v1 · padrão canônico

Lição 43 — Continuidade de funções

Continuidade num ponto, num intervalo. Tipos de descontinuidade. Teorema do Valor Intermediário e Teorema de Weierstrass.

Used in: 2.º ano EM · Equiv. Math II japonês §2 · Equiv. Klasse 11 alemã — Differentialrechnung Vorbereitung · Equiv. H2 Math singapurense §2.1

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Continuidade em um ponto: a função $f$ é contínua em $a$ quando três condições valem simultaneamente — $f(a)$ existe, o limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe, e os dois coincidem. Geometricamente: gráfico sem buracos, sem saltos e sem assíntotas verticais em $a$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

Continuidade em um ponto

"Dizemos que uma função $f$ é contínua em $a$ se $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4

Formulação via épsilon-delta

$f$ é contínua em $a$ se e somente se

$\forall\,\varepsilon > 0,\quad \exists\,\delta > 0 : |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon.$

Ao contrário da definição de limite, aqui admitimos $x = a$ : $|f(a) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ é satisfeito trivialmente.

Tipos de descontinuidade

Definition· Classificação das descontinuidades

Tipo	Caracterização	Exemplo canônico
Removível	$\lim_{x \to a} f(x)$ existe mas $\neq f(a)$ (ou $f(a)$ indefinido)	$\tfrac{x^2-4}{x-2}$ em $x=2$
Salto	Limites laterais existem mas diferem: $f(a^-) \neq f(a^+)$	$\lfloor x \rfloor$ em inteiros
Infinita	Pelo menos um limite lateral é $\pm\infty$	$1/x$ em $x=0$
Oscilatória	Os limites laterais não existem por oscilação	$\sin(1/x)$ em $x=0$

Descontinuidade removível pode ser eliminada redefinindo $f(a)$ ; as demais são estruturalmente irreparáveis.

Perfis típicos dos quatro tipos de descontinuidade. Da esquerda para direita: removível (buraco com valor errado), salto (lateral), infinita (assíntota vertical), oscilatória.

Continuidade em intervalos

Funções elementares contínuas

Os seguintes tipos de função são contínuos em todo o seu domínio natural:

Polinômios $p(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ : contínuos em $\mathbb{R}$ .
Funções racionais $p(x)/q(x)$ : contínuas onde $q(x) \neq 0$ .
Trigonométricas $\sin x$ , $\cos x$ : contínuas em $\mathbb{R}$ . $\tan x$ contínua em $\mathbb{R} \setminus \{(2k+1)\pi/2 : k \in \mathbb{Z}\}$ .
Exponencial $e^x$ , $a^x$ ( $a > 0$ ): contínuas em $\mathbb{R}$ .
Logaritmo $\ln x$ : contínua em $(0,+\infty)$ .
Composição de contínuas é contínua (onde definida).

Álgebra das funções contínuas

Teorema do Valor Intermediário

"Se $f$ é contínua em um intervalo fechado $[a, b]$ , então para qualquer número $M$ entre $f(a)$ e $f(b)$ , há pelo menos um ponto $c$ em $[a, b]$ tal que $f(c) = M$ ." — OpenStax Calculus Volume 1, §2.4

Teorema de Weierstrass

Exemplos resolvidos

Example— 1· Verificação das três condições — descontinuidade removível

Problema: Determine se $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ é contínua em $x = 3$ .

Estratégia: Aplicar o checklist das três condições em ordem. Se alguma falhar, identificar o tipo de descontinuidade.

Resolução:

$f(3)$ está definido? $f(3) = \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminado)}$ $f(3)$ não está definido. Condição 1 falha.
$\lim_{x \to 3} f(x)$ existe? Fatorando: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ . Para $x \neq 3$ : $f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ $\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$ O limite existe e vale $6$ .
Conclusão: $f$ é descontínua em $x = 3$ , tipo removível. O limite existe ( $= 6$ ), mas $f(3)$ não está definido.

Reparação: Defina $g(x) = \begin{cases} f(x) & x \neq 3 \\ 6 & x = 3 \end{cases}$ Então $g$ é contínua em $x = 3$ .

Verificação: $f(2{,}9) = 5{,}9 \approx 6$ e $f(3{,}1) = 6{,}1 \approx 6$ . O gráfico se aproxima de $6$ dos dois lados — confirmado.

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.4 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 2· Classificação dos quatro tipos de descontinuidade

Problema: Classifique a descontinuidade de cada função no ponto indicado.

(a) $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \geq 2 \end{cases}$ , em $x = 2$ .

(b) $g(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2}$ , em $x = 1$ .

(c) $h(x) = \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ , em $x = 0$ .

Estratégia: Calcular limites laterais em cada caso e comparar com o valor da função.

Resolução:

(a) Salto.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2 + 1 = 3$ . $f(2) = 2^2 = 4$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$ .

Os limites laterais diferem ( $3 \neq 4$ ). O limite bilateral não existe. Descontinuidade de salto em $x = 2$ , com magnitude $1$ .

(b) Infinita. $\lim_{x \to 1} \frac{1}{(x-1)^2} = +\infty$ $g(1)$ não está definido e o limite é $+\infty$ . Descontinuidade infinita em $x = 1$ .

(c) Oscilatória. Quando $x \to 0$ , $1/x \to \pm\infty$ e $\sin(1/x)$ oscila entre $-1$ e $1$ sem se estabilizar. Descontinuidade oscilatória em $x = 0$ .

Verificação: Para (a), note que $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ x^2 - 1 & x \geq 2 \end{cases}$ seria contínua em $x = 2$ (ambos os laterais valeriam $3$ ). Isso ilustra que funções por partes podem ou não ser contínuas nos pontos de mudança — sempre verifique.

Fonte. APEX Calculus, §1.5 — licença CC-BY-NC 4.0.

Example— 3· Determinacao de constante para continuidade em R

Problema: Determine o valor de $k$ para que

$f(x) = \begin{cases} 2x^2 + k & x \leq 1 \\ 5x - 1 & x > 1 \end{cases}$

seja contínua em $\mathbb{R}$ .

Estratégia: Polinômios são contínuos em todo $\mathbb{R}$ . A única possível descontinuidade é em $x = 1$ . Para continuidade em $x = 1$ , os limites laterais devem coincidir com $f(1)$ .

Resolução:

$f(1)$ pelo ramo esquerdo: $f(1) = 2(1)^2 + k = 2 + k$ .
Limite pela direita em $x = 1$ : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5(1) - 1 = 4$
Condição de continuidade: $f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 2 + k = 4 \implies k = 2.$
Verificação: Com $k = 2$ : $f(1) = 4$ , $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) + 2 = 4$ , $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4$ . Todos coincidem. Como ambos os ramos são polinômios, $f$ é contínua em $\mathbb{R}$ .

Fonte. OpenStax Calculus Volume 1, §2.4 — licença CC-BY-NC-SA 4.0.

Example— 4· Aplicacao do TVI — existencia de raiz

Problema: Prove que a equação $x^3 - x - 1 = 0$ tem pelo menos uma raiz real no intervalo $(1, 2)$ .

Estratégia: Aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Definir $f(x) = x^3 - x - 1$ , verificar continuidade, avaliar nos extremos, e concluir pela mudança de sinal.

Resolução:

Continuidade: $f(x) = x^3 - x - 1$ é polinômio, contínuo em todo $\mathbb{R}$ , em particular em $[1, 2]$ .
Avaliação nos extremos: $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$ $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$
Aplicação do TVI: $f$ é contínua em $[1,2]$ , $f(1) < 0 < f(2)$ . O valor $0$ está entre $f(1)$ e $f(2)$ , portanto o TVI garante a existência de pelo menos um $c \in (1,2)$ com $f(c) = 0$ .
Refinamento numérico: $f(1{,}3) = 2{,}197 - 1{,}3 - 1 = -0{,}103 < 0$ e $f(1{,}4) = 2{,}744 - 1{,}4 - 1 = 0{,}344 > 0$ . A raiz é aproximadamente $c \approx 1{,}3247$ .

Fonte. Active Calculus, §1.7 — licença CC-BY-SA 4.0.

Example— 5· Ponto fixo via TVI — demonstracao

Problema: Seja $f$ contínua em $[0, 1]$ com $0 \leq f(x) \leq 1$ para todo $x \in [0,1]$ . Prove que $f$ tem pelo menos um ponto fixo: existe $c \in [0,1]$ com $f(c) = c$ .

Estratégia: Definir uma função auxiliar $g(x) = f(x) - x$ e aplicar o TVI a $g$ .

Resolução:

Definir $g(x) = f(x) - x$ . $g$ é contínua em $[0,1]$ (diferença de contínuas).
Avaliar nos extremos:
- $g(0) = f(0) - 0 = f(0) \geq 0$ (pois $f(0) \geq 0$ ).
- $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ (pois $f(1) \leq 1$ ).
Aplicar o TVI:
- Caso 1: $g(0) = 0 \Rightarrow c = 0$ é ponto fixo. ∎
- Caso 2: $g(1) = 0 \Rightarrow c = 1$ é ponto fixo. ∎
- Caso 3: $g(0) > 0$ e $g(1) < 0$ . O TVI garante $c \in (0,1)$ com $g(c) = 0$ , ou seja, $f(c) = c$ . ∎

Interpretação: Se um processo iterativo $x_{n+1} = f(x_n)$ opera em $[0,1]$ com $f$ contínua mapeando $[0,1]$ em si mesmo, existe pelo menos um estado de equilíbrio.

Fonte. Active Calculus, §1.7, Activity 1.7.3 — licença CC-BY-SA 4.0.

Exercise list

40 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 21Understanding 6Modeling 10Challenge 2Proof 1

Ex. 43.1ApplicationAnswer key
Verifique se $f(x) = x^2$ é contínua em $x = 2$ . Aplique o checklist das três condições.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 131
Show solution
$f(x) = x^2$ é polinômio, contínuo em todo $\mathbb{R}$ . Em $x = 2$ : $f(2) = 4$ e $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$ . As três condições valem: $f(2)$ definido, limite existe, limite igual ao valor. Conclusão: contínua em $x = 2$ .
Ex. 43.2Application
Classifique a descontinuidade de $f(x) = 1/x$ em $x = 0$ .
APEX Calculus · §1.5 · ex. 5
Show solution
$f(x) = 1/x$ : $f(0)$ não está definido (condição 1 falha). Além disso, $\lim_{x \to 0^+} 1/x = +\infty$ e $\lim_{x \to 0^-} 1/x = -\infty$ . Descontinuidade infinita (assíntota vertical em $x = 0$ ).
Ex. 43.3Application
Classifique a descontinuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ em $x = 1$ e explique como repará-la.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 135
Show solution
$f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)$ : $f(1)$ não está definido (forma $0/0$ ). Fatorando: $(x-1)(x+1)/(x-1) = x+1$ para $x \neq 1$ . Portanto $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ . Limite existe, valor ausente: descontinuidade removível. Para consertar: defina $f(1) = 2$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Calcule $f(1)$ . Substitua $x = 1$ : numerador $= 0$ , denominador $= 0$ . Forma $0/0$ : $f(1)$ não está definido. Condição 1 falha.
2. Calcule o limite. Fatore: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ . Para $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$ .
3. Portanto $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ . O limite existe.
4. Diagnóstico: limite existe mas $f(1)$ não está definido. Isso é exatamente descontinuidade removível.
5. Reparação: defina $f(1) = 2$ e a função fica contínua em $x = 1$ . Macete: descontinuidade removível ocorre sempre que a fatoração cancela um fator que zeros o denominador.
Ex. 43.4Application
Que valor deve ter $f(3)$ para que $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ seja contínua em $x = 3$ ?
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 139
Show solution
Para que $f(x) = (x^2 - 9)/(x-3)$ seja contínua em $x = 3$ , basta definir $f(3)$ igual ao limite. Fatorando: $(x-3)(x+3)/(x-3) = x+3$ . Logo $\lim_{x \to 3} f(x) = 6$ . Portanto $f(3) = 6$ .
Ex. 43.5Application
Analise a continuidade de $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}$ em $x = 0$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 11
Show solution
Com $f(x) = \begin{cases} x+1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}$ : limite esquerdo $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 + 1 = 1$ e limite direito $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ . Os laterais diferem ( $1 \neq 0$ ): limite bilateral não existe. Descontinuidade de salto em $x = 0$ . Irreparável.
Ex. 43.6Application
Determine $a$ tal que $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ ax + 1 & x > 1 \end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 145
Show solution
Para continuidade em $x = 1$ : limite esquerdo $f(1^-) = 1^2 = 1$ , limite direito $f(1^+) = a(1) + 1 = a + 1$ . Igualdade: $1 = a + 1 \Rightarrow a = 0$ . Com $a = 0$ , o segundo ramo é $f(x) = 1$ constante, coincidindo em $x = 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique o ponto crítico. A função muda em $x = 1$ . Fora de $x = 1$ , cada ramo é contínuo (polinômio e linear).
2. Limite pela esquerda. Para $x < 1$ : $f(x) = x^2$ . Logo $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ .
3. Limite pela direita. Para $x > 1$ : $f(x) = ax + 1$ . Logo $\lim_{x \to 1^+} f(x) = a + 1$ .
4. Imponha igualdade para continuidade: $1 = a + 1 \Rightarrow a = 0$ .
5. Confirme que $f(1) = 1^2 = 1$ coincide com ambos os limites. Macete: em funções por partes, o único ponto a verificar é o ponto de mudança de definição — fora dele, cada ramo é automaticamente contínuo.
Ex. 43.7Application
Classifique a descontinuidade de $f(x) = \sin(1/x)$ em $x = 0$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 15
Show solution
Quando $x \to 0$ , temos $1/x \to \pm\infty$ , e $\sin(1/x)$ oscila entre $-1$ e $1$ infinitamente sem se estabilizar. Os limites laterais não existem. Descontinuidade oscilatória em $x = 0$ . Não pode ser reparada.
Ex. 43.8Application
Analise a continuidade da função parte inteira $f(x) = \lfloor x \rfloor$ em todos os inteiros.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 133
Show solution
Para a função parte inteira $f(x) = \lfloor x \rfloor$ e qualquer inteiro $n$ : $\lim_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n - 1$ e $\lim_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n$ . Laterais diferem: descontinuidade de salto de magnitude 1 em cada inteiro. Em pontos não inteiros, a função é localmente constante e portanto contínua.
Show step-by-step (with the why)
1. Escolha um inteiro arbitrário $n$ . Analisaremos continuidade em $x = n$ .
2. Limite lateral esquerdo. Para $x$ ligeiramente menor que $n$ (ex: $x = n - 0{,}001$ ), $\lfloor x \rfloor = n - 1$ . Logo $\lim_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n - 1$ .
3. Limite lateral direito. Para $x \geq n$ : $\lfloor x \rfloor = n$ . Logo $\lim_{x \to n^+} = n$ e $f(n) = n$ .
4. Compare: limite esquerdo $= n-1$ , limite direito $= n$ . Como $n-1 \neq n$ , o limite bilateral não existe.
5. Conclusão: descontinuidade de salto em todo inteiro, de magnitude 1. Curiosidade: a função parte inteira é contínua pela direita em todo inteiro — uma propriedade que aparece na teoria de processos estocásticos com trajetórias càdlàg.
Ex. 43.9Application
Em que subconjunto de $\mathbb{R}$ a função $f(x) = e^x$ é contínua?
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 3
Show solution
$f(x) = e^x$ é função exponencial: contínua em todo $\mathbb{R}$ . Para qualquer $a$ : $\lim_{x \to a} e^x = e^a$ (limite fundamental), e $e^a$ está sempre definido e positivo.
Ex. 43.10ApplicationAnswer key
Em que subconjunto de $\mathbb{R}$ a função $f(x) = \ln x$ é contínua?
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 136
Show solution
$f(x) = \ln x$ está definida apenas para $x > 0$ . Em todo ponto $a > 0$ : $\lim_{x \to a} \ln x = \ln a$ . Portanto contínua em $(0, +\infty)$ . Em $x = 0$ , o logaritmo não está definido.
Ex. 43.11Application
A função $f(x) = x\sin(1/x)$ estendida com $f(0) = 0$ é contínua em $x = 0$ ? Justifique.
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 17
Show solution
Defina $f(0) = 0$ . Para $x \neq 0$ : $|x \sin(1/x)| \leq |x|$ . Pelo teorema do confronto: $\lim_{x \to 0} x\sin(1/x) = 0 = f(0)$ . As três condições valem. $f$ é contínua em $x = 0$ . Contraste com $\sin(1/x)$ : a multiplicação por $x$ "amortece" a oscilação.
Ex. 43.12Application
A função $f(x) = \begin{cases} (\sin x)/x & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ é contínua em $x = 0$ ?
Select the correct option
A) Sim — $\lim_{x \to 0}(\sin x)/x = 1 = f(0)$ B) Não — $\sin(0)/0$ é indeterminado e portanto $f(0)$ não existeC) Não — o limite não existe pois a função oscilaD) Sim — mas apenas continuidade lateral direita em $x = 0$
Select an option first
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 141
Show solution
$f(x) = (\sin x)/x$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 1$ . Limite fundamental: $\lim_{x \to 0} (\sin x)/x = 1$ . Como $f(0) = 1$ coincide com o limite, $f$ é contínua em $0$ . O distrator B confunde "a fórmula $\\sin(0)/0$ é indeterminada" com "$f(0)$ indefinido" — mas $f(0)$ foi explicitamente definido como $1$.
Ex. 43.13ApplicationAnswer key
Determine $k$ para que $f(x) = \begin{cases} x^2 + k & x \leq 2 \\ 3x + 1 & x > 2 \end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 21
Show solution
Para continuidade em $x = 2$ : limite esquerdo $f(2^-) = 2^2 + k = 4 + k$ e limite direito $f(2^+) = 3(2) + 1 = 7$ . Igualando: $4 + k = 7 \Rightarrow k = 3$ .
Ex. 43.14Application
Que valor deve ter $f(1)$ para que $f(x) = \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$ seja contínua em $x = 1$ ?
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 143
Show solution
Fatorar: $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ . Para $x \neq 1$ : $f(x) = x^2 + x + 1$ . O limite é $1 + 1 + 1 = 3$ . Portanto $f(1) = 3$ .
Ex. 43.15Application
Determine o maior subconjunto de $\mathbb{R}$ em que $f(x) = \tan x$ é contínua.
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 7
Show solution
$\tan x = \sin x / \cos x$ é contínua onde $\cos x \neq 0$ . Como $\cos x = 0$ em $x = \pi/2 + k\pi$ , a tangente é contínua em $\mathbb{R} \setminus \{\pi/2 + k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$ . Em cada um desses pontos a descontinuidade é infinita (assíntota vertical).
Ex. 43.16Application
Analise a continuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 2}$ em $\mathbb{R}$ e classifique qualquer descontinuidade encontrada.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 137
Show solution
$f(x) = (x^2 - 4)/(x + 2) = (x-2)(x+2)/(x+2) = x-2$ para $x \neq -2$ . Em $x = -2$ , $f(-2)$ não está definido, mas $\lim_{x \to -2} f(x) = -4$ . Descontinuidade removível em $x = -2$ . Para consertar: defina $f(-2) = -4$ .
Ex. 43.17Application
Determine $a$ e $b$ para que $f(x) = \begin{cases} x + a & x < 1 \\ b & x = 1 \\ 2x + 1 & x > 1 \end{cases}$ seja contínua em $x = 1$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 23
Show solution
Para continuidade em $x = 1$ : limite pelo ramo direito $\lim_{x \to 1^+}(2x+1) = 3$ , portanto $b = 3$ . Limite pelo ramo esquerdo $\lim_{x \to 1^-}(x+a) = 1 + a$ . Para coincidir com $b = 3$ : $1 + a = 3 \Rightarrow a = 2$ .
Ex. 43.18Application
Encontre $k$ para que $f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 2 & x \leq -1 \\ kx + 3 & x > -1 \end{cases}$ seja contínua em $\mathbb{R}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 147
Show solution
Continuidade em $x = -1$ : $\lim_{x \to -1^-} f(x) = 3(-1)^2 + 2 = 5$ e $\lim_{x \to -1^+} f(x) = k(-1) + 3 = -k + 3$ . Igualando: $5 = -k + 3 \Rightarrow k = -2$ . Verificação: $-2(-1) + 3 = 5$ . Correto.
Ex. 43.19Application
Determine o domínio de continuidade de $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 9
Show solution
$f(x) = (x^2 - 1)/(x^2 + 1)$ é razão de polinômios. O denominador $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$ . Portanto não há polos e a função é contínua em todo $\mathbb{R}$ .
Ex. 43.20Application
Encontre todos os pontos de descontinuidade de $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 9}$ e classifique-os.
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 131
Show solution
$f(x) = 1/(x^2 - 9)$ : denominador $x^2 - 9 = (x-3)(x+3) = 0$ quando $x = \pm 3$ . Em ambos os pontos: assíntotas verticais, descontinuidades infinitas. Contínua em $\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$ .
Ex. 43.21Application
Justifique que $f(x) = \sin(x^2)$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ usando o teorema da composição.
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 1
Show solution
$f(x) = \sin(x^2)$ : composição de $g(x) = x^2$ (contínua em $\mathbb{R}$ ) e $h(t) = \sin t$ (contínua em $\mathbb{R}$ ). Composição de contínuas é contínua. Portanto $f$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ .
Ex. 43.22Understanding
Mostre que $f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ , incluindo $x = 0$ .
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 153
Show solution
$f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ é contínua em todo $\mathbb{R}$ — inclusive em $x = 0$ , onde $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = |0|$ . Não há descontinuidade em lugar algum. Embora o módulo "mude de fórmula" em $x = 0$ , os limites laterais coincidem com o valor.
Ex. 43.23UnderstandingAnswer key
A função sinal $f(x) = x/|x|$ (com $f(0) = 0$ ) é contínua em $x = 0$ ? Classifique corretamente a descontinuidade.
Select the correct option
A) Sim — o limite existe e é igual a $f(0)$ B) Não — descontinuidade de salto: limites laterais são $-1$ e $1$ C) Não — descontinuidade removível: o limite é $0$ mas $f(0) = 1$ D) Não — o limite não existe por oscilação
Select an option first
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 13
Show solution
Para $f(x) = \text{sgn}(x) = x/|x|$ : $\lim_{x \to 0^-} = -1$ e $\lim_{x \to 0^+} = 1$ . Os laterais diferem. O limite bilateral não existe. Descontinuidade de salto (não oscilatória — os laterais existem, apenas diferem). Distrator D errou a classificação: limite que não existe por salto não é oscilatória.
Show step-by-step (with the why)
1. Verifique $f(0)$ . Define-se $f(0) = 0$ . Condição 1 satisfeita.
2. Limite lateral esquerdo. Para $x < 0$ : $x/|x| = x/(-x) = -1$ . Logo $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .
3. Limite lateral direito. Para $x > 0$ : $x/|x| = 1$ . Logo $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .
4. Compare: $-1 \neq 1$ . Limite bilateral não existe.
5. Classificação: descontinuidade de salto de magnitude 2 em $x = 0$ . Observação: a função sinal é o caso mais simples de função de distribuição com salto — aparece frequentemente em teoria do sinal e sistemas de controle.
Ex. 43.24Understanding
Determine em que intervalo $f(x) = \sqrt{4 - x}$ é contínua, justificando o comportamento no extremo $x = 4$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 155
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$f(x) = \sqrt{4 - x}$ : domínio natural $(-\infty, 4]$ (pois $4 - x \geq 0$ ). Composição de $g(x) = 4 - x$ (linear, contínua) e $h(t) = \sqrt{t}$ (contínua para $t \geq 0$ ). Em $x = 4$ : $\lim_{x \to 4^-} \sqrt{4-x} = 0 = f(4)$ , contínua pela esquerda. Logo $f$ é contínua em $(-\infty, 4]$ , em particular em $[0, 4]$ .
Ex. 43.25Understanding
Como tornar $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ contínua em $x = 0$ ? Use o teorema do confronto.
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 19
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Para $x \neq 0$ : $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ . Pelo confronto: $|x^2 \sin(1/x)| \leq x^2 \to 0$ quando $x \to 0$ . Portanto $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ . Definindo $f(0) = 0$ , a função fica contínua em $x = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Note que $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ não está definida em $x = 0$ .
2. Calcule o limite. Use confronto: $-x^2 \leq x^2 \sin(1/x) \leq x^2$ (pois $|\sin| \leq 1$ ).
3. Como $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0$ e $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ , pelo teorema do confronto: $\lim_{x \to 0} x^2 \sin(1/x) = 0$ .
4. Defina $f(0) = 0$ . As três condições valem: valor definido, limite existe, iguais. Contínua em $x = 0$ .
5. Macete: compare com $\sin(1/x)$ (oscilatória em 0) — a multiplicação por $x^2$ amortece a oscilação e torna o limite 0. O fator amortecedor precisa ir a zero mais rápido que a oscilação cresce.
Ex. 43.26UnderstandingAnswer key
Encontre e classifique todas as descontinuidades de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 157
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$f(x) = x/(x^2-1) = x/((x-1)(x+1))$ . Denominador nulo em $x = 1$ e $x = -1$ . Em ambos: limite lateral infinito, descontinuidade infinita. Contínua em $\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .
Ex. 43.27Modeling
Use o TVI para mostrar que $x^3 - x - 1 = 0$ tem raiz em $(1, 2)$ .
Solve online Active Calculus · §1.7 · Activity 1.7.2
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$f(x) = x^3 - x - 1$ é polinômio, contínuo em $[1, 2]$ . $f(1) = -1 < 0$ e $f(2) = 5 > 0$ . Mudança de sinal: TVI garante $c \in (1, 2)$ com $f(c) = 0$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique a função e o intervalo. $f(x) = x^3 - x - 1$ , intervalo $[1, 2]$ .
2. Verifique continuidade. Polinômio: contínuo em todo $\mathbb{R}$ , em particular em $[1, 2]$ .
3. Avalie nos extremos. $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1 < 0$ . $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$ .
4. Conclua. $f(1)$ e $f(2)$ têm sinais opostos. Pelo TVI (corolário de existência de raiz), existe $c \in (1, 2)$ com $f(c) = 0$ . Observação: o TVI garante existência, não unicidade. Neste caso, numericamente $c \approx 1{,}3247$ .
Ex. 43.28Modeling
Mostre que $x^3 + 2x - 5 = 0$ tem raiz em $[1, 2]$ .
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 163
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$f(x) = x^3 + 2x - 5$ : $f(1) = 1 + 2 - 5 = -2 < 0$ e $f(2) = 8 + 4 - 5 = 7 > 0$ . Polinômio contínuo em $[1, 2]$ com mudança de sinal: TVI garante raiz em $(1, 2)$ .
Ex. 43.29Modeling
Mostre que a equação $\cos x = x$ tem solução em $(0, \pi/2)$ .
Active Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.1
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Defina $g(x) = \cos x - x$ , contínua em $[0, \pi/2]$ . $g(0) = 1 - 0 = 1 > 0$ e $g(\pi/2) = 0 - \pi/2 \approx -1{,}57 < 0$ . Mudança de sinal: TVI garante $c \in (0, \pi/2)$ com $\cos c = c$ .
Ex. 43.30Modeling
Mostre que $e^x = 3 - x$ tem solução em $(0, 1)$ .
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 165
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Defina $h(x) = e^x - (3 - x) = e^x + x - 3$ , contínua em $[0, 1]$ . $h(0) = 1 + 0 - 3 = -2 < 0$ e $h(1) = e + 1 - 3 \approx 0{,}718 > 0$ . Mudança de sinal: TVI garante solução em $(0, 1)$ .
Ex. 43.31Modeling
Prove que todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.
Active Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.3
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Seja $p(x)$ polinômio de grau ímpar. Quando $x \to +\infty$ , $p(x) \to +\infty$ ; quando $x \to -\infty$ , $p(x) \to -\infty$ (ou o inverso, se coeficiente líder negativo). Em ambos os casos, existem $a < b$ com $p(a) < 0 < p(b)$ . TVI garante raiz em $(a, b)$ .
Ex. 43.32Modeling
$f$ é contínua em $[0,1]$ com $f(x) \in [0,1]$ para todo $x$ . Prove que existe $c$ com $f(c) = c$ (ponto fixo).
Solve online Active Calculus · §1.7 · Activity 1.7.3
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Defina $g(x) = f(x) - x$ , contínua em $[0,1]$ . $g(0) = f(0) \geq 0$ e $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Se $g(0) = 0$ ou $g(1) = 0$ , o ponto fixo já existe. Caso contrário, $g(0) > 0$ e $g(1) < 0$ : TVI garante $c \in (0,1)$ com $g(c) = 0$ , ou seja, $f(c) = c$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Definir função auxiliar. Seja $g(x) = f(x) - x$ . $g$ é contínua em $[0,1]$ pois $f$ e a função identidade são contínuas.
2. Avaliar nos extremos. $g(0) = f(0) \geq 0$ (dado que $f$ mapeia $[0,1]$ em $[0,1]$ ). $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ (pois $f(1) \leq 1$ ).
3. Casos triviais. Se $g(0) = 0$ , então $f(0) = 0$ : ponto fixo em $x = 0$ . Se $g(1) = 0$ , então $f(1) = 1$ : ponto fixo em $x = 1$ .
4. Caso geral. Se $g(0) > 0$ e $g(1) < 0$ , TVI garante $c \in (0,1)$ com $g(c) = 0$ , ou seja, $f(c) = c$ . Curiosidade: este resultado é um caso especial do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em uma dimensão — versões em dimensões maiores são usadas em teoria dos jogos (equilíbrio de Nash) e em economia.
Ex. 43.33Modeling
Mostre que $\ln x = e^{-x}$ tem solução em $(1, e)$ .
OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 167
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Defina $p(x) = \ln x - e^{-x}$ , contínua em $[1, e]$ . $p(1) = 0 - e^{-1} = -1/e < 0$ e $p(e) = 1 - e^{-e} \approx 0{,}934 > 0$ . Mudança de sinal: TVI garante solução em $(1, e)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Reformule. A equação $\ln x = e^{-x}$ equivale a $p(x) = \ln x - e^{-x} = 0$ . Queremos raiz de $p$ em $(1, e)$ .
2. Continuidade. $\ln x$ é contínua em $(0, +\infty)$ e $e^{-x}$ em $\mathbb{R}$ . Logo $p$ é contínua em $[1, e]$ .
3. Avalie em $x = 1$ . $p(1) = \ln(1) - e^{-1} = 0 - 1/e \approx -0{,}368$ . Negativo.
4. Avalie em $x = e$ . $p(e) = \ln(e) - e^{-e} = 1 - e^{-e} \approx 0{,}934$ . Positivo.
5. TVI. $p(1) < 0 < p(e)$ , logo existe $c \in (1, e)$ com $p(c) = 0$ , ou seja, $\ln c = e^{-c}$ . Observação: o ponto de interseção das curvas $y = \ln x$ e $y = e^{-x}$ está aproximadamente em $x \approx 1{,}31$ .
Ex. 43.34ModelingAnswer key
Use o TVI para localizar raízes reais de $f(x) = x^4 + x - 3$ em $(-2, 2)$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 27
Show solution
$f(x) = x^4 + x - 3$ : $f(-2) = 16 - 2 - 3 = 11 > 0$ , $f(0) = -3 < 0$ , $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 15 > 0$ . Mudança de sinal em $(-2, 0)$ e em $(1, 2)$ : TVI garante pelo menos duas raízes reais em $(-2, 2)$ .
Ex. 43.35ModelingAnswer key
Um objeto cai de altitude $h_0$ ao solo. Justifique matematicamente que ele passou por toda altitude intermediária entre $0$ e $h_0$ .
Solve online Active Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.5
Show solution
A posição vertical de um objeto em queda livre é função contínua do tempo (lei de Newton implica continuidade). Se partiu de altitude $h_0$ e chegou ao solo (altitude 0), pelo TVI existe um instante em que estava em qualquer altitude intermediária entre 0 e $h_0$ . Fisicamente óbvio — mas o TVI é a justificativa matemática rigorosa.
Ex. 43.36ModelingAnswer key
Se a temperatura às 6h era $15°C$ e às 14h era $28°C$ , justifique que houve algum momento em que era exatamente $20°C$ .
Solve online OpenStax Calculus Volume 1 · §2.4 · ex. 169
Show solution
A temperatura ambiente $T(t)$ é função contínua do tempo (processos físicos de transferência de calor são contínuos). Se $T(6 ext{h}) = 15° ext{C}$ e $T(14 ext{h}) = 28° ext{C}$ , pelo TVI existe $t^* \in (6 ext{h}, 14 ext{h})$ com $T(t^*) = 20° ext{C}$ .
Ex. 43.37Understanding
Se $f$ e $g$ são contínuas em $a$ , prove que $f + g$ e $f \cdot g$ são contínuas em $a$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 31
Show solution
Se $f$ e $g$ são contínuas em $a$ , então pela álgebra de limites: $\lim_{x \to a}(f+g)(x) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) = f(a) + g(a) = (f+g)(a)$ . As três condições de continuidade valem para $f+g$ em $a$ . Analogamente para produto. Para quociente: exige $g(a) \neq 0$ .
Ex. 43.38ChallengeAnswer key
A função de Dirichlet $D(x) = 1$ se $x \in \mathbb{Q}$ , $D(x) = 0$ se $x \notin \mathbb{Q}$ — em que pontos de $\mathbb{R}$ é contínua? Justifique.
Solve online Active Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.7
Show solution
A função de Dirichlet $D(x) = 1$ se $x \in \mathbb{Q}$ , $D(x) = 0$ se $x \notin \mathbb{Q}$ . Para qualquer $a$ e qualquer vizinhança de $a$ , existem racionais e irracionais. Logo $\liminf = 0 \neq 1 = \limsup$ : o limite não existe em nenhum ponto. $D$ é descontínua em todo $\mathbb{R}$ .
Ex. 43.39ChallengeAnswer key
Se $f$ é contínua em $a$ e $f(a) > 0$ , prove que existe vizinhança de $a$ onde $f > 0$ .
Solve online APEX Calculus · §1.5 · ex. 35
Show solution
Tome $\varepsilon = f(a)/2 > 0$ . Por continuidade, existe $\delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < f(a)/2$ . Isso implica $f(x) > f(a) - f(a)/2 = f(a)/2 > 0$ para todo $x \in (a-\delta, a+\delta)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Hipótese. $f$ é contínua em $a$ e $f(a) > 0$ . Queremos: existe $\delta > 0$ tal que $f(x) > 0$ para todo $x \in (a-\delta, a+\delta)$ .
2. Escolha $\varepsilon$ . Tome $\varepsilon = f(a)/2 > 0$ (bem definido pois $f(a) > 0$ ).
3. Use continuidade. Existe $\delta > 0$ tal que $|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < f(a)/2$ .
4. Deduza o sinal. Da desigualdade triangular: $f(x) > f(a) - f(a)/2 = f(a)/2 > 0$ .
5. Conclusão. Para todo $x \in (a-\delta, a+\delta)$ , $f(x) > f(a)/2 > 0$ . Macete: esta propriedade chama-se "positividade local" — continuidade garante que o sinal de $f$ é preservado em vizinhança do ponto. Análoga para $f(a) < 0$ .
Ex. 43.40Proof
Escreva a demonstração do TVI usando o conjunto $S = \{x \in [a,b] : f(x) < k\}$ e o supremo. Explique por que a completude de $\mathbb{R}$ é indispensável.
Solve online Active Calculus · §1.7 · Exercise 1.7.9
Show solution
Seja $f \in C([a,b])$ e $f(a) < k < f(b)$ . Defina $S = \{x \in [a,b] : f(x) < k\}$ . $S \neq \emptyset$ (pois $a \in S$ ) e $S$ é limitado superiormente por $b$ . Seja $c = \sup S$ . Por continuidade de $f$ e propriedade do supremo: toda vizinhança de $c$ contém pontos de $S$ (logo $f(c) \leq k$ ) e do complemento (logo $f(c) \geq k$ ). Portanto $f(c) = k$ . O argumento usa completude de $\mathbb{R}$ : todo subconjunto não vazio limitado superiormente tem supremo — propriedade que falha em $\mathbb{Q}$ .

Fontes

Active Calculus — Boelkins · 2024 · §1.7 (Limits, Continuity, and Differentiability) · licença CC-BY-SA 4.0. Fonte primária para exemplos do TVI e atividades investigativas.
Calculus Volume 1 — OpenStax · 2016 · §2.4 (Continuity) · licença CC-BY-NC-SA 4.0. Fonte primária para exercícios dos Blocos A, B e C.
APEX Calculus — Hartman et al. · 2022 · §1.5 (Continuity) · licença CC-BY-NC 4.0. Classificação de descontinuidades, exercícios de fixação e demonstrações do Bloco D.