v1 · padrão canônico

Lição 87 — Integrais trigonométricas e substituição trigonométrica

∫ sinⁿcos^m via identidades e sub u. Substituição trigonométrica para radicais √(a²±x²) e √(x²−a²). Fórmulas de redução de potências.

Used in: Cálculo II (Brasil) · Equiv. Math III japonês · Equiv. Analysis LK alemão · AP Calculus BC (EUA)

\int \sin^n x \cos^m x\, dx \quad \bigg| \quad x = a\sin\theta,\; x = a\tan\theta,\; x = a\sec\theta

Integrais trig: identidades reduzem potências de seno e cosseno a formas integráveis. Substituição trigonométrica elimina radicais: x = a sin θ para √(a² − x²); x = a tan θ para √(a² + x²); x = a sec θ para √(x² − a²).

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Identidades, padrões e substituições

Identidades fundamentais

Padrões para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$

Definition· Estratégia segundo paridade dos expoentes

Situação	Estratégia
$n$ ímpar	Reserve $\sin x\, dx$ ; converta $\sin^{n-1}$ via $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ; substitua $u = \cos x$
$m$ ímpar	Reserve $\cos x\, dx$ ; converta $\cos^{m-1}$ via $\cos^2 = 1 - \sin^2$ ; substitua $u = \sin x$
Ambos pares	Use half-angle repetidamente

Para $\int \tan^n x \sec^m x\, dx$ :

Situação	Estratégia
$m$ par	Reserve $\sec^2 x\, dx$ ; converta via $\sec^2 = 1 + \tan^2$ ; sub $u = \tan x$
$n$ ímpar	Reserve $\sec x \tan x\, dx$ ; converta via $\tan^2 = \sec^2 - 1$ ; sub $u = \sec x$

"The strategy for integrating a product of powers of sine and cosine depends on the parities of the exponents involved. When one of the exponents is odd, we 'peel off' one factor and use the Pythagorean identity to convert the remaining even power." — OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2

Substituição trigonométrica

"The idea behind trigonometric substitution is to replace an expression involving a square root with a trigonometric expression, which is easier to integrate." — APEX Calculus §6.4

Fórmulas de redução

Exemplos resolvidos

Example— 1· Potência ímpar de seno (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^3 x\, dx$ .

Estratégia. Expoente ímpar: reserve $\sin x\, dx$ , converta $\sin^2 = 1 - \cos^2$ , substitua $u = \cos x$ .

Resolução.

$\int \sin^3 x\, dx = \int \sin^2 x \cdot \sin x\, dx = \int (1 - \cos^2 x)\sin x\, dx$ .

Sub $u = \cos x$ , $du = -\sin x\, dx$ :

$-\int (1 - u^2)\, du = -u + u^3/3 + C = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$ .

Verificação. Derivando: $\sin x - \cos^2 x\sin x = \sin x(1 - \cos^2 x) = \sin^3 x$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Example 6.3.1 — CC-BY-NC.

Example— 2· Expoentes pares — half-angle (básico)

Problema. Calcule $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .

Estratégia. Ambos pares: use $\sin x\cos x = \sin(2x)/2$ e depois half-angle.

Resolução.

$\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$ .

$\int \sin^2 x\cos^2 x\, dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.$

Verificação. Derivando: $1/8 - \cos(4x)/8 = (1 - \cos 4x)/8 = \sin^2(2x)/4 = \sin^2 x\cos^2 x$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.2, Example 3.12 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Substituição x = a sin θ para √(a² − x²) (intermediário)

Problema. Calcule $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .

Estratégia. Radical $\sqrt{a^2 - x^2}$ com $a = 2$ : sub $x = 2\sin\theta$ .

Resolução.

$dx = 2\cos\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = 2\cos\theta$ (com $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ ).

$\int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta\, d\theta = 4\int\cos^2\theta\, d\theta = 4\cdot\frac{\theta + \sin\theta\cos\theta}{2} = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$ .

Triângulo de referência ( $\sin\theta = x/2$ , hipotenusa 2, cateto adjacente $\sqrt{4-x^2}$ ):

$\theta = \arcsin(x/2)$ ; $\cos\theta = \sqrt{4-x^2}/2$ .

Resultado: $2\arcsin(x/2) + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin(x/2) + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$ .

Verificação. Derivando (regra da cadeia): $\frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{\sqrt{4-x^2} - x^2/\sqrt{4-x^2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}} + \frac{4 - 2x^2}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2}$ . Correto.

Fonte. APEX Calculus §6.4, Example 6.4.2 — CC-BY-NC.

Example— 4· Substituição x = a tan θ para √(a² + x²) (intermediário)

Problema. Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .

Estratégia. Radical $\sqrt{a^2 + x^2}$ com $a = 1$ : sub $x = \tan\theta$ .

Resolução.

$dx = \sec^2\theta\, d\theta$ ; $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ .

$\int \frac{\sec^2\theta}{\sec\theta}\, d\theta = \int \sec\theta\, d\theta = \ln\lvert\sec\theta + \tan\theta\rvert + C$ .

Triângulo ( $\tan\theta = x$ , hipotenusa $\sqrt{1+x^2}$ ): $\sec\theta = \sqrt{1+x^2}$ , $\tan\theta = x$ .

Resultado: $\ln\lvert x + \sqrt{1+x^2}\rvert + C$ (equivalente a $\text{arcsinh}(x) + C$ ).

Verificação. Derivando $\ln(x + \sqrt{1+x^2})$ : $\frac{1 + x/\sqrt{1+x^2}}{x + \sqrt{1+x^2}} = \frac{(\sqrt{1+x^2}+x)/\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ . Correto.

Fonte. OpenStax Calculus Vol. 2, §3.3, Example 3.15 — CC-BY-NC-SA.

Example— 5· Fórmula de redução e aplicação (desafio)

Problema. Derive a fórmula de redução $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ e use-a para calcular $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx$ .

Estratégia. Derivar por partes; aplicar para $n = 4$ e $n = 2$ .

Resolução.

Derivação: $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ , $v = -\cos x$ .

$\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ .

Substitua $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$(n-1)\int(1 - \sin^2 x)\sin^{n-2}x\, dx = (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx - (n-1)\int\sin^n x\, dx$ .

Reorganize: $n\int\sin^n x\, dx = -\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\sin^{n-2}x\, dx$ . Divida por $n$ .

Aplicação: $n = 4$ : $\int\sin^4 x\, dx = -\frac{\sin^3 x\cos x}{4} + \frac{3}{4}\int\sin^2 x\, dx$ .

$\int\sin^2 x\, dx = x/2 - \sin(2x)/4$ .

Avaliando em $[0, \pi/2]$ : $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = 0 + \frac{3}{4}\left[\frac{\pi}{4} - 0\right] = \frac{3\pi}{16}$ .

Verificação. Fórmula de Wallis: $\int_0^{\pi/2}\sin^4 x\, dx = \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$ . Confirma.

Fonte. APEX Calculus §6.3, Theorem 6.3.1 — CC-BY-NC.

Exercise list

32 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 24Modeling 4Challenge 2Proof 2

Ex. 87.1Application
Calcule $\int \sin^2 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.3 · p. 302
Show solution
Use half-angle: $\sin^2 x = (1-\cos 2x)/2$ . Integra: $x/2 - \sin(2x)/4 + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Expoente par: aplique $\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2$ .
2. Integre: $\int \frac{1-\cos 2x}{2}\, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$ .
3. Verifique derivando: $1/2 - \cos(2x)/2 = (1-\cos 2x)/2 = \sin^2 x$ . Correto. Macete: para ∫ sin²x sempre use half-angle — resultado x/2 − sin(2x)/4 vale a pena memorizar.
Ex. 87.2Application
Calcule $\int \cos^2 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.1 · p. Exercise 3.2.1
Show solution
Half-angle: $\cos^2 x = (1+\cos 2x)/2$ . Resultado: $x/2 + \sin(2x)/4 + C$ .
Ex. 87.3ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^3 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.5 · p. 303
Show solution
Reserve $\sin x\, dx$ , converta $\sin^2 = 1-\cos^2$ , sub $u=\cos x$ . Resultado: $-\cos x + \cos^3 x/3 + C$ .
Ex. 87.4Application
Calcule $\int \cos^3 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.3 · p. Exercise 3.2.3
Show solution
Reserve $\cos x\, dx$ , converta $\cos^2 = 1-\sin^2$ , sub $u=\sin x$ . Resultado: $\sin x - \sin^3 x/3 + C$ .
Ex. 87.5ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^4 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.7 · p. 304
Show solution
Half-angle duas vezes: $\sin^4 x = ((1-\cos 2x)/2)^2 = (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)/4$ . Use $\cos^2 2x = (1+\cos 4x)/2$ . Resultado: $3x/8 - \sin(2x)/4 + \sin(4x)/32 + C$ .
Ex. 87.6Application
Calcule $\int \cos^4 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.5 · p. Exercise 3.2.5
Show solution
Análogo ao 87.5: resultado $3x/8 + \sin(2x)/4 + \sin(4x)/32 + C$ .
Ex. 87.7Application
Calcule $\int \sin^5 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.9 · p. 305
Show solution
Ímpar: reserve $\sin x\, dx$ , $\sin^4 x = (1-\cos^2 x)^2$ , sub $u=\cos x$ . Resultado: $-\cos x + 2\cos^3 x/3 - \cos^5 x/5 + C$ .
Ex. 87.8Application
Calcule $\int \tan^2 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.7 · p. Exercise 3.2.7
Show solution
$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ . Integra: $\int (\sec^2 x - 1)\, dx = \tan x - x + C$ .
Ex. 87.9ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^2 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.11 · p. 306
Show solution
Sub $u = \sin x$ , reserve $\sin x \cos x$ ... na verdade: $\sin^2 x\cos^2 x = (\sin x\cos x)^2 = \sin^2(2x)/4$ . Half-angle: $\sin^2(2x)/4 = (1-\cos 4x)/8$ . Resultado: $x/8 - \sin(4x)/32 + C$ .
Ex. 87.10ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin^3 x \cos x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.9 · p. Exercise 3.2.9
Show solution
Sub $u = \sin x$ , $du = \cos x\, dx$ . Integral vira $\int u^3\, du = u^4/4 + C = \sin^4 x/4 + C$ .
Ex. 87.11ApplicationAnswer key
Calcule $\int \sin x \cos^3 x\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.13 · p. 307
Show solution
Sub $u = \cos x$ : $-\int u^3\, du = -u^4/4 + C = -\cos^4 x/4 + C$ .
Ex. 87.12Application
Calcule $\int \sin^3 x \cos^2 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.11 · p. Exercise 3.2.11
Show solution
Ímpar em $\sin$ : reserve $\sin x\, dx$ , $\sin^2 = 1-\cos^2$ , sub $u=\cos x$ . Resultado: $\cos^5 x/5 - \cos^3 x/3 + C$ .
Ex. 87.13Application
Calcule $\int \sin(3x)\cos(2x)\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · 6.3.15 · p. 308
Show solution
Identidade produto-soma: $\sin(3x)\cos(2x) = \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(x)]$ . Integra: $-\cos(5x)/10 - \cos(x)/2 + C$ .
Ex. 87.14Application
Calcule $\int \tan^2 x \sec^2 x\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.13 · p. Exercise 3.2.13
Show solution
$\tan^2 x\sec^2 x$ : sub $u = \tan x$ , $du = \sec^2 x\, dx$ . Resultado: $\tan^3 x/3 + C$ .
Ex. 87.15Application
Calcule $\int \sqrt{1 - x^2}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.1 · p. 315
Show solution
Sub $x = \sin\theta$ : resultado $\arcsin x/2 + x\sqrt{1-x^2}/2 + C$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Radical $\sqrt{1-x^2}$ : sub $x = \sin\theta$ , $dx = \cos\theta\, d\theta$ .
2. Radical simplifica: $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$ .
3. Integral em $\theta$ : $\int\cos^2\theta\, d\theta = \theta/2 + \sin\theta\cos\theta/2$ .
4. Triângulo de referência ( $\sin\theta = x$ , hipotenusa 1): $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$ , $\theta = \arcsin x$ .
5. Resultado: $\arcsin(x)/2 + x\sqrt{1-x^2}/2 + C$ . Curiosidade: esta integral aparece ao calcular a área de um segmento circular — base da derivação da área do círculo.
Ex. 87.16Application
Calcule $\int \sqrt{4 - x^2}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.3 · 3.3.1 · p. Exercise 3.3.1
Show solution
Sub $x = 2\sin\theta$ . Resultado: $2\arcsin(x/2) + x\sqrt{4-x^2}/2 + C$ .
Ex. 87.17Application
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.3 · p. 316
Show solution
Sub $x = \sin\theta$ : integral vira $\int d\theta = \theta + C = \arcsin x + C$ .
Ex. 87.18ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.3 · 3.3.3 · p. Exercise 3.3.3
Show solution
Sub $x = 3\sin\theta$ : resultado $\arcsin(x/3) + C$ .
Ex. 87.19Application
Calcule $\int \dfrac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.5 · p. 317
Show solution
Sub $x = \sin\theta$ : integral vira $\int\sin^2\theta\, d\theta$ . Resultado: $\arcsin x/2 - x\sqrt{1-x^2}/2 + C$ .
Ex. 87.20Application
Calcule $\int \dfrac{1}{1 + x^2}\, dx$ via substituição $x = \tan\theta$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.3 · 3.3.5 · p. Exercise 3.3.5
Show solution
Sub $x = \tan\theta$ : integral vira $\int d\theta = \arctan x + C$ .
Ex. 87.21Application
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.7 · p. 318
Show solution
Sub $x = \tan\theta$ : $\sqrt{1+x^2} = \sec\theta$ . Integral: $\int\sec\theta\, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C = \ln|x + \sqrt{1+x^2}| + C$ .
Ex. 87.22Application
Calcule $\int \sqrt{1 + x^2}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.3 · 3.3.7 · p. Exercise 3.3.7
Show solution
Sub $x = \tan\theta$ : integral em $\sec^3\theta$ . Resultado: $x\sqrt{1+x^2}/2 + \ln|x+\sqrt{1+x^2}|/2 + C$ .
Ex. 87.23ApplicationAnswer key
Calcule $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\, dx$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.9 · p. 319
Show solution
Sub $x = \sec\theta$ : $\sqrt{x^2-1} = \tan\theta$ . Integral em $\theta$ : $\int d\theta$ ... resultado $\ln|x + \sqrt{x^2-1}| + C$ (ou $\text{arccosh}(x) + C$ ).
Ex. 87.24Application
Calcule $\int \sqrt{x^2 - 4}\, dx$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.3 · 3.3.9 · p. Exercise 3.3.9
Show solution
Sub $x = 2\sec\theta$ . Resultado: $x\sqrt{x^2-4}/2 - 2\ln|x/2 + \sqrt{x^2/4 - 1}| + C$ .
Ex. 87.25Modeling
Prove que a área do círculo de raio $r$ é $\pi r^2$ calculando $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ .
OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.3 · 3.3.11 · p. Exercise 3.3.11
Show solution
$A = 4\int_0^r \sqrt{r^2 - x^2}\, dx$ . Sub $x = r\sin\theta$ : $4r^2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\, d\theta = 4r^2 \cdot \pi/4 = \pi r^2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Pelo simetria, $A = 4\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}\, dx$ .
2. Sub $x = r\sin\theta$ , $dx = r\cos\theta\, d\theta$ ; limites: $0 \to \pi/2$ .
3. Radical: $\sqrt{r^2 - r^2\sin^2\theta} = r\cos\theta$ .
4. Integral: $4r^2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\, d\theta = 4r^2 \cdot \pi/4 = \pi r^2$ . Curiosidade: esta é a derivação rigorosa da área do círculo — não é axioma, é teorema que segue da integral.
Ex. 87.26Modeling
Distribuição de Cauchy: verifique que $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ satisfaz $\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = 1$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.13 · p. 322
Show solution
$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\pi(1+x^2)}\, dx$ . Sub $x = \tan\theta$ : $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta = \frac{1}{\pi}\cdot\pi = 1$ . Logo $f$ é densidade de probabilidade.
Ex. 87.27Modeling
Tensão eficaz (RMS) de $v(t) = V_0\sin(\omega t)$ : calcule $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\, dt}$ onde $T = 2\pi/\omega$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.25 · p. Exercise 3.2.25
Show solution
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T V_0^2\sin^2(\omega t)\, dt}$ . Half-angle: $\int_0^T \sin^2(\omega t)\, dt = T/2$ . Portanto $V_{rms} = V_0/\sqrt{2} \approx 0{,}707 V_0$ .
Ex. 87.28Modeling
Área da elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ : calcule $A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}\, dx$ e mostre que $A = \pi ab$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.15 · p. 323
Show solution
Área da semielipse: $\int_{-a}^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\, dx = \frac{b}{a}\cdot\frac{\pi a^2}{2} = \pi ab/2$ . Área total: $\pi ab$ .
Ex. 87.29ChallengeAnswer key
Calcule $\int \sec^5 x\, dx$ usando a fórmula de redução para $\sec^n$ .
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · 3.2.27 · p. Exercise 3.2.27
Show solution
Fórmula de redução com $n=5$ : $\int\sec^5 x\, dx = \frac{\sec^3 x \tan x}{4} + \frac{3}{4}\int\sec^3 x\, dx$ . O $\int\sec^3 x = \sec x\tan x/2 + \ln|\sec x+\tan x|/2$ . Substitua e simplifique.
Ex. 87.30Challenge
Calcule $\int \dfrac{1}{\sin x}\, dx = \int \csc x\, dx$ usando a substituição de Weierstrass $t = \tan(x/2)$ .
Solve online APEX Calculus · §6.4 · 6.4.17 · p. 324
Show solution
Substitua de Weierstrass $t = \tan(x/2)$ : $\sin x = 2t/(1+t^2)$ , $dx = 2dt/(1+t^2)$ . Integral vira $\int \frac{dt}{t}$ ... resultado: $\ln|\tan(x/2)| + C$ .
Ex. 87.31Proof
Demonstração. Prove a fórmula de redução $\int \sin^n x\, dx = -\frac{\sin^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}x\, dx$ usando integração por partes.
Solve online OpenStax Calculus Vol. 2 · §3.2 · Reduction formula proof · p. Theorem 3.3
Show solution
Por partes com $u = \sin^{n-1}x$ , $dv = \sin x\, dx$ . $v = -\cos x$ , $du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\, dx$ . Resultado: $-\sin^{n-1}x\cos x + (n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\, dx$ . Use $\cos^2 = 1-\sin^2$ , reorganize.
Ex. 87.32Proof
Demonstração. Prove que $\int \sec x\, dx = \ln\lvert \sec x + \tan x\rvert + C$ multiplicando por $(\sec x + \tan x)/(\sec x + \tan x)$ .
Solve online APEX Calculus · §6.3 · Sec integral derivation · p. 310
Show solution
Multiplique e divida por $(\sec x + \tan x)$ : $\int\sec x\, dx = \int\frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}\, dx$ . Numerador é a derivada do denominador. Sub $u = \sec x + \tan x$ : integral $\int du/u = \ln|u| + C = \ln|\sec x + \tan x| + C$ .

Fontes

APEX Calculus v5 — Hartman et al. · 2024 · CC-BY-NC · §6.3–6.4. Fonte primária.
Calculus Volume 2 (OpenStax) — OpenStax · 2016 · CC-BY-NC-SA · §3.2–3.3.
Active Calculus 2.0 — Boelkins · 2024 · CC-BY-NC-SA · §5.4–5.5.

Identidades, padrões e substituições

Identidades fundamentais

Padrões para ∫sin⁡nxcos⁡mx dx\int \sin^n x \cos^m x\, dx∫sinnxcosmxdx

Substituição trigonométrica

Fórmulas de redução

Exemplos resolvidos

Fontes

Padrões para $\int \sin^n x \cos^m x\, dx$