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v1 · padrão canônico

Lição 27 — Produto escalar

Produto interno (dot product). Ângulo entre vetores, projeção ortogonal, ortogonalidade. Trabalho mecânico como motivação.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã · Precalculus §11.8 (US)

u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta

Produto escalar: combina dois vetores e devolve um número real. Em coordenadas, soma dos produtos componente a componente. Geometricamente, mede quanto um vetor "vai na direção" do outro — pelo fator cos⁡θ\cos\theta. Quando o resultado é 00, os vetores são ortogonais.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e propriedades

Produto escalar em R2\mathbb{R}^2

"If u⃗\vec u and v⃗\vec v are vectors with components ⟨u1,u2⟩\langle u_1, u_2\rangle and ⟨v1,v2⟩\langle v_1, v_2\rangle, respectively, then the dot product u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v is given by u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2." — Stitz–Zeager Precalculus §11.8

Sinal e ângulo

agudo — produto positivoθu·v > 0reto — produto zerou·v = 0obtuso — produto negativoθu·v < 0

Sinal do produto escalar segundo o ângulo entre os vetores. Esquerda: agudo (coseno positivo). Centro: reto — vetores ortogonais. Direita: obtuso (coseno negativo).

u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec vcos⁡θ\cos\thetaÂngulo
>0> 0>0> 0agudo, θ<90°\theta < 90°
=0= 000reto, θ=90°\theta = 90° — ortogonais
<0< 0<0< 0obtuso, θ>90°\theta > 90°

Propriedades algébricas

  • Comutativa: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u
  • Distributiva: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w
  • Homogeneidade: (α u⃗)⋅v⃗=α (u⃗⋅v⃗)(\alpha\,\vec u) \cdot \vec v = \alpha\,(\vec u \cdot \vec v)
  • Positiva: u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2≥0\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 \geq 0, com igualdade   ⟺  u⃗=0⃗\iff \vec u = \vec 0

Ângulo entre vetores

Da definição geométrica, isolando θ\theta:

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣,θ=arccos⁡ ⁣(u⃗⋅v⃗∣u⃗∣ ∣v⃗∣)\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}, \quad \theta = \arccos\!\left(\frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}\right)
(1)
what this means · Fórmula do ângulo: divide o produto escalar pelo produto dos módulos, aplica arccosseno. Só vale quando ambos os vetores são não-nulos.

Projeção ortogonal

"If v⃗≠0⃗\vec v \neq \vec 0, the projection of u⃗\vec u onto v⃗\vec v... is the vector projv⃗(u⃗)=u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗ v⃗\text{proj}_{\vec v}(\vec u) = \dfrac{\vec u \cdot \vec v}{\vec v \cdot \vec v}\,\vec v." — Stitz–Zeager Precalculus §11.8

Trabalho mecânico

W=F⃗⋅d⃗=∣F⃗∣ ∣d⃗∣ cos⁡θW = \vec F \cdot \vec d = |\vec F|\,|\vec d|\,\cos\theta
(2)
what this means · Trabalho de força constante: produto escalar da força pelo deslocamento. Apenas a componente da força paralela ao deslocamento contribui. Unidade: newton·metro = joule (J).

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — cálculo direto, ângulo, ortogonalidade por parâmetro, projeção e trabalho mecânico. Cada exemplo cita a fonte: o problema vem de um livro aberto.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 17Understanding 4Modeling 9Challenge 2Proof 3
  1. Ex. 27.1ApplicationAnswer key

    Calcule (3,4)⋅(1,2)(3, 4) \cdot (1, 2).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8 · ex. 1
    Show solution
    Multiplique componente a componente e some: 3⋅1+4⋅2=3+8=113 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique as componentes. u1=3, u2=4, v1=1, v2=2u_1 = 3,\ u_2 = 4,\ v_1 = 1,\ v_2 = 2.
    2. Aplique a definição. u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=3⋅1+4⋅2\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2.
    3. Some. 3+8=113 + 8 = 11. Resultado escalar.

    Macete: sempre multiplique as primeiras coordenadas entre si e as segundas entre si. Nunca cruzar.

  2. Ex. 27.2ApplicationAnswer key

    Calcule (2,−1)⋅(3,5)(2, -1) \cdot (3, 5).

    Stitz–Zeager Precalculus · §11.8 · ex. 2
    Show solution
    2⋅3+(−1)⋅5=6−5=12 \cdot 3 + (-1) \cdot 5 = 6 - 5 = 1.
  3. Ex. 27.3Application

    Justifique: 0⃗⋅v⃗=0\vec 0 \cdot \vec v = 0 para qualquer v⃗\vec v.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
    Show solution
    O vetor nulo tem componentes (0,0)(0, 0). Logo 0⋅v1+0⋅v2=00 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 = 0 para qualquer v⃗\vec v. O produto escalar do vetor nulo com qualquer vetor é sempre zero.
  4. Ex. 27.4Application

    Verifique se (3,4)(3, 4) e (−4,3)(-4, 3) são perpendiculares.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8 · ex. 5
    Show solution
    3⋅(−4)+4⋅3=−12+12=03 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12 = 0. Pelo critério de ortogonalidade, são perpendiculares.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Qual é o critério? Vetores não-nulos são perpendiculares se e somente se u⃗⋅v⃗=0\vec u \cdot \vec v = 0.
    2. Calcule o produto. 3⋅(−4)+4⋅3=−12+123 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 = -12 + 12.
    3. Resultado. 00. Portanto, são perpendiculares.

    Macete: passar de (a,b)(a, b) a (−b,a)(-b, a) sempre produz um vetor perpendicular ao original. Aqui: (3,4)→(−4,3)(3, 4) \to (-4, 3).

  5. Ex. 27.5Application

    Para qual valor de kk vale (2,k)⋅(3,1)=0(2, k) \cdot (3, 1) = 0?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.8 · ex. 21
    Show solution
    Imponha (2)(3)+k⋅1=0⇒6+k=0⇒k=−6(2)(3) + k \cdot 1 = 0 \Rightarrow 6 + k = 0 \Rightarrow k = -6.
  6. Ex. 27.6Application

    Encontre o ângulo entre (1,0)(1, 0) e (1,1)(1, 1).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8 · ex. 6
    Show solution
    cos⁡θ=1⋅1+0⋅11⋅2=12\cos\theta = \frac{1 \cdot 1 + 0 \cdot 1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. Logo θ=45°\theta = 45°.
  7. Ex. 27.7Application

    Encontre o ângulo entre (3,4)(3, 4) e (4,3)(4, 3).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    u⃗⋅v⃗=3⋅4+4⋅3=24\vec u \cdot \vec v = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 24; ∣u⃗∣=∣v⃗∣=5|\vec u| = |\vec v| = 5; cos⁡θ=24/25\cos\theta = 24/25; θ=arccos⁡(24/25)≈16,26°\theta = \arccos(24/25) \approx 16{,}26°.
  8. Ex. 27.8Application

    Verifique a identidade ∣v⃗∣2=v⃗⋅v⃗|\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v para v⃗=(2,3)\vec v = (2, 3).

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
    Show solution
    v⃗⋅v⃗=22+32=4+9=13\vec v \cdot \vec v = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 e ∣v⃗∣2=(13)2=13|\vec v|^2 = (\sqrt{13})^2 = 13. Coincidem, confirmando a identidade v⃗⋅v⃗=∣v⃗∣2\vec v \cdot \vec v = |\vec v|^2.
  9. Ex. 27.9ApplicationAnswer key

    Calcule a projeção vetorial de (4,3)(4, 3) sobre (1,0)(1, 0).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8 · ex. 11
    Show solution
    proj(1,0)(4,3)=(4)(1)+(3)(0)12+02(1,0)=4(1,0)=(4,0)\text{proj}_{(1,0)}(4,3) = \frac{(4)(1) + (3)(0)}{1^2 + 0^2}(1,0) = 4(1,0) = (4,0). A projeção sobre o eixo $x$ retém apenas a coordenada $x$.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fórmula. projv⃗ u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2 v⃗\text{proj}_{\vec v}\,\vec u = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec v|^2}\,\vec v.
    2. Produto escalar. (4)(1)+(3)(0)=4(4)(1) + (3)(0) = 4.
    3. Módulo ao quadrado. ∣(1,0)∣2=1|(1,0)|^2 = 1.
    4. Projeção. 41(1,0)=(4,0)\frac{4}{1}(1,0) = (4,0).

    Macete: projetar sobre (1,0)(1,0) é simplesmente "manter o xx e zerar o yy".

  10. Ex. 27.10ApplicationAnswer key

    Calcule a projeção vetorial de (4,3)(4, 3) sobre (0,1)(0, 1).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    proj(0,1)(4,3)=(4)(0)+(3)(1)02+12(0,1)=3(0,1)=(0,3)\text{proj}_{(0,1)}(4,3) = \frac{(4)(0)+(3)(1)}{0^2+1^2}(0,1) = 3(0,1) = (0,3). Projetar sobre o eixo $y$ retém apenas a coordenada $y$.
  11. Ex. 27.11Application

    Calcule a projeção de (3,5)(3, 5) sobre (1,1)(1, 1).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    u⃗⋅v⃗=3+5=8\vec u \cdot \vec v = 3 + 5 = 8; ∣v⃗∣2=12+12=2|\vec v|^2 = 1^2 + 1^2 = 2; projeção =(8/2)(1,1)=4(1,1)=(4,4)= (8/2)(1,1) = 4(1,1) = (4,4).
  12. Ex. 27.12Understanding

    Decomponha (3,5)(3, 5) em parte paralela e parte perpendicular ao eixo xx (ao vetor (1,0)(1, 0)).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    Projeção sobre (1,0)(1,0): parte paralela =(3,0)= (3, 0). Resíduo: (3,5)−(3,0)=(0,5)(3,5) - (3,0) = (0,5). Verificação: (0,5)⋅(1,0)=0(0,5) \cdot (1,0) = 0. Correto — o resíduo é perpendicular a (1,0)(1,0).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Qual a decomposição? Qualquer vetor u⃗\vec u se escreve como soma da projeção sobre v⃗\vec v mais um resíduo perpendicular a v⃗\vec v.
    2. Calcule a projeção. proj(1,0)(3,5)=31(1,0)=(3,0)\text{proj}_{(1,0)}(3,5) = \frac{3}{1}(1,0) = (3,0).
    3. Calcule o resíduo. (3,5)−(3,0)=(0,5)(3,5) - (3,0) = (0,5).
    4. Verifique ortogonalidade. (0,5)⋅(1,0)=0(0,5) \cdot (1,0) = 0. OK.

    Macete: projetar sobre o eixo xx é "zerar o yy". O resíduo é a coordenada yy sozinha.

  13. Ex. 27.13ApplicationAnswer key

    Para u⃗=(1,2)\vec u = (1, 2) e v⃗=(3,−1)\vec v = (3, -1), encontre o ângulo entre eles.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    u⃗⋅v⃗=1⋅3+2⋅(−1)=3−2=1\vec u \cdot \vec v = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) = 3 - 2 = 1; ∣u⃗∣=5|\vec u| = \sqrt{5}; ∣v⃗∣=10|\vec v| = \sqrt{10}; cos⁡θ=1/50=1/(52)\cos\theta = 1/\sqrt{50} = 1/(5\sqrt{2}); θ≈81,87°\theta \approx 81{,}87°.
  14. Ex. 27.14Application

    Encontre um vetor unitário ortogonal a (2,1)(2, 1).

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.8
    Show solution
    Um vetor ortogonal a (2,1)(2, 1): troque as componentes e inverta um sinal — (1,−2)(1, -2) ou (−1,2)(-1, 2). Verificação: (2)(1)+(1)(−2)=0(2)(1) + (1)(-2) = 0. Para unitário, normalize: divida por 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}. Resultado: (1/5, −2/5)(1/\sqrt{5},\ -2/\sqrt{5}) ou seu oposto.
  15. Ex. 27.15Application

    Encontre um vetor de módulo 5 perpendicular a (3,4)(3, 4).

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
    Show solution
    Um vetor perpendicular a (3,4)(3, 4): (4,−3)(4, -3). Módulo: 16+9=5\sqrt{16+9} = 5. Já tem módulo 5 — não precisa reescalar. Outro válido: (−4,3)(-4, 3).
  16. Ex. 27.16Application

    Calcule cos⁡θ\cos\theta para u⃗=(1,0)\vec u = (1, 0) e v⃗=(0,1)\vec v = (0, 1).

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    (1)(0)+(0)(1)=0(1)(0) + (0)(1) = 0. Os vetores da base canônica são perpendiculares — o cosseno do ângulo entre eles é zero.
  17. Ex. 27.17Understanding

    Por que u⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec u é sempre não-negativo?

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    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
    Show solution
    u⃗⋅u⃗=u12+u22\vec u \cdot \vec u = u_1^2 + u_2^2. Soma de quadrados é sempre não-negativa. Vale zero somente se u1=u2=0u_1 = u_2 = 0, ou seja, u⃗=0⃗\vec u = \vec 0. O ângulo obtuso não afeta o produto de um vetor consigo mesmo (que é sempre zero).
  18. Ex. 27.18Application

    Calcule (3,0)⋅(0,4)(3, 0) \cdot (0, 4).

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.8
    Show solution
    (3)(0)+(0)(4)=0(3)(0) + (0)(4) = 0. Os vetores apontam em direções ortogonais (eixos cartesianos).
  19. Ex. 27.19Application

    Verifique se u⃗=(2,3)\vec u = (2, 3) e v⃗=(−3,2)\vec v = (-3, 2) são ortogonais.

    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    2⋅(−3)+3⋅2=−6+6=02 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0. São ortogonais; o ângulo entre eles é 90°90°.
  20. Ex. 27.20UnderstandingAnswer key

    Para qual faixa de θ\theta vale u⃗⋅v⃗<0\vec u \cdot \vec v < 0? Por quê?

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    Solve onlineStitz–Zeager Precalculus · §11.8
    Show solution
    Pela fórmula geométrica, u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos\theta. Como módulos são positivos, o sinal do produto é o sinal de cos⁡θ\cos\theta. cos⁡θ<0\cos\theta < 0 sse θ∈(90°,180°]\theta \in (90°, 180°]. Isso inclui vetores opostos (θ=180°)(\theta = 180°) mas também qualquer ângulo obtuso entre eles.
  21. Ex. 27.21Modeling

    Calcule o trabalho da força F⃗=(10,5)\vec F = (10, 5) N ao longo do deslocamento d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1
    Show solution
    W=F⃗⋅d⃗=(10)(3)+(5)(4)=30+20=50W = \vec F \cdot \vec d = (10)(3) + (5)(4) = 30 + 20 = 50 J.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Fórmula. Trabalho de força constante: W=F⃗⋅d⃗W = \vec F \cdot \vec d.
    2. Identifique os vetores. F⃗=(10,5)\vec F = (10, 5) N, d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m.
    3. Calcule. (10)(3)+(5)(4)=30+20=50(10)(3) + (5)(4) = 30 + 20 = 50.
    4. Unidades. N·m = J. Resposta: 50 J.

    Macete: trabalho positivo significa que força e deslocamento "apontam mais ou menos juntos". Trabalho negativo significa que a força se opõe ao movimento (freio).

  22. Ex. 27.22Modeling

    Uma força F⃗=(5,0)\vec F = (5, 0) N puxa uma caixa pelo deslocamento d⃗=(3,4)\vec d = (3, 4) m. Calcule o trabalho.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1
    Show solution
    W=(5)(3)+(0)(4)=15W = (5)(3) + (0)(4) = 15 J. Apenas a componente da força na direção do deslocamento contribui. O componente vertical da força (zero, neste caso) não faz trabalho.
  23. Ex. 27.23Modeling

    Em uma rampa de inclinação θ\theta, use o produto escalar para encontrar a componente da força gravitacional paralela ao plano. (Dica: a gravidade é g⃗=(0,−mg)\vec g = (0, -mg); o vetor unitário do plano inclinado, no sentido de descida, é (cos⁡θ,−sin⁡θ)(\cos\theta, -\sin\theta).)

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.2
    Show solution
    Vetor unitário ao longo da rampa (sentido de descida): (cos⁡θ,−sin⁡θ)(\cos\theta, -\sin\theta). Gravidade (0,−mg)(0, -mg). Componente paralela à rampa: (0)(cos⁡θ)+(−mg)(−sin⁡θ)=mgsin⁡θ(0)(\cos\theta) + (-mg)(-\sin\theta) = mg\sin\theta. É essa componente que faz o objeto deslizar.
  24. Ex. 27.24Modeling

    Cosine similarity entre dois vetores de embedding: u⃗=(0,3,0,5)\vec u = (0{,}3, 0{,}5) e v⃗=(0,6,0,4)\vec v = (0{,}6, 0{,}4). Calcule u⃗⋅v⃗  /  (∣u⃗∣ ∣v⃗∣)\vec u \cdot \vec v\;/\;(|\vec u|\,|\vec v|).

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.8
    Show solution
    u⃗⋅v⃗=0,3⋅0,6+0,5⋅0,4=0,18+0,20=0,38\vec u \cdot \vec v = 0{,}3 \cdot 0{,}6 + 0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38; ∣u⃗∣=0,09+0,25=0,34|\vec u| = \sqrt{0{,}09 + 0{,}25} = \sqrt{0{,}34}; ∣v⃗∣=0,36+0,16=0,52|\vec v| = \sqrt{0{,}36 + 0{,}16} = \sqrt{0{,}52}; cosine similarity =0,38/(0,34⋅0,52)≈0,38/0,420≈0,905= 0{,}38 / (\sqrt{0{,}34} \cdot \sqrt{0{,}52}) \approx 0{,}38/0{,}420 \approx 0{,}905.
  25. Ex. 27.25Modeling

    Calcule o retorno de um portfolio rp=w⃗⋅r⃗r_p = \vec w \cdot \vec r com pesos w⃗=(0,5, 0,3, 0,2)\vec w = (0{,}5,\, 0{,}3,\, 0{,}2) e retornos r⃗=(12%, 8%, −2%)\vec r = (12\%,\, 8\%,\, -2\%).

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §8.8
    Show solution
    Retorno do portfolio: rp=0,5⋅0,12+0,3⋅0,08+0,2⋅(−0,02)r_p = 0{,}5 \cdot 0{,}12 + 0{,}3 \cdot 0{,}08 + 0{,}2 \cdot (-0{,}02) =0,060+0,024−0,004=0,080= 0{,}060 + 0{,}024 - 0{,}004 = 0{,}080, ou seja, 8% ao período.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelo. Retorno do portfolio é produto escalar: rp=w⃗⋅r⃗r_p = \vec w \cdot \vec r.
    2. Identifique os vetores. w⃗=(0,5, 0,3, 0,2)\vec w = (0{,}5,\ 0{,}3,\ 0{,}2) e r⃗=(0,12, 0,08, −0,02)\vec r = (0{,}12,\ 0{,}08,\ -0{,}02).
    3. Multiplique componente a componente. 0,5×0,12=0,0600{,}5 \times 0{,}12 = 0{,}060; 0,3×0,08=0,0240{,}3 \times 0{,}08 = 0{,}024; 0,2×(−0,02)=−0,0040{,}2 \times (-0{,}02) = -0{,}004.
    4. Some. 0,060+0,024−0,004=0,0800{,}060 + 0{,}024 - 0{,}004 = 0{,}080.

    Macete: o retorno esperado de um portfolio é sempre produto escalar dos pesos pelos retornos individuais. A soma dos pesos deve ser 1 (100%).

  26. Ex. 27.26Modeling

    Em processamento de sinal, a correlação entre (1,2,1,0)(1, 2, 1, 0) e o modelo (1,1,0,0)(1, 1, 0, 0) é calculada como produto escalar. Calcule.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
    Show solution
    (1)(1)+(2)(1)+(1)(0)+(0)(0)=1+2+0+0=3(1)(1) + (2)(1) + (1)(0) + (0)(0) = 1 + 2 + 0 + 0 = 3. Correlação cruzada via produto escalar — a sobreposição dos padrões.
  27. Ex. 27.27Understanding

    Quanto vale o trabalho de uma força perpendicular ao deslocamento?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1
    Show solution
    Em W=∣F⃗∣∣d⃗∣cos⁡θW = |\vec F||\vec d|\cos\theta, se θ=90°\theta = 90° então cos⁡90°=0\cos 90° = 0 e W=0W = 0. A força normal de uma superfície horizontal, por exemplo, faz zero trabalho sobre um objeto que se move horizontalmente.
  28. Ex. 27.28ModelingAnswer key

    Calcule o fluxo elétrico Φ=E⃗⋅A⃗\Phi = \vec E \cdot \vec A para E⃗=(5,3)\vec E = (5, 3) N/C e A⃗=(0,2,0,1)\vec A = (0{,}2, 0{,}1) m².

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 2 · Lei de Gauss
    Show solution
    Fluxo elétrico: Φ=E⃗⋅A⃗=(5)(0,2)+(3)(0,1)=1,0+0,3=1,3\Phi = \vec E \cdot \vec A = (5)(0{,}2) + (3)(0{,}1) = 1{,}0 + 0{,}3 = 1{,}3 N·m²/C. O fluxo mede quantas linhas de campo atravessam a superfície.
  29. Ex. 27.29Modeling

    Em navegação GPS, o vetor erro de posição e⃗\vec e é decomposto em componente tangencial (ao longo do percurso) e componente lateral (perpendicular ao percurso). Explique como o produto escalar e⃗⋅t^\vec e \cdot \hat t (onde t^\hat t é o vetor tangente unitário) captura o erro tangencial.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
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    A componente do erro na direção tangencial é o produto escalar do vetor erro pela direção tangencial unitária: et=e⃗⋅t^e_t = \vec e \cdot \hat t. Mede o quanto o GPS "erra" na direção de avanço. A componente perpendicular e⃗−ett^\vec e - e_t \hat t é o erro lateral (desvio de rota).
  30. Ex. 27.30Modeling

    No mecanismo de atenção de Transformers, o score de um par query–key é Q⋅K/dQ \cdot K / \sqrt{d}. Para Q=(1,2)Q = (1, 2), K=(3,4)K = (3, 4) e d=2d = 2, calcule o score.

    Solve onlineHefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
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    Q⋅K=(1)(3)+(2)(4)=3+8=11Q \cdot K = (1)(3) + (2)(4) = 3 + 8 = 11; score =11/2≈7,78= 11/\sqrt{2} \approx 7{,}78. Esse score, após softmax sobre todos os keys, determina quanto o modelo "presta atenção" a este key.
  31. Ex. 27.31ProofAnswer key

    Demonstre que o produto escalar é comutativo: u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u.

    Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
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    Sejam u⃗=(u1,u2)\vec u = (u_1, u_2) e v⃗=(v1,v2)\vec v = (v_1, v_2). Pela definição: u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2. E v⃗⋅u⃗=v1u1+v2u2\vec v \cdot \vec u = v_1 u_1 + v_2 u_2. Como a multiplicação de reais é comutativa, uivi=viuiu_i v_i = v_i u_i para cada ii. Logo u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u. QED.
  32. Ex. 27.32Proof

    Demonstre a propriedade distributiva: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w.

    Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
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    Seja u⃗=(u1,u2)\vec u = (u_1, u_2), v⃗=(v1,v2)\vec v = (v_1, v_2), w⃗=(w1,w2)\vec w = (w_1, w_2). Então: u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u1(v1+w1)+u2(v2+w2)=u1v1+u1w1+u2v2+u2w2=(u1v1+u2v2)+(u1w1+u2w2)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = u_1(v_1 + w_1) + u_2(v_2 + w_2) = u_1 v_1 + u_1 w_1 + u_2 v_2 + u_2 w_2 = (u_1 v_1 + u_2 v_2) + (u_1 w_1 + u_2 w_2) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w. QED.
  33. Ex. 27.33Proof

    Demonstre que u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2=∣u⃗∣ ∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = u_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u|\,|\vec v|\cos\theta usando a lei dos cossenos.

    Stitz–Zeager Precalculus · §11.8
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    Pela lei dos cossenos, no triângulo de vértices na origem, extremo de u⃗\vec u e extremo de v⃗\vec v, com lados ∣u⃗∣,∣v⃗∣,∣u⃗−v⃗∣|\vec u|, |\vec v|, |\vec u - \vec v|: ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2|\vec u||\vec v|\cos\theta. Por outro lado, expandindo em coordenadas: ∣u⃗−v⃗∣2=(u1−v1)2+(u2−v2)2=u12−2u1v1+v12+u22−2u2v2+v22=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2(u1v1+u2v2)|\vec u - \vec v|^2 = (u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2 = u_1^2 - 2u_1 v_1 + v_1^2 + u_2^2 - 2u_2 v_2 + v_2^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2(u_1 v_1 + u_2 v_2). Igualando as duas expressões: u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θu_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta. QED.
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    1. Identifique o triângulo. Considere o triângulo com vértices em O,P=u⃗,Q=v⃗O, P = \vec u, Q = \vec v. Os lados têm comprimentos ∣u⃗∣,∣v⃗∣|\vec u|, |\vec v| e ∣u⃗−v⃗∣|\vec u - \vec v|.
    2. Aplique a lei dos cossenos. ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2|\vec u||\vec v|\cos\theta.
    3. Expanda em coordenadas. ∣u⃗−v⃗∣2=(u1−v1)2+(u2−v2)2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2(u1v1+u2v2)|\vec u - \vec v|^2 = (u_1-v_1)^2 + (u_2-v_2)^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2(u_1 v_1 + u_2 v_2).
    4. Iguale. u1v1+u2v2=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θu_1 v_1 + u_2 v_2 = |\vec u||\vec v|\cos\theta.

    Observação: esta é a prova padrão de que as duas definições do produto escalar são equivalentes. Usa apenas a lei dos cossenos (geometria euclidiana) e a definição de módulo.

  34. Ex. 27.34Challenge

    Demonstre a desigualdade de Cauchy–Schwarz: ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣ ∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u|\,|\vec v|.

    Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
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    Considere f(t)=∣u⃗+tv⃗∣2=v⃗⋅v⃗⋅t2+2(u⃗⋅v⃗)t+u⃗⋅u⃗≥0f(t) = |\vec u + t\vec v|^2 = \vec v \cdot \vec v \cdot t^2 + 2(\vec u \cdot \vec v) t + \vec u \cdot \vec u \geq 0 para todo t∈Rt \in \mathbb{R}. Polinômio de grau 2 sempre não-negativo implica discriminante ≤0\leq 0: 4(u⃗⋅v⃗)2−4∣u⃗∣2∣v⃗∣2≤04(\vec u \cdot \vec v)^2 - 4|\vec u|^2|\vec v|^2 \leq 0, portanto (u⃗⋅v⃗)2≤∣u⃗∣2∣v⃗∣2(\vec u \cdot \vec v)^2 \leq |\vec u|^2 |\vec v|^2. Tirando raiz quadrada (ambos os lados não-negativos): ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|. QED.
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    1. Ideia central. Qualquer norma ao quadrado é não-negativa: ∣w⃗∣2≥0|\vec w|^2 \geq 0. Use isso para construir uma inequação.
    2. Defina a função auxiliar. f(t)=∣u⃗+tv⃗∣2f(t) = |\vec u + t\vec v|^2 para t∈Rt \in \mathbb{R}.
    3. Expanda. f(t)=∣v⃗∣2t2+2(u⃗⋅v⃗)t+∣u⃗∣2f(t) = |\vec v|^2 t^2 + 2(\vec u \cdot \vec v) t + |\vec u|^2. É um polinômio quadrático em tt.
    4. Use a não-negatividade. f(t)≥0f(t) \geq 0 para todo tt implica discriminante Δ≤0\Delta \leq 0.
    5. Calcule e conclua. Δ=4(u⃗⋅v⃗)2−4∣u⃗∣2∣v⃗∣2≤0\Delta = 4(\vec u \cdot \vec v)^2 - 4|\vec u|^2|\vec v|^2 \leq 0. Tirando raiz: ∣u⃗⋅v⃗∣≤∣u⃗∣∣v⃗∣|\vec u \cdot \vec v| \leq |\vec u||\vec v|.

    Macete: este truque — construir um polinômio quadrático não-negativo e usar o discriminante — aparece em Bessel, em programação quadrática e em diversas desigualdades clássicas.

  35. Ex. 27.35Challenge

    Demonstre a lei dos cossenos vetorial: ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2 u⃗⋅v⃗|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v.

    Hefferon — Linear Algebra · cap. 3 §I.1
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    Expanda o lado esquerdo usando linearidade do produto escalar: ∣u⃗−v⃗∣2=(u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=u⃗⋅u⃗−2 u⃗⋅v⃗+v⃗⋅v⃗=∣u⃗∣2−2 u⃗⋅v⃗+∣v⃗∣2|\vec u - \vec v|^2 = (\vec u - \vec v)\cdot(\vec u - \vec v) = \vec u \cdot \vec u - 2\,\vec u \cdot \vec v + \vec v \cdot \vec v = |\vec u|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v + |\vec v|^2. Rearranjando: ∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2 u⃗⋅v⃗|\vec u - \vec v|^2 = |\vec u|^2 + |\vec v|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v. QED. Comparando com a lei dos cossenos c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C, recupera-se u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos\theta.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios desta lição.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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