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Lição 11 — Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Seno, cosseno e tangente como razões entre lados do triângulo retângulo. Da Babilônia (1800 a.C.) até o GPS do seu celular.

Used in: 1.º ano EM · Física básica (vetores) · Topografia · Math I japonês · Klasse 10 alemã

\sin\theta = \frac{\text{op}}{\text{hip}},\quad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hip}},\quad \tan\theta = \frac{\text{op}}{\text{adj}}

Razões trigonométricas no triângulo retângulo. Definidas para um ângulo agudo θ; só dependem do ângulo, nunca do tamanho do triângulo. É a base de toda a trigonometria.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Triângulo retângulo. Seno = oposto/hipotenusa, cosseno = adjacente/hipotenusa, tangente = oposto/adjacente. Mnemônico SOH-CAH-TOA.

Por que as razões só dependem do ângulo?

Semelhança de triângulos (Tales): triângulos com os mesmos três ângulos são semelhantes — todos os seus lados são proporcionais. Num triângulo retângulo com ângulo agudo $\theta$ , qualquer ampliação ou redução preserva os três ângulos (90°, $\theta$ e $90°-\theta$ ). A razão $a/c$ é portanto a mesma para todos esses triângulos — depende apenas de $\theta$ .

"If two right triangles have an acute angle of equal measure, the triangles are similar; therefore, the ratios of the corresponding sides will be equal." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §5.2

Identidade fundamental

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

(1)

what this means · Vem de a² + b² = c² (Pitágoras), dividindo ambos os lados por c²: (a/c)² + (b/c)² = 1, ou seja sin²θ + cos²θ = 1.

Valores notáveis — tabela e derivação

Os valores de 30°, 45° e 60° surgem de dois triângulos elementares:

Esquerda: metade de um triângulo equilátero de lado 2 gera o 30-60-90. Direita: diagonal do quadrado de lado 1 gera o 45-45-90.

$\theta$	$\sin\theta$	$\cos\theta$	$\tan\theta$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Derivação 30-60-90: Pega um triângulo equilátero de lado 2 e traça a altura, bissectando a base. Obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa 2, base 1 e altura $\sqrt{4-1} = \sqrt{3}$ . O ângulo menor é 30° (base), o maior é 60° (topo).

Derivação 45-45-90: Triângulo retângulo isósceles tem catetos iguais $a = b$ . Por Pitágoras: $c = a\sqrt{2}$ . Logo $\sin 45° = a/(a\sqrt{2}) = \sqrt{2}/2$ .

Exemplos resolvidos

Example— 1· Calcular sin, cos, tan num triângulo 3-4-5 (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo, o cateto oposto a $\theta$ mede 3 e o cateto adjacente mede 4. Calcule $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $\tan\theta$ .

Estratégia: Aplicar SOH-CAH-TOA diretamente. Antes, obter a hipotenusa por Pitágoras.

Resolução:

Hipotenusa: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ .
Razões:

$\sin\theta = \frac{3}{5}, \quad \cos\theta = \frac{4}{5}, \quad \tan\theta = \frac{3}{4}$

Verificação (identidade pitagórica): $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Lados de um triângulo 30-60-90 com hipotenusa dada (aplicação)

Problema: Num triângulo retângulo com ângulo agudo $30°$ e hipotenusa $20$ cm, calcule os dois catetos.

Estratégia: Usar os valores notáveis $\sin 30° = 1/2$ e $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ .

Resolução:

Cateto oposto a 30°: $\sin 30° = \text{op}/20 \Rightarrow \text{op} = 20 \times 1/2 = 10$ cm.
Cateto adjacente a 30°: $\cos 30° = \text{adj}/20 \Rightarrow \text{adj} = 20 \times \sqrt{3}/2 = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ cm.

Verificação (Pitágoras): $10^2 + (10\sqrt{3})^2 = 100 + 300 = 400 = 20^2$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Altura de prédio por ângulo de elevação (intermediário)

Problema: Um observador está a 50 m da base de um prédio. O ângulo de elevação até o topo é $40°$ . Determine a altura do prédio. (Dado: $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O observador, a base do prédio e o topo formam um triângulo retângulo. A altura é o cateto oposto ao ângulo de $40°$ ; a distância horizontal é o cateto adjacente. A razão correta é a tangente.

Resolução:

$\tan 40° = h/50$
$h = 50 \times 0{,}839 \approx 41{,}95$ m.

Verificação: Linha de visada $\approx \sqrt{42^2 + 50^2} \approx 65{,}3$ m; $\sin 40° \approx 42/65{,}3 \approx 0{,}643$ . Bate com a tabela. ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Applications) — CC-BY 4.0.

Example— 4· Distância horizontal por ângulo de depressão (avançado)

Problema: Um drone voa a $100$ m de altura e detecta uma pessoa no chão sob ângulo de depressão de $25°$ (medido para baixo a partir da horizontal). Qual a distância horizontal entre o drone e a pessoa? (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ .)

Estratégia: O ângulo de depressão no drone é alternos internos com o ângulo de elevação que a pessoa veria. Logo no triângulo retângulo "drone–projeção no chão–pessoa", o ângulo agudo em cima é $25°$ , oposto é a altura $100$ m e o adjacente é a distância $d$ .

Resolução:

$\tan 25° = 100/d$
$d = 100/0{,}466 \approx 214{,}6$ m.

Verificação: $\arctan(100/214{,}6) \approx 25°$ . ✓

Fonte. OpenStax — Algebra and Trigonometry 2e §5.2 (Elevation/Depression) — CC-BY 4.0.

Example— 5· Altura de morro por dois ângulos de visada (modelagem real)

Problema: Um topógrafo em $A$ vê o topo de um morro sob ângulo de elevação $25°$ . Caminha $100$ m em direção ao morro até $B$ e o ângulo passa a $40°$ . Calcule a altura $h$ . (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ e $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)

Estratégia: O pé do morro está a $x$ m de $B$ . Obtemos duas equações em $h$ e $x$ , que resolvemos por substituição.

Resolução:

Triângulo desde $B$ : $h = x\tan 40°$ .
Triângulo desde $A$ : $h = (x + 100)\tan 25°$ .
Igualando: $x(0{,}839 - 0{,}466) = 100 \times 0{,}466 \Rightarrow x \approx 46{,}6/0{,}373 \approx 124{,}9$ m.
$h = 124{,}9 \times 0{,}839 \approx 104{,}8$ m.

Verificação: $\tan(\text{ângulo em }A) \approx 104{,}8/224{,}9 \approx 0{,}466$ , correspondendo a $25°$ . ✓

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus §10.3 — CC-BY-NC-SA.

Exercise list

50 exercises · 12 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 12Modeling 15Challenge 3Proof 2

Ex. 11.1Application
Num triângulo retângulo, o ângulo agudo $\theta$ tem cateto oposto $3$ e cateto adjacente $4$ . Calcule $\sin\theta$ , $\cos\theta$ e $\tan\theta$ . Verifique com a identidade pitagórica.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Hipotenusa: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Logo $\sin\theta = 3/5$ , $\cos\theta = 4/5$ , $\tan\theta = 3/4$ . Verificação: $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1$ . ✓
Show step-by-step (with the why)
1. Identificar os lados. Cateto oposto = 3, cateto adjacente = 4. Precisamos da hipotenusa.
2. Pitágoras. $c^2 = 3^2 + 4^2 = 25 \Rightarrow c = 5$ . (Triângulo 3-4-5 — o mais clássico dos pitagóricos.)
3. SOH-CAH-TOA. $\sin\theta = 3/5$ , $\cos\theta = 4/5$ , $\tan\theta = 3/4$ .
4. Verificar. $(3/5)^2 + (4/5)^2 = 9/25 + 16/25 = 1$ . ✓
Macete: o triângulo 3-4-5 é o "padrão de fábrica". Decore essas frações — aparecem em metade dos problemas.
Ex. 11.2Application
Um triângulo retângulo tem catetos $5$ e $12$ . Calcule a hipotenusa e $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ do ângulo oposto ao cateto de medida $5$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Pitágoras: $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$ . Para o ângulo oposto ao cateto 5: $\sin\theta = 5/13$ , $\cos\theta = 12/13$ , $\tan\theta = 5/12$ .
Ex. 11.3Application
Hipotenusa $= 13$ e cateto oposto a $\theta$ vale $5$ . Calcule $\sin\theta$ e $\cos\theta$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Pitágoras: cateto adjacente $b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ . Logo $\sin\theta = 5/13$ e $\cos\theta = 12/13$ .
Ex. 11.4Application
Derive os valores exatos de $\sin 30°$ , $\cos 30°$ e $\tan 30°$ a partir do triângulo 30-60-90. Não use a tabela — construa o triângulo.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Valores notáveis: $\sin 30° = 1/2$ , $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ , $\tan 30° = \sin/\cos = (1/2)/(\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3$ . Derivação: metade do triângulo equilátero de lado 2 dá cateto oposto = 1, cateto adjacente = $\sqrt{3}$ , hipotenusa = 2.
Show step-by-step (with the why)
1. Construir o triângulo. Tome um triângulo equilátero de lado 2. Trace a altura — ela bisecciona a base e cria um triângulo retângulo com hipotenusa 2, base $1$ e altura $h = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ .
2. Identificar os ângulos. O ângulo na base (menor) é 30°; no topo (maior) é 60°.
3. Aplicar SOH-CAH-TOA para 30°. Oposto a 30° é 1, adjacente é $\sqrt{3}$ , hipotenusa é 2. Logo $\sin 30° = 1/2$ , $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ .
4. Tangente. $\tan 30° = (1/2)/(\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3$ (racionalizado).
Macete: esboce sempre o triângulo metade-equilátero em provas. Mais rápido que decorar a tabela.
Ex. 11.5Application
A partir do mesmo triângulo 30-60-90 do exercício anterior, derive $\sin 60°$ , $\cos 60°$ e $\tan 60°$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Mesmo triângulo 30-60-90, agora olhando o ângulo de 60°. Oposto a 60° é $\sqrt{3}$ , adjacente é 1, hipotenusa é 2. Logo $\sin 60° = \sqrt{3}/2$ , $\cos 60° = 1/2$ , $\tan 60° = \sqrt{3}/1 = \sqrt{3}$ .
Ex. 11.6Application
Derive $\sin 45°$ , $\cos 45°$ e $\tan 45°$ a partir do triângulo 45-45-90. Construa o triângulo e justifique cada passo.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Triângulo isósceles 45-45-90 com catetos iguais a $a$ e hipotenusa $a\sqrt{2}$ . $\sin 45° = a/(a\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2$ . Idem para o cosseno. $\tan 45° = a/a = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Construir o triângulo isósceles. Um triângulo retângulo cujos ângulos agudos são iguais tem cada um valendo 45°. Catetos iguais: $a = b$ .
2. Pitágoras. $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow c = a\sqrt{2}$ .
3. Aplicar definições. $\sin 45° = a/(a\sqrt{2}) = 1/\sqrt{2}$ . Racionalizando: $= \sqrt{2}/2$ . Idem para o cosseno.
4. Tangente. $\tan 45° = a/a = 1$ .
5. Verificar. $(\sqrt{2}/2)^2 + (\sqrt{2}/2)^2 = 1/2 + 1/2 = 1$ . ✓
Macete: 45° é o único ângulo agudo com seno = cosseno. É o ângulo da diagonal do quadrado.
Ex. 11.7Application
Se $\sin\theta = \sqrt{3}/2$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$ ?
Solve online Wikilivros — Trigonometria · Razões em ângulos notáveis
Show solution
Pela tabela dos notáveis, $\sin 60° = \sqrt{3}/2$ . Como o seno é estritamente crescente em $(0°, 90°)$ , esse é o único ângulo agudo com esse valor.
Ex. 11.8ApplicationAnswer key
Se $\cos\theta = 1/2$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$ ?
Solve online Wikilivros — Trigonometria · Razões em ângulos notáveis
Show solution
Tabela dos notáveis: $\cos 60° = 1/2$ . O cosseno é estritamente decrescente em $(0°, 90°)$ — valor único para cada entrada.
Ex. 11.9Application
Se $\tan\theta = 1$ e $\theta$ é agudo, qual o valor de $\theta$ ?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Tabela: $\tan 45° = 1$ . É o único ângulo agudo onde seno e cosseno são iguais, portanto sua razão é 1.
Ex. 11.10Application
Num triângulo $30°$ - $60°$ - $90°$ com hipotenusa $10$ , calcule os dois catetos. Verifique com Pitágoras.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Cateto oposto a 30°: $10 \sin 30° = 10 \times (1/2) = 5$ . Cateto oposto a 60° (= adjacente a 30°): $10 \cos 30° = 10 \times (\sqrt{3}/2) = 5\sqrt{3}$ . Verificação por Pitágoras: $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$ . ✓
Ex. 11.11Application
Se $\sin\theta = 3/5$ e $\theta$ é agudo, calcule $\cos\theta$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Pitagórica: $\cos^2\theta = 1 - (3/5)^2 = 16/25$ . Como $\theta$ é agudo, $\cos\theta > 0$ , então $\cos\theta = 4/5$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reconhecer o padrão. Conhecemos $\sin\theta$ e queremos $\cos\theta$ — o caminho mais curto é a identidade fundamental.
2. Aplicar a identidade. $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - 9/25 = 16/25$ .
3. Tirar raiz. $\cos\theta = \pm 4/5$ .
4. Decidir o sinal. $\theta$ é agudo (1.º quadrante), logo $\cos > 0$ . Resposta: $4/5$ .
Atalho: reconheça o triângulo 3-4-5 escondido. Cateto = 3, hip = 5, adj = 4 — sai direto pela definição.
Ex. 11.12Application
Se $\cos\theta = 5/13$ e $\theta$ é agudo, calcule $\sin\theta$ e $\tan\theta$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Pitagórica: $\sin^2\theta = 1 - (5/13)^2 = 144/169$ , então $\sin\theta = 12/13$ (positivo, pois agudo). $\tan\theta = \sin/\cos = (12/13)/(5/13) = 12/5$ .
Ex. 11.13ApplicationAnswer key
Se $\tan\theta = 2/3$ e $\theta$ é agudo, calcule $\sin\theta$ e $\cos\theta$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Construa triângulo retângulo auxiliar com cateto oposto 2 e adjacente 3. Hipotenusa: $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ . Logo $\sin\theta = 2/\sqrt{13} = 2\sqrt{13}/13$ e $\cos\theta = 3/\sqrt{13} = 3\sqrt{13}/13$ .
Ex. 11.14UnderstandingAnswer key
Verifique numericamente a identidade $\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1$ usando os valores notáveis. Em seguida verifique para $45°$ e para $60°$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
$\sin^2 30° + \cos^2 30° = (1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1$ . ✓ A identidade vale para todo ângulo.
Ex. 11.15Understanding
Mostre que $\tan\theta = \sin\theta / \cos\theta$ a partir das definições no triângulo retângulo.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Pelas definições no triângulo retângulo: $\sin\theta/\cos\theta = (a/c)/(b/c) = a/b = \tan\theta$ . ∎
Ex. 11.16Understanding
Mostre que $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ diretamente a partir do triângulo retângulo.
Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Num triângulo retângulo, os ângulos agudos somam $90°$ . O cateto oposto a $\theta$ é o cateto adjacente a $90° - \theta$ . Logo $\sin(90° - \theta) = (\text{adj a }\theta)/\text{hip} = \cos\theta$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Soma dos ângulos agudos. Em todo triângulo retângulo, se um agudo é $\theta$ , o outro é $90° - \theta$ .
2. Trocar de vértice. Olhe o triângulo a partir do vértice do ângulo $90° - \theta$ . O lado "oposto a $\theta$ " torna-se o "adjacente a $90° - \theta$ ". A hipotenusa não muda.
3. Aplicar definições. $\sin(90° - \theta) = (\text{adj a }\theta)/\text{hip} = b/c = \cos\theta$ .
4. Conclusão. $\sin(90° - \theta) = \cos\theta$ . Por simetria: $\cos(90° - \theta) = \sin\theta$ .
Curiosidade: é por isso que a função se chama "co-seno" — significa "complemento do seno". O cosseno de um ângulo é o seno do seu complemento.
Ex. 11.17Understanding
Compare $\sin 60°$ e $\cos 60°$ . Qual é maior? Por quê?
Select the correct option
$\sin 60° > \cos 60°$ , pois $\sqrt{3}/2 > 1/2$ $\cos 60° > \sin 60°$ , pois $1/2 > \sqrt{3}/2$ São iguais — seno e cosseno de um mesmo ângulo sempre coincidemDepende do triângulo escolhido
Select an option first
Solve online Wikilivros — Trigonometria · Razões em ângulos notáveis
Show solution
$\sin 60° = \sqrt{3}/2 \approx 0{,}866$ e $\cos 60° = 1/2 = 0{,}5$ . O seno é maior. Em geral, para $\theta > 45°$ agudo, $\sin\theta > \cos\theta$ ; para $\theta < 45°$ , $\sin\theta < \cos\theta$ .
Ex. 11.18Understanding
Mostre que $0 < \sin\theta < 1$ para todo $\theta$ agudo.
Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo (é o lado oposto ao ângulo reto, que é o maior ângulo). Logo cateto oposto $<$ hipotenusa, portanto $\sin\theta = \text{op}/\text{hip} < 1$ . Igualdade apenas no limite $\theta \to 90°$ , que não é um triângulo retângulo bem definido.
Ex. 11.19UnderstandingAnswer key
Argumente geometricamente por que $\sin\theta$ é estritamente crescente em $(0°, 90°)$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Em triângulos semelhantes com hipotenusa fixa, aumentar $\theta$ faz o cateto oposto crescer (o vértice sobe). Como a hipotenusa não muda, a razão $\text{op}/\text{hip} = \sin\theta$ cresce. Logo o seno é estritamente crescente em $(0°, 90°)$ .
Ex. 11.20Understanding
Justifique geometricamente por que $\tan\theta \to +\infty$ quando $\theta \to 90°^-$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Quando $\theta \to 90°^-$ , o cateto adjacente encolhe até zero: $\cos\theta \to 0^+$ . Como $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ e o numerador tende a 1, a razão cresce sem limite: $\tan\theta \to +\infty$ .
Ex. 11.21Application
Num triângulo retângulo com hipotenusa $20$ cm e ângulo agudo $35°$ , calcule os dois catetos. (Use $\sin 35° \approx 0{,}574$ e $\cos 35° \approx 0{,}819$ .) Verifique com Pitágoras.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Cateto oposto: $20\sin 35° \approx 20 \times 0{,}574 = 11{,}48$ cm. Cateto adjacente: $20\cos 35° \approx 20 \times 0{,}819 = 16{,}38$ cm. Verificação: $11{,}48^2 + 16{,}38^2 \approx 131{,}8 + 268{,}3 \approx 400 = 20^2$ . ✓
Ex. 11.22Application
Cateto oposto $= 6$ e ângulo $\theta = 40°$ . Calcule a hipotenusa. (Use $\sin 40° \approx 0{,}643$ .)
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.3
Show solution
$\sin 40° = 6/c \Rightarrow c = 6/\sin 40° \approx 6/0{,}643 \approx 9{,}33$ .
Ex. 11.23Application
Cateto adjacente $= 10$ e ângulo $\theta = 25°$ . Calcule o cateto oposto. (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ .)
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
$\tan 25° = \text{op}/10 \Rightarrow \text{op} = 10 \times 0{,}466 = 4{,}66$ .
Ex. 11.24Application
Hipotenusa $= 25$ , cateto oposto $= 7$ . Calcule o ângulo $\theta$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.3
Show solution
$\sin\theta = 7/25 = 0{,}28 \Rightarrow \theta = \arcsin(0{,}28) \approx 16{,}26°$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identificar o que se sabe. Hipotenusa (25) e cateto oposto (7).
2. Escolher a razão. Op/hip = seno: $\sin\theta = 7/25 = 0{,}28$ .
3. Função inversa. $\theta = \arcsin(0{,}28)$ — na calculadora, tecla $\sin^{-1}$ em modo DEG.
4. Calcular. $\theta \approx 16{,}26°$ .
5. Verificar. $\sin 30° = 0{,}5$ e $0{,}28 < 0{,}5$ , então $\theta < 30°$ . Consistente. ✓
Cuidado: a calculadora deve estar em DEG (graus), não RAD. Esquecer disso é o erro mais comum em prova.
Ex. 11.25Application
Um triângulo retângulo tem catetos $8$ e $15$ . Calcule a hipotenusa e os dois ângulos agudos.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Hipotenusa: $\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{289} = 17$ . Um ângulo: $\arctan(8/15) \approx 28{,}07°$ ; o outro: $90° - 28{,}07° \approx 61{,}93°$ .
Ex. 11.26Understanding
Num triângulo equilátero de lado $\ell$ , calcule a altura por trigonometria e compare com o resultado via Pitágoras.
Solve online Wikilivros — Trigonometria · Triângulos notáveis
Show solution
Bisseccione o triângulo equilátero de lado $\ell$ pela altura: obtém-se um triângulo retângulo com hipotenusa $\ell$ e ângulo de 60° na base. $h = \ell \sin 60° = \ell\sqrt{3}/2$ . Por Pitágoras: $h^2 = \ell^2 - (\ell/2)^2 = 3\ell^2/4 \Rightarrow h = \ell\sqrt{3}/2$ . Mesmo resultado. ✓
Ex. 11.27Understanding
Num quadrado de lado $\ell$ , calcule a diagonal por trigonometria. Compare com Pitágoras.
Solve online Wikilivros — Trigonometria · Triângulos notáveis
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A diagonal de um quadrado de lado $\ell$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo 45-45-90 com catetos $\ell$ . Logo $d = \ell/\cos 45° = \ell/(\sqrt{2}/2) = \ell\sqrt{2}$ . Por Pitágoras: $d = \sqrt{\ell^2 + \ell^2} = \ell\sqrt{2}$ . ✓
Ex. 11.28Understanding
Mostre que a identidade $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ é equivalente ao teorema de Pitágoras. (Expresse os catetos em função da hipotenusa e do ângulo e substitua em $a^2 + b^2 = c^2$ .)
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Expresse o cateto oposto como $a = c\sin\theta$ e o adjacente como $b = c\cos\theta$ . Então $a^2 + b^2 = c^2\sin^2\theta + c^2\cos^2\theta = c^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = c^2 \times 1 = c^2$ . Isso é exatamente o teorema de Pitágoras, mostrando que $\sin^2 + \cos^2 = 1$ é equivalente a Pitágoras.
Ex. 11.29UnderstandingAnswer key
Em um triângulo retângulo com cateto adjacente $b$ e hipotenusa $c$ , expresse $\tan\theta$ em função de $b$ e $c$ .
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Cateto oposto por Pitágoras: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$ . Logo $\tan\theta = a/b = \sqrt{c^2 - b^2}/b$ .
Ex. 11.30Understanding
Calcule (sem calculadora) $\sin 15°$ . (Dica: $15° = 45° - 30°$ . Use a fórmula da diferença de ângulos — pesquise se necessário.)
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$\sin 15° = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$ $\sin 15° = (\sqrt{6} + \sqrt{2})/4$ $\sin 15° = (\sqrt{3} - 1)/2$ $\sin 15° = \sqrt{2}/4$
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Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.4
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$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45°\cos 30° - \cos 45°\sin 30° = (\sqrt{2}/2)(\sqrt{3}/2) - (\sqrt{2}/2)(1/2) = (\sqrt{6} - \sqrt{2})/4$ . (Use a fórmula da diferença; a versão com adição daria sin 75° = $(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4$ .)
Ex. 11.31Modeling
Uma escada de $5$ m está apoiada na parede formando ângulo de $70°$ com o chão. A que altura ela toca a parede?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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$h = 5\sin 70° \approx 5 \times 0{,}940 \approx 4{,}70$ m.
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1. Modelar a cena. Escada (hipotenusa = 5 m), chão (cateto adjacente) e parede (cateto oposto = altura desejada). Ângulo da escada com o chão = 70°.
2. Escolher a razão. Hip (5 m) e cateto oposto (altura) — usa-se seno: $\sin 70° = h/5$ .
3. Isolar. $h = 5\sin 70° \approx 5 \times 0{,}940 = 4{,}70$ m.
4. Verificar a sanidade. Escada de 5 m a 70° (quase vertical) alcançando 4,7 m faz sentido. A 45° alcançaria $5\sqrt{2}/2 \approx 3{,}5$ m — menor. ✓
Macete: NBR 16489 recomenda 75° para escadas de bombeiro. A 75°, $h \approx 5 \times 0{,}966 \approx 4{,}83$ m.
Ex. 11.32Modeling
Você está a $50$ m da base de uma torre. O ângulo de elevação do topo é $40°$ . Calcule a altura da torre. (Use $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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$h = 50\tan 40° \approx 50 \times 0{,}839 \approx 41{,}95$ m.
Ex. 11.33ModelingAnswer key
Um avião decola e alcança $1\,500$ m de altitude após percorrer $5$ km de distância horizontal. Qual o ângulo médio de subida?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.3
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$\theta = \arctan(1{,}5/5) = \arctan(0{,}30) \approx 16{,}70°$ .
Ex. 11.34Modeling
Um navio observa um farol de $200$ m de altura sob ângulo de elevação $3°$ . A que distância o navio está da base do farol? (Use $\tan 3° \approx 0{,}0524$ .)
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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$d = 200/\tan 3° \approx 200/0{,}0524 \approx 3\,815$ m.
Ex. 11.35Modeling
Uma rampa de acessibilidade tem inclinação máxima de $5°$ . Para superar $80$ cm de desnível, qual o comprimento mínimo da rampa? (Use $\sin 5° \approx 0{,}0872$ .) Calcule também a inclinação em percentual.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Inclinação de 5° com comprimento de rampa $L$ e altura de 80 cm = 0,80 m: $\sin 5° = 0{,}80/L \Rightarrow L = 0{,}80/\sin 5° \approx 0{,}80/0{,}0872 \approx 9{,}18$ m. Rampa de 5° tem inclinação percentual $\tan 5° \approx 8{,}75\%$ , dentro do limite NBR 9050.
Ex. 11.36ModelingAnswer key
Durante um eclipse solar, a Lua tem diâmetro angular $0{,}5°$ visto da Terra. Dado que o diâmetro real da Lua é $3\,474$ km, estime a distância Terra-Lua. (Use $\tan(0{,}25°) \approx 0{,}004363$ .)
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · Cap. 2
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O raio lunar (1 737 km) é o cateto oposto ao semi-ângulo $0{,}25°$ ; a distância $d$ Terra-Lua é o cateto adjacente: $\tan(0{,}25°) = 1737/d \Rightarrow d = 1737/0{,}004363 \approx 398\,000$ km. (Valor real: 384 400 km — diferença de $\approx 4\%$ , aceitável dado o ângulo médio varia com a órbita elíptica.)
Ex. 11.37Modeling
Uma força de $200$ N é aplicada a um corpo numa direção que forma $30°$ com a horizontal. Calcule as componentes horizontal e vertical. Verifique que a norma do vetor resultante é $200$ N.
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §2.3
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Componente horizontal: $F_x = 200\cos 30° = 200 \times \sqrt{3}/2 \approx 173{,}2$ N. Componente vertical: $F_y = 200\sin 30° = 200 \times 1/2 = 100$ N. Verificação: $\sqrt{173{,}2^2 + 100^2} = \sqrt{30\,000 + 10\,000} \approx 200$ N. ✓
Ex. 11.38Modeling
Um bloco de $50$ kg repousa sobre uma rampa de $20°$ . ( $g = 10$ m/s².) Calcule a componente do peso paralela à rampa e a componente perpendicular (normal).
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · Cap. 5
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Peso: $P = 50 \times 10 = 500$ N. Componente paralela à rampa (tende a fazer escorregar): $P\sin 20° \approx 500 \times 0{,}342 = 171{,}0$ N. Componente normal (pressiona a superfície): $P\cos 20° \approx 500 \times 0{,}940 = 469{,}8$ N. A força de atrito estático máxima é $\mu N$ ; o bloco escorrega se $P\sin 20° > \mu P\cos 20°$ , ou seja, se $\mu < \tan 20° \approx 0{,}364$ .
Ex. 11.39ModelingAnswer key
A Torre Eiffel tem $324$ m de altura. A que ângulo de elevação você vê o topo estando a $500$ m da base?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.3
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$\theta = \arctan(324/500) \approx \arctan(0{,}648) \approx 32{,}94°$ .
Ex. 11.40ModelingAnswer key
Um drone voa a $100$ m de altura e detecta uma pessoa no chão sob ângulo de depressão de $30°$ . Qual a distância horizontal entre o drone e a pessoa?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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$d = 100/\tan 30° = 100/(\sqrt{3}/3) = 100\sqrt{3} \approx 173{,}2$ m.
Ex. 11.41Modeling
Um topógrafo em $A$ vê o topo de um morro sob $25°$ de elevação. Avança $100$ m em direção ao morro até $B$ e o ângulo passa a $40°$ . Calcule a altura $h$ . (Use $\tan 25° \approx 0{,}466$ e $\tan 40° \approx 0{,}839$ .)
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.3
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De B: $h = x\tan 40°$ . De A: $h = (x+100)\tan 25°$ . Igualando e resolvendo: $x \approx 124{,}9$ m, portanto $h \approx 104{,}8$ m.
Show step-by-step (with the why)
1. Modelar. Seja P a base do morro e T o topo. O topógrafo está em A, depois avança 100 m até B. Defina $BP = x$ .
2. Equação de B. $\tan 40° = h/x \Rightarrow h = x\tan 40°$ .
3. Equação de A. $\tan 25° = h/(x + 100) \Rightarrow h = (x+100)\tan 25°$ .
4. Eliminar h. $x\tan 40° = (x+100)\tan 25° \Rightarrow x(\tan 40° - \tan 25°) = 100\tan 25°$ .
5. Resolver x. $x = 100 \times 0{,}466/(0{,}839 - 0{,}466) \approx 46{,}6/0{,}373 \approx 124{,}9$ m.
6. Calcular h. $h \approx 124{,}9 \times 0{,}839 \approx 104{,}8$ m.
Macete: técnica clássica do "duplo ângulo de visada" usada por topógrafos para medir alturas inacessíveis. Eratóstenes usou ideia semelhante para medir o raio da Terra em 240 a.C.
Ex. 11.42Modeling
Um cabo de aço sustenta uma antena de $30$ m, preso ao chão a $12$ m da base da antena. Calcule o comprimento do cabo e o ângulo que ele forma com o chão.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Cabo (hipotenusa): $\sqrt{30^2 + 12^2} = \sqrt{1044} \approx 32{,}31$ m. Ângulo do cabo com o chão: $\arctan(30/12) \approx 68{,}20°$ .
Ex. 11.43ModelingAnswer key
Em um pêndulo de comprimento $1$ m, o fio forma $15°$ com a vertical no extremo da oscilação. Calcule a altura do extremo acima do ponto de equilíbrio.
Solve online OpenStax University Physics Vol. 1 · §15.1
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Altura do pêndulo acima do ponto de equilíbrio: $\Delta h = L - L\cos\theta = L(1 - \cos\theta) = 1 \times (1 - \cos 15°) \approx 1 - 0{,}966 = 0{,}034$ m = 3,4 cm.
Ex. 11.44ModelingAnswer key
Uma estrada em curva em V tem aclive de $8\%$ seguido de declive de $5\%$ . Calcule os ângulos de aclive e declive em graus.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Percentual de inclinação = $\tan\theta \times 100\%$ . Aclive de 8%: $\theta = \arctan(0{,}08) \approx 4{,}57°$ . Declive de 5%: $\arctan(0{,}05) \approx 2{,}86°$ .
Ex. 11.45Modeling
Um poste de $12$ m projeta uma sombra no chão. Calcule o comprimento da sombra para ângulo de elevação solar de $35°$ e também para $65°$ . (Use $\tan 35° \approx 0{,}700$ e $\tan 65° \approx 2{,}145$ .) Compare os dois resultados e explique a diferença.
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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A sombra horizontal $s$ e a altura $h = 12$ m formam um triângulo retângulo com ângulo de elevação solar $\alpha$ . Então $\tan\alpha = h/s$ . Com $\alpha = 35°$ : $s = 12/\tan 35° \approx 12/0{,}700 \approx 17{,}1$ m. Com $\alpha = 65°$ : $s = 12/\tan 65° \approx 12/2{,}145 \approx 5{,}6$ m. Quanto mais alto o Sol, menor a sombra — comportamento esperado. ✓
Ex. 11.46Challenge
Num triângulo retângulo com hipotenusa $c$ , expresse a área em função de $c$ e de um ângulo agudo $\theta$ . Para qual valor de $\theta$ a área é máxima?
Solve online OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
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Os catetos são $a = c\sin\theta$ e $b = c\cos\theta$ . Área $= ab/2 = (c\sin\theta)(c\cos\theta)/2 = c^2\sin\theta\cos\theta/2$ . Aplicando $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ : $A = c^2\sin(2\theta)/4$ . A área é máxima quando $\sin(2\theta) = 1$ , ou seja, $2\theta = 90°$ , $\theta = 45°$ . O triângulo retângulo de maior área com hipotenusa fixa é isósceles.
Ex. 11.47Challenge
Prove que $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ usando a fórmula da soma $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ com $\alpha = \beta = \theta$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §10.4
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$\sin(2\theta) = \sin(\theta + \theta) = \sin\theta\cos\theta + \cos\theta\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ . Portanto $\sin\theta\cos\theta = \sin(2\theta)/2$ . ∎
Ex. 11.48ChallengeAnswer key
Resolva: $\sin\theta + \cos\theta = 1$ para $\theta \in [0°, 90°]$ .
Select the correct option
$\theta = 0°$ ou $\theta = 90°$ $\theta = 45°$ $\theta = 30°$ ou $\theta = 60°$ Não há solução em $[0°, 90°]$
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Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §10.7
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Eleve ao quadrado: $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1$ , expandindo: $1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1$ , portanto $\sin(2\theta) = 0$ . Em $[0°, 90°]$ , temos $2\theta \in [0°, 180°]$ , logo $2\theta \in \{0°, 180°\}$ , dando $\theta \in \{0°, 90°\}$ . Verificação: $\sin 0° + \cos 0° = 0 + 1 = 1$ ✓; $\sin 90° + \cos 90° = 1 + 0 = 1$ ✓.
Ex. 11.49Proof
Demonstre $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ a partir do teorema de Pitágoras e das definições das razões trigonométricas.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §5.2
Show solution
Num triângulo retângulo com catetos $a, b$ e hipotenusa $c$ , Pitágoras diz $a^2 + b^2 = c^2$ . Dividindo por $c^2 > 0$ : $(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1$ . Por definição, $a/c = \sin\theta$ e $b/c = \cos\theta$ . Logo $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ . ∎
Show step-by-step (with the why)
1. Ponto de partida. Triângulo retângulo com catetos $a, b$ , hipotenusa $c$ , ângulo agudo $\theta$ oposto a $a$ .
2. Pitágoras. $a^2 + b^2 = c^2$ .
3. Dividir por c². $(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1$ . (Divisão válida pois $c > 0$ .)
4. Substituir pelas razões. $a/c = \sin\theta$ e $b/c = \cos\theta$ por definição.
5. Resultado. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ . ∎
Observação: a identidade é o teorema de Pitágoras "normalizado" pela hipotenusa. Ela generaliza para qualquer ângulo real (não só agudo) via o círculo unitário — isso é visto na Lição 12.
Ex. 11.50Proof
Mostre que $\cos\theta = \sin(90° - \theta)$ para todo $\theta \in (0°, 90°)$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §10.2
Show solution
Os ângulos agudos do triângulo retângulo somam 90°, logo o segundo agudo é $90° - \theta$ . O cateto adjacente a $\theta$ é o cateto oposto a $90° - \theta$ (são o mesmo lado, visto de vértices diferentes). A hipotenusa não muda. Portanto $\cos\theta = (\text{adj a }\theta)/c = (\text{op a }(90°-\theta))/c = \sin(90°-\theta)$ . ∎

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §5.2: razões trigonométricas, identidades pitagóricas, aplicações. Fonte primária dos blocos A, C e D.
Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §10.2–10.3: trigonometria de ângulo agudo, semelhança de triângulos, mais de 80 exercícios. Fonte do bloco B e do Exemplo 5.
Matemática elementar / Trigonometria — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · valores notáveis, triângulos especiais, exercícios em estilo brasileiro.
University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · §2.3 (vetores), cap. 5 (plano inclinado), §15.1 (pêndulo). Fonte dos exercícios de física no bloco D.