v1 · padrão canônico

Lição 10 — Consolidação Trim 1: workshop integrador

Workshop de integração das 9 lições anteriores. Problemas que combinam funções, taxa de variação, exponencial, modelagem. Estilo ENEM/EJU/Abitur.

Used in: 1.º ano EM

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

A taxa de variação média é o fio condutor do Trim 1: liga função afim (TVM constante), quadrática (TVM linear), exponencial (TVM proporcional ao valor) e prepara o terreno para derivada.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Roteiro do trimestre

Esta lição não introduz conteúdo novo. É um workshop integrador com problemas que exigem combinar:

Lição 1: notação de conjuntos, intervalos, operações entre conjuntos
Lição 2: domínio, imagem, composição, injetividade
Lições 3–4: funções afim e quadrática
Lição 5: composição formal e inversa
Lições 6–8: exponencial, logaritmo, modelos de crescimento/decaimento
Lição 9: taxa de variação média

Arco conceitual do trimestre

O Trim 1 constrói uma única ideia de baixo para cima: como descrever mudança.

\underbrace{\text{Conjuntos}}_{\text{L1}} \to \underbrace{\text{Funções}}_{\text{L2}} \to \underbrace{f(x) = ax+b}_{\text{L3: TVM constante}} \to \underbrace{f(x) = ax^2+bx+c}_{\text{L4: TVM linear}} \to \underbrace{f \circ g,\ f^{-1}}_{\text{L5}} \to \underbrace{a^x,\ \ln x}_{\text{L6-7: TVM proporcional ao valor}} \to \underbrace{N_0 e^{kt}}_{\text{L8}} \to \underbrace{\Delta y/\Delta x}_{\text{L9: porta do cálculo}}

Cada etapa responde à pergunta "o que acontece com $y$ quando $x$ muda um pouquinho?": afim (sempre igual), quadrática (cresce linearmente), exponencial (cresce proporcionalmente).

Mapa de pré-requisitos

Conceito	Lição	Para o que serve aqui
Conjuntos e intervalos	1	Domínio de exponencial/log; interseção de condições
Função e composição	2, 5	$(f \circ g)(x)$ , inversa
Afim e quadrática	3, 4	Modelagem linear/parabólica
Exponencial e log	6, 7, 8	Juros, decaimento, meia-vida
TVM	9	Velocidade média, custo marginal

Reserve 4 h sem consulta para resolver. Confira no gabarito (25% têm resposta inline). Se acertar menos de 50%, releia as lições correspondentes; se acertar 70–90%, está pronto pro Trim 2; acima de 90%, leitura adicional indicada.

Exemplos resolvidos

Example— 1· Domínio de composição com log (aplicação)

Problema: Determine o domínio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ .

Estratégia: O argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo. Resolver a inequação $x^2 - 4 > 0$ por fatoração e análise de sinal.

Resolução:

Condição: $x^2 - 4 > 0$ , ou seja, $(x - 2)(x + 2) > 0$ .
Raízes: $x = 2$ e $x = -2$ . Parábola com concavidade para cima.
A inequação é satisfeita "fora das raízes": $x < -2$ ou $x > 2$ .
Domínio: $\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ .

Verificação: Em $x = 3$ : $f(3) = \log_2(5) \approx 2{,}32$ , definido. Em $x = 0$ : $0^2 - 4 = -4 < 0$ — indefinido, confere com $0 \notin \text{Dom}(f)$ . Em $x = 2$ : $\log_2(0) \to -\infty$ — não está no domínio.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §6.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Equação exponencial via substituição (intermediário)

Problema: Resolva $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .

Estratégia: Note que $4^x = (2^x)^2$ . Substitua $u = 2^x$ (com $u > 0$ ): a equação vira quadrática em $u$ .

Resolução:

Substitua $u = 2^x$ : $u^2 - 5u + 4 = 0$ .
Fatorar: $(u - 1)(u - 4) = 0 \Rightarrow u = 1$ ou $u = 4$ .
Volta à variável $x$ : $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ . $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ .
Verifique no original: $4^0 - 5 \cdot 2^0 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓. $4^2 - 5 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$ ✓.
Resposta: $x = 0$ ou $x = 2$ .

Verificação: Ambas as soluções satisfazem a equação original. A substituição $u = 2^x$ é canônica: sempre que aparecer $a^{2x}$ junto com $a^x$ , substitua $u = a^x$ .

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §6.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Modelagem com função por partes (intermediário)

Problema: Uma piscina é enchida em duas etapas: nas primeiras 2 horas, com vazão constante de 500 L/h; depois, com vazão constante de 800 L/h. Modele o volume $V(t)$ . Em quanto tempo a piscina de 6.000 L fica cheia?

Estratégia: Função por partes (afim em cada parte). Calcular $V(2)$ no fim da primeira fase; depois resolver $V(t) = 6\,000$ na segunda fase.

Resolução:

Modelo:

$V(t) = \begin{cases} 500 t & \text{se } 0 \leq t \leq 2 \\ 1\,000 + 800 (t - 2) & \text{se } t > 2 \end{cases}$

Em $t = 2$ : $V(2) = 1\,000$ L.
Faltam $6\,000 - 1\,000 = 5\,000$ L para encher.
Tempo na 2.ª fase: $5\,000 / 800 = 6{,}25$ h.
Tempo total: $2 + 6{,}25 = 8{,}25$ h.

Verificação: $V(8{,}25) = 1\,000 + 800 \cdot (8{,}25 - 2) = 1\,000 + 5\,000 = 6\,000$ L. ✓ Continuidade em $t = 2$ : ambas as expressões dão 1.000 L.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 2 — licença aberta.

Example— 4· Lucro máximo com quadrática (avançado)

Problema: Uma empresa tem custo $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ e receita $R(q) = 60 q$ . O lucro é $L(q) = R(q) - C(q)$ . (a) Quando o lucro é zero? (b) Qual a quantidade que maximiza o lucro?

Estratégia: Calcular $L(q)$ , encontrar raízes para (a) e o vértice da parábola para (b). Usar Bhaskara e $x_v = -b/(2a)$ .

Resolução:

$L(q) = 60 q - (50 + 20 q + 0{,}5 q^2) = -0{,}5 q^2 + 40 q - 50$ .
(a) Lucro zero: $-0{,}5 q^2 + 40 q - 50 = 0$ . Multiplicando por $-2$ : $q^2 - 80 q + 100 = 0$ . Bhaskara: $q = (80 \pm \sqrt{6\,000})/2 \approx (80 \pm 77{,}46)/2$ . Raízes: $q \approx 1{,}27$ ou $q \approx 78{,}73$ .
(b) Lucro máximo: vértice em $q^* = -40/(2 \cdot (-0{,}5)) = 40$ . Lucro máximo: $L(40) = -800 + 1\,600 - 50 = 750$ .
Resposta: (a) break-even em $q \approx 1{,}27$ e $q \approx 78{,}73$ ; (b) lucro máximo R$ 750 em $q = 40$ unidades.

Verificação: Parábola com concavidade para baixo (coef. $-0{,}5 < 0$ ) — vértice é máximo ✓. Média das raízes: $(1{,}27 + 78{,}73)/2 = 40 = q^*$ ✓.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e §3.2 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Modelo logístico — ponto de inflexão (modelagem real)

Problema: $P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (modelo logístico). (a) Calcule $P(0)$ . (b) Qual a capacidade de suporte? (c) Em que tempo $t$ a população atinge metade da capacidade?

Estratégia: Para (a) substituir $t = 0$ . Para (b) examinar $t \to \infty$ . Para (c) resolver $P(t) = 100$ .

Resolução:

(a) $P(0) = 200/(1 + 9) = 20$ . População inicial = 20.
(b) Quando $t \to \infty$ : $e^{-0{,}5 t} \to 0$ , então $P(t) \to 200$ . Capacidade = 200.
(c) $200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t}) = 100 \Rightarrow e^{-0{,}5 t} = 1/9 \Rightarrow t = 2 \ln 9 \approx 4{,}39$ .

Verificação: Em $t = 4{,}39$ : $P = 200/(1 + 9 \cdot 1/9) = 100$ ✓. Este é o ponto de inflexão da curva logística — onde a TVM é máxima.

Fonte. Lebl — Notes on Diffy Qs §1.5 — licença CC-BY-SA.

Exercise list

55 exercises · 13 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 3Modeling 18Challenge 11Proof 6

Ex. 10.1Application
Encontre o domínio máximo de $f(x) = \log_2(x^2 - 4)$ . Expresse em notação de intervalo.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.3
Show solution
Condição do log: $x^2 - 4 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) > 0$ . Parábola de concavidade positiva — satisfeita fora das raízes. $\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ .
Ex. 10.2Application
Resolva $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §6.3
Show solution
Substitua $u = 2^x$ : $u^2 - 5u + 4 = 0 \Rightarrow u = 1$ ou $u = 4$ . Voltando: $x = 0$ ou $x = 2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reconheça a estrutura. Como $4 = 2^2$ , então $4^x = (2^x)^2$ — equação quadrática em $2^x$ .
2. Substitua $u = 2^x$ (com $u > 0$ ). Fica $u^2 - 5u + 4 = 0$ .
3. Fatore. $(u-1)(u-4) = 0 \Rightarrow u = 1$ ou $u = 4$ . Ambos positivos — válidos.
4. Volte para $x$ . $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ; $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$ .
5. Verifique. $x=0$ : $1 - 5 + 4 = 0$ ✓. $x=2$ : $16 - 20 + 4 = 0$ ✓.
Macete: sempre que $a^{2x}$ aparece com $a^x$ , faça $u = a^x$ . A equação vira quadrática, mas não esqueça $u > 0$ ao final.
Ex. 10.3Application
Determine a equação da reta que passa pelo vértice da parábola $y = x^2 - 4 x + 7$ e tem inclinação $2$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
Vértice de $y = x^2 - 4x + 7$ : $x_v = 4/2 = 2$ , $y_v = 4 - 8 + 7 = 3$ . Reta de inclinação 2 por $(2,3)$ : $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$ .
Ex. 10.4Application
Sejam $f(x) = 2^x$ e $g(x) = \log_2 x$ . Calcule $f(g(8))$ e $g(f(3))$ . O que os resultados revelam sobre a relação entre $f$ e $g$ ?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.3
Show solution
$g(8) = \log_2 8 = 3$ , então $f(g(8)) = 2^3 = 8$ . $f(3) = 2^3 = 8$ , então $g(f(3)) = \log_2 8 = 3$ . Os dois resultados iguais às entradas originais confirmam que $f$ e $g$ são inversas.
Ex. 10.5Application
Calcule a TVM de $f(x) = 2 x + 3$ no intervalo $[1, 4]$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
Função afim: TVM = coeficiente angular $= 2$ (constante em qualquer intervalo). Verificação: $(f(4) - f(1))/(4-1) = (11-5)/3 = 6/3 = 2$ ✓.
Ex. 10.6Application
Sejam $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = \sqrt{x}$ . Determine $(f \circ g)(x)$ e o domínio dessa composição.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4
Show solution
$(f \circ g)(x) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1$ . Domínio: $g$ exige $x \geq 0$ ; $f$ aceita qualquer real. Logo $\text{Dom}(f \circ g) = [0, +\infty)$ . Atenção: algebricamente $x + 1$ existe em $\mathbb{R}$ , mas o domínio herda a restrição de $g$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Aplique a definição. $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1$ .
2. Domínio de $g$ . $g(x) = \sqrt{x}$ exige $x \geq 0$ .
3. Domínio da composição. $\{x \in \text{Dom}(g) : g(x) \in \text{Dom}(f)\} = [0, +\infty)$ (pois $f$ aceita todos os reais).
4. Sanity check. Em $x = -1$ : $\sqrt{-1}$ não é real — a composição é indefinida ali, mesmo que $-1 + 1 = 0$ pareça válido.
Macete: ao compor funções, verifique o domínio antes de simplificar a expressão. A simplificação pode esconder restrições — erro clássico em ENEM e vestibulares.
Ex. 10.7Application
Encontre a inversa de $f(x) = 3^{x + 1}$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.3
Show solution
Inverter: $y = 3^{x+1} \Rightarrow x + 1 = \log_3 y \Rightarrow x = \log_3 y - 1$ . Trocando $x \leftrightarrow y$ : $f^{-1}(x) = \log_3 x - 1$ . Verifique: $f(f^{-1}(9)) = 3^{(\log_3 9 - 1) + 1} = 3^2 = 9$ ✓.
Ex. 10.8Understanding
Para $f(x) = 3^x$ , calcule TVM em $[0, 2]$ e compare com TVM em $[2, 4]$ . Qual é a conclusão conceitual?
Select the correct option
A função $f(x) = 3^x$ tem TVM crescente em qualquer par de intervalos de mesmo comprimentoA TVM de $3^x$ é constante — ela é exponencialTVM[0,2] $>$ TVM[2,4] porque $3^0 < 3^2$ TVM é sempre zero para exponencial
Select an option first
Solve online Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
TVM[0,2] $= (9-1)/2 = 4$ . TVM[2,4] $= (81-9)/2 = 36$ . A TVM aumentou — isso é a marca da exponencial: ela acelera. A TVM constante é a marca da afim; a TVM crescente linearmente é a marca da quadrática.
Ex. 10.9Application
Determine o domínio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 5}$ . Expresse em notação de intervalo.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.4
Show solution
Condição: $x - 3 \geq 0$ (raiz) e $x \neq 5$ (denominador). Logo $\text{Dom}(f) = [3, 5) \cup (5, +\infty)$ . Para a imagem: em $x = 3$ , $f(3) = 0$ ; quando $x \to 5^-$ , $f \to -\infty$ ; quando $x \to 5^+$ , $f \to +\infty$ ; quando $x \to +\infty$ , $f \to +\infty$ . Imagem $= (-\infty, 0] \cup (0, +\infty) = \mathbb{R}$ salvo análise mais cuidadosa — imagem completa = $(-\infty, 0] \cup (0, +\infty) \setminus \{\sqrt{x-3}/(x-5) = 0, x>5\} = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ na faixa $x > 5$ ... Simplificando: imagem = $\mathbb{R}$ .
Ex. 10.10Application
Determine $a$ para que $f(x) = (a - 1) x^2 + 3 x - 2$ tenha vértice em $x = 1$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
Vértice em $x_v = -b/(2a_q) = -3/(2(a-1)) = 1 \Rightarrow 2(a-1) = -3 \Rightarrow a = -1/2$ .
Ex. 10.11Application
A função $f(x) = (1/2)^{x - 1}$ é crescente ou decrescente? Justifique e determine a imagem.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.1
Show solution
Escreva $f(x) = (1/2)^{x-1} = 2 \cdot (1/2)^x$ . Como base $1/2 < 1$ , a exponencial é decrescente. Confirme: $f(0) = 2$ , $f(1) = 1$ , $f(2) = 0{,}5$ . Imagem: $(0, +\infty)$ (exponencial positiva).
Ex. 10.12Application
Resolva $\log_2(x + 3) + \log_2(x - 1) = 5$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.6
Show solution
Domínio: $x > -3$ e $x > 1$ , logo $x > 1$ . Soma de logs: $\log_2[(x+3)(x-1)] = 5 \Rightarrow (x+3)(x-1) = 32$ . Expandindo: $x^2 + 2x - 35 = 0$ . Bhaskara: $x = 5$ ou $x = -7$ . Filtrando pelo domínio ( $x > 1$ ): $x = 5$ .
Ex. 10.13Understanding
Qual é o domínio máximo de $f(x) = \sqrt{x-3}/(x-5)$ ?
Select the correct option
$\text{Dom}(f) = [3, 5) \cup (5, +\infty)$ $\text{Dom}(f) = [3, +\infty)$ $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\}$ $\text{Dom}(f) = (3, 5)$
Select an option first
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.4
Show solution
Raiz exige $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ . Denominador exige $x \neq 5$ . Interseção: $[3, +\infty) \cap \mathbb{R} \setminus \{5\} = [3, 5) \cup (5, +\infty)$ . O distrator A esquece o denominador; C esquece a raiz.
Ex. 10.14ApplicationAnswer key
Determine a inversa de $f(x) = 2x - 5$ e verifique que $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.8
Show solution
A inversa existe se $f$ é bijetora. $f$ é afim com coeficiente angular $a = 2 \neq 0$ : injetora e sobrejetora. Inversão: $y = 2x - 5 \Rightarrow x = (y + 5)/2$ . Logo $f^{-1}(x) = (x + 5)/2$ . Verificação: $f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot (x+5)/2 - 5 = x$ ✓.
Ex. 10.15Application
Para $f(x) = 3^x$ , calcule a TVM nos intervalos $[0, 2]$ e $[2, 4]$ .
Solve online Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
TVM[0,2] = $(3^2 - 3^0)/2 = 8/2 = 4$ . TVM[2,4] = $(3^4 - 3^2)/2 = 72/2 = 36$ . A TVM aumentou 9 vezes — exponencial multiplica a TVM a cada intervalo equivalente.
Ex. 10.16ApplicationAnswer key
Sejam $f(x) = 2x - 1$ e $g(x) = \sqrt{x}$ . Calcule $(g \circ f)(x)$ e determine seu domínio.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.4
Show solution
$g(f(x)) = g(2x-1) = \sqrt{2x-1}$ . Domínio: $g \circ f$ exige $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1/2$ . Logo $\text{Dom}(g \circ f) = [1/2, +\infty)$ . Compare com $(f \circ g)(x) = 2\sqrt{x} - 1$ com $\text{Dom} = [0, +\infty)$ — composição não é comutativa.
Ex. 10.17Application
Resolva $2^{x+1} = 16$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.6
Show solution
$2^{x+1} = 16 \Rightarrow 2^{x+1} = 2^4 \Rightarrow x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3$ . Verificação: $2^4 = 16$ ✓.
Ex. 10.18Application
Para $f(x) = x^2 - 5x + 6$ : (a) encontre as raízes; (b) determine o vértice; (c) esboce o gráfico indicando concavidade e imagem.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
Raízes de $f(x) = x^2 - 5x + 6$ : $(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2, x = 3$ . Vértice: $x_v = 5/2 = 2{,}5$ ; $y_v = 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25$ . Concavidade para cima (coef. $a = 1 > 0$ ). Imagem: $[-0{,}25, +\infty)$ .
Ex. 10.19ApplicationAnswer key
Encontre todos os $x > 0$ tais que $x^{\log_{10} x} = 100 x$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.6
Show solution
Aplique $\log_{10}$ em ambos os lados: $(\log x)^2 = 2 + \log x$ . Substitua $u = \log x$ : $u^2 - u - 2 = 0 \Rightarrow u = 2$ ou $u = -1$ . Logo $x = 100$ ou $x = 0{,}1$ .
Ex. 10.20Understanding
Dados $A = [1, 4)$ e $B = [2, 5]$ , determine $A \cup B$ e $A \cap B$ .
Select the correct option
$A \cup B = [1, 5]$ , $A \cap B = [2, 4)$ $A \cup B = [2, 4)$ , $A \cap B = [1, 5]$ $A \cup B = \mathbb{R}$ , $A \cap B = \emptyset$ $A \cup B = [1, 4)$ , $A \cap B = [2, 5]$
Select an option first
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §1.1
Show solution
$A = [1, 4)$ , $B = [2, 5]$ . União = menor extremo esquerdo até maior extremo direito: $[1, 5]$ . Interseção = sobreposição: $[2, 4)$ (o 4 não está em $A$ ). Os distradores B e D invertem os papéis da união e interseção.
Ex. 10.21Modeling
ENEM-style. Uma piscina é enchida em duas etapas: nas primeiras 2 h, vazão de 500 L/h; depois, 800 L/h. Modele $V(t)$ como função por partes e determine o tempo total para encher 6.000 L.
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 2
Show solution
Em 2 h: $V(2) = 1\,000$ L. Faltam $5\,000$ L à 800 L/h: $5\,000/800 = 6{,}25$ h. Total: $2 + 6{,}25 = 8{,}25$ h. Modelo por partes: $V(t) = 500t$ em $[0,2]$ ; $V(t) = 1\,000 + 800(t-2)$ em $t > 2$ .
Ex. 10.22Modeling
Uma cidade tem $P(t) = 50\,000 \cdot (1{,}025)^t$ (anos, a partir de 2020). Em qual ano a população atinge 100.000?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.7
Show solution
$100\,000 = 50\,000 \cdot (1{,}025)^t \Rightarrow (1{,}025)^t = 2 \Rightarrow t = \ln 2 / \ln 1{,}025 \approx 28{,}1$ anos. A partir de 2020: ano 2048.
Ex. 10.23Modeling
Capacitor: $V(t) = V_0 e^{-t/\tau}$ , com $\tau = 0{,}5$ s e $V_0 = 12$ V. (a) Tensão em $t = 1$ s. (b) Tempo para cair a 1 V. (c) Meia-vida (tempo para cair pela metade).
Solve online Lebl — Notes on Diffy Qs · §1.4
Show solution
(a) $V(1) = 12 e^{-2} \approx 1{,}62$ V. (b) $12 e^{-2t} = 1 \Rightarrow t = \ln 12/2 \approx 1{,}24$ s. (c) Meia-vida: $t = \ln 2/2 \approx 0{,}347$ s.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique os parâmetros. $V_0 = 12$ V, $\tau = 0{,}5$ s. Modelo: $V(t) = 12 e^{-t/0{,}5} = 12 e^{-2t}$ .
2. (a) Substitua $t = 1$ . $V(1) = 12 e^{-2} \approx 1{,}62$ V.
3. (b) Resolva $V(t) = 1$ . $e^{-2t} = 1/12 \Rightarrow -2t = -\ln 12 \Rightarrow t = \ln 12/2 \approx 1{,}24$ s.
4. (c) Resolva $V(t) = 6$ . $e^{-2t} = 1/2 \Rightarrow t = \ln 2/2 \approx 0{,}347$ s — meia-vida do circuito RC.
5. Sanity check. Em $5\tau = 2{,}5$ s: $12 e^{-5} \approx 0{,}08$ V — praticamente zero, conforme regra prática.
Macete: $\tau$ = tempo para cair a 37%; meia-vida = $\tau \ln 2 \approx 0{,}693\tau$ ; descarga praticamente completa em $5\tau$ .
Ex. 10.24Modeling
A renda familiar $R$ (em R$) aumenta linearmente com a escolaridade $e$ (anos de estudo): $R = 800 + 200 e$ . (a) Quanto a renda aumenta por ano de estudo? (b) Para qual $e$ a renda atinge R$ 5.000?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 2
Show solution
(a) Coeficiente angular de $R = 800 + 200e$ é 200 — renda aumenta R\$ 200 por ano de estudo. (b) $5\,000 = 800 + 200 e \Rightarrow e = 21$ anos.
Ex. 10.25ModelingAnswer key
Uma empresa tem custo $C(q) = 50 + 20 q + 0{,}5 q^2$ e receita $R(q) = 60 q$ . (a) Quando o lucro é zero? (b) Qual a quantidade que maximiza o lucro?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
$L(q) = -0{,}5 q^2 + 40q - 50$ . (a) Bhaskara: $q \approx 1{,}27$ ou $q \approx 78{,}73$ . (b) Vértice: $q^* = 40$ , $L_\max = 750$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $L(q) = R(q) - C(q)$ . $L = 60q - 50 - 20q - 0{,}5q^2 = -0{,}5q^2 + 40q - 50$ . Quadrática com $a = -0{,}5 < 0$ — parábola voltada para baixo.
2. (a) Raízes (break-even). $-0{,}5q^2 + 40q - 50 = 0$ . Multiplique por $-2$ : $q^2 - 80q + 100 = 0$ . $\Delta = 6\,400 - 400 = 6\,000$ . $q \approx 1{,}27$ ou $q \approx 78{,}73$ .
3. (b) Vértice (lucro máximo). $q^* = -40/(2 \cdot (-0{,}5)) = 40$ . $L(40) = -800 + 1\,600 - 50 = 750$ R\$.
4. Sanity check. Média das raízes: $(1{,}27 + 78{,}73)/2 = 40 = q^*$ ✓.
Macete econômico: para $L = -aq^2 + bq + c$ com $a > 0$ , o ótimo é $q^* = b/(2a)$ . É a regra de "maximização sem cálculo" de toda microeconomia introdutória.
Ex. 10.26Modeling
Cultura $A$ cresce com taxa $r_A = 0{,}05$ /h; cultura $B$ com $r_B = 0{,}10$ /h. Em $t = 0$ : $A = 1.000$ células, $B = 200$ . Quando $A$ e $B$ têm o mesmo tamanho?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6
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Igualar: $1\,000 e^{0{,}05t} = 200 e^{0{,}10t} \Rightarrow 5 = e^{0{,}05t} \Rightarrow t = \ln 5/0{,}05 \approx 32{,}2$ h.
Ex. 10.27Modeling
Nível sonoro: $L = 10 \log_{10}(I/I_0)$ dB. Dados $I = 10^{-6}$ W/m² e $I_0 = 10^{-12}$ W/m², calcule $L$ . Qual é a interpretação física da escala logarítmica aqui?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.7
Show solution
Acústica: $L = 10 \log_{10}(10^{-6}/10^{-12}) = 10 \log_{10}(10^6) = 10 \cdot 6 = 60$ dB. Cada fator de 10 em intensidade adiciona 10 dB — escala logarítmica comprime a faixa de percepção humana (de 10 a 140 dB).
Ex. 10.28ModelingAnswer key
Um carro percorre 60 km em 1 h e depois 90 km em 1,5 h. Calcule a velocidade média total.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.1
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Distância total: 150 km. Tempo total: 2,5 h. $v_m = 150/2{,}5 = 60$ km/h. Atenção: NÃO é a média aritmética de 60 e 90 (= 75 km/h) — é distância total sobre tempo total.
Ex. 10.29Modeling
Um remédio tem meia-vida de 3 h. Você toma 100 mg agora e outra dose de 100 mg em 6 h. Modele a concentração total $C(t)$ para $t \geq 0$ . Calcule $C(6)$ e $C(12)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.7
Show solution
Superposição: 1.ª dose decai como $100 \cdot (1/2)^{t/3}$ . 2.ª dose a partir de $t = 6$ : $100 \cdot (1/2)^{(t-6)/3}$ . Em $t = 6$ : $C = 100 \cdot (1/2)^2 + 100 = 25 + 100 = 125$ mg. Em $t = 12$ : $C = 100 \cdot (1/2)^4 + 100 \cdot (1/2)^2 = 6{,}25 + 25 = 31{,}25$ mg.
Ex. 10.30Modeling
$P(t) = 200/(1 + 9 e^{-0{,}5 t})$ (modelo logístico). (a) Capacidade de suporte ( $t \to \infty$ ). (b) Em que tempo $t$ a população atinge 100 (metade da capacidade)?
Solve online Lebl — Notes on Diffy Qs · §1.5
Show solution
Capacidade de suporte: quando $t \to \infty$ , $e^{-0{,}5t} \to 0$ , logo $P \to 200$ . Tempo para metade (100): $200/(1+9e^{-0{,}5t}) = 100 \Rightarrow t = 2\ln 9 \approx 4{,}4$ . Este é o ponto de inflexão da logística.
Ex. 10.31Modeling
Operário A: salário fixo R$ 3.000/mês. Operário B: salário $0{,}1 \cdot V$ (V = vendas mensais). Para qual volume $V$ o salário de B excede o de A?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 2
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Condição: $0{,}1 V > 3\,000 \Rightarrow V > 30\,000$ R\$/mês. Interpretação: com vendas acima de R\$ 30.000, o salário variável supera o fixo — o vendedor B tem incentivo de desempenho.
Ex. 10.32Modeling
Custo médio: $C(q) = (1\,000 + 5 q)/q$ . Reescreva como soma e determine o comportamento quando $q \to \infty$ .
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 4
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Reescreva: $C(q) = 1\,000/q + 5$ . Para $q$ grande, $1\,000/q \to 0$ , então $C(q) \to 5$ . Interpretação: custo fixo (R\$ 1.000) se dilui com o volume; custo médio converge ao custo variável unitário (R\$ 5).
Ex. 10.33Modeling
Um investimento de R$ 1.000 rende juros contínuos a 5% ao ano: $M(t) = 1000 e^{0{,}05 t}$ . Calcule a TVM no primeiro ano $[0, 1]$ e no décimo ano $[10, 11]$ . Por que a TVM é maior no décimo ano?
Solve online Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
TVM em $[0, 1]$ : $(e^{0{,}05 \cdot 1} - 1\,000)/(1) = 1\,000 e^{0{,}05} - 1\,000 \approx 51{,}27$ R\$/ano. TVM em $[10, 11]$ : $1\,000(e^{0{,}05 \cdot 11} - e^{0{,}05 \cdot 10}) = 1\,000 e^{0{,}5}(e^{0{,}05} - 1) \approx 84{,}54$ R\$/ano. No décimo ano a conta cresce mais rapidamente — TVM da exponencial é proporcional ao valor acumulado.
Ex. 10.34ModelingAnswer key
Em quanto tempo o capital dobra a juros compostos de 5% ao ano? Use logaritmo. Confirme com a "regra do 72" ( $n \approx 72/r$ ).
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.7
Show solution
$2\,000 = 1\,000 \cdot (1{,}05)^n \Rightarrow (1{,}05)^n = 2 \Rightarrow n = \ln 2/\ln 1{,}05 \approx 14{,}2$ anos. Regra do 72: $72/5 = 14{,}4$ anos — excelente aproximação mental.
Ex. 10.35ModelingAnswer key
Carbono-14 tem meia-vida de 5.730 anos. Uma amostra retém 75% do carbono original. Qual a idade estimada da amostra?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.7
Show solution
Decaimento: $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$ . Aqui $T_{1/2} = 5\,730$ anos. Com $N/N_0 = 0{,}75$ : $0{,}75 = (1/2)^{t/5730} \Rightarrow t = 5\,730 \cdot \log_{1/2}(0{,}75) = 5\,730 \cdot \ln(0{,}75)/\ln(0{,}5) \approx 2\,380$ anos.
Ex. 10.36Modeling
Para $f(x) = x^2$ , calcule a TVM no intervalo $[1, 4]$ . Interprete geometricamente como inclinação de uma reta secante.
Solve online Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
TVM no intervalo $[1, 4]$ : $(f(4) - f(1))/(4-1) = (16 - 1)/3 = 5$ . Interpretação: de $x = 1$ a $x = 4$ , a função cresce em média 5 unidades por unidade de $x$ . Compare com a afim $f(x) = x$ (TVM = 1) — a quadrática cresce mais rápido neste intervalo.
Ex. 10.37ModelingAnswer key
Química: $p_H = -\log_{10}[\text{H}^+]$ . Uma solução de suco de laranja tem $[\text{H}^+] = 2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calcule o pH.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.7
Show solution
$p_H = -\log_{10}(2 \times 10^{-4}) = -(\log_{10} 2 + \log_{10} 10^{-4}) = -(0{,}301 - 4) = 3{,}699 \approx 3{,}7$ . Suco de laranja é ácido (pH menor que 7).
Ex. 10.38Modeling
Mostre que a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[a, b]$ é $a + b$ . Use esse resultado para calcular a TVM nos intervalos $[1, 3]$ e $[0, 4]$ .
Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
TVM quadrática em $[a, b]$ : $(f(b) - f(a))/(b - a) = (b^2 - a^2)/(b-a) = a + b$ . Para $f(x) = x^2$ no intervalo $[1, 3]$ : TVM $= 1 + 3 = 4$ . Para $[0, 4]$ : TVM $= 0 + 4 = 4$ . Conclusão: intervalos de mesmo ponto médio têm a mesma TVM para $f(x) = x^2$ .
Ex. 10.39ChallengeAnswer key
EJU-style. Para $f(x) = x^2 - 6 x + 8$ : (a) raízes; (b) vértice; (c) maior intervalo onde $f$ é injetora; (d) inversa nesse intervalo.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
(a) Raízes: $(x-2)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 2, 4$ . (b) Vértice: $x_v = 3$ , $y_v = -1$ . (c) Para injetora, restrinja a $[3, +\infty)$ . (d) Inversa: $f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x+1}$ , com $\text{Dom}(f^{-1}) = [-1, +\infty)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. (a) Raízes. $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) = 0$ .
2. (b) Vértice. $x_v = 6/2 = 3$ ; $y_v = 9 - 18 + 8 = -1$ . Vértice $(3, -1)$ .
3. (c) Injetividade. Quadrática com concavidade positiva é decrescente em $(-\infty, 3]$ e crescente em $[3, +\infty)$ . Escolha um ramo — convencionalmente $[3, +\infty)$ .
4. (d) Inversa. Complete o quadrado: $f(x) = (x-3)^2 - 1$ . Inverta: $y = (x-3)^2 - 1 \Rightarrow x = 3 + \sqrt{y+1}$ . Logo $f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x+1}$ .
5. Check. $f^{-1}(0) = 4$ ; $f(4) = 0$ ✓.
Macete: para inverter quadrática, complete o quadrado primeiro — fica claro qual raiz escolher com base no ramo de injetividade.
Ex. 10.40Challenge
Resolva o sistema $\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5 \\ x - y = 16 \end{cases}$ com $x, y > 0$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §6.4
Show solution
Resolva o sistema: Da 1.ª equação: $\log_2(xy) = 5 \Rightarrow xy = 32$ . Da 2.ª: $y = x - 16$ . Substituindo: $x(x-16) = 32 \Rightarrow x^2 - 16x - 32 = 0$ . Bhaskara: $x = 8 \pm 4\sqrt{6}$ . Para $x, y > 0$ : $x = 8 + 4\sqrt{6} \approx 17{,}8$ , $y = 4\sqrt{6} - 8 \approx 1{,}8$ .
Ex. 10.41Challenge
Resolva o sistema de inequações $\begin{cases} 1 \leq x < 4 \\ (x - 3)^2 \leq 1 \end{cases}$ . Expresse a solução em notação de intervalo.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §1.3
Show solution
Interseção do sistema: $1 \leq x < 4$ e $(x-3)^2 \leq 1 \Rightarrow 2 \leq x \leq 4$ . Interseção: $[2, 4) \cap [2, 4] = [2, 4)$ .
Ex. 10.42Challenge
Para $f(x) = (2 x - 1)/(x + 3)$ : (a) determine domínio e imagem; (b) verifique se é injetora; (c) encontre a inversa $f^{-1}$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §4.1
Show solution
(a) Denominador zero em $x = -3$ ; assíntota horizontal em $y = 2$ : $\text{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$ , $\text{Im} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . (b) Injetora se $ad - bc = 2 \cdot 3 - (-1)(1) = 7 \neq 0$ . (c) Inversão: $y(x+3) = 2x - 1 \Rightarrow x(y-2) = -3y - 1 \Rightarrow f^{-1}(x) = (3x+1)/(2-x)$ .
Ex. 10.43ChallengeAnswer key
Determine $a$ tal que $f(x) = e^{2 x} + a e^x + 1$ tenha mínimo igual a zero em $\mathbb{R}$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
Substitua $u = e^x$ ( $u > 0$ ): $g(u) = u^2 + au + 1$ . Vértice em $u^* = -a/2$ ; mínimo = $1 - a^2/4$ . Para mínimo zero: $a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$ . Para $u^* = -a/2 > 0$ : exige $a < 0$ . Logo $a = -2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Substitua $u = e^x > 0$ . $f = u^2 + au + 1$ — quadrática em $u$ com concavidade positiva.
2. Vértice. Mínimo em $u^* = -a/2$ ; valor mínimo: $f_\min = 1 - a^2/4$ .
3. Imponha $f_\min = 0$ . $1 - a^2/4 = 0 \Rightarrow a = \pm 2$ .
4. Restrição $u^* > 0$ . $-a/2 > 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow a = -2$ .
5. Verificação. $a = -2$ : mínimo em $u^* = 1$ , i.e. $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ . $f(0) = 1 - 2 + 1 = 0$ ✓.
Macete: sempre que aparecer $e^{2x}$ e $e^x$ juntos, substitua $u = e^x$ . Não esqueça a restrição $u > 0$ — ela filtra as soluções inválidas.
Ex. 10.44Challenge
Suneung-style. Para $f(x) = a x + b$ tal que $f(f(x)) = 4 x + 9$ , encontre todos os pares $(a, b)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §5.3
Show solution
$f(f(x)) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b = 4x + 9 \Rightarrow a^2 = 4$ e $b(a+1) = 9$ . Se $a = 2$ : $3b = 9 \Rightarrow b = 3$ . Se $a = -2$ : $-b = 9 \Rightarrow b = -9$ . Pares: $(2, 3)$ ou $(-2, -9)$ .
Ex. 10.45ChallengeAnswer key
Ponte para o cálculo. Calcule a TVM de $f(x) = x^2$ no intervalo $[x_0, x_0 + h]$ em função de $x_0$ e $h$ . O que acontece quando $h \to 0$ ? O que essa expressão representa?
Solve online Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
TVM de $f(x) = x^2$ em $[x_0, x_0 + h]$ : $((x_0 + h)^2 - x_0^2)/h = (2x_0 h + h^2)/h = 2x_0 + h$ . Quando $h \to 0$ : TVM $\to 2x_0$ = derivada de $x^2$ em $x_0$ . Esta é a definição formal de derivada — o limite da TVM quando o intervalo encolhe a um ponto.
Ex. 10.46Challenge
Encontre todos os $x > 0$ tais que $x^{\log_{10} x} = 100 x$ . (Aplique log dos dois lados e substitua $u = \log x$ .)
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.6
Show solution
Aplique $\log_{10}$ : $(\log x)^2 = 2 + \log x$ . Substitua $u = \log x$ : $u^2 - u - 2 = 0 \Rightarrow u = 2$ ou $u = -1$ . Logo $x = 100$ ou $x = 1/10$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Log dos dois lados. $\log_{10}(x^{\log x}) = \log_{10}(100x)$ . Esquerda: $(\log x)^2$ . Direita: $2 + \log x$ .
2. Substitua $u = \log x$ . $u^2 - u - 2 = 0$ .
3. Fatore. $(u-2)(u+1) = 0$ .
4. Volte para $x$ . $x = 100$ ou $x = 0{,}1$ .
5. Verifique. $100^{\log 100} = 100^2 = 10\,000 = 100 \cdot 100$ ✓. $(0{,}1)^{-1} = 10 = 100 \cdot 0{,}1$ ✓.
Macete: sempre que $x$ aparece como base e expoente simultaneamente, "log dos dois lados" transforma a equação. Aparece em problemas de Olimpíadas e em ML (máxima verossimilhança).
Ex. 10.47Challenge
Abitur-style. Simplifique $\log_2 x \cdot \log_x 8$ para $x > 0, x \neq 1$ . (Use a regra de mudança de base.)
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §6.1
Show solution
Regra da mudança de base: $\log_b x = \ln x / \ln b$ . Portanto $\log_2 x \cdot \log_x 8 = (\ln x/\ln 2) \cdot (\ln 8/\ln x) = \ln 8/\ln 2 = \log_2 8 = 3$ . A mudança de base converte qualquer logaritmo para natural — a relação entre dois logs na mesma variável cancela $\ln x$ .
Ex. 10.48Challenge
Determine o domínio e a imagem de $f(x) = \ln(\ln x)$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §6.3
Show solution
Identifique: $\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} : x > 0, x \neq 1\}$ . $f(x) = \ln(\ln x)$ : precisa $\ln x > 0 \Rightarrow x > 1$ . Portanto $\text{Dom}(f) = (1, +\infty)$ . Quando $x \to 1^+$ : $f \to -\infty$ . Quando $x \to +\infty$ : $f \to +\infty$ . Imagem: $\mathbb{R}$ .
Ex. 10.49Challenge
Desafio integrador. (a) Mostre que $f(x) = e^x$ pode ser decomposta como soma de uma parte par e uma parte ímpar. (b) Identifique essas partes pelos nomes matemáticos canônicos.
Solve online Hammack — Book of Proof · §4
Show solution
Sejam $p(x) = [f(x) + f(-x)]/2$ (componente par) e $i(x) = [f(x) - f(-x)]/2$ (componente ímpar). Verificação: $p(-x) = p(x)$ ✓ e $i(-x) = -i(x)$ ✓. Para $f(x) = e^x$ : $p(x) = (e^x + e^{-x})/2 = \cosh x$ (cosseno hiperbólico) e $i(x) = (e^x - e^{-x})/2 = \sinh x$ (seno hiperbólico). A decomposição mostra que $e^x = \cosh x + \sinh x$ .
Ex. 10.50ProofAnswer key
Demonstre que toda função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ pode ser escrita como soma de uma função par e uma ímpar.
Hammack — Book of Proof · §4
Show solution
Defina $p(x) = (f(x) + f(-x))/2$ e $i(x) = (f(x) - f(-x))/2$ . Então: $p(-x) = (f(-x) + f(x))/2 = p(x)$ — par. $i(-x) = (f(-x) - f(x))/2 = -i(x)$ — ímpar. E $p(x) + i(x) = f(x)$ . ∎
Ex. 10.51Proof
Demonstre que se $a, b > 0$ e $a + b = c$ (constante), então $a^2 + b^2$ é mínimo quando $a = b = c/2$ .
OpenStax College Algebra 2e · §3.2
Show solution
Como $b = c - a$ , escreva $g(a) = a^2 + (c-a)^2 = 2a^2 - 2ac + c^2$ . Quadrática com $A = 2 > 0$ ; mínimo em $a^* = c/2$ . Logo $a = b = c/2$ . Mínimo: $g(c/2) = c^2/2$ . ∎
Ex. 10.52Proof
Demonstre que $\log_b(x y) = \log_b x + \log_b y$ para $x, y > 0$ e $b > 0, b \neq 1$ .
Hammack — Book of Proof · §4
Show solution
Por definição: $b^{\log_b x} = x$ e $b^{\log_b y} = y$ . Produto: $b^{\log_b x} \cdot b^{\log_b y} = xy$ . Propriedade de potência: $b^{\log_b x + \log_b y} = xy$ . Aplicando $\log_b$ : $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$ . ∎
Ex. 10.53ProofAnswer key
Demonstre que a composição de duas funções injetoras é injetora.
Hammack — Book of Proof · §12
Show solution
Se $f$ e $g$ são injetoras, mostre que $f \circ g$ é injetora. Suponha $(f \circ g)(x_1) = (f \circ g)(x_2)$ , i.e. $f(g(x_1)) = f(g(x_2))$ . Como $f$ é injetora: $g(x_1) = g(x_2)$ . Como $g$ é injetora: $x_1 = x_2$ . ∎
Ex. 10.54Proof
Demonstre que $f(x) = a^x$ é estritamente crescente quando $a > 1$ , usando a definição de função crescente.
Stitz-Zeager Precalculus · §6.1
Show solution
Para $a > 1$ e $x_1 < x_2$ : mostre que $a^{x_1} < a^{x_2}$ . Diferença: $a^{x_2} - a^{x_1} = a^{x_1}(a^{x_2 - x_1} - 1)$ . Como $a^{x_1} > 0$ e $x_2 - x_1 > 0$ : $a^{x_2 - x_1} > a^0 = 1$ (exponencial crescente). Logo $a^{x_2} - a^{x_1} > 0$ , ou seja $a^{x_1} < a^{x_2}$ . ∎
Ex. 10.55Proof
Demonstre que a taxa de variação média de $f(x) = ax + b$ é sempre igual a $a$ , independente do intervalo escolhido. Contraste com o comportamento da função quadrática.
Active Calculus 2.0 · §1.3
Show solution
Para $f(x) = ax + b$ com $a \neq 0$ , a TVM em qualquer $[x_1, x_2]$ (com $x_1 \neq x_2$ ) é: $(f(x_2) - f(x_1))/(x_2 - x_1) = (ax_2 + b - ax_1 - b)/(x_2 - x_1) = a(x_2 - x_1)/(x_2 - x_1) = a$ . A TVM é sempre $a$ , independente do intervalo. ∎ Esse resultado é o oposto da quadrática (TVM = $a + b$ , depende de $a$ e $b$ ) e da exponencial (TVM varia com o intervalo).

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax — College Algebra 2e — Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §3–6. Fonte central deste workshop.
Stitz–Zeager Precalculus — Stitz, Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · cap. 1, 4–6.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · cap. 1–6. Fonte do bloco de modelagem.
Active Calculus 2.0 — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §1.3 (TVM).
OpenStax — Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1.
Notes on Diffy Qs — Jiří Lebl · 2024, v6.6 · EN · CC-BY-SA · §1.4–1.5.
Hammack — Book of Proof — Richard Hammack · 2018 · EN · livre · cap. 4, 12.

Catálogo completo (80+ livros em 12 idiomas) em /livros.

Roteiro do trimestre

Arco conceitual do trimestre

Mapa de pré-requisitos

Auto-avaliação sugerida

Exemplos resolvidos

Fontes