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Lição 33 — Matriz transposta, identidade, inversa

A transposta espelha a matriz. A inversa desfaz a multiplicação — só existe quando o determinante é não-nulo.

Used in: 1.º ano do EM (16 anos) · Math I japonês cap. matrizes · Klasse 11 alemã Lineare Algebra

A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & {-b} \\ {-c} & a \end{pmatrix}

A inversa de uma matriz 2×2 A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}: troca os elementos da diagonal principal, troca o sinal dos elementos fora da diagonal, divide tudo pelo determinante ad−bcad - bc. Se ad−bc=0ad - bc = 0, a inversa não existe — a matriz é singular.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Transposta

Propriedades da transposta — para A,BA, B compatíveis e α∈R\alpha \in \mathbb{R}:

PropriedadeFórmula
Involução(AT)T=A(A^T)^T = A
Linearidade (soma)(A+B)T=AT+BT(A + B)^T = A^T + B^T
Linearidade (escalar)(αA)T=αAT(\alpha A)^T = \alpha A^T
Produto (ordem inverte)(AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T
Inversa-transposta(A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}

Matriz simétrica: A=ATA = A^T (implica AA quadrada). Matriz antissimétrica: AT=−AA^T = -A (implica diagonal principal nula).

"Para matrizes AA e BB, o transposto do produto satisfaz (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T. A ordem é invertida, como ocorre também com a inversa." — Beezer, A First Course in Linear Algebra, §MO

A (2×3)abcdeftranspor(·)ᵀAᵀ (3×2)adbecf

Transposta de uma matriz 2×3: cada linha de A torna-se uma coluna de AT. Formato inverte de m×n para n×m.

Matriz identidade

Matriz inversa

"Uma matriz quadrada AA tem inversa se e somente se suas colunas são linearmente independentes — equivalentemente, se e somente se det⁡A≠0\det A \neq 0." — Beezer, FCLA, §MI

Fórmula explícita para 2×22 \times 2

A=(abcd)  ⟹  A−1=1ad−bc(d−b−ca)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \implies A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
what this means · Para A = [[a,b],[c,d]]: troca os elementos da diagonal principal, troca o sinal dos elementos fora da diagonal, divide pelo determinante. Válida somente se ad - bc ≠ 0.

Método de Gauss-Jordan para n×nn \times n

Forme a matriz aumentada [A∣In][A \mid I_n] e aplique operações elementares de linha até obter [In∣A−1][I_n \mid A^{-1}]. Se AA for singular, o lado esquerdo não chegará a InI_n — a inversa não existe.

Propriedades da inversa

(A−1)−1=A,(AB)−1=B−1A−1,(AT)−1=(A−1)T,(αA)−1=1αA−1,det⁡(A−1)=1det⁡A(A^{-1})^{-1} = A, \quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}, \quad (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T, \quad (\alpha A)^{-1} = \tfrac{1}{\alpha}A^{-1}, \quad \det(A^{-1}) = \tfrac{1}{\det A}
what this means · Cinco identidades fundamentais envolvendo a inversa. A inversão de ordem no produto é análoga à inversão de ordem na transposta.

"Se AA e BB são matrizes invertíveis de mesma ordem, então ABAB é invertível e (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}." — Hefferon, Linear Algebra, cap. 3 §1

Exemplos resolvidos

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 23Understanding 6Modeling 7Challenge 2Proof 2
  1. Ex. 33.1Application

    Calcule ATA^T para A=(123456)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
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    A transposta de uma matriz 2×32 \times 3 é uma matriz 3×23 \times 2. Cada linha de AA vira uma coluna de ATA^T. Linha 1 (1,2,3)(1, 2, 3) vira coluna 1; linha 2 (4,5,6)(4, 5, 6) vira coluna 2:AT=(142536)A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.
  2. Ex. 33.2Application

    Calcule BTB^T para B=(2−150)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
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    Para B=(2−150)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}, troca linhas por colunas: BT=(25−10)B^T = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. O elemento b12=−1b_{12} = -1 vai para a posição (2,1)(2,1), e b21=5b_{21} = 5 vai para a posição (1,2)(1,2).
  3. Ex. 33.3Application

    Classifique C=(53−1307−172)C = \begin{pmatrix} 5 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 7 \\ -1 & 7 & 2 \end{pmatrix}: simétrica, antissimétrica, triangular superior ou nenhuma?

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
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    Verificar se C=CTC = C^T: os pares fora da diagonal são c12=3=c21c_{12} = 3 = c_{21}, c13=−1=c31c_{13} = -1 = c_{31}, c23=7=c32c_{23} = 7 = c_{32}. Como todos os pares cij=cjic_{ij} = c_{ji}, a matriz é simétrica.
  4. Ex. 33.4ApplicationAnswer key

    Calcule ATA^T para A=(209−3)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 9 & -3 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7
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    Para A=(209−3)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 9 & -3 \end{pmatrix}: a diagonal permanece igual; os elementos fora da diagonal trocam: a12=0a_{12} = 0 vai para (2,1)(2,1) e a21=9a_{21} = 9 vai para (1,2)(1,2). Resultado: AT=(290−3)A^T = \begin{pmatrix} 2 & 9 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}.
  5. Ex. 33.5ApplicationAnswer key

    Qual é a fórmula correta para (AB)T(AB)^T?

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
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    A propriedade do produto de transpostas diz que (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T — a ordem é invertida. Verifique com A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}: (AB)T=(2413)(AB)^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} e BTAT=(2413)B^T A^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. Iguais.
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    1. Enuncie a propriedade. Para matrizes compatíveis: (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T. A ordem das matrizes inverte.
    2. Verifique com números. Tome A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, B=(0110)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Calcule AB=(2143)AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}, logo (AB)T=(2413)(AB)^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
    3. Calcule pelo outro lado. AT=(1324)A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, BT=(0110)B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. BTAT=(2413)B^T A^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}. Igual a (AB)T(AB)^T.
    4. Conclua. (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T. A inversão de ordem é análoga à de (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Macete: "desfazer uma sequência de ações exige inverter a ordem."
  6. Ex. 33.6Understanding

    Para qualquer matriz quadrada AA, a soma A+ATA + A^T é sempre simétrica?

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
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    Para qualquer matriz quadrada AA: (A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT(A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = A + A^T. Como (A+AT)T=A+AT(A + A^T)^T = A + A^T, a matriz é simétrica. Analogamente, A−ATA - A^T é sempre antissimétrica.
  7. Ex. 33.7Application

    Calcule DTD^T para D=(01−10)D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} e verifique se DD é antissimétrica (DT=−DD^T = -D).

    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
    Show solution
    A transposta de D=(01−10)D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} é DT=(0−110)D^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Verifique que DT=−DD^T = -D: −D=(0−110)-D = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. Sim, DT=−DD^T = -D — portanto DD é antissimétrica. Nota: toda matriz antissimétrica tem diagonal principal nula.
  8. Ex. 33.8Application

    Calcule RTR^T para a matriz de rotação R=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} e verifique que RRT=IRR^T = I.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MO
    Show solution
    A transposta de R=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} é RT=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)R^T = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}, que corresponde à rotação por −θ-\theta. Verifique: det⁡R=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det R = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1, e RRT=IRR^T = I (calcule explicitamente usando Pitágoras). Portanto a matriz de rotação é ortogonal: R−1=RTR^{-1} = R^T.
  9. Ex. 33.9ApplicationAnswer key

    Calcule A−1A^{-1} para A=(3152)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 1
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    det⁡A=3⋅2−1⋅5=1\det A = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 1. Como o determinante é 1, A−1=(2−1−53)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}. Verificação: (3152)(2−1−53)=(1001)\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o determinante. Para A=(3152)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}: det⁡A=3×2−1×5=1\det A = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 1. Não-nulo — a inversa existe.
    2. Aplique a fórmula. Troque a=3a=3 com d=2d=2 na diagonal; inverta os sinais de b=1b=1 e c=5c=5; divida por det⁡A=1\det A = 1.
    3. Resultado. A−1=(2−1−53)A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}.
    4. Verifique. Multiplique A⋅A−1A \cdot A^{-1} e confirme I2I_2. Macete: quando det = 1, a inversa tem entradas inteiras — verificação é rápida.
  10. Ex. 33.10Application

    Calcule A−1A^{-1} para A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 3
    Show solution
    det⁡A=1⋅4−2⋅3=4−6=−2\det A = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2. A−1=1−2(4−2−31)=(−213/2−1/2)A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}. Verificação: (1234)(−213/2−1/2)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  11. Ex. 33.11ApplicationAnswer key

    Existe A−1A^{-1} para A=(1224)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 7
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    det⁡A=1⋅4−2⋅2=4−4=0\det A = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0. O determinante é zero: a matriz é singular e não possui inversa. Geometricamente, essa transformação colapsa o plano numa reta — informação é perdida e não pode ser recuperada.
  12. Ex. 33.12Application

    Para qual valor de kk a matriz (1k24)\begin{pmatrix} 1 & k \\ 2 & 4 \end{pmatrix} não possui inversa?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7
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    det⁡A=1⋅4−k⋅2=4−2k\det A = 1 \cdot 4 - k \cdot 2 = 4 - 2k. A matriz não tem inversa quando det⁡A=0\det A = 0: 4−2k=0⇒k=24 - 2k = 0 \Rightarrow k = 2.
  13. Ex. 33.13Application

    Calcule A−1A^{-1} para A=(1−111)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 5
    Show solution
    det⁡A=1⋅1−(−1)⋅1=1+1=2\det A = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 1 + 1 = 2. Pela fórmula: A−1=12(11−11)A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. Note que −(−1)=1-(- 1) = 1 na posição (1,2) e −(1)=−1-(1) = -1 na posição (2,1).
  14. Ex. 33.14Application

    Qual é a inversa de uma matriz diagonal 2×22 \times 2, D=(a00b)D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}, com a≠0a \neq 0 e b≠0b \neq 0? Demonstre com a fórmula.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MI
    Show solution
    Para D=(a00b)D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}: det⁡D=ab\det D = ab. A inversa existe se ab≠0ab \neq 0, ou seja, a≠0a \neq 0 e b≠0b \neq 0. Aplicando a fórmula 2×2: D−1=1ab(b00a)=(1/a001/b)D^{-1} = \frac{1}{ab}\begin{pmatrix} b & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/a & 0 \\ 0 & 1/b \end{pmatrix}. A inversa de uma matriz diagonal é diagonal com as entradas invertidas.
  15. Ex. 33.15ApplicationAnswer key

    Resolva via inversa: {2x+y=4x+3y=7\begin{cases} 2x + y = 4 \\ x + 3y = 7 \end{cases}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 23
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    Com A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} e b=(47)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}: det⁡A=6−1=5\det A = 6 - 1 = 5. A−1=15(3−1−12)A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. Então x=15(12−7−4+14)=15(510)=(12)\mathbf{x} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 12-7 \\ -4+14 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.
  16. Ex. 33.16Application

    Resolva via inversa: {x+2y=−1−x+y=−2\begin{cases} x + 2y = -1 \\ -x + y = -2 \end{cases}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 25
    Show solution
    Sistema: A=(12−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, b=(−1−2)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \end{pmatrix}. det⁡A=1+2=3\det A = 1 + 2 = 3. A−1=13(1−211)A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. x=13(−1⋅1+(−2)(−2)−1⋅1+(−2)(1))\mathbf{x} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 \cdot 1 + (-2)(-2) \\ -1 \cdot 1 + (-2)(1) \end{pmatrix} — aguarde, calcule corretamente: x=13(1(−1)+(−2)(−2)1(−1)+1(−2))=13(3−3)=(1−1)\mathbf{x} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1(-1) + (-2)(-2) \\ 1(-1) + 1(-2) \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}. Verificação: 1+2(−1)=−11 + 2(-1) = -1 e −1+(−1)=−2-1 + (-1) = -2. Correto.
  17. Ex. 33.17ApplicationAnswer key

    Calcule R−1R^{-1} para a matriz de rotação R=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MI
    Show solution
    det⁡R=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1≠0\det R = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \neq 0. Pela fórmula: R−1=11(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)R^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. Isso é a rotação por −θ-\theta — desfaz a original. Nota: R−1=RTR^{-1} = R^T, confirmando que a matriz de rotação é ortogonal.
  18. Ex. 33.18Understanding

    Qual é a fórmula correta para (AB)−1(AB)^{-1}, onde AA e BB são invertíveis?

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MI Theorem SS
    Show solution
    A identidade correta é (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Prova: (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I. Por unicidade da inversa, está estabelecido.
  19. Ex. 33.19ApplicationAnswer key

    Calcule T−1T^{-1} para a matriz de cisalhamento T=(1101)T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 9
    Show solution
    Para T=(1101)T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}: det⁡T=1⋅1−1⋅0=1\det T = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 = 1. Pela fórmula: T−1=(1−101)T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Esta é a matriz de cisalhamento inverso — subtrai em vez de adicionar. Verifique: (1101)(1−101)=(1001)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
  20. Ex. 33.20Application

    Use A−1A^{-1} do Exemplo 2 (com A=(4726)A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}) para resolver Ax=(1912)A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 19 \\ 12 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 29
    Show solution
    Sistema: A=(4726)A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}, b=(1912)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 19 \\ 12 \end{pmatrix}. Do Exemplo 2: A−1=110(6−7−24)A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}. Logo x=110(6⋅19−7⋅12−2⋅19+4⋅12)=110(114−84−38+48)=110(3010)=(31)\mathbf{x} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 6 \cdot 19 - 7 \cdot 12 \\ -2 \cdot 19 + 4 \cdot 12 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 114 - 84 \\ -38 + 48 \end{pmatrix} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 30 \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}.
  21. Ex. 33.21Application

    Calcule D−1D^{-1} para D=(100020005)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}.

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MI
    Show solution
    Para uma matriz diagonal D=diag(d1,d2,d3)D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3), a inversa é D−1=diag(1/d1,1/d2,1/d3)D^{-1} = \text{diag}(1/d_1, 1/d_2, 1/d_3), desde que todos di≠0d_i \neq 0. Aqui D=diag(1,2,5)D = \text{diag}(1, 2, 5), portanto D−1=diag(1,1/2,1/5)D^{-1} = \text{diag}(1, 1/2, 1/5).
  22. Ex. 33.22Application

    Use Gauss-Jordan para calcular T−1T^{-1} com T=(111011001)T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MISLE
    Show solution
    Gauss-Jordan em [T∣I][T|I] para T=(111011001)T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}: (1) L2 ← L2 − L3 elimina o 11 em posição (2,3). (2) L1 ← L1 − L3 elimina o 11 em posição (1,3). (3) L1 ← L1 − L2 elimina o 11 em posição (1,2). Resultado: T−1=(1−1001−1001)T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Monte a aumentada. [111100011010001001]\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1&1&1&1&0&0\\ 0&1&1&0&1&0\\ 0&0&1&0&0&1 \end{array}\right]
    2. L2 ← L2 − L3: elimina 11 em (2,3). Linha 2 torna-se (0,1,0 ∣ 0,1,−1)(0,1,0\ |\ 0,1,-1).
    3. L1 ← L1 − L3: elimina 11 em (1,3). Linha 1 torna-se (1,1,0 ∣ 1,0,−1)(1,1,0\ |\ 1,0,-1).
    4. L1 ← L1 − L2: elimina 11 em (1,2). Linha 1 torna-se (1,0,0 ∣ 1,−1,0)(1,0,0\ |\ 1,-1,0).
    5. Leia a inversa do lado direito: T−1=(1−1001−1001)T^{-1} = \begin{pmatrix} 1&-1&0\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. Curiosidade: a inversa de uma triangular superior é também triangular superior.
  23. Ex. 33.23Application

    Verifique se A=(121014560)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} possui inversa calculando det⁡A\det A.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MISLE
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    Expandindo pela primeira linha: det⁡A=1(1⋅0−4⋅6)−2(0⋅0−4⋅5)+1(0⋅6−1⋅5)=1(−24)−2(−20)+1(−5)=−24+40−5=11\det A = 1(1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2(0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 1(0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = 1(-24) - 2(-20) + 1(-5) = -24 + 40 - 5 = 11. Como det⁡A=11≠0\det A = 11 \neq 0, a inversa existe.
  24. Ex. 33.24ApplicationAnswer key

    Usando a inversa calculada no Exemplo 3 (A=(121013230)A = \begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&3\\2&3&0 \end{pmatrix}), resolva Ax=(575)A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 5\\7\\5 \end{pmatrix}.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MISLE
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    Do Exemplo 3: A−1=(−9356−2−3−211)A^{-1} = \begin{pmatrix} -9&3&5\\6&-2&-3\\-2&1&1 \end{pmatrix}. Para b=(5,7,5)T\mathbf{b} = (5, 7, 5)^T: x1=−9(5)+3(7)+5(5)=−45+21+25=1x_1 = -9(5) + 3(7) + 5(5) = -45 + 21 + 25 = 1, x2=6(5)+(−2)(7)+(−3)(5)=30−14−15=1x_2 = 6(5) + (-2)(7) + (-3)(5) = 30 - 14 - 15 = 1, x3=−2(5)+1(7)+1(5)=−10+7+5=2x_3 = -2(5) + 1(7) + 1(5) = -10 + 7 + 5 = 2. Resposta: x=(1,1,2)T\mathbf{x} = (1, 1, 2)^T. Verificação: A(1,1,2)T=(1+2+2,0+1+6,2+3+0)T=(5,7,5)TA(1,1,2)^T = (1+2+2, 0+1+6, 2+3+0)^T = (5,7,5)^T. Correto.
  25. Ex. 33.25Understanding

    Para a matriz de permutação P=(010100001)P = \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \end{pmatrix}, qual é P−1P^{-1}?

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    A matriz de permutação P=(010100001)P = \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \end{pmatrix} troca as linhas 1 e 2. Aplicá-la duas vezes volta ao original: P2=I⇒P−1=PP^2 = I \Rightarrow P^{-1} = P. Além disso, PT=PP^T = P (troca linhas por colunas dá o mesmo resultado, pois as linhas são vetores canônicos). Logo PT=P=P−1P^T = P = P^{-1}: matrizes de permutação são ortogonais.
  26. Ex. 33.26Understanding

    Se AA é simétrica e invertível, A−1A^{-1} é simétrica?

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    Se AA é simétrica (A=ATA = A^T) e invertível: (A−1)T=(AT)−1=A−1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = A^{-1}. A primeira igualdade usa a propriedade do Exemplo 5; a segunda usa AT=AA^T = A. Logo (A−1)T=A−1(A^{-1})^T = A^{-1} — a inversa é simétrica.
  27. Ex. 33.27Understanding

    Se AA é invertível, quanto vale det⁡(A−1)\det(A^{-1})?

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    De AA−1=IAA^{-1} = I: det⁡(AA−1)=det⁡I=1\det(AA^{-1}) = \det I = 1. Pela multiplicatividade: det⁡A⋅det⁡A−1=1⇒det⁡A−1=1/det⁡A\det A \cdot \det A^{-1} = 1 \Rightarrow \det A^{-1} = 1/\det A. Isso exige det⁡A≠0\det A \neq 0, garantido pela invertibilidade.
  28. Ex. 33.28ApplicationAnswer key

    Verifique se Q=12(11−11)Q = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} é ortogonal (QTQ=IQ^T Q = I) e calcule Q−1Q^{-1}.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MI
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    Para Q=12(11−11)Q = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1&1\\-1&1 \end{pmatrix}: calcule QTQ=12(1−111)(11−11)=12(2002)=IQ^T Q = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&1\\-1&1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2&0\\0&2 \end{pmatrix} = I. Como QTQ=IQ^T Q = I, a matriz é ortogonal e Q−1=QT=12(1−111)Q^{-1} = Q^T = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1&-1\\1&1 \end{pmatrix}.
  29. Ex. 33.29Modeling

    Use inversa de matriz para resolver: {2x+y=7x−3y=−7\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = -7 \end{cases}.

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 31
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    Sistema: A=(211−3)A = \begin{pmatrix} 2&1\\1&-3 \end{pmatrix}, b=(7−7)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7\\-7 \end{pmatrix}. det⁡A=−6−1=−7\det A = -6 - 1 = -7. A−1=1−7(−3−1−12)=(3/71/71/7−2/7)A^{-1} = \frac{1}{-7}\begin{pmatrix} -3&-1\\-1&2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/7&1/7\\1/7&-2/7 \end{pmatrix}. x=(21/7−7/77/7+14/7)=(23)\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 21/7 - 7/7\\ 7/7 + 14/7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}.
  30. Ex. 33.30Modeling

    Resolva via inversa: {3x−2y=−14x+y=6\begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 4x + y = 6 \end{cases}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 33
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    Sistema: A=(3−241)A = \begin{pmatrix} 3&-2\\4&1 \end{pmatrix}, b=(−16)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1\\6 \end{pmatrix}. det⁡A=3+8=11\det A = 3 + 8 = 11. A−1=111(12−43)A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 1&2\\-4&3 \end{pmatrix}. x=111(−1+124+18)=111(1122)=(12)\mathbf{x} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} -1+12\\4+18 \end{pmatrix} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 11\\22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}. Verificação: 3(1)−2(2)=−13(1) - 2(2) = -1 e 4(1)+2=64(1) + 2 = 6. Correto.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique. A=(3−241)A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, b=(−16)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix}.
    2. Calcule o determinante. det⁡A=3×1−(−2)×4=3+8=11\det A = 3 \times 1 - (-2) \times 4 = 3 + 8 = 11. A inversa existe.
    3. Calcule A−1A^{-1}. Troca diagonal, inverte sinais: A−1=111(12−43)A^{-1} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}.
    4. Multiplique. x=A−1b=111(1122)=(12)\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \frac{1}{11}\begin{pmatrix} 11 \\ 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}.
    5. Verifique substituindo no sistema original. Macete: sempre confira as duas equações — a inversa pode estar errada mesmo quando a conta "fecha".
  31. Ex. 33.31Modeling

    Hill cipher com chave K=(3254)K = \begin{pmatrix} 3&2\\5&4 \end{pmatrix} recebe o texto cifrado c=(1731)\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 17\\31 \end{pmatrix}. Qual é a mensagem original m\mathbf{m}?

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 57 (encoding)
    Show solution
    No Hill cipher com chave K=(3254)K = \begin{pmatrix} 3&2\\5&4 \end{pmatrix}: K−1=(2−1−5/23/2)K^{-1} = \begin{pmatrix} 2&-1\\-5/2&3/2 \end{pmatrix} (do Exemplo 4). Para o texto cifrado c=(1731)\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 17\\31 \end{pmatrix}: m=K−1c=(34−31−85/2+93/2)=(34)\mathbf{m} = K^{-1}\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 34-31\\-85/2+93/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}.
  32. Ex. 33.32Modeling

    No modelo de Leontief, a produção x\mathbf{x} satisfaz x=Lx+d\mathbf{x} = L\mathbf{x} + \mathbf{d}. Qual é a solução para x\mathbf{x}?

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    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7
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    O modelo de Leontief: produção total = demanda intermediária + demanda final: x=Lx+d\mathbf{x} = L\mathbf{x} + \mathbf{d}. Isolando: (I−L)x=d⇒x=(I−L)−1d(I - L)\mathbf{x} = \mathbf{d} \Rightarrow \mathbf{x} = (I-L)^{-1}\mathbf{d}. A inversa de (I−L)(I - L) é chamada "matriz de Leontief" — elemento fundamental de análise insumo-produto. Prêmio Nobel de Economia de 1973 a [Wassily Leontief](https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1973/summary/).
  33. Ex. 33.33Modeling

    Na regressão linear y≈Xβ\mathbf{y} \approx X\beta, qual é o estimador de mínimos quadrados β^\hat{\beta}?

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MISLE
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    Na regressão linear, minimiza-se ∥Xβ−y∥2\|X\beta - \mathbf{y}\|^2. Derivando e igualando a zero: XTXβ^=XTyX^T X \hat{\beta} = X^T \mathbf{y} (equação normal). Multiplicando à esquerda por (XTX)−1(X^T X)^{-1}: β^=(XTX)−1XTy\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^T\mathbf{y}. Note que XTXX^TX é simétrica — portanto (XTX)−1(X^TX)^{-1} também é simétrica (pelo resultado do exercício 33.26).
  34. Ex. 33.34Modeling

    Resolva via inversa (use Gauss-Jordan): {2x+y=33y+z=−2x+2z=4\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 3y + z = -2 \\ x + 2z = 4 \end{cases}.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7 · ex. 39
    Show solution
    Sistema: A=(210031102)A = \begin{pmatrix} 2&1&0\\0&3&1\\1&0&2 \end{pmatrix}, b=(3−24)\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix}. det⁡A=2(3⋅2−1⋅0)−1(0⋅2−1⋅1)+0=2(6)−1(−1)=12+1=13\det A = 2(3 \cdot 2 - 1 \cdot 0) - 1(0 \cdot 2 - 1 \cdot 1) + 0 = 2(6) - 1(-1) = 12 + 1 = 13. Use Gauss-Jordan para obter A−1A^{-1} (ou Cramer). A solução é x=(2,−1,1)T\mathbf{x} = (2, -1, 1)^T. Verificação: 2(2)+1(−1)+0(1)=32(2)+1(-1)+0(1)=3, 0(2)+3(−1)+1(1)=−20(2)+3(-1)+1(1)=-2, 1(2)+0(−1)+2(1)=41(2)+0(-1)+2(1)=4. Correto.
  35. Ex. 33.35Modeling

    Uma transportadora cobra R$ 8 por kg mais R$ 50 fixo. A concorrente cobra R$ 12 por kg sem taxa fixa. Use inversa de matriz para descobrir a partir de quantos quilos as duas opções têm o mesmo preço.

    Solve onlineOpenStax College Algebra 2e · §9.7
    Show solution
    Uma transportadora cobra frete de R\$ 8 por kg mais R\$ 50 fixo (embalagem), e uma concorrente cobra R\$ 12 por kg sem taxa fixa. No sistema: {8p+50=c12p=c\begin{cases} 8p + 50 = c \\ 12p = c \end{cases}, onde pp é o peso e cc o custo. Reescreva como (8−112−1)(pc)=(−500)\begin{pmatrix} 8&-1\\12&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -50\\0 \end{pmatrix}. det⁡A=−8+12=4\det A = -8+12 = 4. A−1=14(−11−128)A^{-1} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} -1&1\\-12&8 \end{pmatrix}. (pc)=14(50600)=(12,5150)\begin{pmatrix} p\\c \end{pmatrix} = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 50\\600 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12{,}5\\150 \end{pmatrix}. As transportadoras cobram o mesmo (R\$ 150) para 12,5 kg.
  36. Ex. 33.36Understanding

    Se AA e BB são matrizes invertíveis da mesma ordem, ABAB é invertível?

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    Solve onlineBeezer FCLA · §MI
    Show solution
    Se AA e BB são invertíveis, então (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = I. Logo ABAB é invertível com (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}. Alternativamente: det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B≠0\det(AB) = \det A \cdot \det B \neq 0 pois ambos são não-nulos.
  37. Ex. 33.37Proof

    Demonstre que (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} para qualquer matriz invertível AA.

    Beezer FCLA · §MI Theorem MIMI
    Show solution
    **Prova**: de AA−1=IAA^{-1} = I, tome a transposta de ambos os lados: (AA−1)T=IT(AA^{-1})^T = I^T. Use (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T e IT=II^T = I: (A−1)TAT=I(A^{-1})^T A^T = I. Por definição de inversa (unicidade), conclui-se (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}. Equivalentemente: transpor e inverter comutam — a ordem não importa.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Parta de AA−1=IAA^{-1} = I.
    2. Transpose ambos os lados. (AA−1)T=IT=I(AA^{-1})^T = I^T = I.
    3. Aplique (PQ)T=QTPT(PQ)^T = Q^T P^T. Obtenha (A−1)TAT=I(A^{-1})^T A^T = I.
    4. Interprete. Isso diz que (A−1)T(A^{-1})^T é inversa à esquerda de ATA^T. Pela unicidade: (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}. Macete: lembre-se do Exemplo 5 — esta é a mesma prova usada lá.
  38. Ex. 33.38ProofAnswer key

    Se A2=IA^2 = I, prove que A=A−1A = A^{-1}. Dê um exemplo numérico não-trivial.

    Solve onlineBeezer FCLA · §MI
    Show solution
    **Prova**: se A2=IA^2 = I, então AcdotA=IA cdot A = I. Por definição de inversa, a matriz que satisfaz AcdotB=IA cdot B = I é chamada inversa de AA. Aqui B=AB = A satisfaz essa condição. Logo A−1=AA^{-1} = A — a matriz é seu próprio inverso (involução). Exemplo não-trivial: (0110)\begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix} (permutação de linhas) — verifique que P2=IP^2 = I.
  39. Ex. 33.39Challenge

    Prove: se AA é invertível e AB=0AB = 0, então B=0B = 0.

    Hefferon, Linear Algebra · cap. 3 §1
    Show solution
    Suponha que AA é invertível e AB=0AB = 0. Multiplique ambos os lados à esquerda por A−1A^{-1}: A−1(AB)=A−1⋅0=0A^{-1}(AB) = A^{-1} \cdot 0 = 0. Pelo associatividade: (A−1A)B=0⇒IB=0⇒B=0(A^{-1}A)B = 0 \Rightarrow IB = 0 \Rightarrow B = 0. Logo: se AA é invertível e AB=0AB = 0, então B=0B = 0. A contrrecíproca: se B≠0B \neq 0 e AB=0AB = 0, então AA é singular — não existe inversa.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Hipótese. AA invertível, AB=0AB = 0.
    2. Multiplique à esquerda por A−1A^{-1}. A−1(AB)=A−1⋅0A^{-1}(AB) = A^{-1} \cdot 0.
    3. Associatividade + definição de inversa. (A−1A)B=0⇒IB=B=0(A^{-1}A)B = 0 \Rightarrow IB = B = 0.
    4. Conclusão. Se AA é invertível, ela só "anula" o produto com a matriz nula. Curiosidade: em álgebra, isso diz que AA não é divisor de zero no anel das matrizes.
  40. Ex. 33.40Challenge

    Dê um exemplo de duas matrizes invertíveis AA e BB tais que AB≠BAAB \neq BA. O que isso implica sobre a comutatividade da multiplicação matricial?

    Solve onlineHefferon, Linear Algebra · cap. 3 §1
    Show solution
    **Contraexemplo**: tome A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} e B=(1011)B = \begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix}. Calcule AB=(2111)AB = \begin{pmatrix} 2&1\\1&1 \end{pmatrix} e BA=(1112)BA = \begin{pmatrix} 1&1\\1&2 \end{pmatrix}. Claramente AB≠BAAB \neq BA. Verifique que ambas são invertíveis (determinantes = 1). Logo invertibilidade não implica comutatividade. Matrizes que comutam com todas as outras são múltiplos da identidade (Teorema de Schur).

Fontes desta aula

  • A First Course in Linear Algebra — Robert A. Beezer · versão 3.50 · GNU FDL · §MO (Matrix Operations), §MI (Matrix Inverses), §MISLE (Matrix Inverses and Systems of Linear Equations). Fonte primária da teoria e dos exercícios de prova.
  • OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2021 · CC-BY 4.0 · §9.7 (Solving Systems with Inverses). Fonte primária dos exercícios de cálculo e modelagem.
  • Linear Algebra — Jim Hefferon · 4ª ed. · CC-BY-SA · cap. 3 §1–3. Abordagem geométrica e exercícios de álgebra abstrata matricial.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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