v1 · padrão canônico

Lição 26 — Vetores no plano

Vetor como par ordenado no plano: módulo, direção, sentido. Adição, multiplicação por escalar, produto escalar, ângulo entre vetores e projeção ortogonal.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Equiv. Math I japonês §A — Vetores · Equiv. Klasse 11 alemã — Vektoren

\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

O produto escalar de dois vetores $\vec{u} = (u_x, u_y)$ e $\vec{v} = (v_x, v_y)$ é calculado componente a componente — ou pelo produto dos módulos pelo cosseno do ângulo $\theta$ entre eles. Resultado: um número real, não um vetor. Mede o quanto dois vetores "apontam na mesma direção".

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Vetores em $\mathbb{R}^2$

"Um vetor é uma tupla de números reais ordenados. Dois vetores são iguais quando as suas componentes são iguais, componente a componente." — Hefferon, Linear Algebra, cap. 1 §I.1

Operações algébricas

\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x,\; u_y + v_y)

what this means · Adição: componente a componente. Geometricamente, regra do paralelogramo ou regra da ponta-à-cauda.

\vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x,\; u_y - v_y)

what this means · Subtração: componente a componente.

\alpha\,\vec{v} = (\alpha v_x,\; \alpha v_y)

what this means · Multiplicação por escalar α ∈ ℝ: escala o vetor sem alterar sua direção (exceto quando α < 0, que inverte o sentido).

Regra do paralelogramo: u + v é a diagonal do paralelogramo formado por u e v. A regra ponta-à-cauda: coloca v com o início na ponta de u.

Módulo (norma euclidiana)

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

what this means · Módulo de um vetor: teorema de Pitágoras aplicado às componentes. Resulta sempre num número não-negativo.

Vetores unitários e base canônica

Forma polar

Para $r = |\vec{v}|$ e $\theta$ o ângulo com o eixo $x$ positivo:

\vec{v} = (r\cos\theta,\; r\sin\theta)

what this means · Conversão polar → cartesiana. Para o caminho inverso, use r = |v| e θ = atan2(vy, vx) — nunca arctan simples, que perde o quadrante.

Produto escalar

"O produto interno de dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ em $\mathbb{R}^n$ é o escalar $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_i v_i$ ." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §VO

Ângulo entre vetores e ortogonalidade

\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}, \quad \theta \in [0°, 180°]

what this means · Ângulo entre dois vetores não-nulos: isole cos θ da definição geométrica do produto escalar.

Projeção ortogonal

Exemplos resolvidos

Example— 1· Módulo e versor de um vetor

Problema: Dado $\vec{v} = (5, -12)$ , calcule: (a) o módulo $|\vec{v}|$ ; (b) o versor $\hat{v}$ ; (c) o ângulo que $\vec{v}$ faz com o eixo $x$ positivo (em graus).

Estratégia: Aplicar a fórmula do módulo, dividir pelo módulo para obter o versor, e usar arctangente para o ângulo — lembrando de verificar o quadrante.

Resolução:

(a) Módulo:

$|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

(b) Versor:

$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(5, -12)}{13} = \left(\frac{5}{13},\; -\frac{12}{13}\right)$

(c) Ângulo:

$\theta = \text{atan2}(-12, 5) \approx -67{,}4°$

O vetor está no 4.º quadrante (componente $x$ positiva, $y$ negativa). O ângulo equivalente positivo é $360° - 67{,}4° = 292{,}6°$ .

Verificação: $|\hat{v}| = \sqrt{(5/13)^2 + (12/13)^2} = \sqrt{25 + 144}/13 = 13/13 = 1$ . Correto.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — §8.8 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Adição de vetores e lei do paralelogramo

Problema: Um drone recebe dois impulsos simultâneos: $\vec{F}_1 = (6, 0)$ N (horizontal, para a direita) e $\vec{F}_2 = (0, 8)$ N (vertical, para cima). Calcule a força resultante, seu módulo e o ângulo que faz com a horizontal.

Estratégia: Somar componente a componente; calcular módulo; calcular ângulo.

Resolução:

Força resultante:

$\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (6 + 0,\; 0 + 8) = (6, 8)\;\text{N}$

Módulo:

$|\vec{R}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\;\text{N}$

Ângulo com a horizontal:

$\theta = \arctan\!\left(\frac{8}{6}\right) = \arctan(1{,}\overline{3}) \approx 53{,}1°$

Geometricamente, a força resultante forma a diagonal do retângulo (paralelogramo com ângulo reto) definido por $\vec{F}_1$ e $\vec{F}_2$ .

Verificação: $|\vec{F}_1| = 6$ , $|\vec{F}_2| = 8$ , $|\vec{R}| = 10$ — tripla pitagórica $(6, 8, 10)$ . $\sin(53{,}1°) \approx 8/10 = 0{,}8$ . Consistente.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 3 — §2.1 — licença CC-BY 4.0.

Example— 3· Produto escalar e ângulo entre vetores

Problema: Dados $\vec{u} = (3, 4)$ e $\vec{v} = (5, -12)$ , calcule: (a) $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ; (b) o ângulo $\theta$ entre os dois vetores (em graus).

Estratégia: Aplicar a definição algébrica do produto escalar; obter o ângulo pela definição geométrica.

Resolução:

(a) Produto escalar:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 5 + 4 \times (-12) = 15 - 48 = -33$

(b) Ângulo:

Calculamos os módulos: $|\vec{u}| = \sqrt{9 + 16} = 5, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{25 + 144} = 13$

Então: $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} = \frac{-33}{5 \times 13} = \frac{-33}{65} \approx -0{,}508$

$\theta = \arccos(-0{,}508) \approx 120{,}5°$

O produto escalar negativo confirma que o ângulo entre os vetores é obtuso (maior que 90°).

Fonte. Stitz–Zeager Precalculus — §11.9 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 4· Ortogonalidade — determinação de parâmetro

Problema: Determine o valor de $k$ tal que os vetores $\vec{u} = (k, 3)$ e $\vec{v} = (2, -6)$ sejam ortogonais. Em seguida, verifique que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ com o $k$ encontrado.

Estratégia: A condição de ortogonalidade é $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ . Montar a equação e resolver para $k$ .

Resolução:

Condição de ortogonalidade:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \implies k \times 2 + 3 \times (-6) = 0$

$2k - 18 = 0 \implies k = 9$

Verificação com $k = 9$ : $\vec{u} = (9, 3)$ , $\vec{v} = (2, -6)$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 9 \times 2 + 3 \times (-6) = 18 - 18 = 0 \checkmark$

Os vetores são ortogonais. Note que $\vec{u} = (9, 3) = 3(3, 1)$ e $\vec{v} = 2(1, -3)$ — a direção $(3, 1)$ é perpendicular a $(1, -3)$ , o que pode ser verificado geometricamente.

Fonte. OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — §8.9 — licença CC-BY 4.0.

Example— 5· Projeção ortogonal — força em plano inclinado

Problema: Um objeto está sobre um plano inclinado a 30° com a horizontal. O peso do objeto é $\vec{W} = (0, -mg)$ com $mg = 50$ N. Calcule a componente do peso paralela ao plano (que causa o deslizamento) e a componente perpendicular ao plano (que comprime a superfície).

Estratégia: O vetor unitário paralelo ao plano inclinado (apontando morro abaixo) é $\hat{t} = (\cos 30°, -\sin 30°)$ . Projetar $\vec{W}$ sobre $\hat{t}$ dá a componente tangencial; o restante é a componente normal.

Resolução:

Vetor unitário paralelo ao plano (descendo o morro):

$\hat{t} = (\cos 30°, -\sin 30°) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2},\; -\frac{1}{2}\right)$

Componente tangencial (paralela ao plano):

$\text{comp}_{\hat{t}}\vec{W} = \vec{W} \cdot \hat{t} = (0)\!\cdot\!\frac{\sqrt{3}}{2} + (-50)\!\cdot\!\!\left(-\frac{1}{2}\right) = 25\;\text{N}$

O peso tem uma componente de 25 N ao longo do plano, puxando o objeto morro abaixo.

Componente normal (perpendicular ao plano):

$W_\perp = \sqrt{|\vec{W}|^2 - W_t^2} = \sqrt{50^2 - 25^2} = \sqrt{2500 - 625} = \sqrt{1875} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}3\;\text{N}$

Verificação: $W_t = mg\sin 30° = 50 \times 0{,}5 = 25$ N. $W_\perp = mg\cos 30° = 50 \times (\sqrt{3}/2) = 25\sqrt{3}$ N. Consistente com as fórmulas da física.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 3 — §2.3 — licença CC-BY 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 7Modeling 10Challenge 1Proof 1

Fontes

OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — OpenStax · 2021 · EN · CC-BY 4.0 · §8.8 (Vectors) e §8.9 (The Dot Product). Fonte primária do Bloco A e B.
OpenStax Calculus Volume 3 — OpenStax · 2020 · EN · CC-BY 4.0 · §2.1 (Vectors in the Plane) e §2.3 (The Dot Product). Fonte primária dos Blocos C e D.
Precalculus — Stitz e Zeager · 2013 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.8 (Vectors) e §11.9 (The Dot Product and Projection). Fonte do Bloco D avançado e exercício 26.40.
A First Course in Linear Algebra — Rob Beezer · EN · GNU FDL · §VO (Vector Operations). Fundamentos rigorosos do produto interno.
Linear Algebra — Jim Hefferon · EN · CC-BY-SA · cap. 1 §I.1–I.2. Introdução geométrica aos vetores no plano.