2+2x+5)$ . 2.ª parte: $\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)$ . Resultado: $\ln(x^2+2x+5) + \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right) + C$ .
Ex. 86.24Application
Calcule $\int \dfrac{x}{(x^2 + 1)(x - 1)}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.17 · p. 341
Show solution
Da decomposição 86.9: $\int \frac{x}{(x^2+1)(x-1)}\, dx = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln(x^2+1) + \frac{1}{2}\arctan x + C$ .
Ex. 86.25ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{x^4 - 1}\, dx$ . Pista: fatore como $(x^2-1)(x^2+1)$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.23 · p. Exercise 3.4.23
Show solution
Fatora $x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$ . Decomposição em 3 termos. Cover-up e comparação: $A=1/4$ , $B=-1/4$ , $C=-1/2$ (termo constante em $(Bx+C)/(x^2+1)$ ). Integre.
Ex. 86.26Application
Calcule $\int \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\, dx$ . Divida primeiro.
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.18 · p. 342
Show solution
Grau de numerador = 3, grau denominador = 2. Divida primeiro: $\frac{x^3+1}{x^2-1} = x + \frac{x+1}{x^2-1}$ . A parte fraccionária simplifica para $\frac{1}{x-1}$ . Integral: $\frac{x^2}{2} + \ln|x-1| + C$ .
Ex. 86.27Modeling
Equação logística $\dot{N} = rN(1 - N/K)$ . Separe e integre $\int \dfrac{dN}{N(1 - N/K)}$ para encontrar $N(t)$ .
Solve online Active Calculus · §5.5 · 5.5.2 · p. Activity 5.5.2
Show solution
Separando: $\int \frac{dN}{N(K-N)/K} = rt$ , ou seja $K\int \frac{dN}{N(K-N)}$ . Parciais: $\frac{K}{N(K-N)} = \frac{1}{N} + \frac{1}{K-N}$ . Integra: $\ln|N| - \ln|K-N| = rt + C_0$ , resultando em $N(t) = \frac{K}{1 + Be^{-rt}}$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Separe variáveis: $\frac{dN}{N(1-N/K)} = r\, dt$ . Multiplique numerador e denominador por $K$ .
2. Frações parciais: $\frac{K}{N(K-N)} = \frac{1}{N} + \frac{1}{K-N}$ .
3. Integre ambos os lados: $\ln|N| - \ln|K-N| = rt + C_0$ .
4. Expolencie: $N/(K-N) = Ae^{rt}$ . Resolva para $N$ : $N(t) = K/(1+Be^{-rt})$ . Curiosidade: esta é a solução logística — modela crescimento de populações, epidemias, adoção de tecnologia.
Ex. 86.28Modeling
Laplace inversa: dado $H(s) = \dfrac{1}{s(s+1)}$ , use frações parciais para encontrar $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.25 · p. Exercise 3.4.25
Show solution
Transformada inversa de $H(s) = 1/(s(s+1))$ . Frações parciais: $1/s - 1/(s+1)$ . Inversa de Laplace: $h(t) = 1 - e^{-t}$ , a resposta ao degrau unitário de um sistema de 1.ª ordem.
Ex. 86.29Modeling
Distribuição de Cauchy: determine a constante $c$ tal que $f(x) = c/(1+x^2)$ é densidade de probabilidade em $\mathbb{R}$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.20 · p. 344
Show solution
Densidade $f(x) = c/(1+x^2)$ . Para normalizar: $\int_{-\infty}^\infty c/(1+x^2)\, dx = c\pi = 1 \Rightarrow c = 1/\pi$ . Esta é a distribuição de Cauchy. $E[X]$ não existe (integral diverge).
Ex. 86.30Modeling
Reação química $\dot{c} = k(a - c)(b - c)$ com $a \neq b$ . Separe e integre via frações parciais.
Solve online Active Calculus · §5.5 · 5.5.3 · p. Activity 5.5.3
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Equação: $\dot{c} = k(a-c)(b-c)$ com $a \neq b$ . Separando: $\int \frac{dc}{(a-c)(b-c)}$ . Frações parciais: $\frac{1}{(a-c)(b-c)} = \frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{a-c} - \frac{1}{b-c}\right)$ . Resultado após integrar: expressão fechada para $c(t)$ .
Ex. 86.31Challenge
Calcule $\int \dfrac{1}{x^4 + 1}\, dx$ . Pista: fatore como $(x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1)$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.21 · p. 345
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Fatora sobre $\mathbb{R}$ : $x^4+1 = (x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$ . Decomposição com dois termos quadráticos. Cada um integra em $\ln$ + $\arctan$ .
Ex. 86.32Challenge
Calcule $\int \dfrac{1}{x^3 + 1}\, dx$ . Fatore o denominador primeiro.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · 3.4.27 · p. Exercise 3.4.27
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Fatora: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$ . Decomposição: $\frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$ . Cover-up: $A = 1/3$ . Comparação: $B=-1/3$ , $C=2/3$ . Integre cada parte.
Ex. 86.33Challenge
Calcule $\int \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.5 · 6.5.22 · p. 346
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$\frac{x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2}$ . A primeira integral é $\arctan x$ . A segunda $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ exige sub $x = \tan\theta$ : resultado $\frac{x}{2(x^2+1)} + \frac{1}{2}\arctan x$ . Total: $\frac{1}{2}\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C$ .
Ex. 86.34Proof
Demonstração. Prove a fórmula de Heaviside $A_i = P(r_i)/Q'(r_i)$ para raízes simples $r_i$ de $Q$ .
Solve online Active Calculus · §5.5 · Heaviside proof · p. Theorem discussion
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Multiplique por $Q(x) = (x-r_1)\cdots(x-r_n)$ : $P(x) = \sum_i A_i \prod_{j\neq i}(x-r_j)$ . Avalie em $x = r_i$ : lado esquerdo $P(r_i)$ ; lado direito $A_i \prod_{j\neq i}(r_i - r_j) = A_i Q'(r_i)$ (pela fórmula para $Q'$ com raízes simples). Logo $A_i = P(r_i)/Q'(r_i)$ .
Ex. 86.35Proof
Demonstração. Prove que a decomposição em frações parciais é única para $P/Q$ com $\deg P < \deg Q$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.4 · Uniqueness proof · p. Theorem remark
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A unicidade segue do fato de que a diferença de duas decomposições é uma função racional com denominador $Q$ e numerador de grau menor que $\deg Q$ cujo numerador deve ser identicamente zero (pois integraria como polinômio + logs sem cancelamento). Formalmente, use independência linear das bases parciais sobre $\mathbb{R}(x)$ .

Fontes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.5. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.4.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.5.