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Lição 89 — Volume por fatiamento: discos, anéis e cascas cilíndricas

Sólidos de revolução e sólidos de seção conhecida. Método dos discos, dos anéis (washers) e das cascas cilíndricas. Princípio de Cavalieri.

Used in: Cálculo II (BR) · Calc BC AP (EUA) · Math III japonês avançado · Leistungskurs Klasse 12 (DE)

V=∫abA(x) dx,Adisco=π[f(x)]2,Aanel=π([R(x)]2−[r(x)]2),Vcasca=2π∫abx f(x) dxV = \int_a^b A(x)\, dx, \qquad A_{\text{disco}} = \pi[f(x)]^2, \qquad A_{\text{anel}} = \pi\bigl([R(x)]^2 - [r(x)]^2\bigr), \qquad V_{\text{casca}} = 2\pi\int_a^b x\,f(x)\,dx

Volume por fatiamento. Soma contínua das áreas das seções transversais multiplicadas pela espessura infinitesimal. Para sólidos de revolução: discos (sólido maciço), anéis (washer — sólido com furo central), cascas cilíndricas (integração paralela ao eixo de revolução).

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e os três métodos

Princípio de Cavalieri e fatiamento

"Se dois sólidos têm a mesma altura e seções transversais iguais em cada nível, então os dois sólidos têm o mesmo volume." — Princípio de Cavalieri (séc. XVII), formalizado em Active Calculus §6.2

Método dos discos

Método dos anéis (washers)

Método das cascas cilíndricas

"The shell method can be thought of as integrating along the axis parallel to the axis of rotation." — APEX Calculus §7.3

Eixo de revolução deslocado

Para revolução em torno de y=cy = c (em vez do eixo xx): substitua f(x)↦f(x)−cf(x) \mapsto f(x) - c (ou ∣f(x)−c∣|f(x) - c|). Para revolução em torno de x=cx = c com cascas: substitua x↦∣x−c∣x \mapsto |x - c| no papel de raio.

Escolha do método

Eixo de revoluçãoparalelo à variável de integração→ disco / anelEixo de revoluçãoperpendicular à variável de integração→ cascas cilíndricasouAmbos os métodos dão o mesmo resultado — escolha o que produz integral mais simples.

Regra de escolha entre disco/anel e casca. Sempre desenhe a região antes de decidir.

Exemplos resolvidos

Exercise list

45 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 28Understanding 3Modeling 5Challenge 6Proof 3
  1. Ex. 89.1ApplicationAnswer key

    Revolução de y=xy = \sqrt{x} em [0,4][0, 4] em torno do eixo xx. Calcule o volume.

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.1
    Show solution
    Disco: V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dx=π[x2/2]04=8πV = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi[x^2/2]_0^4 = 8\pi.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identificar a função e o intervalo: f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, x∈[0,4]x \in [0,4], revolução em torno do eixo xx.
    2. Método dos discos: A(x)=π[f(x)]2=πxA(x) = \pi [f(x)]^2 = \pi x.
    3. Integrar: V=π∫04x dx=π[x2/2]04=8πV = \pi \int_0^4 x\,dx = \pi [x^2/2]_0^4 = 8\pi.
    Macete: (x)2=x(\sqrt{x})^2 = x simplifica a integral antes de integrar.
  2. Ex. 89.2Application

    Revolução de y=xy = x em [0,1][0, 1] em torno do eixo xx. Calcule o volume (é um cone).

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.5
    Show solution
    Disco: V=π∫01x2 dx=π/3V = \pi \int_0^1 x^2\,dx = \pi/3. Espere — revolução de y=xy = x dá π∫01x2 dx=π/3\pi \int_0^1 x^2\,dx = \pi/3. Confirme: cilindro de raio 1 e altura 1 tem volume π\pi; o cone é 1/3 disso.
  3. Ex. 89.3ApplicationAnswer key

    Revolução de y=x2y = x^2 em [0,2][0, 2] em torno do eixo xx. Calcule o volume.

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.7
    Show solution
    V=π∫02x4 dx=π[x5/5]02=32π/5V = \pi \int_0^2 x^4\,dx = \pi [x^5/5]_0^2 = 32\pi/5.
  4. Ex. 89.4ApplicationAnswer key

    Revolução de y=sin⁡xy = \sin x em [0,π][0, \pi] em torno do eixo xx. (Pista: sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2.)

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.3
    Show solution
    Use sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2. V=π∫0πsin⁡2x dx=π∫0π1−cos⁡2x2 dx=π[x/2−sin⁡2x/4]0π=π2/2V = \pi \int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \pi \int_0^\pi \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \pi[x/2 - \sin 2x/4]_0^\pi = \pi^2/2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Disco: A(x)=πsin⁡2xA(x) = \pi \sin^2 x.
    2. Use a identidade trigonométrica: sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2 x = (1 - \cos 2x)/2.
    3. V=π∫0π1−cos⁡2x2 dx=π2[x−sin⁡2x2]0π=π22V = \pi \int_0^\pi \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{\pi}{2}[x - \frac{\sin 2x}{2}]_0^\pi = \frac{\pi^2}{2}.
    Macete: Identidades sin⁡2=(1−cos⁡2x)/2\sin^2 = (1-\cos 2x)/2 e cos⁡2=(1+cos⁡2x)/2\cos^2 = (1+\cos 2x)/2 são indispensáveis em volumes com funções trigonométricas.
  5. Ex. 89.5Application

    Revolução de y=exy = e^x em [0,1][0, 1] em torno do eixo xx.

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.9
    Show solution
    V=π∫01e2x dx=π[e2x/2]01=π(e2−1)/2V = \pi \int_0^1 e^{2x}\,dx = \pi [e^{2x}/2]_0^1 = \pi(e^2-1)/2.
  6. Ex. 89.6Application

    Revolução de y=cos⁡xy = \cos x em [0,π/2][0, \pi/2] em torno do eixo xx.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.92
    Show solution
    V=π∫0π/2cos⁡2x dx=π2[x+sin⁡2x2]0π/2=π2/4V = \pi \int_0^{\pi/2} \cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}[x + \frac{\sin 2x}{2}]_0^{\pi/2} = \pi^2/4.
  7. Ex. 89.7Proof

    Mostre que o volume da esfera de raio rr é 4πr3/34\pi r^3/3, usando V=π∫−rr(r2−x2) dxV = \pi\int_{-r}^r (r^2 - x^2)\,dx.

    OpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · Example 2.5
    Show solution
    Semicírculo y=r2−x2y = \sqrt{r^2 - x^2}. Disco: V=π∫−rr(r2−x2) dx=π[r2x−x3/3]−rr=π⋅4r33=4πr33V = \pi \int_{-r}^r (r^2-x^2)\,dx = \pi[r^2 x - x^3/3]_{-r}^r = \pi \cdot \frac{4r^3}{3} = \frac{4\pi r^3}{3}.
  8. Ex. 89.8ProofAnswer key

    Mostre que o volume do cone de raio RR e altura hh é πR2h/3\pi R^2 h/3, rotacionando y=(R/h)xy = (R/h)x em [0,h][0, h].

    APEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.11
    Show solution
    Rota de y=(R/h)xy = (R/h)x em [0,h][0,h]. Disco: V=π∫0hR2h2x2 dx=πR2h2⋅h33=πR2h3V = \pi \int_0^h \frac{R^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{\pi R^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{\pi R^2 h}{3}.
  9. Ex. 89.9Application

    Revolução de y=1/xy = 1/x em [1,2][1, 2] em torno do eixo xx.

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.5
    Show solution
    V=π∫121x2 dx=π[−1/x]12=π(1−1/2)=π/2V = \pi \int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx = \pi[-1/x]_1^2 = \pi(1 - 1/2) = \pi/2.
  10. Ex. 89.10Application

    Revolução de y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2} em [−2,2][-2, 2] em torno do eixo xx. (Identifique o sólido resultante.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.64
    Show solution
    Semiesfera: y=4−x2y = \sqrt{4-x^2}, x∈[−2,2]x \in [-2,2]. Disco: V=π∫−22(4−x2) dx=π[4x−x3/3]−22=32π/3V = \pi \int_{-2}^2 (4-x^2)\,dx = \pi[4x - x^3/3]_{-2}^2 = 32\pi/3. Confere com 12⋅4π⋅233=16π/3\frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi \cdot 2^3}{3} = 16\pi/3 — não, esse seria hemisfera de raio 2, volume 16π/316\pi/3. Corrija: é a esfera inteira de raio 2, 4π⋅8/3=32π/34\pi \cdot 8/3 = 32\pi/3. Correto.
  11. Ex. 89.11ApplicationAnswer key

    Anel: região entre y=xy = x e y=x2y = x^2 em [0,1][0, 1], rotacionada em torno do eixo xx.

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.2
    Show solution
    Anel: R=xR = x, r=x2r = x^2. V=π∫01(x2−x4) dx=π[x3/3−x5/5]01=2π/15V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi[x^3/3 - x^5/5]_0^1 = 2\pi/15.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Intersecções: x=x2⇒x=0x = x^2 \Rightarrow x=0 e x=1x=1.
    2. Em [0,1][0,1]: x≥x2x \geq x^2, logo raio externo R=xR=x, interno r=x2r=x^2.
    3. V=π∫01(x2−x4) dx=π[x3/3−x5/5]01=π⋅2/15V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4)\,dx = \pi[x^3/3 - x^5/5]_0^1 = \pi \cdot 2/15.
    Curiosidade: Este resultado é verificável por cascas em torno do eixo y — dá o mesmo π/6\pi/6? Não — atenção: aqui o eixo é o xx, não o yy.
  12. Ex. 89.12Application

    Anel: região entre y=xy = \sqrt{x} e y=xy = x em [0,1][0, 1], rotacionada em torno do eixo xx.

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.13
    Show solution
    Intersecções: x=x⇒x=0,1\sqrt{x} = x \Rightarrow x=0,1. R=xR = \sqrt{x}, r=xr = x. V=π∫01(x−x2) dx=π[x2/2−x3/3]01=π/6V = \pi \int_0^1(x - x^2)\,dx = \pi[x^2/2 - x^3/3]_0^1 = \pi/6.
  13. Ex. 89.13Application

    Anel: região entre y=2xy = 2x e y=x2y = x^2 em [0,2][0, 2], rotacionada em torno do eixo xx.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.70
    Show solution
    Intersecções: x2=2x⇒x=0,2x^2 = 2x \Rightarrow x=0,2. Em [0,2][0,2]: 2x≥x22x \geq x^2. Anel: V=π∫02(4x2−x4) dx=π[4x3/3−x5/5]02=π(32/3−32/5)=64π/15V = \pi \int_0^2 (4x^2 - x^4)\,dx = \pi[4x^3/3 - x^5/5]_0^2 = \pi(32/3 - 32/5) = 64\pi/15. Recalcule: R=2xR = 2x? Não. R=2xR = 2x seria o raio se a equação fosse y=2xy = 2x. R=2xR = 2x, r=x2r = x^2: V=π∫02(4x2−x4) dx=64π/15V = \pi \int_0^2(4x^2 - x^4)\,dx = 64\pi/15.
  14. Ex. 89.14Application

    Anel: região entre y=x2+1y = x^2 + 1 e y=5−x2y = 5 - x^2, rotacionada em torno do eixo xx.

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.15
    Show solution
    Intersecção: x2+1=5−x2⇒x=±2x^2 + 1 = 5 - x^2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}. Em [−2,2][-\sqrt{2},\sqrt{2}]: R=5−x2R = 5-x^2, r=x2+1r = x^2+1. V=π∫−22[(5−x2)2−(x2+1)2] dxV = \pi \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [(5-x^2)^2 - (x^2+1)^2]\,dx. Expanda: (5−x2)2−(x2+1)2=24−12x2(5-x^2)^2 - (x^2+1)^2 = 24 - 12x^2. V=12π∫−22(2−x2) dx=12π[2x−x3/3]−22=32π2/3V = 12\pi \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(2-x^2)\,dx = 12\pi [2x - x^3/3]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 32\pi\sqrt{2}/3.
  15. Ex. 89.15ApplicationAnswer key

    Região entre y=xy = x e y=x2y = x^2 em [0,1][0, 1], rotacionada em torno de y=−1y = -1 (eixo deslocado).

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.4
    Show solution
    Eixo deslocado y=−1y=-1. R=x+1R = x + 1, r=x2+1r = x^2 + 1. V=π∫01[(x+1)2−(x2+1)2] dxV = \pi \int_0^1 [(x+1)^2 - (x^2+1)^2]\,dx. Expanda e integre.
  16. Ex. 89.16Application

    Qual é o volume gerado pela rotação da região entre y=1y = 1 e y=xy = x em [0,1][0, 1] em torno do eixo xx?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.72
    Show solution
    Anel: R=1R = 1 (reta horizontal), r=x2r = x^2. V=π∫01(1−x4) dx=π[x−x5/5]01=4π/5V = \pi \int_0^1 (1 - x^4)\,dx = \pi [x - x^5/5]_0^1 = 4\pi/5. Resposta correta nessa configuração específica. A opção π/3\pi/3 corresponde à região entre y=1y=1 e y=xy=x: π∫01(1−x2) dx=2π/3\pi \int_0^1(1-x^2)\,dx = 2\pi/3 — outra configuração. Distratores: π/6\pi/6 (anel xx vs x2x^2), π/2\pi/2 (disco simples), 2π/32\pi/3 (anel 11 vs xx).
  17. Ex. 89.17Application

    Região entre y=x2y = x^2 e y=xy = x em [0,1][0, 1], rotacionada em torno de x=2x = 2.

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.17
    Show solution
    Anel com eixo x=2x=2: integre em yy. x=yx = \sqrt{y} e x=yx=y. Raios da reta x=2x=2: R=2−yR = 2-y, r=2−yr = 2-\sqrt{y}. V=π∫01[(2−y)2−(2−y)2] dyV = \pi \int_0^1[(2-y)^2-(2-\sqrt{y})^2]\,dy.
  18. Ex. 89.18Modeling

    Uma câmara de ar de bicicleta pode ser modelada como um toro de raio central R=30R = 30 cm e seção circular de raio r=2r = 2 cm. Calcule o volume interno da câmara (em cm³) usando o Teorema de Pappus.

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.6
    Show solution
    Toro de raio interno RR e tubo rr gerado por círculo (x−R)2+y2=r2(x-R)^2 + y^2 = r^2 rotacionado em torno do eixo yy. Pappus: V=2πR⋅πr2=2π2Rr2V = 2\pi R \cdot \pi r^2 = 2\pi^2 R r^2. Para câmara de bicicleta (R=30R=30 cm, r=2r=2 cm): V=2π2⋅30⋅4≈2366V = 2\pi^2 \cdot 30 \cdot 4 \approx 2366 cm³.
  19. Ex. 89.19Modeling

    A região retangular [0,h]×[0,R][0, h] \times [0, R] é rotacionada em torno do eixo xx. Identifique o sólido resultante e calcule o volume.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.86
    Show solution
    A região é o retângulo 0≤x≤h0 \leq x \leq h, 0≤y≤R0 \leq y \leq R. Rotação em torno do eixo xx: disco de raio RR. V=πR2hV = \pi R^2 h. É o cilindro.
  20. Ex. 89.20Understanding

    Para calcular o volume gerado pela rotação de y=f(x)y = f(x), x∈[a,b]x \in [a,b], em torno do eixo yy, integrando em xx, qual método é mais natural?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineAPEX Calculus · §7.3 · conceitual
    Show solution
    Quando o eixo de revolução é o eixo yy e integramos em xx, o eixo é perpendicular à variável de integração → método das cascas. Disco/anel se aplicam quando o eixo é paralelo (revolução em torno do eixo xx, integrando em xx).
  21. Ex. 89.21Application

    Revolução de y=x2y = x^2 em [0,2][0, 2] em torno do eixo yy (cascas).

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.3 · ex. 7.3.5
    Show solution
    Casca: V=2π∫02x⋅x2 dx=2π∫02x3 dx=2π[x4/4]02=8πV = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2\,dx = 2\pi \int_0^2 x^3\,dx = 2\pi [x^4/4]_0^2 = 8\pi.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Eixo de revolução: yy. Integração em xx. Método: cascas.
    2. Casca de raio xx, altura f(x)=x2f(x) = x^2: dV=2πx⋅x2 dxdV = 2\pi x \cdot x^2\,dx.
    3. Integrar: V=2π∫02x3 dx=2π⋅4=8πV = 2\pi \int_0^2 x^3\,dx = 2\pi \cdot 4 = 8\pi.
    Curiosidade: Confira via discos em yy: inverter y=x2y = x^2 dá x=yx = \sqrt{y}. A esfera externa é y\sqrt{y}. V=π∫04y dy=8πV = \pi \int_0^4 y\,dy = 8\pi. Confirma!
  22. Ex. 89.22Application

    Região entre y=xy = x e y=x2y = x^2 em [0,1][0,1], rotacionada em torno do eixo yy (cascas).

    Solve onlineActive Calculus · §6.3 · ex. 6.3.2
    Show solution
    Casca: V=2π∫01x(x−x2) dx=2π∫01(x2−x3) dx=2π[x3/3−x4/4]01=π/6V = 2\pi \int_0^1 x(x-x^2)\,dx = 2\pi \int_0^1(x^2-x^3)\,dx = 2\pi[x^3/3-x^4/4]_0^1 = \pi/6.
  23. Ex. 89.23Application

    Revolução de y=xy = \sqrt{x} em [0,1][0, 1] em torno do eixo yy (cascas).

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.3 · ex. 7.3.7
    Show solution
    Casca: V=2π∫01x⋅x dx=2π∫01x3/2 dx=2π[2x5/2/5]01=4π/5V = 2\pi \int_0^1 x \cdot \sqrt{x}\,dx = 2\pi \int_0^1 x^{3/2}\,dx = 2\pi [2x^{5/2}/5]_0^1 = 4\pi/5.
  24. Ex. 89.24ApplicationAnswer key

    Região entre y=xy = x e y=x2y = x^2 em [0,1][0,1], rotacionada em torno de x=2x = 2.

    Solve onlineActive Calculus · §6.3 · ex. 6.3.3
    Show solution
    Casca em torno de x=2x=2: raio =2−x= 2-x, altura =x−x2= x - x^2. V=2π∫01(2−x)(x−x2) dxV = 2\pi \int_0^1 (2-x)(x-x^2)\,dx. Expanda e integre.
  25. Ex. 89.25Application

    Revolução de y=e−x2y = e^{-x^2} em [0,1][0, 1] em torno do eixo yy (cascas). (Pista: substituição u=x2u = x^2.)

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.3 · ex. 2.3.74
    Show solution
    Casca: V=2π∫01xe−x2 dxV = 2\pi \int_0^1 x e^{-x^2}\,dx. Sub u=x2u = x^2, du=2x dxdu = 2x\,dx: V=π∫01e−u du=π[−e−u]01=π(1−e−1)V = \pi \int_0^1 e^{-u}\,du = \pi[-e^{-u}]_0^1 = \pi(1 - e^{-1}). Numericamente: aproximadamente 1,986 u³.
  26. Ex. 89.26Understanding

    Qual integral representa o volume gerado pela rotação de y=cos⁡xy = \cos x, x∈[0,1]x \in [0, 1], em torno do eixo yy (cascas)?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineAPEX Calculus · §7.3 · conceitual §7.3
    Show solution
    Casca em torno do eixo yy: V=2π∫abxf(x) dxV = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. Com f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x, [0,1][0,1]: opção A. As demais correspondem a discos (B), casca sem xx (C), ou forma errada (D).
  27. Ex. 89.27ApplicationAnswer key

    Revolução de y=1/xy = 1/x em [1,3][1, 3] em torno do eixo yy (cascas).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.3 · ex. 2.3.76
    Show solution
    Casca: V=2π∫13x⋅1x dx=2π∫131 dx=2π⋅2=4πV = 2\pi \int_1^3 x \cdot \frac{1}{x}\,dx = 2\pi \int_1^3 1\,dx = 2\pi \cdot 2 = 4\pi.
  28. Ex. 89.28Application

    Revolução de y=sin⁡xy = \sin x em [0,π][0, \pi] em torno do eixo yy (cascas). (Pista: integração por partes.)

    Solve onlineActive Calculus · §6.3 · ex. 6.3.4
    Show solution
    Casca: raio xx, altura f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. V=2π∫0πxsin⁡x dxV = 2\pi \int_0^\pi x \sin x\,dx. Por partes (u=xu=x, dv=sin⁡x dxdv=\sin x\,dx): =2π[−xcos⁡x+sin⁡x]0π=2π(π)=2π2= 2\pi[-x\cos x + \sin x]_0^\pi = 2\pi(\pi) = 2\pi^2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Casca em torno do eixo yy: V=2π∫0πxsin⁡x dxV = 2\pi \int_0^\pi x \sin x\,dx.
    2. Por partes: u=xu = x, dv=sin⁡x dxdv = \sin x\,dx → du=dxdu = dx, v=−cos⁡xv = -\cos x.
    3. =2π([−xcos⁡x]0π+∫0πcos⁡x dx)=2π(π+0)=2π2= 2\pi \left([-x\cos x]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx\right) = 2\pi(\pi + 0) = 2\pi^2.
    Macete: Cascas frequentemente produzem integrais por partes — a variável xx no raio cria o produto.
  29. Ex. 89.29Application

    Região entre y=x2y = x^2 e y=x3y = x^3 em [0,1][0, 1], rotacionada em torno de x=1x = 1.

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.3 · ex. 7.3.9
    Show solution
    Casca em torno de x=1x=1: raio =1−x= 1-x, altura =x2−x3= x^2 - x^3 (entre y=x2y=x^2 e y=x3y=x^3 em [0,1][0,1]). V=2π∫01(1−x)(x2−x3) dxV = 2\pi \int_0^1(1-x)(x^2-x^3)\,dx.
  30. Ex. 89.30Challenge

    Calcule o volume da região delimitada por y=x2y = x^2 e y=4y = 4, rotacionada em torno do eixo yy, usando dois métodos (discos em yy e cascas em xx). Confirme que os resultados coincidem.

    Solve onlineActive Calculus · §6.3 · ex. 6.3.5
    Show solution
    Discos em yy: inverter y=x2y = x^2 dá x=yx = \sqrt{y}. V=π∫04y dy=8πV = \pi \int_0^4 y\,dy = 8\pi. Cascas em xx: V=2π∫02x(4−x2) dx=2π[2x2−x4/4]02=8πV = 2\pi \int_0^2 x(4-x^2)\,dx = 2\pi[2x^2 - x^4/4]_0^2 = 8\pi. Ambos confirmam 8π8\pi.
  31. Ex. 89.31ApplicationAnswer key

    Um sólido tem base no intervalo [0,π][0, \pi] sobre o eixo xx, com seções transversais quadradas perpendiculares ao eixo xx. O lado de cada quadrado é f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. Calcule o volume.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.50
    Show solution
    Seção quadrada: A(x)=(sin⁡x)2=sin⁡2xA(x) = (\sin x)^2 = \sin^2 x. V=∫0πsin⁡2x dx=π/2V = \int_0^\pi \sin^2 x\,dx = \pi/2.
  32. Ex. 89.32Application

    Um sólido tem base [0,4][0, 4] no eixo xx, com seções transversais semicirculares perpendiculares ao eixo xx. O diâmetro de cada semicírculo é y=xy = \sqrt{x}. Calcule o volume.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.52
    Show solution
    Seção semicircular de raio r=x/2r = \sqrt{x}/2: A(x)=πr2/2=πx/8A(x) = \pi r^2/2 = \pi x/8. V=∫04πx/8 dx=π[x2/16]04=πV = \int_0^4 \pi x/8\,dx = \pi[x^2/16]_0^4 = \pi.
  33. Ex. 89.33Proof

    Mostre, via fatiamento, que o volume de uma pirâmide de base A0A_0 e altura hh é A0h/3A_0 h/3, independente da forma da base.

    Active Calculus · §6.2 · Cavalieri demonstration
    Show solution
    Pirâmide de base A0A_0 e altura hh. Fatia a altura yy: seção é retângulo/quadrado similar à base, com fator (1−y/h)(1-y/h). Área: A(y)=A0(1−y/h)2A(y) = A_0(1-y/h)^2. Volume: V=∫0hA0(1−y/h)2 dy=A0⋅h/3V = \int_0^h A_0(1-y/h)^2\,dy = A_0 \cdot h/3.
  34. Ex. 89.34Modeling

    Tanque esférico de raio R=3R = 3 m, cheio d'água. Calcule o trabalho para bombear toda a água até o topo (em Joules). Use ρ=1000\rho = 1000 kg/m³ e g=9,8g = 9{,}8 m/s².

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §6.5 · ex. 6.5.262
    Show solution
    Tanque esférico de raio R=3R=3 m. Fatia a altura y∈[−3,3]y \in [-3, 3]: área circular A(y)=π(9−y2)A(y) = \pi(9-y^2). Trabalho: W=9800π⋅108W = 9800\pi \cdot 108, aproximadamente 3,33 MJ (ver Exemplo 5 desta lição para o cálculo completo).
  35. Ex. 89.35UnderstandingAnswer key

    Sobre a escolha entre disco/anel e cascas cilíndricas, qual afirmação é correta?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineAPEX Calculus · §7.3 · conceitual
    Show solution
    A afirmação B é correta: a escolha entre disco/anel e casca depende da relação entre o eixo de revolução e a variável de integração. Ambos dão o mesmo resultado (A é parcialmente correta, mas a frase "sempre" é imprecisa — a escolha afeta a dificuldade, não o resultado). C e D são falsas.
  36. Ex. 89.36Modeling

    Um vaso decorativo tem perfil gerado pela rotação de x=yx = \sqrt{y} (cm) em torno do eixo yy, para y∈[0,20]y \in [0, 20] cm. Calcule a capacidade do vaso em mL (11 cm³ =1= 1 mL).

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.7
    Show solution
    O vaso é gerado pela rotação de x=f(y)x = f(y) em torno do eixo yy. Para um vaso de perfil parabólico x=yx = \sqrt{y} de 0 a 20 cm de altura: V=π∫020y dy=200π≈628V = \pi \int_0^{20} y\,dy = 200\pi \approx 628 cm³ ≈628\approx 628 mL.
  37. Ex. 89.37Challenge

    Derive a fórmula V=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2 do toro via método dos anéis, sem usar o Teorema de Pappus.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.2 · ex. 2.2.88
    Show solution
    Toro de raio externo RR, tubo rr. Fatias em x∈[−r,r]x \in [-r, r]: anel de raio externo R+r2−x2R + \sqrt{r^2-x^2} e interno R−r2−x2R - \sqrt{r^2-x^2}. V=π∫−rr[(R+r2−x2)2−(R−r2−x2)2] dx=4πR∫−rrr2−x2 dx=4πR⋅πr2/2=2π2Rr2V = \pi \int_{-r}^r [(R+\sqrt{r^2-x^2})^2 - (R-\sqrt{r^2-x^2})^2]\,dx = 4\pi R \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx = 4\pi R \cdot \pi r^2/2 = 2\pi^2 R r^2.
  38. Ex. 89.38Challenge

    Paradoxo de Gabriel's Horn. Considere a superfície gerada pela rotação de y=1/xy = 1/x, x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty), em torno do eixo xx. (a) Calcule o volume do sólido. (b) Mostre que a área lateral é infinita. (c) Interprete o paradoxo.

    Solve onlineActive Calculus · §6.3 · ex. 6.3.6
    Show solution
    Gabriel's Horn: y=1/xy = 1/x, x∈[1,∞)x \in [1, \infty). Volume: V=π∫1∞x−2 dx=π[−1/x]1∞=πV = \pi \int_1^\infty x^{-2}\,dx = \pi[-1/x]_1^\infty = \pi. Área lateral: A=2π∫1∞(1/x)1+1/x4 dx≥2π∫1∞1/x dx=∞A = 2\pi \int_1^\infty (1/x)\sqrt{1+1/x^4}\,dx \geq 2\pi \int_1^\infty 1/x\,dx = \infty. Paradoxo: volume finito (π\pi u³), área infinita — você pode **encher** mas não **pintar** o interior.
  39. Ex. 89.39Application

    Região entre y=x2y = x^2 e y=1y = 1, rotacionada em torno de y=1y = 1. Calcule o volume (anel com eixo deslocado).

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.19
    Show solution
    Anel em torno de y=1y=1: R=1−x2R = 1 - x^2, r=0r = 0 (ou o eixo). Espere — revolução em torno de y=1y=1, função y=x2y=x^2: raio = 1−x21-x^2. V=π∫−11(1−x2)2 dx=π∫−11(1−2x2+x4) dx=π[x−2x3/3+x5/5]−11=16π/15V = \pi \int_{-1}^1 (1-x^2)^2\,dx = \pi \int_{-1}^1(1-2x^2+x^4)\,dx = \pi[x-2x^3/3+x^5/5]_{-1}^1 = 16\pi/15.
  40. Ex. 89.40Application

    Revolução de y=x2+1y = x^2 + 1 em [0,3][0, 3] em torno do eixo yy (cascas).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.3 · ex. 2.3.80
    Show solution
    Casca em torno de yy: V=2π∫03x(x2+1) dx=2π[x4/4+x2/2]03=2π(81/4+9/2)=2π⋅99/4=99π/2V = 2\pi \int_0^3 x(x^2+1)\,dx = 2\pi[x^4/4 + x^2/2]_0^3 = 2\pi(81/4 + 9/2) = 2\pi \cdot 99/4 = 99\pi/2.
  41. Ex. 89.41Application

    Região entre y=exy = e^x e y=xy = x em [0,1][0, 1], rotacionada em torno do eixo xx (anéis).

    Solve onlineActive Calculus · §6.2 · ex. 6.2.8
    Show solution
    Anel em torno do eixo xx. Em [0,1][0,1], ex≥xe^x \geq x. Raio externo R=exR = e^x, interno r=xr = x. V=π∫01(e2x−x2) dxV = \pi \int_0^1 (e^{2x} - x^2)\,dx. Avalie: =π[e2x/2−x3/3]01=π(e2/2−1/3−1/2)=π(e2/2−5/6)= \pi\bigl[e^{2x}/2 - x^3/3\bigr]_0^1 = \pi(e^2/2 - 1/3 - 1/2) = \pi(e^2/2 - 5/6).
  42. Ex. 89.42Modeling

    Um tanque hemisférico de raio R=2R = 2 m (diâmetro virado para cima) contém água até h=1h = 1 m de profundidade. Calcule o volume de água (em m³).

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §6.5 · ex. 6.5.258
    Show solution
    Tanque hemisférico de raio R=2R=2 m. Seção a altura y∈[0,h]y \in [0,h] acima do fundo: raio circular =2Ry−y2= \sqrt{2Ry - y^2}. Área A(y)=π(2Ry−y2)A(y) = \pi(2Ry - y^2). Para h=1h=1: V=π∫01(4y−y2) dy=π[2y2−y3/3]01=π(2−1/3)=5π/3V = \pi \int_0^1 (4y - y^2)\,dy = \pi[2y^2 - y^3/3]_0^1 = \pi(2 - 1/3) = 5\pi/3, aproximadamente 5,24 m³.
  43. Ex. 89.43ChallengeAnswer key

    Região entre y=cos⁡xy = \cos x e y=sin⁡xy = \sin x em [0,π/2][0, \pi/2], rotacionada em torno do eixo xx. (Cuidado: as curvas se cruzam em x=π/4x = \pi/4.)

    Solve onlineAPEX Calculus · §7.2 · ex. 7.2.25
    Show solution
    Interseção de y=cos⁡xy = \cos x e y=sin⁡xy = \sin x em [0,π/2][0, \pi/2]: x=π/4x = \pi/4. Em [0,π/4][0, \pi/4]: cos⁡x≥sin⁡x\cos x \geq \sin x. Em [π/4,π/2][\pi/4, \pi/2]: sin⁡x≥cos⁡x\sin x \geq \cos x. Anel em cada subintervalo com RR e rr trocados. V=π∫0π/4(cos⁡2x−sin⁡2x) dx+π∫π/4π/2(sin⁡2x−cos⁡2x) dx=π∫0π/4cos⁡2x dx−π∫π/4π/2cos⁡2x dx=π/2−(−π/2+π/2)=π/2V = \pi \int_0^{\pi/4}(\cos^2 x - \sin^2 x)\,dx + \pi \int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin^2 x - \cos^2 x)\,dx = \pi \int_0^{\pi/4}\cos 2x\,dx - \pi \int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos 2x\,dx = \pi/2 - (-\pi/2 + \pi/2) = \pi/2. Verifique.
  44. Ex. 89.44Challenge

    Revolução de y=sin⁡(x2)y = \sin(x^2) em [0,π][0, \pi] em torno do eixo yy (cascas). (Pista: substituição u=x2u = x^2.)

    Solve onlineActive Calculus · §6.3 · ex. 6.3.7
    Show solution
    Casca em torno do eixo yy: V=2π∫0πxsin⁡(x2) dxV = 2\pi \int_0^\pi x \sin(x^2)\,dx. Sub u=x2u = x^2: V=π∫0π2sin⁡u du=π[−cos⁡u]0π2=π(1−cos⁡(π2))V = \pi \int_0^{\pi^2} \sin u\,du = \pi[-\cos u]_0^{\pi^2} = \pi(1 - \cos(\pi^2)).
  45. Ex. 89.45Challenge

    O triângulo de vértices (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), (0,1)(0,1) é rotacionado em torno da reta x=2x = 2. Calcule o volume usando o Teorema de Pappus. Verifique integrando diretamente.

    Solve onlineOpenStax Calculus Volume 2 · §2.3 · ex. 2.3.84
    Show solution
    Pappus: V=2πdˉAV = 2\pi \bar{d} A. Triângulo de vértices (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), (0,1)(0,1): área A=1/2A = 1/2, centroide xˉ=1/3\bar{x} = 1/3. Rotação em torno de x=2x=2: dˉ=2−1/3=5/3\bar{d} = 2 - 1/3 = 5/3. V=2π⋅5/3⋅1/2=5π/3V = 2\pi \cdot 5/3 \cdot 1/2 = 5\pi/3.

Fontes

  • Active Calculus — Matt Boelkins, David Austin, Steve Schlicker · Grand Valley State University · 2024 · CC-BY-NC-SA. Seções §6.2 e §6.3. Exercícios das atividades 6.2.1–6.3.7 usados na lista.
  • APEX Calculus — Hartman, Heinold, Siemers, Chalishajar · Virginia Military Institute · 2023 · CC-BY-NC. Seções §7.2 (discos/anéis) e §7.3 (cascas). Exercícios ex. 7.2.5–7.2.25 e ex. 7.3.5–7.3.9 usados na lista.
  • OpenStax Calculus Volume 2 — OpenStax (Herman, Strang et al.) · Rice University · 2023 · CC-BY-NC-SA. Seções §2.2–2.3 (volumes) e §6.5 (aplicações físicas). Exercícios e exemplos 2.2.50–2.2.92 e 6.5.258–6.5.262 usados.

Updated on 2026-05-06 · Author(s): Clube da Matemática

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