Lição 9 — Taxa de variação média — porta de entrada do cálculo

1. Avalie nos extremos. $g(0) = 3 \cdot 0 - 5 = -5$; $g(10) = 30 - 5 = 25$.
2. Aplique a fórmula. $\text{TVM} = (25 - (-5))/(10 - 0) = 30/10 = 3$.
3. Compare com o coeficiente angular. $a = 3$ na forma $g(x) = 3x - 5$. Mesmo valor. Para qualquer função afim $mx + n$, a TVM é sempre $m$ — independente do intervalo.

Macete: TVM de reta = inclinação da reta. Essa é a razão pela qual a TVM generaliza o conceito de inclinação para funções não-lineares.

1. Calcule h(0) e h(2). $h(0) = 0$; $h(2) = 20 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = 40 - 20 = 20$ m.
2. Item (a): velocidade média [0, 2]. $v_m = (20 - 0)/2 = 10$ m/s (positiva — bola subindo).
3. Calcule h(4). $h(4) = 80 - 80 = 0$ m — bola voltou ao chão.
4. Item (b): velocidade média [0, 4]. $v_m = (0 - 0)/4 = 0$ m/s.
5. Item (c): interpretação. A "média" zero não significa bola parada — significa que o deslocamento líquido foi nulo. A bola subiu 20 m e voltou 20 m; as variações se cancelam na média.

Atenção: TVM zero não implica função constante. É a armadilha conceitual mais comum neste tópico — revisada no exercício 9.30.

1. Valores nos extremos. $\sin 0 = 0$, $\sin(\pi/2) = 1$, $\sin \pi = 0$.
2. TVM em $[0, \pi/2]$. $(1 - 0)/(\pi/2) = 2/\pi \approx 0{,}637$. Positiva — seno subiu.
3. TVM em $[\pi/2, \pi]$. $(0 - 1)/(\pi/2) = -2/\pi$. Negativa — seno desceu.
4. Simetria. Mesma magnitude, sinal oposto. Gráfico do seno é simétrico em torno de $\pi/2$.
5. TVM no intervalo total. $(0 - 0)/\pi = 0$. Subiu e voltou — deslocamento líquido nulo.

Macete: a TVM da senoide em um período completo é sempre zero. Em meio período, é ±2/π.

1. Escreva os extremos. Intervalo $[a, a+h]$. Calculamos $(f(a+h) - f(a))/h$.
2. Expanda $(a+h)^2$. $(a+h)^2 = a^2 + 2ah + h^2$ (produto notável).
3. Subtraia $f(a)$. $f(a+h) - f(a) = 2ah + h^2 = h(2a + h)$.
4. Divida por $h$. Para $h \neq 0$: $\text{TVM} = 2a + h$.
5. Tome $h \to 0$. $\lim_{h \to 0}(2a + h) = 2a$. Esta é a derivada $f'(a) = 2a$.

Curiosidade: este é exatamente o procedimento que Cauchy usou em 1821 para definir derivada como limite da TVM. Você acabou de fazer cálculo diferencial sem saber.

1. Expanda $(a+h)^3$. Pelo binômio de Newton: $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2 h + 3ah^2 + h^3$.
2. Subtraia $f(a)$. $f(a+h) - f(a) = 3a^2 h + 3ah^2 + h^3 = h(3a^2 + 3ah + h^2)$.
3. Divida por $h$. $\text{TVM} = 3a^2 + 3ah + h^2$.
4. Tome $h \to 0$. Sobra $3a^2$. Esta é a derivada: $f'(a) = 3a^2$.
5. Padrão emergente. Para $f(x) = x^n$: o limite da TVM é $n a^{n-1}$ — a regra do tombo (Trim 6).

Macete: o termo de maior ordem em $(a+h)^n - a^n$ é sempre $n a^{n-1} h$; tudo o mais é $O(h^2)$ e some no limite.

1. $[1, 2]$: $f(1) = 1$, $f(2) = 4$. $\text{TVM} = 3$.
2. $[1, 1{,}5]$: $f(1{,}5) = 2{,}25$. $\text{TVM} = 1{,}25/0{,}5 = 2{,}5$.
3. $[1, 1{,}1]$: $f(1{,}1) = 1{,}21$. $\text{TVM} = 0{,}21/0{,}1 = 2{,}1$.
4. $[1, 1{,}01]$: $f(1{,}01) = 1{,}0201$. $\text{TVM} = 0{,}0201/0{,}01 = 2{,}01$.
5. Padrão: $(3,\ 2{,}5,\ 2{,}1,\ 2{,}01)$ tende a $2 = f'(1)$.

Macete: para $f(x) = x^2$, a TVM em $[p, q]$ é $p + q$. Conforme $q \to p$, $p + q \to 2p = f'(p)$.

1. Aplique a definição. $\text{TVM} = (f(a) - f(-a))/(a - (-a)) = (f(a) - f(-a))/(2a)$.
2. Use a propriedade ímpar. $f(-a) = -f(a)$. Logo $f(a) - f(-a) = 2f(a)$.
3. Simplifique. $\text{TVM} = 2f(a)/(2a) = f(a)/a$.
4. Conclua. Em geral não é zero — só se $f(a) = 0$. Contraexemplo: $f(x) = x$ ímpar, TVM em $[-1, 1] = 1 \neq 0$.

Macete: para função par, o numerador zera (gráfico volta ao mesmo valor); para ímpar, o numerador vale o dobro de f(a). Saber distinguir os dois é teste clássico de cálculo.

1. Escreva a TVM. $(\sqrt{a+h} - \sqrt{a})/h$.
2. Racionalize o numerador. Multiplique por $(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})/(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})$.
3. Simplifique. Numerador: $(a+h) - a = h$. Denominador: $h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})$. Resultado: $1/(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})$.
4. Tome $h \to 0$. $1/(\sqrt{a} + \sqrt{a}) = 1/(2\sqrt{a})$.
5. Conclusão. $(\sqrt{x})' = 1/(2\sqrt{x})$ — confirmado no Trim 6 pela regra do tombo: $(x^{1/2})' = \frac{1}{2} x^{-1/2}$.

Macete: racionalizar numeradores com raiz é a técnica padrão para calcular derivadas de funções-raiz pela definição. Aparece repetidamente em Cálculo I.

1. Calcule os valores. $N(0) = 1\,000$; $N(3) = 1\,000 \cdot 2^3 = 8\,000$; $N(6) = 1\,000 \cdot 2^6 = 64\,000$.
2. TVM[0, 3]. $(8\,000 - 1\,000)/3 = 7\,000/3 \approx 2\,333$ bactérias/h.
3. TVM[3, 6]. $(64\,000 - 8\,000)/3 = 56\,000/3 \approx 18\,667$ bactérias/h.
4. Razão. $18\,667/2\,333 \approx 8$. Exatamente 8 — porque a população dobra a cada hora e o intervalo tem 3 horas: $2^3 = 8$.
5. Lei geral. Para crescimento exponencial $N_0 \cdot b^t$, a TVM em $[t, t+\Delta t]$ é proporcional a $N(t)$ — característica da exponencial.

Observação: esta proporcionalidade é a razão pela qual EDOs de crescimento têm solução exponencial — $dN/dt = rN$ implica $N(t) = N_0 e^{rt}$. Preview de Trim 4 (EDOs).

1. Reconheça que inflação compõe. $P_{12} = P_0 \cdot (1 + r_m)^{12}$.
2. Iguale e isole $r_m$. $(1 + r_m)^{12} = 1{,}048 \Rightarrow 1 + r_m = (1{,}048)^{1/12}$.
3. Calcule a raiz 12. $(1{,}048)^{1/12} \approx 1{,}003917$.
4. Subtraia 1. $r_m \approx 0{,}391\%$ ao mês.
5. Compare com a divisão simples. 4,8/12 = 0,4%. Quase igual porque $r$ é pequeno ($\ln(1+r) \approx r$). Para inflações altas (Brasil 1989-94), o erro seria grande.

Macete financeiro: para converter taxa anual em mensal, NUNCA divida por 12. Use $r_m = (1 + r_a)^{1/12} - 1$. Para anualizar: $r_a = (1 + r_m)^{12} - 1$.