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Lição 16 — Sequências numéricas

Sequência como função de domínio ℕ. Recorrências, monotonia, limitação. Antessala dos limites.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math B japonês (cap. 数列) · Calculus I — US — preview

(a_n)_{n \in \mathbb{N}}, \quad a_n = f(n)

Uma sequência é uma função de $\mathbb{N}$ em $\mathbb{R}$ . Cada $n$ recebe um termo $a_n$ . Sequências são objetos centrais em análise (limite, série, convergência) e fundação do cálculo formal — preparam a Lição 19 (preview) e a 41 (limite formal).

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e propriedades

Como descrever uma sequência

Fórmula explícita (termo geral): $a_n = 2n + 1$ — termos $3, 5, 7, 9, \ldots$
Recorrência: $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = a_n + 2$ — mesmo resultado.
Descrição: "n-ésimo número primo" — $2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots$ (sem fórmula fechada).

Monotonia

Crescente: $a_{n+1} > a_n \quad \forall n$ .
Não-decrescente: $a_{n+1} \geq a_n$ .
Decrescente: $a_{n+1} < a_n$ .
Constante: $a_{n+1} = a_n$ .

Limitação

$(a_n)$ é limitada se existe $M > 0$ com $|a_n| \leq M$ para todo $n$ . Limitada superiormente se $a_n \leq M_+$ ; inferiormente se $a_n \geq M_-$ .

Convergência intuitiva (formalizada na Lição 41)

$(a_n)$ converge para $L$ se " $a_n$ se aproxima arbitrariamente de $L$ quando $n$ é grande". Formalmente: $\lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists N : n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$

Sequências famosas

Nome	Definição	Termos
Naturais	$a_n = n$	$1, 2, 3, \ldots$
Quadrados	$a_n = n^2$	$1, 4, 9, 16, \ldots$
Harmônica	$a_n = 1/n$	$1, 1/2, 1/3, \ldots$
Fibonacci	$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ , $F_1 = F_2 = 1$	$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$
Geométrica	$a_n = q^n$	$q, q^2, q^3, \ldots$

"A sequence is just a list of numbers, but in Math 2E we make this list infinite." — Active Calculus §8.2

Exemplos resolvidos

Example— 1· Listar termos de uma fórmula explícita

Problema: Liste os 5 primeiros termos da sequência $a_n = 2n + 1$ .

Estratégia: Substituir $n = 1, 2, 3, 4, 5$ e calcular cada $a_n$ .

Resolução:

$a_1 = 2(1) + 1 = 3$ .
$a_2 = 2(2) + 1 = 5$ .
$a_3 = 2(3) + 1 = 7$ .
$a_4 = 2(4) + 1 = 9$ .
$a_5 = 2(5) + 1 = 11$ .

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 = 3, 5, 7, 9, 11.$

Verificação: A diferença entre termos consecutivos é constante $= 2$ — característica de uma progressão aritmética com $a_1 = 3$ e razão $d = 2$ . Bate com $a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + 2(n-1) = 2n + 1$ . Confere.

Fonte. Active Calculus §8.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Example— 2· Calcular termos de uma recorrência

Problema: Calcule os 6 primeiros termos da sequência de Fibonacci, definida por $F_1 = F_2 = 1$ e $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ .

Estratégia: Aplicar a recorrência repetidamente, somando os dois últimos termos para obter o próximo.

Resolução:

$F_1 = 1$ (dado).
$F_2 = 1$ (dado).
$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$ .
$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$ .
$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$ .
$F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$ .

$F_1, \ldots, F_6 = 1, 1, 2, 3, 5, 8.$

Verificação: A razão $F_{n+1}/F_n$ tende à razão áurea $\phi = (1 + \sqrt 5)/2 \approx 1{,}618$ . $F_6/F_5 = 8/5 = 1{,}6$ . Caminhando bem.

Fonte. Hammack — Book of Proof §10.4 — licença livre.

Example— 3· Encontrar a fórmula explícita a partir de termos

Problema: Encontre o termo geral da sequência $\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \tfrac{1}{16}, \tfrac{1}{32}, \ldots$

Estratégia: Identificar o padrão. Cada termo é metade do anterior — sequência geométrica de razão $1/2$ . O termo $a_n$ deve ter $2^n$ no denominador.

Resolução:

Observar o padrão. $a_1 = 1/2 = 1/2^1$ . $a_2 = 1/4 = 1/2^2$ . $a_3 = 1/8 = 1/2^3$ .
Conjecturar. $a_n = 1/2^n$ .
Verificar. $a_4 = 1/2^4 = 1/16$ . $a_5 = 1/2^5 = 1/32$ . Ambos batem.

$a_n = \frac{1}{2^n}.$

Verificação: Razão $a_{n+1}/a_n = (1/2^{n+1})/(1/2^n) = 1/2$ . Confirma a razão observada.

Fonte. Lebl — Basic Analysis Vol. I §2.1 — licença CC-BY-SA.

Example— 4· Monotonia e limitação

Problema: Mostre que a sequência $a_n = \dfrac{n+1}{n}$ é decrescente e limitada inferiormente por 1.

Estratégia: Para decrescimento, mostrar $a_{n+1} - a_n < 0$ . Para limitação inferior por 1, mostrar $a_n > 1$ para todo $n$ .

Resolução:

Reescrever. $a_n = 1 + 1/n$ .
Mostrar que é decrescente. $a_{n+1} - a_n = (1 + 1/(n+1)) - (1 + 1/n) = 1/(n+1) - 1/n = (n - (n+1))/(n(n+1)) = -1/(n(n+1)) < 0$ . Logo $a_{n+1} < a_n$ para todo $n \geq 1$ .
Mostrar limitação inferior. Como $1/n > 0$ para todo $n \geq 1$ , $a_n = 1 + 1/n > 1$ . Portanto $a_n > 1$ é uma cota inferior.
A sequência também é limitada superiormente por $a_1 = 2$ (o primeiro termo, máximo de uma sequência decrescente).

$a_n \in (1, 2]\ \text{para todo}\ n \geq 1,\ \text{e decrescente.}$

Verificação: $a_1 = 2$ , $a_2 = 3/2 = 1{,}5$ , $a_3 = 4/3 \approx 1{,}333$ , $a_{10} = 1{,}1$ , $a_{1000} = 1{,}001$ . Cada termo é menor que o anterior e maior que 1. Conforme $n$ cresce, $a_n \to 1$ . Bate com a teoria.

Fonte. Lebl — Basic Analysis Vol. I §2.1 — licença CC-BY-SA.

Example— 5· Esfriamento de um café como recorrência (modelagem real)

Problema: A temperatura de um café resfriando segue $T_n = 65 \cdot (0{,}9)^n + 25$ , onde $n$ é o tempo em minutos e a temperatura inicial é $T_0 = 65 + 25 = 90$ °C. Para qual valor $T_n$ tende quando $n \to \infty$ ?

Estratégia: A parte $(0{,}9)^n$ é uma sequência geométrica com razão entre 0 e 1, então tende a 0. O limite da sequência inteira é o termo constante.

Resolução:

Identificar a estrutura. $T_n = A \cdot q^n + B$ com $A = 65$ , $q = 0{,}9$ , $B = 25$ .
Comportamento de $q^n$ . Como $|q| = 0{,}9 < 1$ , $q^n \to 0$ quando $n \to \infty$ .
Substituir intuitivamente. $T_n \to 65 \cdot 0 + 25 = 25$ °C.
Interpretação física. O termo $25$ °C é a temperatura ambiente. O café esfria assintoticamente até essa temperatura (Lei de Newton do resfriamento em forma discreta).

$\lim_{n \to \infty} T_n = 25\ °\text{C}.$

Verificação: $T_0 = 65 + 25 = 90$ °C. $T_5 = 65 \cdot (0{,}9)^5 + 25 \approx 65 \cdot 0{,}59 + 25 \approx 63{,}4$ °C — coerente com café morno após 5 min. O limite continua sendo $25$ °C.

Fonte. Active Calculus §8.2 — Boelkins · CC-BY-NC-SA.

Exercise list

38 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 18Modeling 1Proof 2

Fontes

Basic Analysis: Introduction to Real Analysis (Vol. I) — Jiří Lebl · 2024, v6.0 · EN · CC-BY-SA · §2.1: sequências, monotonia, limitação, convergência.
Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.2: sequências e convergência intuitiva.
Book of Proof — Richard Hammack · 2018, 3ª ed · EN · livre · cap. 10: indução matemática e recorrências.
Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §11.1: introdução a sequências e notação.