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Lição 24 — Equação da circunferência

Forma reduzida (x-a)² + (y-b)² = r². Forma geral. Posição relativa entre reta e circunferência. Tangentes e potência de ponto.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 10/11 alemã

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Equação reduzida da circunferência de centro (a,b)(a, b) e raio r>0r > 0. Vem direto da definição: o conjunto de todos os pontos do plano a distância exata rr do centro. Elevar ao quadrado a fórmula da distância elimina a raiz quadrada e produz esta forma polinomial.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa e propriedades

"Uma circunferência é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão a uma distância fixa, chamada raio, de um ponto fixo, chamado centro da circunferência." — Stitz–Zeager Precalculus §7.2

Elevando ambos os lados ao quadrado (ambos não-negativos, portanto equivalente):

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
what this means · Equação reduzida da circunferência. Cada ponto (x, y) da curva satisfaz esta igualdade.

Forma geral

Expandindo a forma reduzida:

x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
what this means · Forma geral da equação de circunferência. D = -2a, E = -2b, F = a² + b² - r².

Recuperação dos parâmetros (sem completar quadrado):

  • Centro: (a,b)=(−D/2, −E/2)(a, b) = (-D/2,\ -E/2)
  • Raio: r=D2/4+E2/4−Fr = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 - F} — existe real somente se D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0.
xyC = (a, b)r(x, y)

Circunferência de centro C=(a,b)C = (a, b) e raio rr. Todo ponto da curva está à distância rr de CC.

Posição relativa — reta e circunferência

Seja dd a distância do centro CC à reta ℓ\ell.

Posição relativa — dois círculos

Sejam C1,C2C_1, C_2 de raios r1,r2r_1, r_2 com distância d=∣C1C2∣d = |C_1 C_2|.

PosiçãoCritério
Externos disjuntosd>r1+r2d > r_1 + r_2
Tangentes externamented=r1+r2d = r_1 + r_2
Secantes∣r1−r2∣<d<r1+r2\lvert r_1 - r_2 \rvert < d < r_1 + r_2
Tangentes internamented=∣r1−r2∣d = \lvert r_1 - r_2 \rvert
Um dentro do outrod<∣r1−r2∣d < \lvert r_1 - r_2 \rvert

Tangente em ponto da curva

Potência de ponto

Exemplos resolvidos

Exercise list

38 exercises · 9 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 3Modeling 6Challenge 5Proof 3
  1. Ex. 24.1ApplicationAnswer key

    Escreva a equação da circunferência de centro (0,0)(0, 0) e raio r=5r = 5.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Substitua diretamente: (x−0)2+(y−0)2=52(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2, logo x2+y2=25x^2 + y^2 = 25. O ponto (3,4)(3, 4) pertence: 9+16=259 + 16 = 25. ✓
  2. Ex. 24.2Application

    Escreva a equação da circunferência de centro (2,3)(2, 3) e raio 44.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Substitua a=2,b=3,r=4a = 2, b = 3, r = 4: (x−2)2+(y−3)2=16(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16.
  3. Ex. 24.3Application

    Escreva a equação da circunferência de centro (−1,5)(-1, 5) e raio 10\sqrt{10}.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Com (a,b)=(−1,5)(a, b) = (-1, 5) e r=sqrt10r = sqrt{10}: (x+1)2+(y−5)2=10(x+1)^2 + (y-5)^2 = 10. Note que r2=(sqrt10)2=10r^2 = (sqrt{10})^2 = 10.
  4. Ex. 24.4Application

    Da equação (x−3)2+(y+2)2=16(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16: identifique centro e raio.

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Compare com (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2: a=3a = 3, b=−2b = -2 (pois y+2=y−(−2)y + 2 = y - (-2)), r=4r = 4. Distratores comuns: confundir sinal de bb, confundir rr com r2r^2.
  5. Ex. 24.5Application

    Da equação x2+y2−4x+6y−12=0x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0: identifique centro e raio.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Agrupe: (x2−4x)+(y2+6y)=12(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12. Complete em xx: some 4. Em yy: some 9. Resultado: (x−2)2+(y+3)2=25(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25. Centro (2,−3)(2, -3), raio 5.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Agrupe por variável. (x2−4x)+(y2+6y)=12(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12.
    2. Complete em xx. Metade de −4-4 é −2-2, quadrado é 4. Some 4 dos dois lados: (x−2)2−4(x-2)^2 - 4.
    3. Complete em yy. Metade de 6 é 3, quadrado é 9. Some 9: (y+3)2−9(y+3)^2 - 9.
    4. Reúna. (x−2)2+(y+3)2=12+4+9=25(x-2)^2 + (y+3)^2 = 12 + 4 + 9 = 25.
    5. Leia. Centro (2,−3)(2, -3), raio r=5r = 5.

    Macete: atalho por fórmulas diretas. D=−4,E=6,F=−12D = -4, E = 6, F = -12. Então a=2,b=−3,r2=4+9+12=25a = 2, b = -3, r^2 = 4 + 9 + 12 = 25. Mesmo resultado.

  6. Ex. 24.6Application

    O ponto (3,4)(3, 4) está dentro, fora ou sobre a circunferência x2+y2=25x^2 + y^2 = 25? Justifique substituindo.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Substitua (3,4)(3, 4): 9+16=259 + 16 = 25. O ponto satisfaz a equação — está **sobre** a circunferência.
  7. Ex. 24.7Application

    Determine a posição de (0,0)(0, 0) em relação ao círculo (x−2)2+(y−1)2=4(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4.

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Distância de (0,0)(0, 0) ao centro (2,1)(2, 1): sqrt4+1=sqrt5approx2,24sqrt{4 + 1} = sqrt{5} approx 2{,}24. Raio r=2r = 2. Como sqrt5>2sqrt{5} > 2, a origem está exterior ao círculo.
  8. Ex. 24.8ApplicationAnswer key

    Escreva a equação do círculo cujo diâmetro tem extremos (0,0)(0, 0) e (6,8)(6, 8).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Centro = ponto médio dos extremos do diâmetro: ((0+6)/2,(0+8)/2)=(3,4)((0+6)/2, (0+8)/2) = (3, 4). Raio = metade do diâmetro: sqrt36+64/2=10/2=5sqrt{36 + 64}/2 = 10/2 = 5. Equação: (x−3)2+(y−4)2=25(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Centro. Ponto médio de (0,0)(0,0) e (6,8)(6,8): (3,4)(3, 4).
    2. Raio. Comprimento do diâmetro: sqrt62+82=sqrt100=10sqrt{6^2 + 8^2} = sqrt{100} = 10. Raio r=5r = 5.
    3. Equação. (x−3)2+(y−4)2=25(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25.

    Macete: quando o enunciado dá os extremos do diâmetro, centre é sempre o ponto médio e raio é metade do comprimento do diâmetro. Pitágoras 3-4-5 aparece aqui — catetos 6 e 8, hipotenusa 10.

  9. Ex. 24.9ApplicationAnswer key

    Encontre os pontos de interseção de y=xy = x com x2+y2=8x^2 + y^2 = 8.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Substitua y=xy = x: 2x2=8Rightarrowx=pm22x^2 = 8 Rightarrow x = pm 2. Pontos: (2,2)(2, 2) e (−2,−2)(-2, -2).
  10. Ex. 24.10Application

    Classifique a posição da reta y=x+5y = x + 5 em relação ao círculo x2+y2=16x^2 + y^2 = 16.

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Reta y=x+5y = x + 5 em forma geral: x−y+5=0x - y + 5 = 0. Distância de (0,0)(0,0): ∣5∣/sqrt2=5sqrt2/2approx3,54|5|/sqrt{2} = 5sqrt{2}/2 approx 3{,}54. Como 3,54<4=r3{,}54 < 4 = r, a reta é secante.
  11. Ex. 24.11Application

    A equação x2+y2+4x−2y+10=0x^2 + y^2 + 4x - 2y + 10 = 0 representa algum círculo real?

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Use r2=(D/2)2+(E/2)2−F=4+1−10=−5<0r^2 = (D/2)^2 + (E/2)^2 - F = 4 + 1 - 10 = -5 < 0. Raio ao quadrado negativo: a equação não representa círculo real (conjunto vazio).
  12. Ex. 24.12Application

    Determine a circunferência circunscrita ao triângulo de vértices (0,0)(0,0), (4,0)(4,0) e (0,3)(0,3).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Os três pontos (0,0),(4,0),(0,3)(0,0), (4,0), (0,3) formam triângulo retângulo na origem. Pelo teorema de Tales, o círculo circunscrito tem a hipotenusa como diâmetro. Ponto médio da hipotenusa: (2,3/2)(2, 3/2). Raio: sqrt16+9/2=5/2sqrt{16+9}/2 = 5/2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reconheça o triângulo. Os catetos estão sobre os eixos; ângulo reto na origem.
    2. Aplique Tales. Em triângulo retângulo, a hipotenusa é diâmetro do círculo circunscrito.
    3. Ponto médio da hipotenusa. Liga (4,0)(4,0) a (0,3)(0,3): médio em (2,3/2)(2, 3/2).
    4. Raio. Comprimento da hipotenusa: sqrt16+9=5sqrt{16+9} = 5. Raio =5/2= 5/2.

    Macete: quando os pontos formam triângulo retângulo, use Tales e economize o sistema 3×3.

  13. Ex. 24.13Application

    Determine as equações das circunferências tangentes ao eixo xx em (3,0)(3, 0) com raio 55.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §8.3
    Show solution
    Tangente ao eixo xx em (3,0)(3, 0): o centro deve estar verticalmente acima ou abaixo de (3,0)(3, 0), a distância exata r=5r = 5. Centros possíveis: (3,5)(3, 5) ou (3,−5)(3, -5). Duas equações: (x−3)2+(y−5)2=25(x-3)^2 + (y-5)^2 = 25 e (x−3)2+(y+5)2=25(x-3)^2 + (y+5)^2 = 25.
  14. Ex. 24.14Application

    Determine os pontos comuns de y=xy = x com o círculo x2+y2−4x=0x^2 + y^2 - 4x = 0.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Substitua y=xy = x: 2x2−4x=0Rightarrow2x(x−2)=02x^2 - 4x = 0 Rightarrow 2x(x-2) = 0. Pontos: (0,0)(0,0) e (2,2)(2,2). A reta é secante (2 pontos), não tangente.
  15. Ex. 24.15Modeling

    Uma torre de celular em (0,0)(0, 0) cobre raio de 30 km. Escreva a equação da fronteira de cobertura.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
    Show solution
    Equação da fronteira de cobertura: x2+y2=900x^2 + y^2 = 900 (raio 30 km, centro na origem). A região coberta é o disco x2+y2leq900x^2 + y^2 leq 900.
  16. Ex. 24.16Modeling

    Dois sismos: epicentro A=(0,0)A = (0, 0) com alcance 100 km; epicentro B=(120,0)B = (120, 0) com alcance 150 km. Há região com tremor de ambos?

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    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
    Show solution
    Distância entre epicentros: 120 km. Raios: 100 e 150. Como ∣100−150∣=50<120<250=100+150|100 - 150| = 50 < 120 < 250 = 100 + 150, os círculos são secantes — há zona de sobreposição de tremores.
  17. Ex. 24.17ModelingAnswer key

    Pista circular de atletismo com comprimento de 400 m. Calcule o raio em metros.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
    Show solution
    Comprimento da pista: C=2pirRightarrowr=400/(2pi)=200/piapprox63,66C = 2pi r Rightarrow r = 400/(2pi) = 200/pi approx 63{,}66 m.
  18. Ex. 24.18Application

    Encontre a tangente ao círculo x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 no ponto (3,4)(3, 4).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Aplique x0x+y0y=r2x_0 x + y_0 y = r^2 com (x0,y0)=(3,4)(x_0, y_0) = (3, 4) e r2=25r^2 = 25: tangente 3x+4y=253x + 4y = 25.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Verifique que o ponto está no círculo. 32+42=253^2 + 4^2 = 25 ✓.
    2. Aplique a fórmula. Para x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 e ponto (x0,y0)(x_0, y_0): tangente é x0x+y0y=r2x_0 x + y_0 y = r^2.
    3. Substitua. 3x+4y=253x + 4y = 25.
    4. Verifique perpendicularidade. Vetor radial (3,4)(3, 4); vetor diretor da tangente (4,−3)(4, -3). Produto escalar: 12−12=012 - 12 = 0. ✓

    Macete: "abaixe o índice" — onde tinha x2x^2, vira x0xx_0 x; onde tinha y2y^2, vira y0yy_0 y.

  19. Ex. 24.19ApplicationAnswer key

    Calcule o comprimento da tangente externa do ponto (5,0)(5, 0) ao círculo x2+y2=4x^2 + y^2 = 4.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Comprimento da tangente: sqrt∣PC∣2−r2=sqrt25−4=sqrt21sqrt{|PC|^2 - r^2} = sqrt{25 - 4} = sqrt{21}.
  20. Ex. 24.20Application

    Classifique a posição relativa dos círculos x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 e (x−8)2+y2=16(x-8)^2 + y^2 = 16.

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Distância entre centros: sqrt(8−0)2+0=8sqrt{(8-0)^2 + 0} = 8. Soma dos raios: 3+4=73 + 4 = 7. Como 8>78 > 7, os círculos são externos disjuntos.
  21. Ex. 24.21Application

    Encontre a tangente ao círculo (x−2)2+(y−1)2=9(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9 no ponto (5,1)(5, 1).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Tangente em (x0,y0)(x_0, y_0) ao círculo (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2: (x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2(x_0-a)(x-a) + (y_0-b)(y-b) = r^2. Com (a,b)=(2,1)(a,b) = (2,1), r2=9r^2 = 9, (x0,y0)=(2+3,1)=(5,1)(x_0,y_0) = (2+3, 1) = (5, 1) (verificar: 9+0=99 + 0 = 9 ✓): tangente 3(x−2)=9Rightarrowx=53(x-2) = 9 Rightarrow x = 5. Reta vertical.
  22. Ex. 24.22Application

    Quantas retas tangentes partem de (7,0)(7, 0) ao círculo x2+y2=9x^2 + y^2 = 9? Qual é o comprimento de cada uma?

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Centro de (0,0)(0,0). Tangente de (7,0)(7, 0): comprimento =sqrt49−9=sqrt40=2sqrt10= sqrt{49 - 9} = sqrt{40} = 2sqrt{10}. De ponto externo a um círculo, existem sempre exatamente 2 tangentes.
  23. Ex. 24.23Modeling

    O raio mínimo de uma curva de estrada é r=v2/(μg)r = v^2/(\mu g). Para v=30v = 30 m/s, μ=0,7\mu = 0{,}7, g=9,81g = 9{,}81 m/s², calcule rr.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
    Show solution
    Raio mínimo de curva: r=v2/(mug)=900/(0,7cdot9,81)approx131r = v^2/(mu g) = 900/(0{,}7 cdot 9{,}81) approx 131 m. Se a curva for mais fechada, o carro derrapa.
  24. Ex. 24.24ApplicationAnswer key

    Determine o centro do círculo que passa por (1,0)(1, 0), (−1,0)(-1, 0) e (0,1)(0, 1).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Pela simetria, o centro está em x=0x = 0. Usando a equação geral x2+y2+Ey+F=0x^2 + y^2 + Ey + F = 0 com os pontos (1,0)(1,0) e (0,1)(0,1): 1+F=01 + F = 0 e 1+E−1=01 + E - 1 = 0. Logo F=−1,E=0F = -1, E = 0: círculo x2+y2=1x^2 + y^2 = 1, centro (0,0)(0,0).
  25. Ex. 24.25Modeling

    Dois satélites em órbitas circulares de raios 6500 km e 7000 km em torno da Terra. Eles se cruzam?

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    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
    Show solution
    Dois círculos concêntricos (mesmo centro: a Terra) com raios r1=6500r_1 = 6500 km e r2=7000r_2 = 7000 km. Distância entre centros = 0. Como 0<∣r2−r1∣=5000 < |r_2 - r_1| = 500, um está dentro do outro e não há ponto em comum.
  26. Ex. 24.26Application

    Encontre a reta tangente ao círculo (x−1)2+(y+2)2=40(x-1)^2 + (y+2)^2 = 40 no ponto P0=(3,4)P_0 = (3, 4).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Tangente em P0=(3,4)P_0 = (3, 4) ao círculo (x−1)2+(y+2)2=r2(x-1)^2 + (y+2)^2 = r^2. Verifique: (3−1)2+(4+2)2=4+36=40(3-1)^2 + (4+2)^2 = 4 + 36 = 40. Logo r2=40r^2 = 40. Tangente: (3−1)(x−1)+(4+2)(y+2)=40(3-1)(x-1) + (4+2)(y+2) = 40, ou seja 2(x−1)+6(y+2)=40Rightarrow2x+6y=28Rightarrowx+3y=142(x-1) + 6(y+2) = 40 Rightarrow 2x + 6y = 28 Rightarrow x + 3y = 14.
  27. Ex. 24.27Understanding

    Mostre que x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 com D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0 representa um círculo.

    Stitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Completando o quadrado: (x+D/2)2+(y+E/2)2=D2/4+E2/4−F(x + D/2)^2 + (y + E/2)^2 = D^2/4 + E^2/4 - F. Se D2+E2−4F>0D^2 + E^2 - 4F > 0, o lado direito é positivo e define um círculo de raio r=sqrt(D2+E2−4F)/4r = sqrt{(D^2 + E^2 - 4F)/4}. ∎
  28. Ex. 24.28Understanding

    Prove que dois círculos tangentes externamente têm distância entre centros igual a r1+r2r_1 + r_2.

    Wikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
    Show solution
    No ponto de tangência externa PP, os pontos C1,P,C2C_1, P, C_2 são colineares. Como PP pertence às bordas de ambos, ∣C1P∣=r1|C_1 P| = r_1 e ∣PC2∣=r2|P C_2| = r_2. Logo ∣C1C2∣=r1+r2|C_1 C_2| = r_1 + r_2. ∎
  29. Ex. 24.29Challenge

    Determine o maior círculo inscrito no triângulo de vértices (0,0)(0,0), (6,0)(6,0) e (0,8)(0,8).

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
    Show solution
    Triângulo retângulo com catetos 6 e 8, hipotenusa 10. Inraio: ho=(a+b−c)/2=(6+8−10)/2=2 ho = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2. Incentro em triângulo retângulo com catetos sobre os eixos: (ho,ho)=(2,2)( ho, ho) = (2, 2).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o inraio. Para triângulo com lados a,b,ca, b, c e semiperímetro ss: ho=extAˊrea/s ho = ext{Área}/s. Ou, para triângulo retângulo: ho=(a+b−c)/2 ho = (a + b - c)/2 com a,ba, b catetos e cc hipotenusa.
    2. Calcule. ho=(6+8−10)/2=2 ho = (6 + 8 - 10)/2 = 2.
    3. Incentro. Em triângulo retângulo com catetos sobre os eixos coordenados positivos, o incentro fica em (ho,ho)=(2,2)( ho, ho) = (2, 2).
    4. Círculo inscrito. (x−2)2+(y−2)2=4(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4.

    Curiosidade: a fórmula do inraio de triângulo retângulo ho=(a+b−c)/2 ho = (a + b - c)/2 é uma aplicação direta do teorema de Pitágoras combinado com a área do triângulo.

  30. Ex. 24.30ChallengeAnswer key

    Quantas retas são tangentes simultâneas aos círculos x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 e (x−5)2+y2=4(x-5)^2 + y^2 = 4?

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
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    Distância entre centros: 5. Soma dos raios: 1+2=31 + 2 = 3. Como 5>35 > 3, os círculos são disjuntos externos. Nessa configuração, existem sempre 4 tangentes comuns: 2 externas (não passam entre os círculos) e 2 internas (cruzam o segmento dos centros).
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    1. Configure. Distância entre centros = 5, soma dos raios = 3. Como 5>35 > 3: externos disjuntos.
    2. Tabela de tangentes por configuração. Externos disjuntos: 4. Tangentes externos: 3. Secantes: 2. Tangentes internos: 1. Um dentro do outro: 0.
    3. Tangentes externas. A reta tangente externa toca os dois círculos do mesmo lado. O ponto de perspectiva externa divide externamente o segmento dos centros na razão r1:r2=1:2r_1 : r_2 = 1 : 2.
    4. Tangentes internas. Cruzam o segmento dos centros no ponto que divide internamente na razão 1:21:2, em (5/3,0)(5/3, 0).

    Curiosidade: os pontos de perspectiva interna e externa são os pontos de Apollônio — aparecem em geometria projetiva e no design de transmissão por correia (polia).

  31. Ex. 24.31Challenge

    Três torres de celular em (0,0),(6,0),(3,4)(0,0), (6,0), (3,4) medem distâncias 5,5,45, 5, 4 km a um celular. Determine a posição do celular.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
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    Três círculos com equações (x−xi)2+(y−yi)2=ri2(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 = r_i^2. Subtraindo par a par cancelam-se os termos quadráticos; ficam duas equações lineares em (x,y)(x, y). Sistema 2imes22 imes 2 linear resolve a posição exata.
  32. Ex. 24.32ChallengeAnswer key

    Determine o lugar geométrico dos pontos PP tais que ∣PA∣=2∣PB∣|PA| = 2|PB|, com A=(0,0)A = (0,0) e B=(4,0)B = (4,0).

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    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
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    Sejam A=(0,0)A = (0,0) e B=(4,0)B = (4, 0). Condição ∣PA∣2=k2∣PB∣2|PA|^2 = k^2 |PB|^2 com k=2k = 2 dá x2+y2=4[(x−4)2+y2]x^2 + y^2 = 4[(x-4)^2 + y^2]. Expandindo: 3x2+3y2−32x+64=03x^2 + 3y^2 - 32x + 64 = 0. Completando: círculo de centro (16/3,0)(16/3, 0). É o círculo de Apolônio para razão 2. (Quando k=1k = 1, o lugar geométrico degenera para a reta mediatriz.)
  33. Ex. 24.33Proof

    Demonstre, usando parametrização, que a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

    Stitz–Zeager Precalculus · §7.2
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    Parametrize: gamma(t)=(a+rcost,b+rsint)gamma(t) = (a + rcos t, b + rsin t). Vetor tangente: gamma′(t)=(−rsint,rcost)gamma'(t) = (-rsin t, rcos t). Vetor radial em gamma(t)gamma(t): (rcost,rsint)(rcos t, rsin t). Produto escalar: −r2sintcost+r2costsint=0-r^2 sin t cos t + r^2 cos t sin t = 0. Perpendiculares. ∎
  34. Ex. 24.34Proof

    Demonstre a fórmula da potência de ponto: ∣PA∣⋅∣PB∣|PA| \cdot |PB| é constante para qualquer secante por PP.

    Wikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
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    Parametrize a secante por P + t ec{u} com | ec{u}| = 1. Substituindo em (X−C)2=r2(X - C)^2 = r^2: t^2 + 2t( ec{u} \cdot (P-C)) + |P-C|^2 - r^2 = 0. Por Vieta, t1t2=∣P−C∣2−r2=extpot(P)t_1 t_2 = |P-C|^2 - r^2 = ext{pot}(P). Como ∣PA∣=∣t1∣|PA| = |t_1| e ∣PB∣=∣t2∣|PB| = |t_2|, o produto ∣PA∣⋅∣PB∣=∣extpot(P)∣|PA| \cdot |PB| = | ext{pot}(P)| é constante — independente da secante. ∎
  35. Ex. 24.35Understanding

    Determine a equação geral do círculo de centro (0,0)(0,0) passando pelo ponto (a,0)(a, 0).

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
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    A forma geral é x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Com centro na origem: D=E=0D = E = 0. Com ponto (a,0)(a, 0) sobre a curva: a2+F=0RightarrowF=−a2a^2 + F = 0 Rightarrow F = -a^2. Logo a equação é x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2.
  36. Ex. 24.36Challenge

    Encontre a corda do círculo x2+y2−2x−2y−6=0x^2 + y^2 - 2x - 2y - 6 = 0 ao longo da reta y=xy = x.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §7.2
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    Completando quadrado: (x−1)2+(y−1)2=8(x-1)^2 + (y-1)^2 = 8. Centro (1,1)(1,1), raio 2sqrt22sqrt{2}. A reta y=xy = x passa pelo centro (pois 1=11 = 1)! Logo é uma corda de comprimento máximo, ou seja, um diâmetro. As intersecções: substitua y=xy = x: 2(x−1)2=8Rightarrowx−1=pm22(x-1)^2 = 8 Rightarrow x - 1 = pm 2. Pontos: (3,3)(3, 3) e (−1,−1)(-1, -1). Comprimento da corda: sqrt32=4sqrt2=2rsqrt{32} = 4sqrt{2} = 2r. ✓
  37. Ex. 24.37Modeling

    Em Ridge Regression, β12+β22≤c\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq c é um disco. Descreva geometricamente onde fica a solução ótima.

    Solve onlineWikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
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    Geometria de Ridge Regression: a restrição eta_1^2 + eta_2^2 \leq c define um disco. As curvas de nível do MSE são elipses. A solução é o ponto da fronteira do disco (eta_1^2 + eta_2^2 = c) com menor valor de MSE — geometricamente, onde a menor elipse de nível toca o círculo. A tangência implica os gradientes das duas funções são paralelos (condição KKT).
  38. Ex. 24.38ProofAnswer key

    Prove que dois círculos tangentes internamente têm distância entre centros igual a ∣r1−r2∣|r_1 - r_2|.

    Wikilivros — Matemática elementar · Geometria analítica
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    Sejam C1,C2C_1, C_2 os centros e r1,r2r_1, r_2 os raios. No ponto de tangência interna PP, um círculo está dentro do outro e PP fica sobre ambas as bordas. Os pontos C2,P,C1C_2, P, C_1 são colineares com PP entre C2C_2 e C1C_1. Logo ∣C1C2∣=r1−r2|C_1 C_2| = r_1 - r_2 (assumindo r1>r2r_1 > r_2). ∎

Fontes

  • Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · v3 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §7.2 Circles. Fonte primária para forma padrão, forma geral, posição relativa, tangentes e demonstrações.
  • OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2021 · EN · CC-BY 4.0 · §8.3. Exercícios de modelagem e forma reduzida.
  • Wikilivros — Matemática elementar — comunidade · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · seção Geometria analítica. Exercícios no padrão vestibular/ENEM e modelagem brasileira (cobertura de antenas, trilateração).

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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