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Lição 34 — Determinantes 2x2 e 3x3

Determinante como área/volume orientado. Sarrus para 3x3. Expansão de Laplace. Propriedades algébricas e critério de invertibilidade.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math II japonês · Equiv. Klasse 11 alemã

det⁡(abcd)=ad−bc\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

O determinante de uma matriz quadrada é um número que mede a área (2×2) ou volume (3×3) orientado gerado pelas suas colunas. Para 2×2 é ad−bcad - bc; para 3×3 usa-se a regra de Sarrus. Se det⁡A=0\det A = 0, a matriz é singular e não tem inversa.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Determinante 2×2

"O determinante de uma matriz 2×22 \times 2 é encontrado subtraindo o produto das entradas da diagonal secundária do produto das entradas da diagonal principal." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.4

Determinante 3×3 — Regra de Sarrus

Expansão de Laplace (cofatores)

Propriedades essenciais

"Se duas linhas (ou colunas) de uma matriz são idênticas, ou se uma linha é múltiplo escalar de outra, então o determinante é zero." — Wikilivros — Álgebra linear / Determinantes

Critério de invertibilidade

Exemplos resolvidos

Exercise list

44 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 32Understanding 2Modeling 8Challenge 1Proof 1
  1. Ex. 34.1Application

    Calcule det⁡(1234)\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4 · ex. 1
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    Aplicando ad−bcad - bc: 1⋅4−2⋅3=4−6=−21 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique as entradas. a=1,b=2,c=3,d=4a = 1, b = 2, c = 3, d = 4.
    2. Diagonal principal. a⋅d=1⋅4=4a \cdot d = 1 \cdot 4 = 4.
    3. Diagonal secundária. b⋅c=2⋅3=6b \cdot c = 2 \cdot 3 = 6.
    4. Subtraia. 4−6=−24 - 6 = -2.

    Macete: na 2×2, sempre "principal menos secundária". O sinal negativo é perfeitamente normal — indica orientação invertida.

  2. Ex. 34.2ApplicationAnswer key

    Calcule det⁡(5723)\det \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    5⋅3−7⋅2=15−14=15 \cdot 3 - 7 \cdot 2 = 15 - 14 = 1.
  3. Ex. 34.3Application

    Calcule det⁡(01−10)\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    0⋅0−1⋅(−1)=0+1=10 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 0 + 1 = 1. Esta é a matriz de rotação de 90 graus — preserva área e orientação, daí det⁡=1\det = 1.
  4. Ex. 34.4Application

    Calcule det⁡(111123149)\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} (Vandermonde).

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Vandermonde 3×3: fórmula (b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)(c-b) com a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3: (1)(2)(1)=2(1)(2)(1) = 2. Verificação por Sarrus: 1⋅2⋅9+1⋅3⋅1+1⋅1⋅4−1⋅2⋅1−1⋅1⋅9−1⋅3⋅4=18+3+4−2−9−12=21\cdot2\cdot9 + 1\cdot3\cdot1 + 1\cdot1\cdot4 - 1\cdot2\cdot1 - 1\cdot1\cdot9 - 1\cdot3\cdot4 = 18+3+4-2-9-12 = 2.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Reconheça a estrutura Vandermonde. A matriz tem a forma (1aa21bb21cc2)\begin{pmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{pmatrix} com a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3.
    2. Aplique a fórmula fechada. det⁡=(b−a)(c−a)(c−b)=(2−1)(3−1)(3−2)=1⋅2⋅1=2\det = (b-a)(c-a)(c-b) = (2-1)(3-1)(3-2) = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2.
    3. Confirmação por Sarrus. Descendentes: 1⋅2⋅9=181\cdot2\cdot9=18; 1⋅3⋅1=31\cdot3\cdot1=3; 1⋅1⋅4=41\cdot1\cdot4=4. Ascendentes: 1⋅2⋅1=21\cdot2\cdot1=2; 1⋅1⋅9=91\cdot1\cdot9=9; 1⋅3⋅4=121\cdot3\cdot4=12. Resultado: 25−23=225-23=2.

    Curiosidade: o determinante de Vandermonde mede o quanto os pontos a, b, c estão separados. Se dois forem iguais, o det é zero — a matriz fica singular.

  5. Ex. 34.5Application

    Calcule det⁡(100010001)\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Identidade I3I_3: triangular com diagonal toda 1. det⁡I=1\det I = 1 (propriedade 1).
  6. Ex. 34.6Application

    Calcule det⁡(200030004)\det \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    Matriz diagonal (caso particular de triangular): det⁡=2⋅3⋅4=24\det = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 (propriedade 12).
  7. Ex. 34.7Application

    Calcule det⁡(123456789)\det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Por Sarrus: descendentes 1⋅5⋅9=451\cdot5\cdot9=45; 2⋅6⋅7=842\cdot6\cdot7=84; 3⋅4⋅8=963\cdot4\cdot8=96; soma =225=225. Ascendentes 3⋅5⋅7=1053\cdot5\cdot7=105; 2⋅4⋅9=722\cdot4\cdot9=72; 1⋅6⋅8=481\cdot6\cdot8=48; soma =225=225. Det =225−225=0=225-225=0. As colunas são linearmente dependentes (C2=(C1+C3)/2C_2 = (C_1+C_3)/2 — propriedade 9).
    Show step-by-step (with the why)
    1. Inspecione dependência antes de calcular. Verifique: C2=(1/2)(C1+C3)C_2 = (1/2)(C_1 + C_3), ou seja, (2,5,8)=(1/2)(1+3,4+6,7+9)(2,5,8) = (1/2)(1+3, 4+6, 7+9). Colunas dependentes — det é zero sem calcular.
    2. Confirme por Sarrus. Descendentes: 45+84+96=22545+84+96=225. Ascendentes: 105+72+48=225105+72+48=225. Resultado: 00.

    Macete: matriz com entradas em PA por linha ou coluna quase sempre tem determinante zero. Cheque dependência antes de calcular.

  8. Ex. 34.8Application

    Para qual valor de kk vale det⁡(k123)=0\det \begin{pmatrix} k & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 0?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
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    det⁡=3k−2=0⇒k=2/3\det = 3k - 2 = 0 \Rightarrow k = 2/3.
  9. Ex. 34.9Application

    Para A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, calcule det⁡(AT)\det(A^T) e compare com det⁡A\det A.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
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    AT=(1324)A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}. det⁡AT=1⋅4−3⋅2=−2\det A^T = 1\cdot 4 - 3\cdot 2 = -2. Igual a det⁡A=1⋅4−2⋅3=−2\det A = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2. Confirma a propriedade 2: det⁡AT=det⁡A\det A^T = \det A.
  10. Ex. 34.10Application

    Calcule det⁡(2A)\det(2A) para A=I2=(1001)A = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
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    Para A=I2A = I_2: det⁡(2A)=22⋅det⁡A=4⋅1=4\det(2A) = 2^2 \cdot \det A = 4 \cdot 1 = 4 (propriedade 4: det⁡(αA)=αndet⁡A\det(\alpha A) = \alpha^n \det A para An×nA_{n\times n}).
  11. Ex. 34.11Application

    Para matrizes A,BA, B com det⁡A=5\det A = 5 e det⁡B=3\det B = 3, calcule det⁡(AB)\det(AB).

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    Propriedade 3 (Cauchy–Binet): det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B=5⋅3=15\det(AB) = \det A \cdot \det B = 5 \cdot 3 = 15.
  12. Ex. 34.12Application

    Calcule det⁡(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\det \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    det⁡=cos⁡θ⋅cos⁡θ−(−sin⁡θ)⋅sin⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\det = \cos\theta \cdot \cos\theta - (-\sin\theta) \cdot \sin\theta = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1. Toda matriz de rotação tem determinante 1 — preserva área e orientação.
  13. Ex. 34.13ApplicationAnswer key

    Calcule det⁡(2−10−12−10−12)\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Por Sarrus: descendentes 2⋅2⋅2=82\cdot2\cdot2=8; (−1)(−1)(0)=0(-1)(-1)(0)=0; 0⋅(−1)(−1)=00\cdot(-1)(-1)=0. Ascendentes 0⋅2⋅0=00\cdot2\cdot0=0; (−1)(−1)(2)=2(-1)(-1)(2)=2; 2⋅(−1)(−1)=22\cdot(-1)(-1)=2. Det =8−4=4= 8-4 = 4.
  14. Ex. 34.14Application

    Se uma matriz AA possui uma linha inteira de zeros, qual é det⁡A\det A?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
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    Pela propriedade 7, qualquer matriz com uma linha inteira de zeros tem det⁡=0\det = 0. Na expansão de Laplace por essa linha, cada termo é multiplicado por zero.
  15. Ex. 34.15Application

    Calcule det⁡(1224)\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Colunas proporcionais: (2,4)=2⋅(1,2)(2,4) = 2 \cdot (1,2). Propriedade 9 garante det⁡=0\det = 0. Verificação direta: 1⋅4−2⋅2=01\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0.
  16. Ex. 34.16Application

    Calcule det⁡(314159265)\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 5 & 9 \\ 2 & 6 & 5 \end{pmatrix} por Sarrus.

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Por Sarrus: descendentes 3⋅5⋅5=753\cdot5\cdot5=75; 1⋅9⋅2=181\cdot9\cdot2=18; 4⋅1⋅6=244\cdot1\cdot6=24; soma 117117. Ascendentes 4⋅5⋅2=404\cdot5\cdot2=40; 1⋅1⋅5=51\cdot1\cdot5=5; 3⋅9⋅6=1623\cdot9\cdot6=162; soma 207207. Det =117−207=−90= 117 - 207 = -90.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Escreva as colunas repetidas. Junte mais duas colunas à direita da matriz original.
    2. Descendentes. 3⋅5⋅5=753\cdot5\cdot5 = 75; 1⋅9⋅2=181\cdot9\cdot2 = 18; 4⋅1⋅6=244\cdot1\cdot6 = 24. Soma: 117117.
    3. Ascendentes. 4⋅5⋅2=404\cdot5\cdot2 = 40; 1⋅1⋅5=51\cdot1\cdot5 = 5; 3⋅9⋅6=1623\cdot9\cdot6 = 162. Soma: 207207.
    4. Subtraia. 117−207=−90117 - 207 = -90.

    Macete Sarrus: anote cada produto numa linha separada antes de somar — erros aritméticos quase sempre vêm de mistura de termos.

  17. Ex. 34.17ApplicationAnswer key

    Calcule det⁡(120340005)\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} por Laplace na coluna 3.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Expansão de Laplace na coluna 3 (dois zeros): det⁡=5⋅(−1)3+3det⁡(1234)=5⋅(4−6)=5⋅(−2)=−10\det = 5 \cdot (-1)^{3+3} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 5 \cdot (4 - 6) = 5 \cdot (-2) = -10.
  18. Ex. 34.18Application

    Calcule det⁡(A3)\det(A^3) para A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    Use det⁡(An)=(det⁡A)n\det(A^n) = (\det A)^n: det⁡A=1⋅4−2⋅3=−2\det A = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2, então det⁡(A3)=(−2)3=−8\det(A^3) = (-2)^3 = -8.
  19. Ex. 34.19Application

    Para A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, calcule det⁡(A−1)\det(A^{-1}).

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Propriedade 5: det⁡(A−1)=1/det⁡A=1/(−2)=−1/2\det(A^{-1}) = 1/\det A = 1/(-2) = -1/2.
  20. Ex. 34.20Application

    Calcule det⁡(1234012300120001)\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    Triangular superior — propriedade 12: det⁡=1⋅1⋅1⋅1=1\det = 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
  21. Ex. 34.21ApplicationAnswer key

    Calcule det⁡(3A)\det(3A) para A4×4A_{4\times 4} com det⁡A=2\det A = 2.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Propriedade 4: det⁡(3A)=34⋅det⁡A=81⋅2=162\det(3A) = 3^4 \cdot \det A = 81 \cdot 2 = 162.
  22. Ex. 34.22Application

    Calcule o cofator C23C_{23} de (123456789)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Cofator C23=(−1)2+3M23=−M23C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -M_{23}. Menor M23M_{23}: remove linha 2 e coluna 3, ficando (1278)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}. M23=8−14=−6M_{23} = 8 - 14 = -6. Logo C23=−(−6)=6C_{23} = -(-6) = 6.
  23. Ex. 34.23ApplicationAnswer key

    Use escalonamento para calcular det⁡(121250364)\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 3 & 6 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Escalonando: L2←L2−2L1L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, L3←L3−3L1L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1 dá (12101−2001)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Produto da diagonal: 1⋅1⋅1=11\cdot 1\cdot 1 = 1.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Anule coluna 1 abaixo de a11=1a_{11}=1. L2←L2−2L1L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 e L3←L3−3L1L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1. Operações do tipo 10 — não alteram o det.
    2. Verifique a forma triangular. (12101−2001)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
    3. Multiplique a diagonal. det⁡=1⋅1⋅1=1\det = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1.

    Macete: triangularizar e multiplicar a diagonal é o método mais eficiente para calcular determinantes manualmente em matrizes maiores.

  24. Ex. 34.24Application

    Verifique numericamente det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B para A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} e B=(2013)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    det⁡A=1⋅4−2⋅3=−2\det A = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2. det⁡B=2⋅3−0⋅1=6\det B = 2\cdot3 - 0\cdot1 = 6. AB=(1⋅2+2⋅11⋅0+2⋅33⋅2+4⋅13⋅0+4⋅3)=(461012)AB = \begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot1 & 1\cdot0+2\cdot3 \\ 3\cdot2+4\cdot1 & 3\cdot0+4\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}. det⁡(AB)=48−60=−12\det(AB) = 48 - 60 = -12. E det⁡A⋅det⁡B=(−2)(6)=−12\det A \cdot \det B = (-2)(6) = -12. Propriedade confirmada.
  25. Ex. 34.25Application

    Calcule det⁡(1aa21bb21cc2)\det \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} (Vandermonde 3×3) e expresse como produto fatorado.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    Vandermonde 3×3 clássico — fatora-se como (b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)(c-b). Demonstração: subtraia L1L_1 de L2L_2 e L3L_3, fatore as diferenças resultantes.
  26. Ex. 34.26Application

    Calcule A−1A^{-1} usando A−1=1det⁡A adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\text{adj}(A) para A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Para 2×2: A−1=1det⁡A(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. Aqui det⁡A=4−6=−2\det A = 4-6 = -2. Adjunta: (4−2−31)\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}. Inversa: 1−2(4−2−31)=(−213/2−1/2)\frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}.
  27. Ex. 34.27Application

    Mostre que se AA é ortogonal (AAT=IAA^T = I), então det⁡A=±1\det A = \pm 1. Argumente a partir das propriedades do determinante.

    Wikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Se AA é ortogonal, AAT=IAA^T = I. Então det⁡(A)det⁡(AT)=(det⁡A)2=det⁡I=1\det(A)\det(A^T) = (\det A)^2 = \det I = 1, logo det⁡A=±1\det A = \pm 1. Sinal +1+1 indica rotação; −1-1 indica reflexão.
  28. Ex. 34.28Application

    Para uma matriz triangular (superior ou inferior), det⁡A\det A é igual a quê?

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
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    Numa matriz triangular, a expansão de Laplace recursiva mostra que o único termo não nulo é o produto dos elementos da diagonal principal. Logo det⁡A=a11⋅a22⋯ann\det A = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}.
  29. Ex. 34.29Application

    O que acontece com det⁡A\det A se trocarmos duas linhas de AA?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
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    Propriedade 6: trocar duas linhas (ou colunas) inverte o sinal do determinante.
  30. Ex. 34.30ApplicationAnswer key

    O que acontece com det⁡A\det A se somarmos a uma linha o múltiplo de outra linha?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
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    Propriedade 10: somar a uma linha um múltiplo de outra linha **não altera** o determinante. Esta é a operação central do escalonamento para calcular determinantes.
  31. Ex. 34.31Application

    Se det⁡A=6\det A = 6 e multiplicamos a segunda linha de AA por 55, qual é o novo determinante?

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Propriedade 11: multiplicar uma linha por α\alpha multiplica o det por α\alpha. Aqui α=5\alpha = 5, então o novo det é 5⋅6=305 \cdot 6 = 30.
  32. Ex. 34.32Application

    Para A3×3A_{3\times3} com det⁡A=4\det A = 4, calcule det⁡(2A)\det(2A).

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
    Show solution
    det⁡(2A)=23⋅det⁡A\det(2A) = 2^3 \cdot \det A (matriz 3×3). Aqui det⁡A=4\det A = 4, então det⁡(2A)=8⋅4=32\det(2A) = 8 \cdot 4 = 32.
  33. Ex. 34.33ModelingAnswer key

    Determine a área do paralelogramo gerado pelos vetores (2,0)(2, 0) e (1,3)(1, 3) usando determinante.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
    Show solution
    Área do paralelogramo gerado por (2,0)(2,0) e (1,3)(1,3): ∣det⁡(2103)∣=∣6−0∣=6\left|\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\right| = |6 - 0| = 6 unidades quadradas.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique os vetores como colunas. M=(2103)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}.
    2. Calcule o determinante. det⁡M=2⋅3−1⋅0=6\det M = 2\cdot 3 - 1\cdot 0 = 6.
    3. Tome o módulo. Área é não-negativa: ∣det⁡M∣=6|\det M| = 6. (Sinal positivo indica orientação anti-horária.)
    4. Sanity check. Base ∣∣u⃗∣∣=2||\vec{u}|| = 2, altura (componente yy de v⃗\vec{v}) = 3. Área = 6. Confere.

    Macete: área do paralelogramo em R2\mathbb{R}^2 é sempre o módulo do determinante formado pelos vetores geradores.

  34. Ex. 34.34Modeling

    Calcule o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores (1,0,0)(1,0,0), (0,1,0)(0,1,0) e (1,1,1)(1,1,1).

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
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    Volume do paralelepípedo gerado por três vetores em R3\mathbb{R}^3: ∣det⁡M∣|\det M| com as colunas sendo os vetores. det⁡(101011001)=1\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 (triangular superior — produto da diagonal).
  35. Ex. 34.35Modeling

    Calcule a área do triângulo de vértices (0,0)(0,0), (3,0)(3,0) e (0,4)(0,4) via determinante.

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
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    Área do triângulo: 12∣det⁡(3004)∣=12∣12∣=6\frac{1}{2}\left|\det\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}\right| = \frac{1}{2}|12| = 6. (Ou diretamente: triângulo retângulo de catetos 3 e 4, área =3⋅4/2=6= 3\cdot4/2 = 6.)
  36. Ex. 34.36ModelingAnswer key

    Verifique se os pontos (1,2)(1,2), (3,4)(3,4), (5,6)(5,6) são colineares usando determinante.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.4
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    AB⃗=(2,2)\vec{AB} = (2, 2), AC⃗=(4,4)\vec{AC} = (4, 4). det⁡(2424)=8−8=0\det\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 8 - 8 = 0. Logo os pontos são colineares (área zero). Confirma: AC⃗=2AB⃗\vec{AC} = 2\vec{AB}.
  37. Ex. 34.37Modeling

    Em computação gráfica 2D, uma transformação de escala T=(2003)T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} multiplica áreas por qual fator?

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
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    Em computação gráfica 2D, transformação T=(2003)T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} tem det⁡=6\det = 6. Toda figura tem sua área multiplicada por ∣det⁡T∣=6|\det T| = 6.
  38. Ex. 34.38ModelingAnswer key

    O Jacobiano J=det⁡∂(x,y)∂(r,θ)J = \det\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} da mudança para coordenadas polares vale quanto? Mostre o cálculo.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
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    Mudança polar: x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r\cos\theta, y = r\sin\theta. Jacobiano: J=det⁡(cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ)=rcos⁡2θ+rsin⁡2θ=rJ = \det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r. Daí dx dy=r dr dθdx\,dy = r\,dr\,d\theta.
  39. Ex. 34.39Modeling

    Em sistemas dinâmicos x˙=Ax\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}, qual a relação entre det⁡A\det A e os autovalores de AA?

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
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    Para AA com autovalores λ1,…,λn\lambda_1, \ldots, \lambda_n: det⁡A=∏iλi\det A = \prod_i \lambda_i. (Análogo: traço = soma dos autovalores.) Para 2×2: λ1,2=tr(A)±tr(A)2−4det⁡(A)2\lambda_{1,2} = \frac{\text{tr}(A) \pm \sqrt{\text{tr}(A)^2 - 4\det(A)}}{2}.
  40. Ex. 34.40Modeling

    Volume do tetraedro com vértices 0,v1,v2,v3\mathbf{0}, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3: qual a fórmula em termos do determinante?

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
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    Volume do tetraedro com vértices 0,v1,v2,v3\mathbf{0}, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3: V=16∣det⁡[v1 v2 v3]∣V = \frac{1}{6}|\det[\mathbf{v}_1\ \mathbf{v}_2\ \mathbf{v}_3]|. O fator 1/61/6 vem do tetraedro ser 1/61/6 do paralelepípedo correspondente.
  41. Ex. 34.41Understanding

    Demonstre que se AA tem duas linhas iguais, então det⁡A=0\det A = 0 (use apenas a propriedade de troca de linhas).

    Wikilivros Álgebra linear
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    Argumento elegante: se Li=LjL_i = L_j, trocar as duas linhas dá a **mesma** matriz, então det⁡=det⁡\det = \det. Mas pela propriedade 6, troca inverte sinal, logo det⁡=−det⁡\det = -\det. Combinando: 2det⁡=02\det = 0, então det⁡=0\det = 0.
  42. Ex. 34.42UnderstandingAnswer key

    Por que multiplicar uma linha de AA por α\alpha multiplica det⁡A\det A por α\alpha? Cite o axioma que justifica.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
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    Pela multilinearidade nas linhas (axioma 1 de Weierstrass), cada linha pode ser tratada como vetor. Multiplicar uma linha por α\alpha extrai o fator para fora: det⁡(…,αLi,…)=αdet⁡(…,Li,…)\det(\ldots, \alpha L_i, \ldots) = \alpha \det(\ldots, L_i, \ldots). Esta é a definição de funcional linear naquela linha.
  43. Ex. 34.43Challenge

    Demonstração. Calcule det⁡(1aa21bb21cc2)\det \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix} (Vandermonde) e expresse como produto fatorado usando escalonamento.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §8.5
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    Subtraia L1L_1 de L2L_2 e L3L_3: det⁡(1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2)\det\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2 \end{pmatrix}. Expanda pela 1ª coluna: det⁡(b−a(b−a)(b+a)c−a(c−a)(c+a))\det\begin{pmatrix} b-a & (b-a)(b+a) \\ c-a & (c-a)(c+a) \end{pmatrix}. Fatore (b−a)(c−a)(b-a)(c-a): (b−a)(c−a)det⁡(1b+a1c+a)=(b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)\det\begin{pmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{pmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b). ∎
  44. Ex. 34.44ProofAnswer key

    Demonstração. Demonstre det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B para o caso 2×2 desenvolvendo ambos os lados e simplificando.

    Solve onlineWikilivros Álgebra linear
    Show solution
    Para 2×2: A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B=(efgh)B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}. AB=(ae+bgaf+bhce+dgcf+dh)AB = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}. det⁡(AB)=(ae+bg)(cf+dh)−(af+bh)(ce+dg)\det(AB) = (ae+bg)(cf+dh) - (af+bh)(ce+dg). Expandindo e simplificando: =acef+aedh+bgcf+bgdh−afce−afdg−bhce−bhdg=(ad−bc)(eh−fg)=det⁡A⋅det⁡B= acef + aedh + bgcf + bgdh - afce - afdg - bhce - bhdg = (ad-bc)(eh-fg) = \det A \cdot \det B. ∎

Fontes

  • OpenStax Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §11.4: Determinants and Cramer's Rule. Fonte primária dos exercícios de Bloco A e C.
  • Stitz–Zeager Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §8.5: Determinants and Cramer's Rule. Cofatores, propriedades operacionais, Vandermonde.
  • Wikilivros — Álgebra linear — Wikilivros · vivo · PT-BR · CC-BY-SA · Capítulo Determinantes. Geometria, provas, conexões avançadas.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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