v1 · padrão canônico

Lição 22 — Equação da reta

Forma reduzida y = mx + n, geral Ax + By + C = 0, ponto-inclinação e paramétrica. Coeficiente angular como tangente do ângulo de inclinação. Retas paralelas, perpendiculares, distância ponto-reta e aplicações reais.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math I japonês §直線の方程式 · Equiv. Klasse 10 Analytische Geometrie alemã

y = mx + n \qquad \Longleftrightarrow \qquad Ax + By + C = 0

A equação da reta admite três formas equivalentes: forma reduzida $y = mx + n$ , forma geral $Ax + By + C = 0$ e forma ponto-inclinação $y - y_0 = m(x - x_0)$ . O coeficiente angular $m = \tan\alpha$ mede o quanto $y$ varia por unidade de $x$ .

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Definição rigorosa

Coeficiente angular

Definition· Coeficiente angular de uma reta

Seja $\ell$ uma reta não-vertical no plano $\mathbb{R}^2$ . Dados quaisquer dois pontos distintos $P_1 = (x_1, y_1)$ e $P_2 = (x_2, y_2)$ sobre $\ell$ com $x_1 \neq x_2$ , o coeficiente angular (ou inclinação) de $\ell$ é:

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\alpha

what this means · O coeficiente angular m é a razão entre a variação de y e a variação de x entre quaisquer dois pontos da reta. Geometricamente, m é igual à tangente do ângulo alfa que a reta faz com o semi-eixo positivo das abscissas.

O valor de $m$ não depende da escolha dos pontos $P_1, P_2$ — qualquer par de pontos distintos sobre $\ell$ produz o mesmo quociente.

"A inclinação de uma reta que passa por dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ , assumindo que $x_1 \neq x_2$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §4.1

Formas da equação da reta

Definition· Formas equivalentes da equação da reta

Forma	Equação	Quando usar
Reduzida	$y = mx + n$	gráfico, $y$ explícito, interpolação
Geral	$Ax + By + C = 0,\ (A,B)\neq(0,0)$	retas verticais, simetria, distâncias
Ponto-inclinação	$y - y_0 = m(x - x_0)$	dado ponto + inclinação
Paramétrica	$x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt,\ t\in\mathbb{R}$	trajetória, animação, direções
Segmentária	$x/p + y/q = 1,\ p,q\neq 0$	interceptos $(p,0)$ e $(0,q)$ dados

Conversões úteis: para a forma geral $Ax + By + C = 0$ com $B \neq 0$ , tem-se $m = -A/B$ e $n = -C/B$ .

Retas verticais ( $x = c$ ) não admitem forma reduzida — somente forma geral ( $x - c = 0$ , com $B = 0$ ).

"A equação geral da reta é $Ax + By + C = 0$ , onde $A$ e $B$ não são ambos zero. [...] Se $B \neq 0$ , a equação pode ser posta na forma inclinação-intercepto $y = (-A/B)x + (-C/B)$ ." — Stitz–Zeager Precalculus, §2.1

Figura: as quatro posições de uma reta

As quatro posições de uma reta no plano. Retas verticais não têm coeficiente angular definido.

Paralelismo e perpendicularidade

Theorem· Critérios de paralelismo e perpendicularidade

Sejam $\ell_1$ e $\ell_2$ retas não-verticais com coeficientes angulares $m_1$ e $m_2$ .

\ell_1 \parallel \ell_2 \iff m_1 = m_2 \quad (\text{e } n_1 \neq n_2)

what this means · Duas retas são paralelas se e somente se têm o mesmo coeficiente angular e interceptos diferentes. São perpendiculares se e somente se o produto de seus coeficientes angulares é menos um.

\ell_1 \perp \ell_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1

what this means · Condição de perpendicularidade: o produto dos coeficientes angulares é menos um.

Prova da perpendicularidade. Um vetor diretor de $\ell_1$ é $\mathbf{u}_1 = (1, m_1)$ e de $\ell_2$ é $\mathbf{u}_2 = (1, m_2)$ . Perpendicularidade exige $\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{u}_2 = 0$ : $1 \cdot 1 + m_1 \cdot m_2 = 0$ , logo $m_1 m_2 = -1$ . ∎

Distância de um ponto a uma reta

Exemplos resolvidos

Example— 1· Equação por dois pontos (aplicação)

Problema. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos $P_1 = (1, 2)$ e $P_2 = (4, 8)$ .

Estratégia. Com dois pontos, calcule o coeficiente angular $m = \Delta y / \Delta x$ e use a forma ponto-inclinação.

Resolução.

Coeficiente angular:

$m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$

Forma ponto-inclinação com $(x_0, y_0) = (1, 2)$ :

$y - 2 = 2(x - 1) \implies y = 2x$

Forma geral: $2x - y = 0$ .

Verificação. Para $P_2 = (4, 8)$ : $y = 2 \cdot 4 = 8$ . Correto.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e, §4.1, exemplo 4.1.1 — CC-BY 4.0.

Example— 2· Converter forma geral para reduzida (intermediário)

Problema. Converta $3x - 4y + 12 = 0$ para a forma reduzida. Identifique coeficiente angular, intercepto em $y$ e os dois interceptos com os eixos.

Estratégia. Isole $y$ para obter a forma reduzida; depois faça $x = 0$ e $y = 0$ para os interceptos.

Resolução.

Isole $y$ :

$3x - 4y + 12 = 0 \implies 4y = 3x + 12 \implies y = \frac{3}{4}x + 3$

Identificações: $m = 3/4$ ; intercepto em $y$ : $(0, 3)$ .
Intercepto em $x$ (faça $y = 0$ ):

$0 = \frac{3}{4}x + 3 \implies x = -4$

Intercepto em $x$ : $(-4, 0)$ .

Verificação. $(0, 3)$ : $3(0) - 4(3) + 12 = 0$ . $(-4, 0)$ : $3(-4) - 4(0) + 12 = 0$ . Ambos corretos.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus, §2.1, exemplo 2.1.2 — CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Retas paralela e perpendicular (intermediário)

Problema. Dada $\ell: y = 2x - 3$ , encontre a reta paralela a $\ell$ por $Q = (1, 5)$ e a reta perpendicular a $\ell$ por $Q$ .

Estratégia. Paralelas têm mesmo $m$ . Perpendiculares: $m_\perp = -1/m$ .

Resolução.

(a) Paralela: $m = 2$ . Ponto-inclinação com $(1, 5)$ :

$y - 5 = 2(x - 1) \implies y = 2x + 3$

(b) Perpendicular: $m_\perp = -1/2$ . Ponto-inclinação com $(1, 5)$ :

$y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$

Verificação. Produto das inclinações: $2 \times (-1/2) = -1$ . Correto.

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus, §2.1, exercícios 23–28 — CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Modelagem linear — break-even de camisetas (modelagem)

Problema. Uma microempresa tem custo fixo de R$ 400/mês e custo variável de R$ 12 por unidade. O preço de venda é R$ 30/unidade. (a) Escreva as retas de custo total $C(q)$ e receita $R(q)$ . (b) Encontre o ponto de equilíbrio.

Estratégia. Custo e receita são funções lineares de $q$ ; equilíbrio ocorre quando $C(q) = R(q)$ .

Resolução.

(a) $C(q) = 12q + 400$ e $R(q) = 30q$ .

(b) No equilíbrio:

$30q = 12q + 400 \implies 18q = 400 \implies q \approx 22{,}2$

Como $q$ deve ser inteiro, são necessárias pelo menos 23 unidades. Com $q = 23$ : $R = 690$ , $C = 676$ , lucro de R$ 14.

Verificação. Inclinações: $m_C = 12$ (custo marginal) e $m_R = 30$ (receita marginal). Como $m_R > m_C$ , a empresa ganha dinheiro depois do ponto de equilíbrio.

Fonte. OpenStax College Algebra 2e, §4.2, exemplo 4.2.2 — CC-BY 4.0.

Example— 5· Distância ponto-reta e ponto mais proximo (desafio)

Problema. Uma estrada segue a reta $\ell: 3x - 4y + 25 = 0$ . Um posto está em $P = (2, -1)$ . (a) Calcule a distância do posto à estrada. (b) Ache o ponto da estrada mais próximo do posto.

Estratégia. Use a fórmula de distância ponto-reta e, para o ponto mais próximo, ache a interseção da perpendicular pelo ponto $P$ com $\ell$ .

Resolução.

(a) Distância:

$d = \frac{|3(2) - 4(-1) + 25|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6 + 4 + 25|}{5} = \frac{35}{5} = 7$

(b) Ponto mais próximo. A perpendicular a $\ell$ por $P = (2, -1)$ tem inclinação $m_\perp = -B/A = -(-4)/3 = 4/3$ ... wait: a normal a $\ell$ tem direção $(A, B) = (3, -4)$ , portanto a perpendicular a $\ell$ passando por $P$ tem direção $(3, -4)$ , inclinação $-4/3$ :

$y + 1 = -\frac{4}{3}(x - 2) \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$

Sistema com $\ell$ (forma reduzida $y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$ ):

$-\frac{4}{3}x + \frac{5}{3} = \frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$

Multiplicando por 12: $-16x + 20 = 9x + 75 \implies 25x = -55 \implies x = -\dfrac{11}{5}$ .

$y = \frac{3}{4}\left(-\frac{11}{5}\right) + \frac{25}{4} = \frac{-33 + 125}{20} = \frac{92}{20} = \frac{23}{5}$

Ponto mais próximo: $\left(-\dfrac{11}{5},\ \dfrac{23}{5}\right)$ .

Verificação. Distância de $P$ a esse ponto: $\sqrt{(2 + 11/5)^2 + (-1 - 23/5)^2} = \sqrt{(21/5)^2 + (28/5)^2} = \frac{1}{5}\sqrt{441 + 784} = \frac{35}{5} = 7$ . Confirma.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §2.2 — CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 8Modeling 10Challenge 3Proof 1

Fontes

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §4.1 Linear Functions, §4.2 Modeling with Linear Functions, §4.3 Fitting Linear Models to Data. Fonte primária.
Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz & Jeff Zeager · 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.1 Linear Functions, §2.2 Absolute Value Functions.
OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §2.2 Graphs of Linear Functions.