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v1 · padrão canônico

Lição 28 — Aplicações de vetores em física

Resultante de forças, decomposição em componentes, trabalho como produto escalar, adição de velocidades e tensão em cabos. Aplicações em engenharia estrutural, navegação e biomecânica.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Equiv. Physik Klasse 10 alemã · Equiv. Physics I japonês · H2 Physics singapurense

W=F⃗⋅d⃗=Fdcos⁡θW = \vec{F} \cdot \vec{d} = Fd\cos\theta

O trabalho de uma força F⃗\vec{F} sobre um deslocamento d⃗\vec{d} é o produto escalar dos dois vetores. Quando força e deslocamento formam ângulo θ\theta, apenas a componente Fcos⁡θF\cos\theta — paralela ao movimento — realiza trabalho. Se θ=90°\theta = 90°, o trabalho é zero: força perpendicular não move o objeto.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Fundamentos de mecânica vetorial

Leis de Newton em forma vetorial

"A primeira lei de Newton nos diz que uma partícula que não está acelerada deve ter força resultante nula agindo sobre ela. [...] Podemos usar este fato para determinar forças desconhecidas de equilíbrio." — OpenStax University Physics Volume 1, §5.2

Decomposição em componentes

xyF⃗F cos θF sin θθ

Decomposição de força em componentes. A componente horizontal é F cos θ e a vertical é F sin θ.

Trabalho

"O trabalho realizado por uma força em um deslocamento de um objeto é igual ao componente da força na direção do deslocamento vezes a magnitude do deslocamento." — OpenStax University Physics Volume 1, §7.1

Adição de velocidades

"Em mecânica clássica, as velocidades se somam vetorialmente. [...] O vetor velocidade do passageiro em relação ao solo é a soma do vetor velocidade do passageiro em relação ao trem e do vetor velocidade do trem em relação ao solo." — OpenStax University Physics Volume 1, §4.5

Tensão em três forças concorrentes: Teorema de Lami

Três forças F⃗1,F⃗2,F⃗3\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3 em equilíbrio num ponto com α\alpha = ângulo entre F⃗2\vec{F}_2 e F⃗3\vec{F}_3, β\beta = ângulo entre F⃗1\vec{F}_1 e F⃗3\vec{F}_3, γ\gamma = ângulo entre F⃗1\vec{F}_1 e F⃗2\vec{F}_2:

F1sin⁡α=F2sin⁡β=F3sin⁡γ\frac{F_1}{\sin\alpha} = \frac{F_2}{\sin\beta} = \frac{F_3}{\sin\gamma}

Decorre diretamente da lei dos senos aplicada ao triângulo de forças fechado.

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 20Understanding 5Modeling 10Challenge 3Proof 2
  1. Ex. 28.1Application

    Uma força de 100 N faz ângulo de 60°60° com o eixo xx positivo. Quais são suas componentes FxF_x e FyF_y?

    Select the correct option
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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §2.2 · ex. 2.14 · p. 62
    Show solution
    Para força de 100 N a 60° acima do eixo xx: Fx=100cos⁡60°=100×0,5=50F_x = 100\cos 60° = 100 \times 0{,}5 = 50 N e Fy=100sin⁡60°=100×0,866≈86,6F_y = 100\sin 60° = 100 \times 0{,}866 \approx 86{,}6 N. O cosseno projeta no eixo horizontal, o seno no vertical.
  2. Ex. 28.2Application

    Calcule o módulo e a direção da força resultante F⃗=(150,200)\vec{F} = (150, 200) N.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §2.1 · ex. 2.3 · p. 55
    Show solution
    Módulo: 1502+2002=22500+40000=62500=250\sqrt{150^2 + 200^2} = \sqrt{22500 + 40000} = \sqrt{62500} = 250 N. Ângulo: θ=arctan⁡(200/150)=arctan⁡(4/3)≈53,1°\theta = \arctan(200/150) = \arctan(4/3) \approx 53{,}1° acima do eixo xx. Use a relação pitagórica e arctan para encontrar módulo e direção a partir de componentes.
  3. Ex. 28.3Application

    Uma força de 80 N faz ângulo de 60°60° com a vertical. Calcule suas componentes horizontal e vertical.

    Solve onlineOpenStax College Physics 2e · §3.2 · ex. 3.4 · p. 105
    Show solution
    Ângulo de 60° com a **vertical** equivale a 30° com a horizontal. Então: Fx=80sin⁡60°=80×0,866≈69,3F_x = 80\sin 60° = 80 \times 0{,}866 \approx 69{,}3 N (horizontal) e Fy=80cos⁡60°=80×0,5=40F_y = 80\cos 60° = 80 \times 0{,}5 = 40 N (vertical). Quando o ângulo é dado em relação à vertical, seno e cosseno invertem papéis em relação ao caso padrão.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique o referencial do ângulo. O ângulo de 60° é com a vertical, não com a horizontal. Isso muda a fórmula.
    2. Componente horizontal. A horizontal é perpendicular à vertical, logo usa o seno do ângulo com a vertical: Fx=Fsin⁡60°=80×0,866≈69,3F_x = F\sin 60° = 80 \times 0{,}866 \approx 69{,}3 N.
    3. Componente vertical. A vertical usa o cosseno do ângulo com a vertical: Fy=Fcos⁡60°=80×0,5=40F_y = F\cos 60° = 80 \times 0{,}5 = 40 N.
    4. Verifique. 69,32+402=4802+1600=6402≈80\sqrt{69{,}3^2 + 40^2} = \sqrt{4802 + 1600} = \sqrt{6402} \approx 80 N. Confere.

    Macete: desenhe o triângulo retângulo. A hipotenusa é $F$. O cateto adjacente ao ângulo (na direção do eixo referenciado) usa cosseno; o oposto usa seno.

  4. Ex. 28.4ApplicationAnswer key

    Duas forças agem sobre uma partícula: F⃗1=(3,−1)\vec{F}_1 = (3, -1) N e F⃗2=(1,3)\vec{F}_2 = (1, 3) N. Calcule a resultante F⃗R\vec{F}_R (componentes, módulo e direção).

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §2.1 · ex. 2.5 · p. 56
    Show solution
    Soma vetorial componente a componente: F⃗R=(3+1, −1+3)=(4,2)\vec{F}_R = (3 + 1,\ -1 + 3) = (4, 2) N. Módulo: 16+4=20≈4,47\sqrt{16+4} = \sqrt{20} \approx 4{,}47 N. Direção: arctan⁡(2/4)≈26,6°\arctan(2/4) \approx 26{,}6° acima do eixo xx.
  5. Ex. 28.5ApplicationAnswer key

    Para que as forças F⃗1=(3,−1)\vec{F}_1 = (3, -1) N e F⃗2=(1,3)\vec{F}_2 = (1, 3) N estejam em equilíbrio com uma terceira F⃗3\vec{F}_3, qual deve ser F⃗3\vec{F}_3?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §5.2 · ex. 5.1 · p. 198
    Show solution
    Para equilíbrio: F⃗3=−F⃗1−F⃗2=−(3,−1)−(1,3)=(−4,−2)\vec{F}_3 = -\vec{F}_1 - \vec{F}_2 = -(3,-1) - (1,3) = (-4,-2) N. A terceira força deve ser exatamente oposta à resultante das duas primeiras.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Condição de equilíbrio. F⃗1+F⃗2+F⃗3=0⃗\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 = \vec{0}, logo F⃗3=−(F⃗1+F⃗2)\vec{F}_3 = -(\vec{F}_1 + \vec{F}_2).
    2. Soma das duas forças conhecidas. F⃗1+F⃗2=(3,−1)+(1,3)=(4,2)\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (3,-1) + (1,3) = (4,2) N.
    3. Negue. F⃗3=−(4,2)=(−4,−2)\vec{F}_3 = -(4,2) = (-4,-2) N.

    Macete: a "força de equilíbrio" é sempre o oposto da resultante de todas as outras. Módulo igual, direção contrária.

  6. Ex. 28.6Application

    Um bloco de 10 kg repousa numa rampa inclinada a 30°30°. Decomponha o peso em componentes paralela e perpendicular à rampa. Qual é a força normal sobre o bloco?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §5.4 · ex. 5.12 · p. 218
    Show solution
    Peso P=mg=10×9,8=98P = mg = 10 \times 9{,}8 = 98 N. Em relação à rampa: componente paralela (sentido descida) Psin⁡30°=98×0,5=49P\sin 30° = 98 \times 0{,}5 = 49 N; componente perpendicular (pressiona rampa) Pcos⁡30°=98×0,866≈84,9P\cos 30° = 98 \times 0{,}866 \approx 84{,}9 N. A normal equilibra a componente perpendicular: N≈84,9N \approx 84{,}9 N.
  7. Ex. 28.7ApplicationAnswer key

    Um bloco está sobre rampa de 25°25° com coeficiente de atrito estático μs=0,5\mu_s = 0{,}5. O bloco desliza ou permanece em repouso? Justifique com o critério tan⁡θ\tan\theta vs. μs\mu_s.

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.1 · ex. 6.1 · p. 260
    Show solution
    Condição de deslizamento: tan⁡θ>μs\tan\theta > \mu_s. Calculando: tan⁡25°≈0,466\tan 25° \approx 0{,}466. Como 0,466<0,50{,}466 < 0{,}5, a condição não é satisfeita e o bloco permanece em repouso. A força de atrito estático disponível supera a componente do peso na rampa.
  8. Ex. 28.8Application

    Um bloco desliza por uma rampa de 20°20° com atrito cinético μk=0,18\mu_k = 0{,}18. Qual é a aceleração do bloco?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.1 · ex. 6.3 · p. 261
    Show solution
    Com atrito cinético μk=0,18\mu_k = 0{,}18 e rampa de 20°: a=g(sin⁡20°−μkcos⁡20°)=9,8(0,342−0,18×0,940)=9,8×(0,342−0,169)=9,8×0,173≈1,70a = g(\sin 20° - \mu_k \cos 20°) = 9{,}8(0{,}342 - 0{,}18 \times 0{,}940) = 9{,}8 \times (0{,}342 - 0{,}169) = 9{,}8 \times 0{,}173 \approx 1{,}70 m/s². Resp: a≈1,70a \approx 1{,}70 m/s².
  9. Ex. 28.9ApplicationAnswer key

    Para qual ângulo de inclinação θ\theta um bloco começa a escorregar sobre uma superfície com μs=0,3\mu_s = 0{,}3?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.1 · ex. 6.4 · p. 262
    Show solution
    Limiar de deslizamento: tan⁡θ=μs\tan\theta = \mu_s. Logo θ=arctan⁡(0,3)≈16,7°\theta = \arctan(0{,}3) \approx 16{,}7°. Para qualquer inclinação acima deste ângulo, o bloco começa a escorregar.
  10. Ex. 28.10Application

    Uma força F⃗=(30,0)\vec{F} = (30, 0) N desloca um objeto d⃗=(10,5)\vec{d} = (10, 5) m. Calcule o trabalho realizado e explique por que a componente dy=5d_y = 5 m não contribui.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · ex. 7.1 · p. 290
    Show solution
    W=F⃗⋅d⃗=Fxdx+Fydy=30×10+0×5=300W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x d_x + F_y d_y = 30 \times 10 + 0 \times 5 = 300 J. A componente vertical da força (zero aqui) não contribui para o deslocamento horizontal.
  11. Ex. 28.11ApplicationAnswer key

    Um bloco desliza horizontalmente numa superfície plana. Qual é o trabalho realizado pela força normal durante o deslocamento?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · ex. 7.2 · p. 291
    Show solution
    Força normal é perpendicular à superfície e o deslocamento é horizontal. Logo o ângulo entre eles é 90°, e W=Ndcos⁡90°=0W = Nd\cos 90° = 0. A força normal nunca realiza trabalho em superfície plana.
  12. Ex. 28.12Application

    Uma força de 100 N puxa um caixote com ângulo de 30°30° acima da horizontal por 10 m na horizontal. Calcule o trabalho realizado.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · ex. 7.3 · p. 292
    Show solution
    W=Fdcos⁡θ=100×10×cos⁡30°=1000×32≈866W = Fd\cos\theta = 100 \times 10 \times \cos 30° = 1000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 866 J. A componente da força na direção do deslocamento é 100cos⁡30°≈86,6100\cos 30° \approx 86{,}6 N; multiplicada pelos 10 m, dá 866 J.
  13. Ex. 28.13Application

    Um objeto de 10 kg é levantado 2 m verticalmente. Qual é o trabalho realizado pela gravidade?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · ex. 7.4 · p. 292
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    O peso age para baixo, o deslocamento é para cima — antiparalelos: θ=180°\theta = 180°. W=mg×h×cos⁡180°=10×9,8×2×(−1)=−196W = mg \times h \times \cos 180° = 10 \times 9{,}8 \times 2 \times (-1) = -196 J. Trabalho negativo: a gravidade se opõe ao deslocamento para cima.
  14. Ex. 28.14Application

    Um bloco de 20 kg parte do repouso. Uma força de 50 N a 37°37° acima da horizontal age sobre ele por 10 m (superfície lisa). Use o teorema trabalho-energia para encontrar a velocidade final.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.3 · ex. 7.5 · p. 313
    Show solution
    Pelo teorema trabalho-energia, partindo do repouso: W=ΔK=12mvf2W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_f^2. Trabalho da força: W=50×10×cos⁡37°=500×0,799≈399,5W = 50 \times 10 \times \cos 37° = 500 \times 0{,}799 \approx 399{,}5 J. Logo vf=2W/m=2×399,5/20=39,95≈6,32v_f = \sqrt{2W/m} = \sqrt{2 \times 399{,}5 / 20} = \sqrt{39{,}95} \approx 6{,}32 m/s.
  15. Ex. 28.15ApplicationAnswer key

    Um objeto em movimento circular uniforme tem velocidade escalar constante. Qual é o trabalho realizado pela força centrípeta em qualquer arco da trajetória?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · ex. 7.6 · p. 293
    Show solution
    Força centrípeta é sempre perpendicular à velocidade (e portanto ao deslocamento instantâneo). Logo W=Fc⋅v⋅cos⁡90°=0W = F_c \cdot v \cdot \cos 90° = 0. A força centrípeta muda a direção do movimento, não a velocidade escalar — por isso realiza trabalho nulo.
  16. Ex. 28.16Application

    Um motor mantém um carrinho a velocidade constante de 5 m/s contra atrito de 300 N. Qual é a potência do motor?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.4 · ex. 7.8 · p. 321
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    Velocidade constante implica força resultante nula. Logo a força propulsora equilibra o atrito: F=f=300F = f = 300 N. Potência: P=Fv=300×5=1500P = Fv = 300 \times 5 = 1500 W = 1,5 kW.
  17. Ex. 28.17Application

    Calcule W=F⃗⋅d⃗W = \vec{F} \cdot \vec{d} para F⃗=(10,10)\vec{F} = (10, 10) N e d⃗=(8,6)\vec{d} = (8, 6) m.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.9 · ex. 11.9.1 · p. 924
    Show solution
    W=F⃗⋅d⃗=Fxdx+Fydy=10×8+10×6=80+60=140W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x d_x + F_y d_y = 10 \times 8 + 10 \times 6 = 80 + 60 = 140 J. Produto escalar calcula-se componente a componente e soma os produtos.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva a fórmula. W=F⃗⋅d⃗=Fxdx+FydyW = \vec{F} \cdot \vec{d} = F_x d_x + F_y d_y.
    2. Identifique as componentes. F⃗=(10,10)\vec{F} = (10, 10) N, d⃗=(8,6)\vec{d} = (8, 6) m.
    3. Calcule cada produto. Fxdx=10×8=80F_x d_x = 10 \times 8 = 80 J. Fydy=10×6=60F_y d_y = 10 \times 6 = 60 J.
    4. Some. W=80+60=140W = 80 + 60 = 140 J.

    Macete: verifique com a fórmula modular: ∣F⃗∣=200≈14,1|\vec{F}| = \sqrt{200} \approx 14{,}1 N, ∣d⃗∣=100=10|\vec{d}| = \sqrt{100} = 10 m, cos⁡θ=W/(∣F⃗∣∣d⃗∣)=140/141≈0,993\cos\theta = W/(|\vec{F}||\vec{d}|) = 140/141 \approx 0{,}993, logo θ≈6,8°\theta \approx 6{,}8° — os dois vetores são quase paralelos, fazendo sentido para um trabalho próximo do máximo.

  18. Ex. 28.18Application

    Um barco tem velocidade v⃗b=(0,4)\vec{v}_b = (0, 4) km/h (norte) e a correnteza é v⃗c=(3,0)\vec{v}_c = (3, 0) km/h (leste). Qual é a velocidade resultante (módulo e direção)?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · ex. 4.7 · p. 183
    Show solution
    v⃗res=(3,4)\vec{v}_{\text{res}} = (3, 4) km/h. Módulo: 9+16=5\sqrt{9 + 16} = 5 km/h. Ângulo: θ=arctan⁡(4/3)≈53,1°\theta = \arctan(4/3) \approx 53{,}1° norte do leste.
  19. Ex. 28.19ApplicationAnswer key

    O barco do exercício 28.18 atravessa um rio de 300 m de largura. Quanto tempo leva e qual é a deriva para leste?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · ex. 4.8 · p. 184
    Show solution
    Largura 300 m = 0,300 km. Componente perpendicular à margem: 4 km/h (velocidade do barco em relação à água, apontando ao norte). Tempo: t=0,300/4=0,075t = 0{,}300/4 = 0{,}075 h = 4,5 min. Deriva para leste: Δx=3×0,075=0,225\Delta x = 3 \times 0{,}075 = 0{,}225 km = 225 m.
  20. Ex. 28.20Application

    Um avião voa a 800 km/h rumo norte em relação ao ar. O vento sopra 100 km/h para leste em relação ao solo. Qual é a velocidade real do avião em relação ao solo (módulo e direção)?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · ex. 4.9 · p. 185
    Show solution
    Velocidade do avião em relação ao ar: (0,800)(0, 800) km/h. Vento (ar em relação ao solo): (100,0)(100, 0) km/h. Resultante em relação ao solo: (100,800)(100, 800) km/h. Módulo: 1002+8002=650000≈806\sqrt{100^2 + 800^2} = \sqrt{650000} \approx 806 km/h. Ângulo em relação ao norte: arctan⁡(100/800)≈7,1°\arctan(100/800) \approx 7{,}1° leste do norte.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique os vetores. Avião em relação ao ar: v⃗1=(0,800)\vec{v}_1 = (0, 800) km/h. Ar em relação ao solo (vento): v⃗2=(100,0)\vec{v}_2 = (100, 0) km/h.
    2. Some. v⃗avia˜o/solo=(100,800)\vec{v}_{\text{avião/solo}} = (100, 800) km/h.
    3. Módulo. v=1002+8002≈806v = \sqrt{100^2 + 800^2} \approx 806 km/h.
    4. Ângulo. θ=arctan⁡(100/800)≈7,1°\theta = \arctan(100/800) \approx 7{,}1° leste do norte. Desvio pequeno: o vento lateral é 12,5% da velocidade do avião.
  21. Ex. 28.21Modeling

    Um objeto de 4000 N está suspenso por dois cabos. Cabo 1 faz 30°30° com a horizontal (à esquerda), cabo 2 faz 60°60° (à direita). Calcule as tensões T1T_1 e T2T_2.

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §5.7 · ex. 5.7 · p. 236
    Show solution
    Cabo 1 a 30° da horizontal (à esquerda), cabo 2 a 60° (à direita), peso W=4000W = 4000 N. Eixo xx: −T1cos⁡30°+T2cos⁡60°=0  ⟹  T132=T212  ⟹  T1=T2/3-T_1\cos 30° + T_2\cos 60° = 0 \implies T_1 \frac{\sqrt{3}}{2} = T_2 \frac{1}{2} \implies T_1 = T_2/\sqrt{3}. Eixo yy: T1sin⁡30°+T2sin⁡60°=4000T_1\sin 30° + T_2\sin 60° = 4000. Substituindo: T2/3×1/2+T2×3/2=4000  ⟹  T2×2/3=4000  ⟹  T2=20003≈3464T_2/\sqrt{3} \times 1/2 + T_2 \times \sqrt{3}/2 = 4000 \implies T_2 \times 2/\sqrt{3} = 4000 \implies T_2 = 2000\sqrt{3} \approx 3464... Para os ângulos 30°/60°, pela lei dos senos no triângulo de forças: T1=Wcos⁡60°=4000×0,5=2000T_1 = W\cos 60° = 4000 \times 0{,}5 = 2000 N e T2=Wcos⁡30°≈3464T_2 = W\cos 30° \approx 3464 N. Resp: T1≈2000T_1 \approx 2000 N, T2≈2588T_2 \approx 2588 N (para peso de 4000 N e ângulos exatos dados).
  22. Ex. 28.22ModelingAnswer key

    Dois cabos simétricos, cada um a 30°30° da vertical, sustentam um objeto de 10 00010\,000 N. Qual é a tensão em cada cabo?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §5.4 · ex. 5.13 · p. 219
    Show solution
    Dois cabos simétricos a 30° da vertical sustentam 10000 N. Equilíbrio vertical: 2Tcos⁡30°=10000  ⟹  T=10000/(2×0,866)≈57742T\cos 30° = 10000 \implies T = 10000/(2 \times 0{,}866) \approx 5774 N. As componentes horizontais das duas tensões se anulam por simetria.
  23. Ex. 28.23Understanding

    Em um pêndulo ideal, o fio mantém tensão constante. O que se pode afirmar sobre o trabalho realizado pela tensão ao longo de qualquer arco da trajetória?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · conceitual §7.1 · p. 294
    Show solution
    A tensão num pêndulo ideal é sempre perpendicular à velocidade (aponta radialmente para o ponto de suspensão enquanto o movimento é tangencial). Logo WT=∫T⃗⋅ds⃗=0W_T = \int \vec{T} \cdot d\vec{s} = 0 em qualquer arco. Apenas a gravidade realiza trabalho no pêndulo.
  24. Ex. 28.24UnderstandingAnswer key

    Qual das afirmações descreve corretamente o trabalho realizado pela gravidade entre dois pontos a alturas diferentes?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §8.1 · conceitual §8.1 · p. 348
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    Para força conservativa (como a gravidade), o trabalho realizado entre dois pontos é independente da trajetória — depende apenas das alturas inicial e final: Wg=mg(hi−hf)W_g = mg(h_i - h_f). Isso é a definição de força conservativa. O atrito não é conservativo: seu trabalho depende da trajetória.
  25. Ex. 28.25Understanding

    Um projétil é lançado com velocidade inicial v0v_0 em terreno plano e sem resistência do ar. Para qual ângulo o alcance horizontal é máximo?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.3 · ex. 4.5 · p. 163
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    Alcance: R=v02sin⁡(2θ)/gR = v_0^2 \sin(2\theta)/g. O máximo ocorre quando sin⁡(2θ)=1\sin(2\theta) = 1, ou seja, 2θ=90°  ⟹  θ=45°2\theta = 90° \implies \theta = 45°. Isso assume lançamento e pouso no mesmo nível e sem resistência do ar.
  26. Ex. 28.26Understanding

    Um bloco desliza para baixo por uma rampa inclinada. Para cada força (peso, normal, atrito), determine o sinal do trabalho realizado e justifique usando o ângulo entre força e deslocamento.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · conceitual §7.1 · p. 291
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    Numa rampa, o bloco desloca-se para baixo e para frente. O peso aponta verticalmente para baixo. O ângulo entre o peso e o deslocamento é agudo (menor que 90°), portanto o trabalho do peso é **positivo**. A força normal é perpendicular à rampa (e ao deslocamento do bloco), logo realiza trabalho nulo. O atrito, se presente, aponta contra o movimento — trabalho negativo.
  27. Ex. 28.27Understanding

    Qual é o princípio correto para calcular a velocidade de um barco em relação ao solo, sabendo a velocidade do barco em relação à água e a velocidade da correnteza?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · conceitual §4.5 · p. 183
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    A composição galileana de velocidades: v⃗barco/solo=v⃗barco/aˊgua+v⃗aˊgua/solo\vec{v}_{\text{barco/solo}} = \vec{v}_{\text{barco/água}} + \vec{v}_{\text{água/solo}}. Este é o princípio vetorial de adição de velocidades em mecânica clássica. A resultante pode ser maior, menor ou igual às velocidades individuais, dependendo dos ângulos.
  28. Ex. 28.28Modeling

    Um acrobata de 60 kg equilibra-se no centro de uma corda bamba. A corda faz ângulo de 5°5° abaixo da horizontal em cada lado. Calcule a tensão em cada metade da corda e comente o resultado.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §5.4 · ex. 5.2 · p. 220
    Show solution
    Acrobata (60 kg, peso = 588 N) no centro da corda bamba. Dois cabos a 5° abaixo da horizontal. Equilíbrio vertical: 2Tsin⁡5°=588  ⟹  T=588/(2×0,0872)≈33722T\sin 5° = 588 \implies T = 588/(2 \times 0{,}0872) \approx 3372 N. A tensão é cerca de 5,7 vezes o peso do acrobata — o ângulo pequeno "amplifica" a força necessária. Isso explica por que cordas bambas rompem facilmente com cargas relativamente leves.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Diagrama de corpo livre. Duas tensões TT puxam em sentidos opostos e ligeiramente para cima (5° acima da horizontal). Peso W=588W = 588 N para baixo.
    2. Equilíbrio vertical. Componente vertical de cada tensão: Tsin⁡5°T\sin 5°. Dois cabos: 2Tsin⁡5°=W2T\sin 5° = W.
    3. Isole T. T=W/(2sin⁡5°)=588/0,1745≈3372T = W/(2\sin 5°) = 588/0{,}1745 \approx 3372 N.
    4. Interprete. Para ângulo pequeno, sin⁡5°≈0,087\sin 5° \approx 0{,}087. A força é proporcional a 1/sin⁡θ1/\sin\theta — quanto menor o ângulo, maior a tensão necessária.

    Curiosidade: se a corda fosse completamente horizontal (0°), a tensão necessária seria infinita — impossível sustentar qualquer peso com corda horizontal perfeita.

  29. Ex. 28.29Modeling

    Um bloco de 1 kg é empurrado para cima de uma rampa lisa de 30°30° com velocidade constante, paralelo à superfície. Qual é a força mínima necessária?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.1 · ex. 6.2 · p. 261
    Show solution
    Velocidade constante na rampa: força resultante = zero. A força aplicada equilibra a componente do peso na rampa. Rampa lisa (sem atrito): F=mgsin⁡30°=1×9,8×0,5=4,90F = mg\sin 30° = 1 \times 9{,}8 \times 0{,}5 = 4{,}90 N.
  30. Ex. 28.30Modeling

    Um barco (velocidade em água parada: 4 m/s) deve cruzar um rio de correnteza 2 m/s e chegar exatamente na margem oposta, sem deriva. Em que ângulo deve apontar a proa e qual é a velocidade efetiva de travessia?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · ex. 4.8 adaptado · p. 185
    Show solution
    Para chegar diretamente na margem oposta (sem deriva) com correnteza vc=2v_c = 2 m/s e velocidade do barco vb=4v_b = 4 m/s: ângulo da proa a montante ϕ:sin⁡ϕ=vc/vb=2/4=0,5  ⟹  ϕ=30°\phi: \sin\phi = v_c/v_b = 2/4 = 0{,}5 \implies \phi = 30°. Velocidade efetiva de travessia: v⊥=vb2−vc2=16−4=12≈3,46v_\perp = \sqrt{v_b^2 - v_c^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} \approx 3{,}46 m/s.
  31. Ex. 28.31Modeling

    Um engenheiro projeta uma rampa de estacionamento com inclinação de 18°18°. Qual é o coeficiente de atrito estático mínimo para que os carros não escorreguem ao parar?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.1 · ex. 6.5 · p. 263
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    Para que o carro não deslize na rampa: μs≥tan⁡θ\mu_s \geq \tan\theta. Com θ=18°\theta = 18°: μs,min⁡=tan⁡18°≈0,325\mu_{s,\min} = \tan 18° \approx 0{,}325. O coeficiente de atrito deve ser pelo menos 0,325. Asfalto seco tem μs≈0,7\mu_s \approx 0{,}7 — suficiente com folga.
  32. Ex. 28.32Modeling

    Um esquiador de 50 kg parte do repouso no topo de uma rampa lisa e desce 400 m numa inclinação de 30°30°. Calcule o trabalho da gravidade e a velocidade ao final.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.3 · ex. 7.5 · p. 314
    Show solution
    Esquiador de 50 kg, rampa lisa de 30°, percurso de 400 m. Altura de descida: h=400sin⁡30°=200h = 400\sin 30° = 200 m. Trabalho da gravidade: Wg=mgh=50×9,8×200=98000W_g = mgh = 50 \times 9{,}8 \times 200 = 98000 J = 98 kJ. Velocidade final (partindo do repouso): vf=2Wg/m=2×98000/50=3920≈62,6v_f = \sqrt{2W_g/m} = \sqrt{2 \times 98000/50} = \sqrt{3920} \approx 62{,}6 m/s.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Altura de descida. Ao longo de 400 m a 30°: h=400sin⁡30°=400×0,5=200h = 400\sin 30° = 400 \times 0{,}5 = 200 m.
    2. Trabalho da gravidade. Wg=mgh=50×9,8×200=98000W_g = mgh = 50 \times 9{,}8 \times 200 = 98000 J.
    3. Teorema trabalho-energia. Wg=12mvf2  ⟹  vf=2×98000/50≈62,6W_g = \frac{1}{2}mv_f^2 \implies v_f = \sqrt{2 \times 98000/50} \approx 62{,}6 m/s $\\approx$ 225 km/h.
    4. Razoabilidade. 225 km/h numa rampa longa e lisa é fisicamente possível em contexto hipotético, mas impraticável — atrito e resistência do ar reduzem muito.
  33. Ex. 28.33Modeling

    Um carro de 1500 kg faz uma curva de raio 150 m a 60 km/h. Qual é a força centrípeta necessária?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.3 · ex. 6.6 · p. 279
    Show solution
    Velocidade em m/s: v=60×1000/3600=50/3≈16,67v = 60 \times 1000/3600 = 50/3 \approx 16{,}67 m/s. Força centrípeta: Fc=mv2/r=1500×(16,67)2/150=1500×277,9/150≈2779F_c = mv^2/r = 1500 \times (16{,}67)^2/150 = 1500 \times 277{,}9/150 \approx 2779 N.
  34. Ex. 28.34Modeling

    Um ciclista de 100 kg (incluindo bicicleta) sobe uma rampa de 15°15° a velocidade constante de 9,659{,}65 m/s. Calcule a potência mínima do ciclista (ignore atrito).

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.4 · ex. 7.9 · p. 322
    Show solution
    Força necessária para subir a velocidade constante: equilibra a componente do peso na rampa. F=mgsin⁡15°=100×9,8×sin⁡15°=980×0,259≈253,8F = mg\sin 15° = 100 \times 9{,}8 \times \sin 15° = 980 \times 0{,}259 \approx 253{,}8 N. Potência: P=Fv=253,8×9,65≈2449P = Fv = 253{,}8 \times 9{,}65 \approx 2449 W $\\approx$ 2,45 kW.
  35. Ex. 28.35Modeling

    Um ciclista de 80 kg (incluindo bicicleta) sobe uma rampa de 5% (inclinação de 1:20) a 25 km/h. Calcule a potência mínima necessária (ignore atrito). Compare com a potência típica de um ciclista amador (150–200 W).

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.4 · ex. 7.9 adaptado · p. 322
    Show solution
    Ciclista de 80 kg (incluindo bicicleta), rampa de 5%, equivalente a θ=arctan⁡(0,05)≈2,86°\theta = \arctan(0{,}05) \approx 2{,}86°, velocidade 25 km/h = 6,94 m/s. Força de subida: F=mgsin⁡θ=80×9,8×0,05≈39,2F = mg\sin\theta = 80 \times 9{,}8 \times 0{,}05 \approx 39{,}2 N (para rampa de 5% = 5 m de altitude por 100 m horizontais). Potência: P=Fv=39,2×6,94≈272P = Fv = 39{,}2 \times 6{,}94 \approx 272 W. Um ciclista amador produz 150–200 W; esse esforço é exigente mas alcançável.
  36. Ex. 28.36Challenge

    Teorema de Lami. Peso de 500 N suspenso por dois cabos: cabo 1 a 30°30° e cabo 2 a 60°60° com a horizontal. Resolva pelo Teorema de Lami e verifique pelas equações de equilíbrio.

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    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §5.7 · ex. 5.7 · p. 236
    Show solution
    Pelo Teorema de Lami: ângulo entre T1T_1 e WW é 120° (90°+30°), ângulo entre T2T_2 e WW é 150° (90°+60°), ângulo entre T1T_1 e T2T_2 é 90°. T1/sin⁡150°=T2/sin⁡120°=500/sin⁡90°T_1/\sin 150° = T_2/\sin 120° = 500/\sin 90°. T1=500×0,5=250T_1 = 500 \times 0{,}5 = 250 N. T2=500×3/2≈433T_2 = 500 \times \sqrt{3}/2 \approx 433 N.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique as três forças. Tensão T1T_1 (cabo a 30° da horizontal, aponta esquerda-cima), tensão T2T_2 (cabo a 60° da horizontal, aponta direita-cima), peso W=500W = 500 N (para baixo).
    2. Ângulos entre pares de forças. Entre T1T_1 e T2T_2: 180°−30°−60°=90°180° - 30° - 60° = 90°. Entre T2T_2 e WW: 90°+60°=150°90° + 60° = 150°. Entre T1T_1 e WW: 90°+30°=120°90° + 30° = 120°.
    3. Teorema de Lami. T1/sin⁡150°=T2/sin⁡120°=W/sin⁡90°=500T_1/\sin 150° = T_2/\sin 120° = W/\sin 90° = 500.
    4. Calcule. T1=250T_1 = 250 N, T2≈433T_2 \approx 433 N.
    5. Verifique. T1cos⁡30°=250×0,866≈216,5T_1\cos 30° = 250 \times 0{,}866 \approx 216{,}5 N. T2cos⁡60°=433×0,5=216,5T_2\cos 60° = 433 \times 0{,}5 = 216{,}5 N. Componentes horizontais iguais e opostas. Confere.
  37. Ex. 28.37Challenge

    Navegação. Um barco pode atingir 10 m/s em água parada. O rio tem correnteza de 5 m/s. O barco deve chegar exatamente na margem oposta (1 km de largura) sem deriva lateral. (a) Em que ângulo deve apontar a proa? (b) Qual é a velocidade efetiva de travessia? (c) Quanto tempo leva?

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · ex. 4.9 · p. 185
    Show solution
    Para chegar direto na margem oposta: sin⁡ϕ=vc/vb=5/10=0,5  ⟹  ϕ=30°\sin\phi = v_c/v_b = 5/10 = 0{,}5 \implies \phi = 30° a montante. Velocidade efetiva: v⊥=100−25=75=53≈8,66v_\perp = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66 m/s. Tempo para 1000 m: t=1000/8,66≈115,5t = 1000/8{,}66 \approx 115{,}5 s $\\approx$ 1 min 56 s.
  38. Ex. 28.38Challenge

    Curva peraltada. Uma curva rodoviária tem raio 200 m e peralte de 25°25°. O coeficiente de atrito estático pneu-asfalto é μs=0,3\mu_s = 0{,}3. Determine a velocidade mínima com que um carro pode percorrer a curva sem derrapar para dentro.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §6.3 · ex. 6.5 · p. 280
    Show solution
    Para curva peraltada com θ=25°\theta = 25°, μs=0,3\mu_s = 0{,}3 e r=200r = 200 m, velocidade mínima (atrito máximo apontando morro acima): vmin⁡2=rg(tan⁡θ−μs)/(1+μstan⁡θ)=200×9,8×(0,466−0,3)/(1+0,3×0,466)=1960×0,166/1,140≈285v_{\min}^2 = rg(\tan\theta - \mu_s)/(1 + \mu_s\tan\theta) = 200 \times 9{,}8 \times (0{,}466 - 0{,}3)/(1 + 0{,}3 \times 0{,}466) = 1960 \times 0{,}166/1{,}140 \approx 285. vmin⁡≈16,9v_{\min} \approx 16{,}9 m/s $\\approx$ 60,8 km/h.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Geometria. Pista a θ=25°\theta = 25°. Normal NN perpendicular à pista. Atrito ff ao longo da pista.
    2. Equações. Vertical: Ncos⁡θ−fsin⁡θ=mgN\cos\theta - f\sin\theta = mg. Horizontal (centrípeta): Nsin⁡θ+fcos⁡θ=mv2/rN\sin\theta + f\cos\theta = mv^2/r.
    3. Velocidade mínima. Atrito no máximo e apontando morro acima (f=μsNf = \mu_s N). Resolva o sistema para v2v^2: vmin⁡2=rg(tan⁡θ−μs)/(1+μstan⁡θ)v_{\min}^2 = rg(\tan\theta - \mu_s)/(1 + \mu_s\tan\theta).
    4. Calcule. vmin⁡≈16,9v_{\min} \approx 16{,}9 m/s = 60,8 km/h.

    Curiosidade: abaixo de 60,8 km/h o carro derrapa para dentro da curva. Acima de vmax⁡≈41,8v_{\max} \approx 41{,}8 m/s (150 km/h), derrapa para fora.

  39. Ex. 28.39Proof

    Demonstração. Prove que as seguintes forças sempre realizam trabalho nulo: (i) força normal em superfície plana, (ii) força centrípeta em movimento circular, (iii) tensão do fio em pêndulo ideal. O argumento central é o mesmo nos três casos — identifique-o.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §7.1 · conceitual §7.1 · p. 294
    Show solution
    Demonstração: (i) WN=0W_N = 0 porque a força normal é perpendicular ao deslocamento em qualquer superfície plana — consequência de N \perp ec{v}, logo ec{N} \cdot d ec{r} = 0. (ii) Wextcentrıˊpeta=0W_{ ext{centrípeta}} = 0 porque a força centrípeta é sempre radial (perpendicular à velocidade tangencial), logo ec{F}_c \cdot ec{v} = 0 em todo instante. (iii) WTextpe^ndulo=0W_T^{ ext{pêndulo}} = 0 porque a tensão aponta do objeto ao ponto de suspensão (radial), enquanto o deslocamento é tangencial ao arco — perpendiculares. Em todos os casos, o argumento é: força perpendicular ao deslocamento implica produto escalar nulo.
  40. Ex. 28.40ProofAnswer key

    Demonstração — problema de navegação. Um barco atravessa rio de largura LL com velocidade vbv_b em água parada e correnteza vc<vbv_c < v_b. Prove que: (a) para minimizar o tempo de travessia, o barco deve apontar perpendicular à margem (tempo t=L/vbt = L/v_b, com deriva d=vcL/vbd = v_c L/v_b); (b) para chegar sem deriva, deve apontar ângulo ϕ=arcsin⁡(vc/vb)\phi = \arcsin(v_c/v_b) a montante (tempo t′=L/vb2−vc2>tt' = L/\sqrt{v_b^2 - v_c^2} > t). Conclua que mínimo tempo e zero deriva são objetivos conflitantes.

    Solve onlineOpenStax University Physics Volume 1 · §4.5 · ex. 4.9 desafio · p. 185
    Show solution
    Para barco cruzando rio de largura $L$ com velocidade $v_b$ (em relação à água) e correnteza $v_c$: (a) Apontando perpendicular à margem: tempo t=L/vbt = L/v_b, deriva d=vct=vcL/vbd = v_c t = v_c L/v_b. (b) Apontando ângulo ϕ\phi a montante tal que sin⁡ϕ=vc/vb\sin\phi = v_c/v_b: componente perpendicular v⊥=vbcos⁡ϕ=vb2−vc2v_\perp = v_b\cos\phi = \sqrt{v_b^2 - v_c^2}, sem deriva. Tempo: t′=L/vb2−vc2t' = L/\sqrt{v_b^2 - v_c^2}. Mínimo tempo é o caso (a): t=L/vb<L/vb2−vc2=t′t = L/v_b < L/\sqrt{v_b^2 - v_c^2} = t', pois vb>vb2−vc2v_b > \sqrt{v_b^2 - v_c^2}. Mínima deriva (zero) é o caso (b). São objetivos conflitantes.

Fontes

  • OpenStax University Physics Volume 1 — OpenStax · 2016 · CC-BY 4.0 · §2.1–2.2 (Vetores e componentes), §4.3, §4.5 (Movimento relativo e projetil), §5.2–5.7 (Leis de Newton e equilíbrio), §6.1–6.3 (Aplicações, atrito, centrípeta), §7.1–7.4 (Trabalho, energia cinética, teorema trabalho-energia, potência). Fonte primária desta lição.
  • OpenStax College Physics 2e — OpenStax · 2022 · CC-BY 4.0 · §3.1–3.5 (Adição de vetores), §4.3–4.7 (Aplicações das leis de Newton). Abordagem algebra-based mais acessível ao ensino médio.
  • Stitz-Zeager Precalculus — Stitz & Zeager · 2013 · CC-BY-NC-SA · §11.9 (Produto escalar, trabalho, projeções).
  • Prêmio Nobel de Física 2017 — Weiss, Barish e Thorne (LIGO) · Detecção de ondas gravitacionais via decomposição vetorial de tensores de tensão.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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